2016-2017学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三(上)期中数学试卷和答案(理科)

哈师大附中2014级高三上学期期中考试数学试题（理科）第Ⅰ卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）3. 已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 2+，则f （﹣1）=（ ） A ．﹣2B ．0C ．1D ．24．在区间[]0,π上随机取一个数x ，使cos x <<的概率为 （ ） A. 13 B.23 C. 38D. 585. 若||2||||=-=+，则向量+与的夹角为（ ） A.3π B.32π C.65π D.6π 6．如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数．例如[3.27]=3，[0.6]=0．那么“[x ]=[y ]”是“|x ﹣y |＜1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．在二项式1121xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为 （ ）A. 第五项B. 第六项C.第七项D.第六项和第七项 8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m 的值为（ ）A ．0B ．3C ．6D ．129.数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1=3S n （n ≥1），则a 6=（ ） A ．3×44B ．3×44+1C ．44D ．44+110. 若(,)4παπ∈，且3cos 24sin()4παα=-，则sin 2α的值为（ ） A ．79 B ．﹣79C ．19D ．﹣1911．穿红黄两种颜色的衣服的各有两人，穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有（ ） A.24 B.28 C. 36 D.48若234()()()3f a f a f a π++=，则20162=a a （ ） A ．2016B ．2015C ．2014D ．2013第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13.将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1,2,3，L ，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是 .14.已知9290129x a a x a x a x =++++L （1-），则0129a a a a ++++L =15． 袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，则至少有2次摸出白球的概率为16.已知R y x ∈,，满足64222=++y xy x ，则224y x z +=的取值范围是________ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （本小题满分12分）ABC∆的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，向量()(),,12cos ,2cos 1,//m a c n A C m n ==--u r r u r r（Ⅰ）若5b =，求a c +值; （Ⅱ）若1tan 22B =,且角A 是ABC ∆中最大内角，求角A 的大小.18. （本小题满分12分）中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于2016年7月14日在山东威海开赛，种子选手A 与非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，A 获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响.（Ⅰ）若A 至少获胜两场的概率大于23，则A 入选征战里约奥运会的最终名单，否则不予入选，问A 是否会入选最终的名单？ （Ⅱ）求A 获胜场数X 的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）已知各项为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足22n a +=.（Ⅰ）求证：{}n a 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()*1211111...+n n n n n n n b n N a a a a a a a a +=+++∈++++，求证：38n b ≤.20．（本小题满分12分） 已知函数()2sin f x x x =-. （Ⅰ）求函数()f x 在-22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最值； （Ⅱ）若存在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得不等式()f x ax <成立，求实数a 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数()21xe f x ax bx =++，其中,,a b c R ∈.（Ⅰ）若1,a b ==求函数()f x 的单调区间;（Ⅱ）若0a =，且当0x ≥时，()1f x ≥总成立，求实数b 的取值范围;（Ⅲ）若0,0a b >=，若()f x 存在两个极值点12,x x ，求证；()()12f x f x e +<.选作题：考生在题（22）（23）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22. （本小题满分10分） 已知函数()2f x x a =--.（Ⅰ）若1a =，求不等式()230f x x +->的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()3f x x <-恒成立，求实数a 的取值范围 .23. （本小题满分10分）（Ⅰ）已知221x y +=，求23x y +的取值范围;（Ⅱ）已知2222220a b c a b c ++---=，求证：2a b c --≤.选择题13.15 14. 512 15. 202716. []412， 17、（本大题满分12分）解：（1）//(2cos 1)(12cos )m n a C c A ⇒-=-所以，sin sin 2sin A C B +=， 由正弦定理得210b a c =+=…………………………………………………………….6 （2）1443tantan 22355B B =⇒=、sinB=、cosB= 又因为sin sin 2sin sin sin()AC B A A B π+==+-- 则，222sin cos 2,sin cos 1A A A A +=+=3cos cos 05A A ==或,由A 是最大角所以，2A π= (12)18、（本大题满分12分）解：（1）记“种子A 与非种子123B B B 、、比赛获胜”分别为事件123A A A 、、 123123123123A A A A A A A A A A A A A =+++ 123123123123()()P A P A A A A A A A A A AA A =+++=172243> 所以，A 入选最终名单 (6)（2）X 的可能值为0123、、、1111(0)432243111211116(1)4324324322432131112111(2)432432432243216(3)43224P x P x P x P x ==⋅⋅===⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅===⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅===⋅⋅=所以，X 的分布列为所以，数学期望：623()01232424242413E X =⨯+⨯+⨯+⨯=………………..12 19、（本大题满分12分） 解：（1）当1n =时，12a =当2n ≥时，28(2)(1)n n S a =+2118(2)(2)n n S a --=+由（1）-（2）得11()(4)0(0)n n n n n a a a a a --+--=>则1=4n n a a -- ， 所以，{}n a 是以4为公差的等差数列.42n a n =-…………….6 （2）由题意得 证明：1211111111114444844(1)44111111()412(1)111111()4111111()41n n n n n n n b a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +=++++++++=++++++++-+=++++++++-+<+++++++++=++ 设1n()1f n n n =++，则(1)()0f n f n +-<所以，{()}f n 递减，1113()(1)4148n f n n +≤=+ 即：38n b ≤ (12)20（本大题满分12分）(1)()12cos f x x '=-，()0f x x π'=⇒=±……2分max min ()()()()3333f x f f x f =-===……6分（2）()2sin (1)0f x ax x a x <⇔-->设()2sin (1)g x x a x =--，则()2cos (1)g x x a '=--……7分 由02cos (0,2)2x x π<<⇒∈○1121a a -≥⇔≤-，此时()0()g x g x '<⇒在(0,)2π单调递减，()(0)0g x g <=不成立……8分○2101a a -≤⇔≥，此时()0()g x g x '>⇒在(0,)2π单调递增，()(0)0g x g >=成立……9分○301211a a <-<⇔-<<，令1()0cos 2a g x x -'=⇔=，存在唯一0(0,)2x π∈，使得01cos 2a x -=.当0(0,)x x ∈时，()0g x '>⇒()(0)0g x g >=，∴存在(0,)2x π∈，有()0g x >成立……11分综上可知：1a >-……12分21（本大题满分12分）（1）222(1)(),()1(1)x x e e x x f x f x x x x x -'==++++ ()01f x x '>⇒>或0x <，()001f x x '<⇒<<()f x ∴增区间为(,0),(1,)-∞+∞，减区间为(0,1).……4分（2）()1101xe f x bx bx =≥⇔+≥+在[0,)+∞恒成立0b ⇒≥……5分 当0b ≥时，()110x f x e bx ≥⇔--≥.设()1,()x x g x e bx g x e b '=--=-○1当01b ≤≤时，()0()g x g x '≥⇒在[0,)+∞单调递增，()(0)0g x g ⇒≥=成立 ○2当1b >时，()0ln g x x b '=⇔=，当(0,ln )x b ∈时，()0()g x g x '<⇒在(0,ln )b 单调递减，()(0)0g x g ⇒<=，不成立 综上，01b ≤≤……8分（3）22222(21)(),(),()02101(1)x x e e ax ax f x f x f x ax ax ax ax -+''===⇔-+=++ 有条件知12,x x 为2210ax ax -+=两根，121212,x x x x a+==，且22112212,12ax ax ax ax +=+=1212122112221212()()11222x x x x x x e x e x e e e e f x f x ax ax ax ax ⋅+⋅+=+=+=++ 由121222112()x x x x e x e x x x e+⋅+⋅<+成立，（作差得：12122212(1)()0x x x x eex x +---<）得12222122x x e x e x e e ⋅+⋅<=12()()f x f x e ∴+< (12)或由122x x +=，11(1)1112()()()2x x e x e x f x f x -⋅+⋅+=1-，(可不妨设101x <<)设(1)()()2x x e x e xh x -⋅+⋅=1-(01)x <<2()()()0()2x x x e e h x h x -+'=>⇒1-在(0,1)单调递增，()(1)h x h e <=12()()f x f x e ∴+<成立22（本大题满分10分）解：（1）2(,)(2,)3-∞+∞ …………………..5 （2）设()|||3||3|f x x a x a =---≤- 所以，max ()|3|f x a =- 即：|3|2a -<所以，a 的取值范围为(1,5) (10)23、（本大题满分10分） 解：（1）由柯西不等式得22222()(23)(23)x y x y ++≥+所以，|23|x y +≤23x y +的取值范围为[ (5)（2）2222220a b c a b c ++---=所以，222(1)(1)(1)3a b c -+-+-= 由柯西不等式得，2222222[(1)(1)(1)][2(1)(1)](2)a b c a b c -+-+-+-+-≥--所以，2a b c --≤。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2016届高三上学期期中考试数学（理）试题考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，那么集合 A ． B ． C ． D ． 2．已知不共线的向量，，，则 A ． B ． C ． D ．3．等差数列中，35710133()2()24a a a a a ++++=，则这个数列的前13项和为 A ．13 B ．26 C ．52 D ．156 4．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 A ． B ． C ． D ． 5．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象 关于点对称，则的最小值是 A ． B ．1 C ． D ． 2 6．设，则sin()cos()sin()cos()αππααππα-+-=+--A ．B ．1C ．3D ． -1 7．设是由正数组成的等比数列，为其前项和，已知，则 A ． B ． C ． D ． 8．定义在上的奇函数满足且，则A ． -2B ．0C ．2D ．4 9．已知函数命题:(0,),()02p x f x π∀∈<，则A ．是真命题，00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥ B ．是真命题，:(0,),()02p x f x π⌝∀∈>C ．是假命题，:(0,),()02p x f x π⌝∀∈≥ D ．是假命题，00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥ 10．已知函数(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．11．在中，角的对边分别是，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则的形状是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形12．已知函数，若，且对任意恒成立，则的最大值为P A B C D EA ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．等差数列中，12342,4a a a a +=+=，则 ．14．设为锐角，若则 ． 15．已知向量，，在轴上存在一点使有最小值，则点的坐标是 ．16．在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．已知点是角终边上一点，，定义．对于下列说法：①函数的值域是； ②函数的图象关于原点对称；③函数的图象关于直线对称； ④函数是周期函数，其最小正周期为； ⑤函数的单调递减区间是32,2,.44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦其中正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）已知数列的前项和为，且1110,910n n a a S +==+. （Ⅰ）求证：是等差数列； （Ⅱ）设，求数列的前项和.18．（本题满分12分）已知向量函数．（Ⅰ）求函数的图象的对称中心和单调递增区间；（Ⅱ）在中，角的对边分别是，且()3,1,f C c ab ===且，求的值．19．（本题满分12分）四棱锥P -ABCD 中，直角梯形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，∠APD =60°，P A =CD =2PD =2AB =2，且平面PDA ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（Ⅰ）求证：PD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PD 与平面BDE 所成角的大小．20．（本题满分12分）如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=1，E 为BC 中点． （Ⅰ）求证：C 1D ⊥D 1E ；A 1B 1C 1D 1ABC DE（Ⅱ）在棱AA 1上是否存在一点M ，使得BM ∥平面AD 1E ? 若存在，求的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若二面角B 1-AE -D 1的大小为90°，求AD 的长．21．（本题满分12分） 设函数()()1ln 2++=x a x x f ，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）试讨论函数极值点的个数；（Ⅲ）求证：对任意的，不等式恒成立．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．(本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲已知AB 是半圆O 的直径，AB =4，点C 是半圆O 上一点，过C 作半圆O 的切线CD ，过点A 作AD ⊥CD 于D ，交半圆于E ，DE =1．（Ⅰ）求证：AC 平分∠BAD ； （Ⅱ）求BC 的长．23．(本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2sin ,0,.2πρθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中的参数方程，确定点D 的坐标． 24．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲 （Ⅰ）已知不等式的解集是，求实数的值； （Ⅱ）已知实数满足，求的最大值．参考答案1-6：BABADC 7-12：BAACDB13、 6 14、 15、（3，0） 16、 ①③④ 17．（1）当时，由，得 ，相减得：当时，11210100109a S a ==+=，∴，n n n a a a lg 1)10lg(lg 1+==∴+， ，又是首项为1，公差为1的等差数列. 6‘（2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=111212n n n n b n ，则11111212231n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭L = 12‘18、解：（1）2()2cos 2cos212==+f x x x x x 2‘ 令，，对称中心为4‘ 令222,262πππππ-≤+≤+∈k x k k Z ，,36ππππ-≤≤+∈k x k k Z增区间：,36ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z 6‘（2）()2sin 2136π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭f C C ，， ，132,666πππ∴<+<C ， 8‘ ()2222222cos 2=+-=+-=+-c a b ab C a b a b ab ，，，且，12‘19、解：（1）2,1,60,==∠=oQ PA PD PAD2222cos 3∴=+-⋅∠=AD PA PD PA PD PAD ，，，又平面，平面平面，平面平面，平面6‘ （2），以分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系EDC B AD 1C 1B 1A 1MNz yx MA 1B 1C 1D1ABC D E1(0,0,0),(0,0,1),(0,1,),2D P EB 1(0,1,),2∴==uuu r uu ur DE DB ，设平面的一个法向量为，则1020⎧+=⎪+=y z y ，令， cos ,∴〈〉==uu u r r DP n ，设直线与平面所成的角为，，直线与平面所成的角为 12‘20．方法一： 证明：（1）连D 1C ，长方体中，EC ⊥平面DCC 1D 1，∴EC ⊥DC 1∵AB=AA 1，∴正方形DCC 1D 1中，D 1C ⊥DC 1又EC∩D 1C=C ，∴DC 1⊥平面ECD 1 ∵D 1E 面ECD 1，∴C 1D ⊥D 1E 4‘解：（2）存在点M 为AA 1中点，使得BM ∥平面AD 1E ．证明：取A 1D 1中点N ，连BM ，MN ，NB∵E 为BC 中点，∴ND 1 BE∴四边形BED 1N 是平行四边形，∴BN ∥D 1E 又BN 平面AD 1E ，D 1E 平面AD 1E∴BN ∥平面AD 1E∵MN AD 1，MN 平面AD 1E ，AD 1平面AD 1E ∴MN ∥平面AD 1E ∵BN∩MN=N ，∴平面BMN ∥平面AD 1E∵BM 平面BMN ，∴BM ∥平面AD 1E 此时， 8‘ 方法二：证明：（1）以D 为原点，如图建立空间直角坐标系D-xyz ，设AD=a ， 则D(0,0,0)，A(a ,0,0)，B(a ,1,0)，B 1(a ,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E(,1,0)，∴11(0,1,1),(,1,1)2aC D D E =--=-uuu r uuu r ，∴，∴C 1D ⊥D 1E 4‘解：（2）设，则，∴，1(,1,0),(,0,1)2aAE AD a =-=-uu u r uuu r ，设平面AD 1E 的法向量 ，则1020a AE x y AD ax z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩uu u r uuu r，∴平面AD 1E 的一个法向量∵BM ∥平面AD 1E ，∴ ，即，∴即在存在AA 1上点M ，使得BM ∥平面AD 1E ，此时．8‘解：（3）设平面B 1AE 的法向量 ，1(,1,0),(0,1,1)2aAE AB =-=uu u r uuu r则1020a AE x y AB y z ⎧''⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩uu u r uuu r，∴平面B 1AE 的一个法向量∵二面角B 1-AE-D 1的大小为90°，∴ ⊥ ，∴22420a a ⋅=+-=∵a >0，∴a =2，即AD=2． 12‘21．解：（1）当时，，则，曲线在原点处的切线方程为 2‘（２）()1,122122'->+++=++=x x a x x x a x x f ，令()1,222->++=x a x x x g 当时，，所以０，则０，所以在上为增函数，所以无极值点； 当时，，所以０，则０，所以在上为增函数， 所以无极值点； 当时，，令０，则， 当时，，，此时有２个极值点； 当时，，，此时有１个极值点； 综上：当时，无极值点； 当时，有２个极值点；当时，有１个极值点； 8‘ （３）对于函数，令函数()332()ln(1)h x x f x x x x =-=-++则()32213(1)3211x x h x x x x x +-'=-+=++，，所以函数在上单调递增， 又时，恒有 即恒成立. 取，则有()()321111111ln +-+>⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n 恒成立， 即不等式恒成立. 12‘22.解：(1)连接OC, 因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA因为CD 为半圆O 的切线,所以OC ⊥CD,因为AD ⊥CD,所以OC ∥AD,所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD, 所以AC 平分∠BAD………………5分 (2)连接CE,有(1)知∠OAC=∠CAD,所以BC=CE.因A,B,C,D 四点共圆,故∠ABC=∠CED,因为AB 是半圆O 的直径, 所以∠ACB 是直角, Rt △CDE 相似于Rt △ACB,DE:CE=CB:AB,BC=2.………………10分23. 解 (I)半圆C 的普通方程为; []2220,0,1,x y y x +-=∈ ………………2分半圆C 的参数方程为cos ,,1sin .22x y αππαα=⎧⎛⎫⎡⎤∈-⎨⎪⎢⎥=+⎣⎦⎝⎭⎩为参数 ………………5分(II)设点D 对应的参数为,则点D 的坐标为且 由(1)可知半圆C 的圆心是C(0,1),因半圆C 在D 处的切线与直线垂直,故直线DC 的斜率与直线的斜率相等,(1sin )1tan cos ααα+-==即,,,226πππαα⎡⎤∈-∴=⎢⎥⎣⎦………………8分所以点D 的坐标为3,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭………………10分24.解 (I)28,80,8+≤++≥≥-x t t t t 得所以 ,828,44,t x t t t x --≤+≤+--≤≤由的解集是得(II)由柯西不等式得()()222221491234923y z y z x xx y z ⎛⎫⎛⎫++++≥++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()228,77x y z x y z ≥++≤++ 当且仅当320123zy x ==>即22224949y z y z x x ==++=>0且, 亦即x y z ===时()。

哈三中2016—2017学年度上学期 高三学年期中考试 数学(理科) 试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． ︒15sin ︒+15cos 的值为A ．22 B ．22- C ．26D ． 26-2. 已知向量=a ),3,2(=b )1,(x ，若b a ⊥，则实数x 的值为A.23 B.23- C. 32 D. 32- 3. 设B A ,是两个集合，则“A B A = ”是“B A ⊇”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 若等差数列{}n a 满足π41371=++a a a ，则7tan a 的值为A.3-B.33-C.3±D.3 5. 将函数)62cos()(π-=x x f 的图象向右平移12π个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程可以是A.6π=x B. 4π=x C. 3π=x D. 12π=x6. 在边长为4的菱形ABCD 中，︒=∠60BAD ,E 为CD 的中点，则=⋅−→−−→−BD AEA.4B.8C.6-D.4-7. 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若C b a cos 2=，则ABC ∆的形状是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形8. 设P 为ABC ∆所在平面内一点,且=++−→−−→−−→−PC PB PA 220,则PAC ∆的面积与ABC∆的面积之比等于A ．14BC D ．不确定9． 函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤+-=01lg 02122x x x x x x f 的零点个数为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10. 已知31)cos(,31cos -=+=βαα，且)2,0(,πβα∈，则=-)cos(βα A.21-B. 21C. 2713D. 272311．在ABC ∆中,⊥-)3(，则角A 的最大值为A ．6π B ．4πC ．3π D ．2π12.已知O 是锐角ABC ∆的外接圆的圆心,且4A π∠=,若cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=,则m =A.21 B. 22 C. 31D. 33第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13. 已知a ),2,1(=b ()1,1=,则a 在b 方向上的投影为 .14. 已知,3)4tan(=+θπ则θθ2cos 22sin -= .15. 已知,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是 .16. 设ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为a b c 、、，且2,sin sin sin 2=+=a C B A ,则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知m (),1,2a ==n ()C c b c o s ,2-，且n m //.（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若,3=a ，求c b +的取值范围.18．（本小题满分12分）若向量=a ),sin x x ωω，=b ()sin ,0x ω，其中0ω>，记函数()f x ()12=+⋅-a b b .若函数()f x 的图象与直线y m =（m 为常数）相 切，并且切点的横坐标依次成公差是π的等差数列. （Ⅰ）求()f x 的表达式及m 的值； （Ⅱ）将()f x 的图象向左平移6π个单位，再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）后得到()y g x =的图象， 求()y g x =在]2,0[π上的值域.19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知22=a ，972cos -=A ，1-=⋅AC AB .（Ⅰ）求b 和c ； （Ⅱ）求()B A -sin 的值.20.（本小题满分12分）已知函数()()3log 91xf x mx =++为偶函数，()93x xng x +=为奇函数.（Ⅰ）求m n -的值；（Ⅱ）若函数()y f x =与a x g y x33log ]43)([log +-+=-的图象有且只有一个交点，求实数a 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()1ln )(--=x a x x f ，其中a 为实数. （Ⅰ）讨论并求出()x f 的极值；（Ⅱ）在1a <时，是否存在1m >，使得对任意的()1,x m ∈恒有()0>x f ，并说明理由；(III) 确定a 的可能取值，使得存在1n >，对任意的()n x ,1∈，恒有()()21-<x x f .请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x ,(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为22)4cos(=-πθρ.（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值.23. （本小题满分10分）已知c b a 、、均为正数．（Ⅰ）求证：22211a b a b ⎛⎫+++≥ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）若194=++c b a ，求证：941100a b c++≥.理科答案一、选择题1-12CBCDA ACBDD AB 二、填空题13.223 14.54- 15.4 16.3 三、解答题 17.（1））3π（2）]323，（ 18.（1）)62sin()(π-=x x f ，1±=m（2）[]2,1-19. （1）3==c b（2）935 20. （1）0（2）1>a21.（1） 当0≤a 时，没有极值；当0>a 时，有极大值a a af ln 1)1(--=，没有极小值. （2） 存在； （3） 1=a22.（1）04=-+y x （2）22210+23.略。

2016-2017学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）sin15°+cos15°的值为（）A．B．C．D．2．（5分）已知向量=（2，3），，若⊥，则实数x的值是（）A．B．C．D．3．（5分）设A，B是两个集合，则“A∪B=A”是“A⊇B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且a1+a7+a13=4π，则tana7=（）A．B．C．D．5．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程可以是（）A．B．C．D．6．（5分）在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则•=（）A．4 B．8 C．﹣6 D．﹣47．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2bcosC，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形8．（5分）设P为△ABC所在平面内一点，且2+2+=，则△PAC的面积与△ABC的面积之比等于（）A．B．C．D．不确定9．（5分）函数f（x）=的零点个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（5分）已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α，β∈（0，），则cos（α﹣β）的值等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．11．（5分）在△ABC中，（）⊥，则角A的最大值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知O是锐角△ABC的外接圆的圆心，且∠A=，若+=2m，则m=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）已知向量=（1，2），=（1，1），则在方向上的投影为．14．（5分）已知tan（+θ）=3，则sin2θ﹣2cos2θ的值为．15．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值为．16．（5分）设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且2sinA=sinB+sinC，a=2，则△ABC面积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量=（2a，1），=（2b﹣c，cosC），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求b+c的取值范围．18．（12分）若向量=，=（sinωx，0），其中ω＞0，记函数f（x）=（+）•﹣．若函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差是π的等差数列．（Ⅰ）求f（x）的表达式及m的值；（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）后得到y=g（x）的图象，求y=g（x）在上的值域．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．（Ⅰ）求b和c；（Ⅱ）求sin（A﹣B）的值．20．（12分）已知函数f（x）=log3（9x+1）+mx为偶函数，g（x）=为奇函数．（Ⅰ）求m﹣n的值；（Ⅱ）若函数y=f（x）与的图象有且只有一个交点，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a为实数．（Ⅰ）讨论并求出f（x）的极值；（Ⅱ）在a＜1时，是否存在m＞1，使得对任意的x∈（1，m）恒有f（x）＞0，并说明理由；（Ⅲ）确定a的可能取值，使得存在n＞1，对任意的x∈（1，n），恒有|f（x）|＜（x﹣1）2．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．23．已知a，b，c均为正数．（Ⅰ）求证：a2+b2+（）2≥4；（Ⅱ）若a+4b+9c=1，求证：≥100．2016-2017学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）sin15°+cos15°的值为（）A．B．C．D．【解答】解：sin15°+cos15°=（sin15°+cos15°）=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin（15°+45°）=sin60°=×=．故选：C．2．（5分）已知向量=（2，3），，若⊥，则实数x的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵向量=（2，3），，由⊥，得2x+3=0，解得：．故选：B．3．（5分）设A，B是两个集合，则“A∪B=A”是“A⊇B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若A∪B=A，则B⊆A，反之若B⊆A，则A∪B=A成立，即A∪B=A”是“B⊆A”的充要条件，故选：C．4．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且a1+a7+a13=4π，则tana7=（）A．B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴a1+a13=2a7，又a1+a7+a13=4π，∴3a7=4π，即a7=，则tana7=tan=tan（π+）=tan=．故选：A．5．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程可以是（）A．B．C．D．【解答】解：将函数y=cos（2x﹣）图象向右平移个单位，所得函数图象对应的函数的解析式为y=cos[2（x﹣）﹣]=cos（2x﹣），令2x﹣=kπ，k∈Z，解得：x=+，k∈Z，当x=0时，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是x=．故选：A．6．（5分）在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则•=（）A．4 B．8 C．﹣6 D．﹣4【解答】解：如图，根据条件：∠ADC=120°，；且，；∴==16﹣4﹣8=4．故选：A．7．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2bcosC，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【解答】解：因为在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=2bcosC，由余弦定理可知：a=2b，可得b2﹣c2=0，∴b=c．所以三角形是等腰三角形．故选：D．8．（5分）设P为△ABC所在平面内一点，且2+2+=，则△PAC的面积与△ABC的面积之比等于（）A．B．C．D．不确定【解答】解：∵2+2+=，∴﹣=+=，则D在AC上，且AD：CD=1：2，故PD：BD=2：5，即以AC为底时，△PAC的高是△ABC的，即△PAC的面积与△ABC的面积之比等于，故选：B．9．（5分）函数f（x）=的零点个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：方程|lgx|=1，（x＞0）有两个根10、；方程x2﹣2|x|+=0 （x＜0）⇒x2+2x+=0 （x＜0）⇒x=＜0，故有4个根，所以函数有4个零点，故选：D．10．（5分）已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α，β∈（0，），则cos（α﹣β）的值等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：∵α∈（0，），∴2α∈（0，π）．∵cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，∴sin2α==，而α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）==，∴cos（α﹣β）=cos[2α﹣（α+β）]=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）=（﹣）×（﹣）+×=．故选：D．11．（5分）在△ABC中，（）⊥，则角A的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，由于（）⊥，则（）•=（）•（）=0，即﹣4+3=0，即c2﹣4bc•cosA+3b2=0．解得cosA==（）≥，当且仅当时，即c= b 时，等号成立．故cosA的最小值为，故A的最大值为，故选：A．12．（5分）已知O是锐角△ABC的外接圆的圆心，且∠A=，若+=2m，则m=（）A．B．C．D．【解答】解：取AB中点D，则有=+，代入已知式子可得+=2m（+），由⊥，可得•=0，∴两边同乘，化简得：2+•=2m（+）•=2m•=m2，即c2+bc•cosA=mc2，由正弦定理化简可得sin2C+sinBsinC•cosA=sin2C，由sinC≠0，两边同时除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC，∴m===sinA=sin =故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）已知向量=（1，2），=（1，1），则在方向上的投影为．【解答】解：向量=（1，2），=（1，1），∴•=1×1+2×1=3，||==；∴在方向上的投影为：||cos＜，＞===．故答案为：．14．（5分）已知tan（+θ）=3，则sin2θ﹣2cos2θ的值为．【解答】解：由，得，解得．所以=．故答案为：﹣15．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值为4．【解答】解：考察基本不等式x+2y=8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x=2y 时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时即x=2，y=1时取等号）则x+2y的最小值是4．故答案为：4．16．（5分）设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且2sinA=sinB+sinC，a=2，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：∵2sinA=sinB+sinC，a=2，∴由正弦定理可得：2a=b+c=4，可得：bc≤4．∴两边平方可得：b2+c2+2bc=16，解得：b2+c2=16﹣2bc，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：22=b2+c2﹣2bccosA=16﹣2bc﹣2bccosA，∴解得：bc=≤4，可得：cosA≥，解得：A∈（0，]，∴sinA∈（0，]∴S=bcsinA≤=．△ABC故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量=（2a，1），=（2b﹣c，cosC），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求b+c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）向量=（2a，1），=（2b﹣c，cosC），且∥；∴2acosC﹣（2b﹣c）=0，即2acosC=2b﹣c；由正弦定理得，2sinAcosC=2sinB﹣sinC，即2sinAcosC=2sin（A+C）﹣sinC，∴2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC﹣sinC，化简得2cosAsinC=sinC，即cosA=；又A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）△ABC中，A=，a=，设△ABC外接圆的直径为2r，由正弦定理得2r===2，∴b+c=2sinB+2sinC=2[sin（120°﹣C）+sinC]=4sin60°cos（60°﹣C）=2cos（60°﹣C）；∵﹣60°＜60°﹣C＜60°，∴1≥cos（60°﹣C）＞，∴2≥2cos（60°﹣C）＞，即b+c的取值范围是（，2]．18．（12分）若向量=，=（sinωx，0），其中ω＞0，记函数f（x）=（+）•﹣．若函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差是π的等差数列．（Ⅰ）求f（x）的表达式及m的值；（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）后得到y=g（x）的图象，求y=g（x）在上的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=，=（sinωx，0），∴函数f（x）=（+）•﹣=+﹣=+sin2ωx﹣=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx），∵函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切时，切点的横坐标依次成公差是π的等差数列．故T=π，m=±1，即2ω=2，ω=1，∴，m=±1（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移个单位，可得的图象，再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）后得到y=g（x）=的图象，当x∈时，∈，故当=即x=时，函数最最大值2，当=即x=时，函数最最小值﹣1，故y=g（x）在上的值域为：[﹣1，2]19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．（Ⅰ）求b和c；（Ⅱ）求sin（A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，cos2A=1﹣2sin2A=﹣，解得：sinA=，∵，可得：bccosA=﹣1＜0，可得：cosA=﹣=﹣，解得：bc=3，①又∵，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得8=b2+c2+2，∴解得：b2+c2=6，可得：（b+c）2﹣2bc=（b+c）2﹣6=6，解得：b+c=2，②∴联立①②解得：b=c=．（Ⅱ）∵，b=c=，sinA=，∴sinB==，cosB==，∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣（﹣）×=．20．（12分）已知函数f（x）=log3（9x+1）+mx为偶函数，g（x）=为奇函数．（Ⅰ）求m﹣n的值；（Ⅱ）若函数y=f（x）与的图象有且只有一个交点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=log3（9x+1）+mx为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），则log3（9﹣x+1）﹣mx=log3（9x+1）+mx，即2mx=log3（9﹣x+1）﹣log3（9x+1）又右边=log3﹣log3（9x+1）=log39﹣x=log33﹣2x=﹣2x，∴2mx=﹣2x，解得m=﹣1，∵g（x）=为奇函数．∴g（0）=0，则g（0）==0，解得n=﹣1，∴m﹣n=0，即m﹣n的值0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=log3（9x+1）﹣x，g（x）=，则=log3（+﹣4）+log3a=log3（3x﹣4）+log3a=log3（3x﹣4）a，∴y=log3（3x﹣4）a，且（a＞0，3x＞4）即f（x）=log3（9x+1）﹣x与y=log3（3x﹣4）a的图象有且只有一个交点，∴log3（9x+1）﹣x=log3（3x﹣4）a有且仅有一个解，∵log3（9x+1）﹣x=log3（9x+1）﹣log33x=，∴3x+=（3x﹣4）a有且仅有一解，设t=3x，t＞4，代入上式得，，则a==，令y=，则y′==，∵函数y=﹣2t2﹣t+2在（4，+∞）上递减，且y＜0，∴y′＜0，则函数y=在（4，+∞）上递减，∴函数y=在（4，+∞）上的值域是（1，+∞），故实数a的取值范围是a＞0．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a为实数．（Ⅰ）讨论并求出f（x）的极值；（Ⅱ）在a＜1时，是否存在m＞1，使得对任意的x∈（1，m）恒有f（x）＞0，并说明理由；（Ⅲ）确定a的可能取值，使得存在n＞1，对任意的x∈（1，n），恒有|f（x）|＜（x﹣1）2．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣a（x﹣1），∴f'（x）=﹣a，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，函数在定义域（0，+∞）递增，没有极值；当a＞0时，令f'（x）=0，则x=，当x∈（0，）时，f'（x）＞0，函数为增函数，当x∈（，+∞）时，f'（x）＜0，函数为减函数，故当x=时，函数有极大值，没有极小值．（Ⅱ）在a＜1时，存在m＞1，使得对任意的x∈（1，m）恒有f（x）＞0，理由如下：当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，函数在（1，m）递增，此时f（x）＞f（1）=0，当0＜a＜1时，＞1，当x∈（1，m）⊂（1，）时，f（x）＞f（1）=0，综上可得：在a＜1时，存在m＞1，使得对任意的x∈（1，m）恒有f（x）＞0，（Ⅲ）当a＞1时，由（I）知，对于任意x∈（1，+∞），|f（x）|=a（x﹣1）﹣lnx，令M（x）=a（x﹣1）﹣lnx﹣（x﹣1）2，x∈（1，+∞），则有M′（x）=，故当x∈（1，）时，M′（x）＞0，M（x）在[1，）上单调递增，故M（x）＞M（1）=0，即|f（x）|＞（x﹣1）2，∴满足题意的t不存在．当a＜1时，由（Ⅱ）知存在x0＞0，使得对任意的任意x∈（0，x0），|f（x）|=lnx ﹣a（x﹣1），令N（x）=lnx﹣a（x﹣1）﹣（x﹣1）2，x∈[1，+∞），则有N′（x）=，故当x∈（1，）时，N′（x）＞0，M（x）在[1，）上单调递增，故N（x）＞N（1）=0，即f（x）＞（x﹣1）2，记x0与中较小的为x1，则当x∈（1，x1）时，恒有|f（x）|＞（x﹣1）2，故满足题意的t不存在．当a=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）|=x﹣1﹣lnx，令H（x）=x﹣1﹣lnx﹣（x﹣1）2，x∈[1，+∞），则有H′（x）=，当x＞1，H′（x）＜0，∴H（x）在[1，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（1）=0，故当x＞1时，恒有|f（x）|＜（x﹣1）2，此时，任意实数t满足题意．综上，a=1．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）∵直线l 的极坐标方程为ρcos （θ﹣）=2，即 ρcosθ+ρsinθ=4，化为直角坐标方程为 x +y ﹣4=0． （Ⅱ）设点P （2cosα，sinα），点P到直线l 距离d==，其中，sinβ=，cosβ=．故当sin （α+β）=﹣1时，d 取得最大值为=+2．23．已知a ，b ，c 均为正数． （Ⅰ）求证：a 2+b 2+（）2≥4； （Ⅱ）若a +4b +9c=1，求证：≥100．【解答】证明：（Ⅰ）∵a ，b 均为正数， ∴a 2+b 2≥2ab ，≥， ∴a 2+b 2+≥2ab +， ∴a 2+b 2+（）2≥2ab +≥4，当且仅当a=b=时，等号成立．（Ⅱ）∵a +4b +9c=1，∴=（a +4b +9c ）（）=9+16+9+++≥34+24+18+24=100，当且仅当a=3b=9c 时等号成立．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x第21页（共21页）(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

黑龙江省哈尔滨师大附中2017届高三上学期期中考试（理） 本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分150分．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米规格的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卷面清洁，不折叠，不破损．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分.共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}512,R ,1,Z 1S x x x T xx x ⎧⎫=-≤∈=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则S T ⋂等于( ) A. {}03,Z x x x ≤≤∈ B. {}13,Z x x x -≤≤∈C. {}14,Z x x x -≤≤∈D. {}1,Z x x x -≤<0∈ 2.已知复数22i 1i z -=+，则z 的共轭复数的虚部等于( ) A.2i B. 2i - C.2 D. 2-3.已知11001,cos 1M dx N xdx x ==+⎰⎰，由图示程序框图输出的S 为( ) A.1 B.ln2 C. 2π D.04.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信 息.设定原信息为{}012,0,1i a a a a ∈()0,1,2i =，传输信息为00121h a a a h ，其中 001102,,h a a h h a =⊕=⊕⊕运算规则为00⊕=0,011,101,110⊕=⊕=⊕=.例如原信息 为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错，则下 列接受信息一定有误的是( )A.11010B.01100C.10111D.000115.函数()()sin 0,2f x x ⎛⎫=+><⎪⎝⎭πωϕωϕ的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，则只要将()f x 的图象( )A.向右平移6π个单位 B. 向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位 D. 向左平移12π个单位 6.函数()21cos 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象的大致形状是( )7.一个多面体的直观图和三视图如图所示，M 是AB 的中点.一只蝴蝶在几何体ADF BCE - 内自由飞翔，它飞入几何体F AMCD -内的概率为( )A. 34B. 23C. 13D. 128.已知双曲线()22122:10,0y x C a b a b-=>>的离心率为2，若抛物线()22:20C y px p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离是2，则抛物线2C 的方程是( )A. 28y x =B. 2y =C. 2y x =D. 216y x = 9.设ABC ∆中，AD 为内角A 的平分线，交BC 边于点D ，3,2,AB AC BAC ==∠=uuu r uuu u r60°，则AD BC ⋅=uuu r uu u r ( )A. 85-B. 95C. 95-D. 8510.定义在R 上的函数()f x 满足()()()04f x f x f '+>1,=，则不等式()3x x e f x e >+ （其中e 为自然对数的底数）的解集为( )A.()0,+∞B.()(),03,-∞⋃+∞C.()(),00,-∞⋃+∞D.()3,+∞第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：将第II 卷答案用0.5mm 规格的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.将一批工件的尺寸（在40~100mm 之间）分成六段，即[)[)[)40,50,50,60,,90,100⋅⋅⋅，得到如图的频率分布直方图.图中实数a 的值为________.12.若()5234501234523x a a x a x a x a x a x -=+++++，则122a a +345345a a a +++=__________.13.已知直线():10R l x ay a +-=∈是圆22:421C x y x y +--+=0的对称轴，过点 ()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =__________.14.已知实数,x y 满足1,21,.y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于_________.15.已知R a ∈，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c ，且满足()2cos cos 0c a B b A --=.（1）求角B 的大小；（2sin 6A C ⎛⎫+-⎪⎝⎭π的取值范围.17. （本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB AC AA ===14,BC A =在底面ABC 的射影是线段BC 的中点O . （1）证明在侧棱1AA 上存在一点E ，使得OE ⊥平面11BB C C ,并求出AE 的长；（2）求二面角111A BC C --的余弦值.18. （本小题满分12分）在集合{}1,2,4,8,16,32,64的所有非空真子集中等可能地取出一个.（1）求所取的子集中元素从小到大排列成等比数列的概率；（2）记所取出的子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且有()1N n n S a n *=-∈， 点(),n n a b 在直线y nx =上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试比较22n n n T +与的大小，并加以证明.20. （本小题满分13分）已知函数()ln b f x x ax x =-+，对任意的()0,x ∈+∞，满足()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，其中,a b 为常数.（1）若()f x 的图象在1x =处的切线经过点()0,5-，求a 的值；（2）已知01a <<，求证：202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭； （3）当()f x 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围.21. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:2412x y C +=1，设()00,R x y 是椭圆C 上的任一点，从原点O 向圆(:R x -)()22008x y y +-=作两条 切线，分别交椭圆于P ,Q .（1）若直线OP ,OQ 互相垂直，求圆R 的方程；（2）若直线OP ,OQ 的斜率存在，并记为12,k k ，求证：12210k k +=；（3）22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.。

黑龙江省哈师大附中 2017届高三上学期期中考试数学试题（理科）一、选择题（每小题5分） 1． 已知i 是虚数单位，()()3i 2+i =i--1（ ）A ．3+iB ．3i --C ．3+i -D ．3i -2． 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB = ,(1,3)AC =，则BD 等于 ）A ．(2,4)--B ．(3,5)--C ．(3,5)D ．(2,4) 3． 等差数列{}n a 中，35791120a a a a a ++++=，则8912a a -= （ ）A ．1B ．2C ．3D ．44． 函数1112xy +⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．(),1-∞B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5． 已知向量,a b 均为单位向量，若它们的夹角为60，则3a b - 等于 （ ）ABCD ．46． 函数2()25f x lnx x x =-++的零点个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．37． 已知=2tan α，则22sin 1sin 2αα+= （ ）A ．53B ．134-C ．135D ．1348． 等比数列{}n a 中，2580a a +=，则62S S = （ ）A ．10-B ．10C ．20D ．219． 函数2()12sin ()4--f x x π=是（ ）A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数10． 等差数列{}n a 的前n 项和满足1020:S S =，下列结论正确的是（ ） A ．15S 是n S 中最大值 B ．15S 是n S 中最小值C ．150S =D ．300S =11． 设函数()2cos(2)4f x x π=-，将()y f x =的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位，使得到的图像关于原点对称，则ϕ的最小值为 （ ）A ．8πB ．38π C ．4π D ．34π12． 设A ．B ．C 是半径为1的圆上三点，若AB =AB AC ⋅的最大值为（ ）A ．B ．32C ．3D 二、填空题（每小题5分）13． 已知角α的终边经过点P (,6)x -，且35tan α=-，则__________x =．14． 已知(1,2),(2,)a b λ=-=，若a 与b夹角为锐角，则实数λ的取值范围为__________．15． 在ABC ∆中，E ．F 分别为边AB ．AC 上的点，且,2AE EB AF FC ==，若BC mCE nBF=+，则__________m n +=． 16． 在,90Rt ABC C ∆∠=中，且A ∠．B ∠．C ∠所对边分别为,,a b c ，若a b cx +=，则实数x 的取值范围为__________． 三、解答题（共70分）17． （10分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为A ∠．B ∠．C ∠的对边，已知-tanB tanA tanB=-⋅，c =ABC ∆面积为2． （1）求C ∠的大小; （2）求a b +的值．18．（12分） 数列{}n a 的前n 项和21n S n =+． （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设*11()n n n b n N a a +=∈⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）设a R ∈,cos 2f x x(asinx -cosx)+cos (-x)2π（）=，满足()(0)3f f π-=． （1）求()f x 的最大值及此时x 取值的集合; （2）求()f x 的增区间．20．（12分）在数列{}n a 中，*112,21,n n a a a n n N +==-+∈． （1）证明数列{}n a n -是等比数列;（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求使12n n S S +>的最小n 值．21．（12分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（1）求面积S 以x 为自变量的函数式,并写出其定义域; （2）求面积S 的最大值．22．（12分）已知函数2()2()f x x x alnx a R =++∈． （1）当4a =-时，求()f x 的最小值;（2）若函数()f x 在区间(0,1)上为单调函数,求实数a 的取值范围; （3）当1t ≥时,不等式(21)2()3f t f t -≥-恒成立,求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题13．10 14．{}14-λλλ<≠且 15．1416．(1三、解答题 17．解：（1）由已知得：tan tan 1tan tan A Btan(A+B)=A B+=- t a n C 3∴()0,C π∠∈3C =π∴∠（2）由余弦定理得：2222cos 1sin 25.c a b ab CS ab C a b =+-=∴+=18．解:（1）由已知：当1n =时 112a S == 当2n ≥时 121n n n a S S n -=-=-∴数列{}n a 的通项公式为2(1)21(2)n n a n n =⎧=⎨-≥⎩． （2）由（1）知: 1(1)61111(2)(21)(21)22121n n b n n n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪=-≥ ⎪⎪-+-+⎝⎭⎩当1n =时 1116T b == 当2n ≥时1211111111623557212111342n n T b b b n n n =++=⎛⎫+-+-++- ⎪-+⎝⎭=-+∴{}n b 的前n 项和11342n T n =-+． 19．解:（1）22()cos sin cos sin 1sin 2cos 22()(0)3f x a x x x x a x x f f a π=-+=--=∴=()cos 2sin()6f x x x x π∴=-=-当22()62x k k Z πππ-=+∈时 sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ()f x ∴的最大值为2,取最大值时x 的集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．(2)222()262k x k k Z πππππ-<-<+∈所以，函数()f x 的单调递增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 20．（1）证明：由已知 1110a -=≠由 121n n a a n +=-+， 得1(1)2(2n n n n a n a n a (n+1)a n+-+=--∴=-）{}n a n ∴-是等比数列．（2）解：由（1）知：1122n n n n a n a n ---=∴=+ n (1)=212n n n S +-+215202n n n n S S +---=>使12n n S S +>的最小n 值为3．21． 解: 以AB 所在的直线为x 轴,以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系．椭圆方程为222214y x r r+= 设(,)C x y则y = （1）1(22)2(2S x r r x =+⋅=+ 定义域为 {}0x x r <<． （2） 由（1）知2(S r x =+=设222g(x)=(r+x)(r -x ) 则22()(2)g (x)x r x r '=-+- 由0g (x)'=得2r x =当02r x << 0g (x)'> 当2rx r << 0g (x)'< ∴当2r x =时g(x)取最大值,S 取最大值,22．解:（1） 当4a =-时, 2()24ln f x x x x =+- 2(2)(1)()x x f x x+-'=当1x =时 函数()f x 取最小值3．（2） 222()(0)x x af x x x++'=> 设222g(x)=x x a ++ 依题意 00(1)0g()g ≥≤或 得 04a a ≥≤-或．（3） 当1t ≥时 (21)2()3f t f t -≥-恒成立⇔ 当1t ≥时 2221242ln0t t t a t --++≥ 恒成立 设2221()242lnt g t t t a t-=-++ 则 []1()2(1)222(21)(21)(21)a t g t t t t a t t t t ⎡⎤-'=--=--⎢⎥--⎣⎦1(1)1t t t ≥∴-≥（1）当2a ≤时，1()0t g t '≥≥则 ()g t 在[)1,+∞单调递增1()(1)0t g t g ∴≥≥=时（2）当2a >时，设()2(21)h t t t a =--(1)20h a =-< ()0h t = 有两个根，一个根大于1，一个根小于1．不妨设 121t t <<当()21,t t ∈时 ()0h t < 即()0g t '< ()g t ∴在()21,t 单调递减 ()(1)0g t g <= 不满足已知条件．综上:a 的取值范围为{}2a a ≤．。