lesson 19 窗函数法的设计步骤解析

FIR 数字滤波器的设计方法IIR 数字滤波器最大缺点：不易做成线性相位，而现代图像、语声、数据通信对线性相位的要求是普遍的。

正是此原因，使得具有线性相位的FIR 数字滤波器得到大力发展和广泛应用。

1． 线性相位FIR 数字滤波器的特点FIR DF 的系统函数无分母，为∑∑-=--=-==11)()(N n n N i ii z n h zb z H ，系统频率响应可写成：∑-=-=10)()(N n jwn jwe n h e H ，令)(jw e H ＝)()(w j e w H Φ，H(w)称为幅度函数，)(w Φ称为相位函数。

这与模和幅角的表示法有所不同，H(w)为可正可负的实数，这是为了表达上的方便。

如某系统频率响应)(jw e H ＝wj we34sin -，如果采用模和幅角的表示法，w 4sin 的变号相当于在相位上加上)1(ππj e =-因，从而造成相位曲线的不连贯和表达不方便，而用)()(w j e w H Φ这种方式则连贯而方便。

线性相位的FIR 滤波器是指其相位函数)(w Φ满足线性方程：)(w Φ＝βα+-w （βα,是常数）根据群时延的定义，式中α表示系统群时延，β表示附加相移。

线性相位的FIR 系统都具有恒群时延特性，因为α为常数，但只有β＝0的FIR 系统采具有恒相时延特性。

问题：并非所有的FIR 系统都是线性相位的，只有当它满足一定条件时才具有线性相位。

那么应满足什么样的条件？从例题入手。

例题：令h(n)为FIR 数字滤波器的单位抽样相应。

N n n ≥<或0时h(n)=0，并假设h(n)为实数。

（a ） 这个滤波器的频率响应可表示为)()()(w j jwew H e H Φ=（这是按幅度函数和相位函数来表示的，不是用模和相角的形式），)(w H 为实数。

（N 要分奇偶来讨论） （1） 当h(n)满足条件)1()(n N h n h --=时，求)(w H 和)(w Φ（π≤≤w 0） （2） 当h(n)满足条件)1()(n N h n h ---=时，求)(w H 和)(w Φ（π≤≤w 0）（b ） 用)(k H 表示h(n)的N 点DFT（1） 若h(n)满足)1()(n N h n h ---=，证明H(0)=0； （2） 若N 为偶数，证明当)1()(n N h n h --=时，H(N/2)=0。

fir窗函数设计法
FIR（有限脉冲响应）滤波器是一种常见的数字滤波器，而窗函数设计法是一种用于设计FIR滤波器的方法。

窗函数设计法的基本思想是将所需的频率响应与理想的频率响应进行比较，并使用窗函数来调整滤波器的频率响应以满足设计要求。

下面我将从几个方面来详细介绍窗函数设计法。

首先，窗函数设计法的第一步是选择一种窗函数，常见的窗函数包括矩形窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗等。

每种窗函数都有其特定的频域特性和时域特性，选择合适的窗函数对于滤波器设计至关重要。

其次，一旦选择了窗函数，接下来需要确定滤波器的理想频率响应。

这包括确定所需的通带增益、阻带衰减、通带边缘频率和阻带边缘频率等参数。

这些参数将直接影响到窗函数的选择以及最终设计出的滤波器性能。

然后，利用所选的窗函数对理想频率响应进行加权，得到实际的频率响应。

这一步通常涉及到将窗函数与理想频率响应进行卷积运算，得到最终的滤波器频率响应。

最后，通过反变换（如离散傅立叶变换）将频率域的滤波器响应转换为时域的脉冲响应，即得到了滤波器的系数。

这些系数将用于实现滤波器的数字滤波器算法，从而实现对信号的滤波处理。

总的来说，窗函数设计法是一种常用的FIR滤波器设计方法，通过选择合适的窗函数并将其应用于理想频率响应上，可以设计出满足特定要求的数字滤波器。

在实际应用中，工程师们需要根据具体的设计要求和性能指标来选择合适的窗函数，并进行频域和时域的转换，以得到最终的滤波器系数。

希望这个回答能够帮助你更好地理解窗函数设计法。

7.3 窗函数设计法
（以低通数字滤波器为例）
一、设计步骤
1.确定滤波器的频率响应H d(e jw)]的表达式
一、设计步骤
2.求出此理想滤波器对应的单位抽样响应序列h d(n)
所得到的h d(n)是一个无限长序列。

一、设计步骤
3.将无限长h d(n)截取为长度为Ｎ的有限长h(n)
一、设计步骤
4.选取窗函数w(n)及确定长度Ｎ
⏹矩形窗
⏹三角形窗
⏹汉宁窗
4.选取窗函数w(n)及确定长度Ｎ
1.根据阻带最小衰减选择w(n)
2.根据过渡带宽及w(n)确定Ｎ
所得到的h(n)的频谱与h d(n)的频谱会不会一样？
一、设计步骤
５.求H(e jw)=DTFT[h(n)]，检验是否满足设计要求，如不满足，改变w(n)和Ｎ，重新设计。

二、设计举例
设计过程
1.按照任务要求，确定滤波器的性能要求。

设计过程
2.用一个因果稳定的线性移不变系统函数去逼近这一性能要求。

（采用窗函数法）
≤
取N为33，
设计过程
2.用一个因果稳定的线性移不变系统函数去逼近这一性能要求。

（采用窗函数法）
设计过程
3.利用有限精度算法来实现这个系统函数，这里包括选择运算结构（第五章），选择合适的字长等。

（采用横截型）
设计过程
４.实际的技术实现。

（软件法、硬件法或DSP芯片法）
这里采用软件方法，源代码参见DSP71.c。

3.1 窗函数法设计FIR 滤波器窗函数设计法又称为傅里叶级数法。

这种方法首先给出()j d H e Ω，()j d H e Ω表示要逼近的理想滤波器的频率响应，则由IDTFT 可得出滤波器的单位脉冲响应为1[]()2j jk d d h k H e e d πππΩΩ-=Ω⎰(3-1)由于是理想滤波器，故[]d h k 是无限长序列。

但是我们所要设计的FIR 滤波器，其h[k]是有限长的。

为了能用FIR 滤波器近似理想滤波器，需将理想滤波器的无线长单位脉冲响应[]d h k 分别从左右进行截断。

当截断后的单位脉冲响应[]d h k 不是因果系统的时候，可将其右移从而获得因果的FIR 滤波器。

另一种设计方案是将线性相位因子(0.5)j M e β-Ω+加入到理想滤波器的频率响应中，然后利用IDTFT 计算出[]d h k 后，取[]d h k 在0≦k ≦M 范围的值为FIR 滤波器单位脉冲响应。

理想滤波器的频率响应()j d H e Ω和设计出的滤波器的频率响应()j d H e Ω的积分平方误差定义为221()()2j j d H eH ed ππεπΩΩ-=-Ω⎰(3-2)2ε也可以表示为22[][]d k h k h k ε∞=-∞=-∑(3-3)12221[][][][]Md d d k k k M h k h k h k h k -∞=-∞==+=+-+∑∑∑上式中的第一项和第三项与所设计出的滤波器参数是没有关系的，为了使上式中的第二项达到最小，可选择 [][],0d h k h k k M=≤≤(3-4)所以用上面的方法得出的滤波器是在积分平方误差最小意义下的最佳滤波器。

Gibbs 现象就是理想滤波器的单位脉冲响应[]d h k 截断获得的FIR 滤波器的幅度函数()A Ω在通带和阻带都呈现出振荡现象。

随着滤波器阶数的增加，幅度函数在通带和阻带振荡的波纹数量也随之增加，波纹的宽度随之减小，然而通带和阻带最大波纹的幅度与滤波器的阶数M 无关。

窗函数法设计fir滤波器步骤
设计FIR滤波器的窗函数法步骤如下：
1. 确定滤波器的理想频率响应：根据滤波器的要求和设计目标，确定滤波器的理想频率响应。

例如，低通滤波器的理想频率响应为在截止频率以下通过全部信号，而在截止频率以上完全阻断信号。

2. 确定滤波器的截止频率：根据滤波器的要求，确定滤波器的截止频率，即理想频率响应中的-3dB截止点。

3. 计算滤波器的长度：根据滤波器的设计要求和所选窗函数的性能，计算滤波器的长度。

滤波器的长度通常与截止频率、过渡带宽和窗函数的主瓣宽度相关。

4. 选择合适的窗函数：根据滤波器的设计要求和性能需求，选择合适的窗函数。

常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗等。

5. 生成滤波器的理想冲激响应：根据滤波器的理想频率响应和截止频率，生成滤波器的理想冲激响应。

可以使用理想低通滤波器或频域采样方法生成。

6. 应用窗函数：将生成的理想冲激响应与所选的窗函数进行乘积，得到窗函数法设计的FIR滤波器的冲激响应。

7. 可选的调整和优化：根据需要，对生成的滤波器进行进一步的调整和优化，以满足特定的性能需求。

例如，可以通过改变窗函数的参数或使用多个窗函数的组合来调整主瓣宽度、副瓣抑制等。

8. 可选的滤波器实现：将得到的滤波器冲激响应进行频域或时域的变换，得到FIR滤波器的差分方程或频域表达式，然后进行滤波器的实现。

9. 滤波器性能评估：对设计的滤波器进行性能评估，包括频率响应、幅频特性、相位响应、群延迟等。

10. 如有需要，对滤波器的设计进行调整和优化，直至满足设计要求。

窗函数设计法课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解窗函数的基本概念，掌握窗函数的种类及其特性；2. 学生能运用窗函数设计法对信号进行处理，并解释处理过程；3. 学生能推导窗函数设计法在频率域和时域的关系。

技能目标：1. 学生能够独立操作窗函数设计软件，进行信号的窗函数设计；2. 学生能够分析实际信号处理问题，选择合适的窗函数，并解释选择理由；3. 学生能够运用窗函数设计法解决实际问题，形成实验报告。

情感态度价值观目标：1. 学生能够认识到窗函数设计法在信号处理领域的重要意义，培养对信号处理技术的兴趣；2. 学生在学习过程中，培养合作意识，学会分享和交流；3. 学生能够通过本课程的学习，培养科学严谨、勤奋钻研的学习态度。

课程性质分析：本课程为电子信息类学科的基础课程，旨在使学生掌握窗函数设计法的基本原理和应用，培养学生解决实际信号处理问题的能力。

学生特点分析：学生处于高年级阶段，已具备一定的信号处理基础，具有较强的逻辑思维能力和实际操作能力。

教学要求：结合学生特点和课程性质，注重理论与实践相结合，鼓励学生参与课堂讨论，提高学生解决问题的能力。

在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和进度，确保课程目标的实现。

通过本课程的学习，使学生能够达到上述具体的学习成果。

二、教学内容1. 窗函数基本概念及分类：- 窗函数的定义及作用- 常见窗函数（矩形窗、汉明窗、汉宁窗等）的特点及适用场景2. 窗函数设计法原理：- 窗函数设计法的数学表达式- 窗函数设计法在时域和频域的关系- 窗函数设计法的误差分析3. 窗函数设计法应用实例：- 信号处理中的窗函数设计法应用- 不同窗函数设计法在实际信号处理中的性能比较4. 教学实验：- 窗函数设计软件的使用方法- 实际信号处理问题的窗函数设计法应用- 实验报告撰写及成果展示教学大纲安排：1. 引言：窗函数在信号处理中的应用（1课时）2. 窗函数基本概念及分类（2课时）3. 窗函数设计法原理（3课时）4. 窗函数设计法应用实例（2课时）5. 教学实验（4课时）教材章节关联：本教学内容与教材第3章“窗函数设计法”相关，涵盖了教材中3.1节至3.5节的内容。

3.1 窗函数法设计FIR 滤波器窗函数设计法又称为傅里叶级数法。

这种方法首先给出()j d H e Ω，()j d H e Ω表示要逼近的理想滤波器的频率响应，则由IDTFT 可得出滤波器的单位脉冲响应为1[]()2j jk d d h k H e e d πππΩΩ-=Ω⎰(3-1)由于是理想滤波器，故[]d h k 是无限长序列。

但是我们所要设计的FIR 滤波器，其h[k]是有限长的。

为了能用FIR 滤波器近似理想滤波器，需将理想滤波器的无线长单位脉冲响应[]d h k 分别从左右进行截断。

当截断后的单位脉冲响应[]d h k 不是因果系统的时候，可将其右移从而获得因果的FIR 滤波器。

另一种设计方案是将线性相位因子(0.5)j M e β-Ω+加入到理想滤波器的频率响应中，然后利用IDTFT 计算出[]d h k 后，取[]d h k 在0≦k ≦M 范围的值为FIR 滤波器单位脉冲响应。

理想滤波器的频率响应()j d H e Ω和设计出的滤波器的频率响应()j d H e Ω的积分平方误差定义为221()()2j j d H eH ed ππεπΩΩ-=-Ω⎰(3-2)2ε也可以表示为22[][]d k h k h k ε∞=-∞=-∑(3-3)12221[][][][]Md d d k k k M h k h k h k h k -∞=-∞==+=+-+∑∑∑上式中的第一项和第三项与所设计出的滤波器参数是没有关系的，为了使上式中的第二项达到最小，可选择 [][],0d h k h k k M=≤≤(3-4)所以用上面的方法得出的滤波器是在积分平方误差最小意义下的最佳滤波器。

Gibbs 现象就是理想滤波器的单位脉冲响应[]d h k 截断获得的FIR 滤波器的幅度函数()A Ω在通带和阻带都呈现出振荡现象。

随着滤波器阶数的增加，幅度函数在通带和阻带振荡的波纹数量也随之增加，波纹的宽度随之减小，然而通带和阻带最大波纹的幅度与滤波器的阶数M 无关。

窗函数的实现及分析窗函数是指将理想的频谱截断成有限的频谱，并对信号进行加权的函数。

在信号处理中，窗函数被广泛应用于频谱分析、滤波器设计、波形合成和信号的时频分析等方面。

其作用是减小频谱泄漏、降低旁瓣干扰和改善频谱估计的准确性。

1. 直接实现法（Direct Approach）：直接实现法是指通过直接计算窗函数的定义式来得到窗函数的采样值。

例如，常见的矩形窗函数可以通过以下公式计算得到：w(n)=1,0<=n<Nw(n)=0,其他情况其中，n为窗函数的采样序号，N为窗函数的长度。

类似地，其他窗函数如汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗等也可以通过相应的定义式计算得到。

直接实现法的优点是实现简单，计算速度快。

缺点是窗函数的采样点数需要提前确定，并且无法根据需要动态调整窗函数的长度。

此外，直接实现法在频率分辨率方面相对较差，易产生频谱泄漏现象。

2. 卷积实现法（Convolution Approach）：卷积实现法是指利用卷积运算的性质，通过将序列信号和窗函数进行卷积来实现窗函数。

例如，矩形窗可以通过以下卷积运算实现：w(n)=RECT(n)=δ(n)*δ(n)其中，δ(n)为单位脉冲函数。

卷积实现法的优点是可以根据需要动态调整窗函数的长度和形状，适应不同的信号分析要求。

此外，卷积实现法拥有较好的频率分辨率和抗频谱泄漏能力。

对于窗函数的分析，可以从以下几个方面进行：1.主瓣宽度：主瓣宽度是指窗函数的主瓣在频谱中的宽度。

窗函数的主瓣宽度决定了频率分辨率的能力，主瓣宽度越窄，频率分辨率越高。

例如，矩形窗的主瓣宽度较宽，频谱分辨率相对较低；而汉宁窗、汉明窗等窗函数的主瓣宽度相对较窄，频谱分辨率较高。

2.旁瓣干扰：旁瓣干扰是指窗函数在频谱中产生的旁瓣能量。

窗函数的旁瓣干扰会引入频谱泄漏现象，降低频谱估计的准确性。

一般而言，窗函数的旁瓣干扰越低，频谱估计的准确性越高。

常见的窗函数如布莱克曼窗具有较低的旁瓣干扰能力。

数字信号课程设计窗函数一、教学目标本节课的教学目标是使学生掌握窗函数的基本概念、性质和应用，能够熟练运用窗函数进行数字信号处理。

具体来说，知识目标包括：了解窗函数的定义和特点，理解窗函数在数字信号处理中的应用；技能目标包括：能够运用窗函数对信号进行加窗处理，掌握窗函数在信号处理中的基本操作；情感态度价值观目标包括：培养学生对数字信号处理的兴趣，增强学生对科学探究的热情。

二、教学内容本节课的教学内容主要包括窗函数的基本概念、性质和应用。

首先，介绍窗函数的定义和特点，通过实例让学生感受窗函数的作用；其次，讲解窗函数的性质，包括窗函数的周期性、对称性和局部化性质；最后，介绍窗函数在数字信号处理中的应用，如信号的能量泄漏、频率分析等。

三、教学方法为了达到本节课的教学目标，将采用多种教学方法相结合的方式进行教学。

首先，采用讲授法，系统地讲解窗函数的基本概念、性质和应用；其次，采用讨论法，引导学生分组讨论窗函数的特点和作用，增强学生的参与感；再次，采用案例分析法，通过具体案例让学生了解窗函数在实际应用中的重要性；最后，采用实验法，让学生动手实践，运用窗函数进行数字信号处理。

四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，将准备以下教学资源：教材《数字信号处理》，为学生提供系统的理论知识；参考书《窗函数及其应用》，为学生提供更多的案例和实践方法；多媒体资料，包括窗函数的动画演示和实际应用的视频，丰富学生的学习体验；实验设备，如计算机和信号处理器，让学生能够实际操作，加深对窗函数的理解。

五、教学评估本节课的教学评估将采用多元化的评估方式，以全面、客观、公正地评价学生的学习成果。

评估主要包括以下几个方面：1.平时表现：通过学生在课堂上的参与度、提问回答、小组讨论等表现，评估其对窗函数的理解和应用能力。

2.作业：布置相关的窗函数练习题，要求学生按时完成，并通过批改作业了解学生对窗函数知识和技能的掌握情况。

3.考试：在课程结束后，安排一次窗函数专项考试，全面测试学生对窗函数知识的掌握和运用能力。

窗函数的实现及分析1窗函数1.1基本概念在实际进行数字信号处理时，往往需要把信号的观察时间限制在一定的时间间隔内，只需要选择一段时间信号对其进行分析。

这样，取用有限个数据，即将信号数据截断的过程，就等于将信号进行加窗函数操作。

而这样操作以后，常常会发生频谱分量从其正常频谱扩展开来的现象，即所谓的“频谱泄漏”。

当进行离散傅立叶变换时，时域中的截断是必需的，因此泄漏效应也是离散傅立叶变换所固有的，必须进行抑制。

而要对频谱泄漏进行抑制，可以通过窗函数加权抑制DFT 的等效滤波器的振幅特性的副瓣，或用窗函数加权使有限长度的输入信号周期延拓后在边界上尽量减少不连续程度的方法实现。

而在后面的FIR 滤波器的设计中，为获得有限长单位取样响应，需要用窗函数截断无限长单位取样响应序列。

另外，在功率谱估计中也要遇到窗函数加权问题。

窗函数的基本概念。

设x (n )是一个长序列，w (n )是长度为N 的窗函数，用w (n )截断x (n )，得到N 点序列x n (n )，即x n (n ) = x (n ) w (n )在频域上则有由此可见，窗函数w (n )不仅仅会影响原信号x (n )在时域上的波形，而且也会影响到频域内的形状。

1.2设计原理窗函数设计法的基本原理是用有限长单位脉冲响应序列()n h 逼近()n h d 。

由于()n h d 往往是无限长序列，而且是非因果的，所以用窗函数()n ω将()n h d 截断，并进行加权处理，得到：()n h 就作为实际设计的FIR 数字滤波器的单位脉冲响应序列，其频率响应函数()ωj e H 为式中，N 为所选窗函数()n ω的长度。

用窗函数法设计的滤波器性能取决于窗函数()n ω的()()()()--?=ππj j j d e π21e θθωθωW e X X N ()()()n n h n h d ω=()()nj N n j en h eH ωω∑-==1类型及窗口长度N的取值。

实验报告课程名称：数字信号处理实验题目：窗函数法设计FIR滤波器院系： XXXXXXXXXXXXXX学院班级：姓名： XXXXXXXX 学号： XXXXXXXXXX 指导教师： XXXXXX 实验时间： 201X年XX月xxxxxxxxx大学一、实验目的(1)熟悉矩形窗、汉宁窗、海明窗和布莱克曼窗。

(2) 掌握用上述窗函数法设计FIR 数字滤波器的原理和方法。

(3) 熟悉线性相位FIR 数字滤波器特性。

(4) 了解各种窗函数对滤波特性的影响。

二. 实验原理与方法如果所希望的滤波器的理想频率响应函数为Hd(e^j ω)， 则其对应的单位脉冲响应为: ωπππωd e H n h j d d ⎰-=)(21)(用窗函数w(n)将hd(n)截断， 并进行加权处理， 得到:)()()(n n h n h d ω=h(n)就作为实际设计的FIR 数字滤波器的单位脉冲响应序列， 其频率响应函数H(e^j ω)为:∑-=-=10)()(N n n j j e n h e H ωω如果要求线性相位特性， 则h(n)还必须满足：)1()(n N h n h --±=根据上式中的正、 负号和长度N 的奇偶性又将线性相位FIR 滤波器分成四类。

要根据所设计的滤波特性正确选择其中一类。

例如， 要设计线性相位低通特性， 可选择h(n)=h(N-1-n)一类， 而不能选h(n)=-h(N-1-n)一类。

三、实验内容及步骤(1) 复习用窗函数法设计FIR 数字滤波器一节内容， 阅读本实验原 理， 掌握设计步骤。

(2) 编写程序。

① 编写能产生四种窗函数的子程序。

② 编写主程序。

主程序框图如图 10.6.1 所示， 仅供参考。

其 中幅度特性要求用dB 表示。

(3) 上机实验内容。

①设计低通FIR 数字滤波器时，一般以理想低通滤波特性为逼近函 数，即：⎩⎨⎧<<<=-πωωωωωωc ca j j d e e H ,0,)( 其中：21-=N α 故可以得到：)()(sin )(a n a n n h c d --=πω15=N ，33=N ,4/πω=c ,用四种窗函数设计线形相位低通滤波器。

《待定系数法求一次函数解析式》教学设计本节课的教学内容为待定系数法求一次函数解析式，是人教版八年级数学下册第19章第二节的教学内容。

下面我从教学内容、教学目标、学情分析、教法策略、教学过程五个方面进行说明。

一、教学内容一次函数是初中阶段学习的三种基本函数中最简单的一种函数形式。

《求一次函数解析式》并不是教材中一个单独的章节，只是初中数学第19章第二节《一次函数》中的一个教学单元，这部分内容是在学生学习了变量与函数、一次函数的概念，一次函数的图像和性质的基础上来求函数解析式，从知识衔接的角度看，有着承上启下的作用，符合学生的认知规律。

确定一次函数解析式，关键在于确定出一次函数y=kx+b（k≠0）中的k、b的值，用待定系数法确定一次函数解析式需要直线上两个点的坐标，用待定系数法求函数解析式不仅要求学生能正确地确定出解析式，还会让学生对一次函数解析式与函数图象、函数解析式中的变量与函数图象上点的坐标之间关系的理解，将数与形联系起来，形成数形结合的思想意识。

为后面学习反比例函数、二次函数打下基础。

二、教学目标知识与技能目标：正确理解待定系数法，掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法过程与方法目标：能从函数图像给定的信息找出已知条件，培养学生分析问题的能力。

情感态度、价值观目标：经历探索求一次函数解析式过程中体会数形结合思想教学重难点：重点：能准确地用待定系数法求一次函数解析式难点：让学生能从不同的条件下找出隐含条件求一次函数解析式。

三、学情分析本班学生的基础不是很好，但是对于一次函数的图像和性质掌握的还可以，能通过解析式画出函数图像，会用待定系数法计算简单的正比例函数解析式，但求解二元一次方程组还有一定的困难，特别是没有直接给出两个点的坐标，学生掌握的不是很好。

如何从所给信息找条件确定一次函数解析式是学生学习的难点，所以本节课我从图像和交点来寻求条件来突破难点。

四、教学策略我校实行352高效课堂模式，学生真正成为了学习的主人。