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复习课(二) 数 列对应学生用书P58数列的基本运算以小题出现具多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n 项和等，一般试题难度较小．[考点精要]1．等差数列(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(a 1＋a n )n2. (3)前n 项和公式S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 视为关于n 的一元二次函数，开口方向由公差d 的正负确定；S n ＝(a 1＋a n )n2中(a 1＋a n )视为一个整体，常与等差数列性质结合利用“整体代换”思想解题．2．等比数列(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).(3)等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，则S n 可表示为S n ＝k ·q n ＋b ，(k ≠0，且k ＋b ＝0)． [典例] 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．[解] (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d .依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，公比q ＝2，故b n ＝5·2n －3.(2)证明：由(1)知b 1＝54，公比q ＝2，∴S n ＝54(1－2n )1－2＝5·2n －2－54，则S n ＋54＝5·2n －2，因此S 1＋54＝52，S n ＋54S n －1＋54＝5·2n －25·2n －3＝2(n ≥2)．∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．[类题通法]在等差(或等比)数列中，首项a 1与公差d (或公比q )是两个基本量，一般的等差(或等比)数列的计算问题，都可以设出这两个量求解．在等差数列中的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 或等比数列中的五个量a 1，q ，n ，a n ，S n 中，可通过列方程组的方法，知三求二．在利用S n 求a n 时，要注意验证n ＝1是否成立．[题组训练]1．在等比数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为17，则S 6＝( )A.634 B ．16 C ．15D.614解析：选A 设{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2a 3＝a 1a 4＝2a 1，则a 4＝2；由a 4与2a 7的等差中项为17知，a 4＋2a 7＝2×17＝34，得a 7＝16.∴q 3＝a 7a 4＝8，即q ＝2，∴a 1＝a 4q 3＝14，则S 6＝14(1－26)1－2＝634，故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝13，S 7＝35，则a 7＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝13，S 7＝7(a 1＋a 1＋6d )2＝35.联立两式，解得a 1＝2，d ＝1，∴a 7＝a 1＋6d ＝8.答案：83．设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－1，S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.⎝⎛⎭⎫其中12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)(1)求证⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，并求S n ；(2)若b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)证明：1S 1＝1a 1＝－1.因为S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以1S n ＋1－1S n＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1、公差为－1的等差数列，所以1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，故S n ＝－1n .(2)b 1＝1a 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－1n ＋1n －1＝1n (n －1)，b n ＝n 2－n .所以T 1＝－1.当n ≥2时，T n ＝－1＋(22＋32＋…＋n 2)－(2＋3＋…＋n ) ＝－1＋(12＋22＋32＋…＋n 2)－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝－1＋16n (n ＋1)(2n ＋1)－12n (n ＋1)＝－1＋13n (n ＋1)(n －1)．故T n ＝－1＋13n (n ＋1)(n －1).等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值及其前n 项和的性质．利用性质求数列中某一项等，试题充分体现“小”“巧”“活”的特点，题型多以选择题和填空题的形式出现，一般难度较小．[考点精要]n 135246n 列{a n }的前n 项和，则使得S n 取得最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18(2)记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m ＝________.[解析] (1)由a 1＋a 3＋a 5＝105得，3a 3＝105， ∴a 3＝35. 同理可得a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)×(－2) ＝41－2n .由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，得n ＝20. ∴使S n 达到最大值的n 是20.(2)因为{a n }为等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m ，又由a m －1a m ＋1－2a m ＝0，从而a m ＝2.由等比数列的性质可知前(2m －1)项积T 2m －1＝a 2m －1m，则22m －1＝128，故m ＝4. [答案] (1)B (2)4 [类题通法]关于等差(比)数列性质的应用问题，可以直接构造关于首项a 1和公差d (公比q )的方程或方程组来求解，再根据等差(比)数列的通项公式直接求其值，此解思路简单，但运算过程复杂．[题组训练]1．等差数列{a n }的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为22∶18，则公差d ，a 9a 8的值分别是( )A ．8，109B ．9，109C ．9，119D ．8，119解析：选D 设S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 15，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 16，则有S 偶－S 奇＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 16－a 15)＝8d ，S 偶S 奇＝8(a 2＋a 16)28(a 1＋a 15)2＝a 9a 8.由⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝640，S 偶∶S 奇＝22∶18，解得S 奇＝288，S 偶＝352.因此d ＝S 偶－S 奇8＝648＝8，a 9a 8＝S 偶S 奇＝119.故选D.2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列的前13项和为( ) A ．13 B ．26 C ．52D ．156解析：选B 3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，∴6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26，故选B.3．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：选C ∵a 5·a 2n －5＝a 2n ＝22n ，且a n >0，∴a n ＝2n ，∵a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 2n －1＝2n －1，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.通项及数列求和一直是考查的热点，在命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现．一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，题型多以解答题形式出现，难度较大．[考点精要]1．已知递推公式求通项公式的常见类型 (1)类型一 a n ＋1＝a n ＋f (n )把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解． (2)类型二 a n ＋1＝f (n )a n把原递推公式转化为a n ＋1a n＝f (n )，再利用叠乘法(逐商相乘法)求解．(3)类型三 a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)， 先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q1－p，再利用换元法转化为等比数列求解．2．数列求和(1)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 两边同乘以相应等比数列的公比q ，得到qS n ＝a 1q ＋a 2q ＋…＋a n q ，两式错位相减即可求出S n .(2)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎨⎧⎭⎬⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列．(3)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和．(4)并项求和法：与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项(或多项)组合在一起，重新构成一个数列再求和，一般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数奇偶性的讨论．[典例] (1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n (1－na n ＋1)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝n 2－n ＋22B ．a n ＝n 2－n ＋12C ．a n ＝2n 2－n ＋1D ．a n ＝2n 2－n ＋2(2)已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：4S n ＝(a n －1)·(a n ＋3)，(n ∈N *)． ①求a n 的通项公式；②若b n ＝2n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)原数列递推公式可化为1a n ＋1－1a n＝n ，令b n ＝1a n ，则b n ＋1－b n ＝n ，因此b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＋b 1＝(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＋1＝n 2－n ＋22.从而a n ＝2n 2－n ＋2.故选D. [答案] D(2)解：①因为4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)＝a 2n ＋2a n －3，所以当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3，两式相减得，4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1，化简得，(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， 由于{a n }是正项数列，所以a n ＋a n －1≠0，所以a n－a n－1－2＝0，即对任意n≥2，n∈N*都有a n－a n－1＝2, 又由4S1＝a21＋2a1－3得，a21－2a1－3＝0，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)，所以{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，所以a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1.②由已知及(1)知，b n＝(2n＋1)·2n，T n＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，(ⅰ)2T n＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，(ⅱ) (ⅱ)－(ⅰ)得，T n＝－3×21－2(22＋23＋24＋…＋2n)＋(2n＋1)·2n＋1＝－6－2×4(1－2n－1)1－2＋(2n＋1)·2n＋1＝2＋(2n－1)·2n＋1.[类题通法](1)由递推公式求数列通项公式时，一是要注意判别类型与方法．二是要注意a n的完整表达式，易忽视n＝1的情况．(2)数列求和时，根据数列通项公式特征选择求和法，尤其是涉及到等比数列求和时要注意公比q对S n的影响．[题组训练]1．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且a n＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.解析：因为f(n)＝n2cos(nπ)，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(100)]＋[f(2)＋…＋f(101)]，f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋…(1002－992)＝3＋7＋…＋199＝50(3＋199)2＝5 050，f(2)＋…＋f(101)＝22－32＋42－…－992＋1002－1012＝(22－32)＋(42－52)＋…＋(1002－1012)＝－5－9－…－201＝50(－5－201)2＝－5 150，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(100)]＋[f(2)＋…＋f(101)]＝－5 150＋5 050＝－100.答案：－1002．已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝9－6n，则数列{a n}的通项公式是________．解析：令S n＝a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n，则S n＝9－6n，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n ≥2时，2n －1·a n ＝S n －S n －1＝－6，∴a n ＝－32n －2.∴通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，－32n －2，n ≥2. 答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，－32n －2，n ≥2 3．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N *)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1(n ≥2)．故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列．故a n ＝23·⎝⎛⎭⎫13n －1＝2·⎝⎛⎭⎫13n (n ∈N *)． (2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝⎛⎭⎫13n . 所以b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝log 13⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝n ＋1，因为1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n2(n ＋2).4．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1a n ＝2a n ＋1－1，令b n ＝a n －1.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为等差数列；(2)设c n ＝a n ＋1a n ，求证：数列{c n }的前n 项和T n <n ＋34.证明：(1)由题意知，1b 1＝1a 1－1＝－2，a n ＝2－1a n ＋1，则1b n ＋1－1b n＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1a n ＋1－1－12－1a n ＋1－1＝－1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为－2，公差为－1的等差数列．(2)由(1)可知，1b n＝－2＋(n －1)×(－1)＝－n －1，∴b n ＝－1n ＋1， 代入a n ＝b n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1， ∴a n ＋1a n＝n ＋1n ＋2n n ＋1＝(n ＋1)2 n (n ＋2)＝1＋1n (n ＋2)＝1＋12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋1a n＝⎣⎡⎦⎤1＋12⎝⎛⎭⎫1－13＋⎣⎡⎦⎤1＋12⎝⎛⎭⎫12－14＋…＋⎣⎡⎦⎤1＋12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2 ＝n ＋12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<n ＋34.1．设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d >0 B ．d <0 C ．a 1d >0D ．a 1d <0解析：选D ∵{2a 1a n }为递减数列，∴2a 1a n ＋12a 1a n＝2a 1a n ＋1－a 1a n ＝2a 1d <1＝20，∴a 1d <0，故选D.2．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11＝( )A ．24B ．48C ．66D ．132解析：选D 由a 9＝12a 12＋6得，2a 9－a 12＝12，由等差数列的性质得，2a 9－a 12＝a 6＋a 12－a 12＝12，则a 6＝12，所以S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝132，故选D. 3．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30D ．－21解析：选C 由已知得a 2＝a 1＋a 1＝2a 1＝－6， ∴a 1＝－3.∴a 10＝2a 5＝2(a 2＋a 3)＝2a 2＋2(a 1＋a 2)＝4a 2＋2a 1 ＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.4．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2a 8－3a 4，则S 8S 16＝( ) A.310 B.13 C.19D.18解析：选A 由题意可得，a 1＝2a 1＋14d －3a 1－9d ，∴a 1＝52d ，又S 8S 16＝8a 1＋28d 16a 1＋120d ＝20d ＋28d 40d ＋120d ＝48d 160d ＝310，故选A.5．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 016项之和S 2 016等于( )A ．1B ．2 010C ．4 018D ．0解析：选D 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前n 项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009，….由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 016＝6×336，∴S 2 016＝S 6＝0.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n ＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ，∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①÷②可得1q＝2，∴q ＝12，代入①解得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n＝2n －1. 7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －30，S n 是{|a n |}的前n 项和，则S 10＝________. 解析：由a n ＝2n －30，令a n <0，得n <15，即在数列{a n }中，前14项均为负数， 所以S 10＝－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＝－102(a 1＋a 10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190. 答案：1908．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.解析：由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q－3＝0，解得q ＝32或q ＝－1.因为q >0，所以q ＝32. 答案：329．数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2且n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2)，a 1＝1， ∴a 2－a 1＝12×1＝1－12， a 3－a 2＝13×2＝12－13， a 4－a 3＝14×3＝13－14，…， a n －a n －1＝1n (n －1)＝1n －1－1n . 以上各式累加，得a n －a 1＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1－1n. ∴a n ＝a 1＋1－1n ＝2－1n ，当n ＝1时，2－1n ＝1＝a 1，∴a n ＝2－1n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－1n .答案：2－1n10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，数列{b n }满足b 1＝3，b 2＝6，且{b n －a n }为等差数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由题意知数列{a n }是首项a 1＝1，公比q ＝2的等比数列， 所以a n ＝2n －1. 因为b 1－a 1＝2，b 2－a 2＝4，所以数列{b n －a n }的公差d ＝2，所以b n －a n ＝(b 1－a 1)＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ， 所以b n ＝2n ＋2n －1. (2)T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋(1＋2＋4＋…＋2n －1) ＝(2＋2n )n 2＋1×(1－2n )1－2＝n (n ＋1)＋2n －1.11．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝1S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . 解：(1)证明：S n ＝a n (a n ＋1)2(n ∈N *)，① S n －1＝a n －1(a n －1＋1)2(n ≥2)．② ①－②得a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －12(n ≥2)， 整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1(n ≥2)． ∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)得S n ＝n 2＋n 2， ∴b n ＝2n 2＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝2[ ⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ]＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3×22n －1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)由已知，a n＋1＝[(a n＋1－a n)＋(a n－a n－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{a n}的通项公式为a n＝22n－1.(2)由b n＝na n＝n·22n－1知S n＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1，①从而22·S n＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n×22n＋1.②①－②得(1－22)S n＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n×22n＋1，即S n＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．。
三角函数的诱导公式第一课时诱导公式(一)预习课本P23～25，思考并完成以下问题(1)π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？(2)诱导公式的内容是什么？(3)诱导公式1～4有哪些结构特征？[新知初探]1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.cos(－α)＝cos_α.tan(－α)＝－tan_α.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y 轴对称． 如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin_α. cos(π－α)＝－cos_α. tan(π－α)＝－tan_α.4．α＋k ·2π(k ∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中角α是任意角．( )(2)公式sin(－α)＝－sin α，α是锐角才成立．( ) (3)公式tan(π＋α)＝tan α中，α＝π2不成立．( )答案：(1)× (2)× (3)√ 2．已知cos(π＋θ)＝36，则cos θ＝( ) A ．36 B ．－36 C ．336D ．－336答案：B3．若sin(π＋α)＝13，则sin α等于( )A ．13B ．－13C ．3D ．－3答案：B4．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________. 答案：－4给角求值问题[典例] 求下列三角函数值：(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π6.[解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1. (3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32.利用诱导公式解决给角求值问题的步骤[活学活用] 求下列各式的值：(1)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°； (2)sin4π3·cos 19π6·tan 21π4. 解：(1)原式＝cos 120°(－sin 150°)＋tan 855°＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°) ＝cos 60°sin 30°＋tan 135° ＝cos 60°sin 30°＋tan(180°－45°) ＝cos 60°sin 30°－tan 45°＝12×12－1＝－34.(2)原式＝sin 4π3·cos ⎝⎛⎭⎫2π＋7π6·tan ⎝⎛⎭⎫4π＋5π4 ＝sin4π3·cos 7π6·tan 5π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6·tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·tan π4＝⎛⎫⎪⎪⎝⎭3-2×⎛⎫⎪⎪⎝⎭3-2×1＝34.化简求值问题[典例]化简：(1)cos(－α)tan(7π＋α)sin(π－α)；(2)sin(1 440°＋α)·cos(α－1 080°)cos(－180°－α)·sin(－α－180°).[解](1)cos(－α)tan(7π＋α)sin(π－α)＝cos αtan(π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝sin(4×360°＋α)·cos(3×360°－α)cos(180°＋α)·[－sin(180°＋α)]＝sin α·cos(－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1.利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．[活学活用]化简下列各式：(1)cos(α＋π)sin2(α＋3π)tan(α＋π)cos3(－α－π)；(2)sin(kπ－α)cos[(k－1)π－α]sin[(k＋1)π＋α]cos(kπ＋α)(k∈Z)．解：(1)原式＝－cos α·sin2α－tan α·cos3α＝tan2αtan α＝tan α .(2)当k＝2n(n∈Z)时，原式＝sin(2nπ－α)cos[(2n－1)π－α]sin[(2n＋1)π＋α]cos(2nπ＋α)＝sin(－α)·cos(－π－α)sin(π＋α)·cos α＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1；当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin[(2n＋1)π－α]·cos[(2n＋1－1)π－α]sin[(2n＋1＋1)π＋α]·cos[(2n＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1.综上，原式＝－1.给值(或式)求值问题[典例] 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝3，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α的值． [解] 因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. [一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求： (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6的值； (2)sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6＝cos ⎝⎛⎭⎫13π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33. (2)sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin 2⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝23. 2．[变条件]若将本例中条件“cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33”改为“sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝33，α∈⎝⎛⎭⎫2π3，7π6”，则结论如何？解：因为α∈⎝⎛⎭⎫2π3，7π6，则α－π6∈⎝⎛⎭⎫π2，π. cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝ 1－13＝63. 3．[变条件，变设问]tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α. 解：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝－tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫5π6＋α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．层级一 学业水平达标1．sin 600°的值是( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选D sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 2．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( )A ．12B ．－12C ．－32D ．32解析：选B 由题知，sin α＝12，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－12.3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55C ．55 D ．255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55. 4．已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝( ) A ．13B ．－13C ．233D ．－233解析：选B ∵tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3－α， ∴tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝－13. 5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α＋3π)＋cos (π＋α)sin (－α)－cos (π＋α)的值等于( )A ．m ＋1m －1B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1解析：选A ∵tan(5π＋α)＝tan [4π＋(π＋α)] ＝tan(π＋α)＝tan α，∴tan α＝m ，∴原式＝sin (π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1，故选A. 6．求值：(1)cos 29π6＝______；(2)tan(－855°)＝______. 解析：(1)cos29π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.答案：(1)－32(2)1 7．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________． 解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：2558．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213. 答案：12139．求下列各三角函数值：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3；(2)cos 23π6；(3)tan 37π6. 解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋4π3＝sin 4π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32. (2)cos 23π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32. (3)tan 37π6＝tan ⎝⎛⎭⎫6π＋π6＝tan π6＝33. 10．若cos α＝23，α是第四象限角，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．解：由已知cos α＝23，α是第四象限角得sin α＝－53，故sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝52. 层级二 应试能力达标1．已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A ．45B ．－45C ．±45D ．35解析：选B ∵cos(π－α)＝－cos α，∴cos α＝35.∵α是第一象限角，∴sin α>0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.∴sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45.2．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 015)＝5，则f (2 016)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5解析：选C ∵f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，∴f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.3．若α，β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan βD ．sin α＝－sin β解析：选A 法一：∵α，β的终边关于y 轴对称， ∴α＋β＝π＋2k π或α＋β＝－π＋2k π，k ∈Z ， ∴α＝2k π＋π－β或α＝2k π－π－β，k ∈Z ， ∴sin α＝sin β.法二：设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )，且点P 与点P ′到原点的距离相等，设为r ，则sin α＝sin β＝yr.4．下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3； ④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6；⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3. 其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：选C ①中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3；③中，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3；⑤中，sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3. 5．化简：cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________．解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－26．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ， x <0，f (x －1)－1， x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52. 所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2. 答案：－2 7．计算与化简(1)tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ)；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1.8．已知1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，求：[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)的值． 解：由1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22， 所以tan θ＝2＋224＋22＝22，故[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ＝1＋tan θ＋2tan 2θ＝1＋22＋2×⎝⎛⎭⎫222＝2＋22.11。
基本不等式： ab ≤a ＋b2[新知初探]1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)．[点睛] 基本不等式成立的条件：a ＞0且b ＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则ab ≠a ＋b 2，即只能有ab ＜a ＋b2. 预习课本P97～100，思考并完成以下问题[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立( ) (2)若a ≠0，则a ＋4a≥2a ·4a＝4( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22( )解析：(1)错误．任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)错误．只有当a >0时，根据基本不等式，才有不等式a ＋4a ≥2a ·4a＝4成立． (3)正确．因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.答案：(1)× (2)× (3)√2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞b ＞a ＋b2＞ab B ．a ＞a ＋b2＞ab ＞b C ．a ＞a ＋b2＞b ＞abD ．a ＞ab ＞a ＋b2＞b解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此B 项正确． 3．若x >0，则x ＋9x ＋2有( )A ．最小值6B ．最小值8C ．最大值8D ．最大值3解析：选B 由x ＋9x ＋2≥2x ·9x ＋2＝8(当且仅当x ＝9x，即x ＝3时，取等号)，故选B.4．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是( ) A ．y ＝|x |2＋4|x |≥2|x |2·4|x |＝4|x |≥0B ．y ＝sin x ＋4sin x≥2sin x ·4sin x ＝4(x 为锐角)C ．已知ab ≠0，a b ＋ba ≥2a b ·b a ＝2D ．y ＝3x ＋43x ≥23x ·43x ＝4 解析：选D 在A 中，4|x |不是常数，故A 选项错误；在B 中，sin x ＝4sin x 时无解，y 取不到最小值4，故B 选项错误；在C 中，a b ，ba 未必为正，故C 选项错误；在D 中，3x ，43x 均为正，且3x＝43x 时，y 取最小值4，故D 选项正确．利用基本不等式比较大小[典例] (1)已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定(2)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．[解析] (1)因为a >2，所以a －2>0，又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，所以m ≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，由b ≠0，得b 2≠0，所以2－b 2<2，n ＝22－b 2<4，综上可知m >n .(2)因为a >b >1，所以lg a >lg b >0， 所以Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ；Q ＝12(lg a ＋lg b )＝lg a ＋lg b ＝lg ab <lg a ＋b 2＝R .所以P <Q <R .[答案] (1)A (2)P <Q <R已知a ，b ，c 都是非负实数，试比较a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2与2(a ＋b ＋c )的大小．解：因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2， 所以 a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 同理 b 2＋c 2≥22(b ＋c ), c 2＋a 2≥22(c ＋a )， 所以a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]， 即a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.[典例] 已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.[证明] ∵a ，b ，c 均为正实数，∴2b a ＋a2b ≥2(当且仅当a ＝2b 时等号成立)， 3c a ＋a3c≥2(当且仅当a ＝3c 时等号成立)， 3c 2b ＋2b3c≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)， 将上述三式相加得⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋⎝⎛⎭⎫3c a ＋a 3c ＋⎝⎛⎭⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，∴⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝⎛⎭⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝⎛⎭⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)， 即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.[典例] (1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值． (2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值． (3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值． [解] (1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. (2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32， 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.(3)∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10，又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.1．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C 由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2ba时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C. 2．设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 因为a >b >0，所以a －b >0， 所以a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab≥2a (a －b )·1a (a －b )＋2ab ·1ab ＝4，当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2，b ＝22时等号成立.[典例] 不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ [解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，求当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，最大值是多少．解：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 故当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．层级一 学业水平达标1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x≥2解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C.3．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥2解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤⎝⎛⎭⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab≥214＝1. 4．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d 2>bcB.a ＋d 2<bcC.a ＋d 2＝bcD.a ＋d 2≤bc解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5．若x >0，y >0，且2x ＋8y ＝1，则xy 有( ) A ．最大值64 B ．最小值164C ．最小值12D ．最小值64解析：选D 由题意xy ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6．若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab ，则a 3＋b 3的最小值为________．解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b≥21ab，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.答案：4 27．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 解析：由题意得，y ＝3－x 22x，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 答案：38．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 9．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值；(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值．解：(1)∵x <3， ∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎡⎦⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ＝4＋⎝⎛⎭⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3. 当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.10．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6. 证明：因为a >0，b >0，c >0， 所以b a ＋a b ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋cb ≥2，所以⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫b c ＋c b ≥6， 当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝b c ，即a ＝b ＝c 时，等号成立． 所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c≥6.层级二 应试能力达标1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2>2|ab |解析：选A ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)．2．已知实数a ，b ，c 满足条件a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c的值( ) A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正负不确定解析：选B 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，所以a >0，b <0，c <0，且a ＝－(b ＋c )，所以1a ＋1b ＋1c ＝－1b ＋c＋1b ＋1c ， 因为b <0，c <0，所以b ＋c ≤－2bc ，所以－1b ＋c ≤12bc ，又1b ＋1c ≤－21bc ， 所以－1b ＋c ＋1b ＋1c ≤12bc －21bc ＝－32bc<0，故选B. 3．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，所以(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝x 2＋y 2xy ＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，等号成立．4．若实数x ，y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2y x ＋2y 的最大值为( ) A ．2－2B ．2＋ 2C ．4＋2 2D ．4－2 2解析：选Dx x ＋y ＋2y x ＋2y ＝11＋y x ＋2·y x 1＋2·y x ， 设t ＝y x >0，∴原式＝11＋t ＋2t 2t ＋1＝1t ＋1＋2t ＋1－12t ＋1＝1＋t (t ＋1)(2t ＋1)＝1＋12t ＋1 t ＋3. ∵2t ＋1t ≥22，∴最大值为1＋122＋3＝4－2 2. 5．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是________．解析：因为不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 4min <m 2－3m ，因为x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，所以x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 4⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y 4x ＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y 4x，即x ＝2，y ＝8时，等号是成立的，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 4min ＝4，所以m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4.答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)6．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为________． 解析：由a ＋b ＝1，知13a ＋2＋13b ＋2＝3b ＋2＋3a ＋2(3a ＋2)(3b ＋2)＝79ab ＋10，又ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)，∴9ab ＋10≤494，∴79ab ＋10≥47. 答案：477．某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2016年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数；(2)该厂家2016年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 又每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x 元， ∴y ＝x ⎝⎛⎭⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎡⎦⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立， ∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2016年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．8．已知k >16，若对任意正数x ，y ，不等式⎝⎛⎭⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立，求实数k 的最小值．解：∵x >0，y >0，∴不等式⎝⎛⎭⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立等价于⎝⎛⎭⎫3k －12x y ＋k y x ≥2恒成立． 又k >16， ∴⎝⎛⎭⎫3k －12x y ＋k y x ≥2k ⎝⎛⎭⎫3k －12， ∴2k ⎝⎛⎭⎫3k －12≥2，解得k ≤－13(舍去)或k ≥12， ∴k min ＝12.。
课时跟踪检测(八) 等差数列的性质一、选择题1．等差数列{a n }的公差为d ，则数列{ca n }，(c 常数且c ≠0)是( ) A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为cd 的等差数列 C ．不是等差数列D ．以上都不对2．若{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9＝( ) A ．39 B ．20 C ．19.5D ．333．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( ) A ．0 B ．37 C ．100D ．－374．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根 C ．有两个不等实根D ．不能确定有无实根5．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 等于( )A ．8B ．4C ．6D ．12二、填空题6．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为__________．7．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________.8．某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________．三、简答题9．已知5个数成等差数列，它们的和为25，它们的平方和为165，求这五个数．10．已知无穷等差数列{a n}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{b n}．(1)求b1和b2；(2)求{b n}的通项公式；(3){b n}中的第503项是{a n}中的第几项？答案课时跟踪检测(八)1．选B 设b n＝ca n，则b n＋1－b n＝ca n＋1－ca n＝c(a n＋1－a n)＝cd.2．选D 由等差数列的性质，得a1＋a4＋a7＝3a4＝45，a2＋a5＋a8＝3a5＝39，a3＋a6＋a9＝3a6.又3a5×2＝3a4＋3a6，解得3a6＝33，即a3＋a6＋a9＝33.3．选C 设c n＝a n＋b n，由于{a n}，{b n}都是等差数列，则{c n}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴{c n}的公差d＝c2－c1＝0.∴c37＝100.4．选A 由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a 5＝9，∴a 5＝3，方程为x 2＋6x ＋10＝0， 无实数解．5．选A 因为a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝4a 8＝32，所以a 8＝8，即m ＝8. 6．解析：不妨设角A ＝120°，c <b ， 则a ＝b ＋4，c ＝b －4， 于是cos 120°＝b 2＋b －2－b ＋22b b －＝－12，解得b ＝10，所以S ＝12bc sin 120°＝15 3.答案：15 37．解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 28．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n }来计算车费．令a 1＝11.2，表示4 km 处的车费，公差d ＝1.2那么当出租车行至14 km 处时，n ＝11，此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答案：23.2元9．解：设这5个数依次为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝25，a －2d2＋a －d2＋a 2＋a ＋d2＋a ＋2d2＝165，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，d ＝±2.所以这5个数为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.10．解：数列{b n }是数列{a n }的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{a n }是等差数列，则{b n }也是等差数列．(1)∵a 1＝3，d ＝－5，∴a n ＝3＋(n －1)×(－5)＝8－5n .数列{a n }中序号被4除余3的项是{a n }中的第3项，第7项，第11项，…，∴b 1＝a 3＝－7，b 2＝a 7＝－27.(2)设{a n }中的第m 项是{b n }中的第n 项，即b n ＝a m ，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，∴b n＝a m＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n，即{b n}的通项公式为b n＝13－20n.(3)b503＝13－20×503＝－10 047，设它是{a n}中的第m项，则－10 047＝8－5m，解得m＝2 011，即{b n}中的第503项是{a n}中的第2 011项．。
2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义：第二章-2.2-等差数列-Word 版含答案等差数列第一课时等差数列的概念及通项公式预习课本P36～38，思考并完成以下问题(1)等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？(2)等差数列的通项公式是什么？(3)等差中项的定义是什么？[新知初探]1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.[点睛]由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n －1)d可得a n＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么a n＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，a n是关于n的一次函数；当p＝0时，a n＝q，等差数列为常数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列{a n}的单调性与公差d有关()(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项()(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列()解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项．(4)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b －a＝c－b，故a，b，c为等差数列．答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．等差数列{a n}中，a1＝1，d＝3，a n＝298，则n的值等于()A．98B．100C ．99D ．101解析：选B a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2，令a n ＝298，即3n －2＝298⇒n ＝100.3．在等差数列{a n }中，若a 1·a 3＝8，a 2＝3，则公差d ＝( )A ．1B ．－1C ．±1D ．±2解析：选C 由已知得，⎩⎨⎧a 1(a 1＋2d )＝8，a 1＋d ＝3，解得d ＝±1.4．若log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列．则x 的值为________．解析：由log 3(2x ＋11)－log 3(2x －1)＝log 3(2x －1)－log 32，得：(2x )2－4·2x －21＝0，∴2x ＝7，∴x ＝log 27.答案：log 27等差数列的通项公式及应用[典例] 在等差数列{a n }中，(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ；(2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9.[解] (1)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎨⎧ a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝1. (2)设数列{a n }的公差为d .由已知得，⎩⎨⎧ a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∴a 9＝2×9－1＝17.在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个[活学活用]1．2 016是等差数列4,6,8，…的()A．第1 006项 B．第1 007项C．第1 008项D．第1 009项解析：选B∵此等差数列的公差d＝2，∴a n＝4＋(n－1)×2，a n＝2n＋2，即2 016＝2n＋2，∴n＝1 007.2．已知等差数列{a n}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为a1，公差为d，则a n＝a1＋(n －1)d，由已知⎩⎨⎧ a 1＋(15－1)d ＝33，a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎨⎧a 1＝－23，d ＝4. 所以a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，解得n ＝45∈N *，所以153是所给数列的第45项. 等差中项的应用[典例] 已知等差数列{a n }，满足a 2＋a 3＋a 4＝18，a 2a 3a 4＝66.求数列{a n }的通项公式．[解] 在等差数列{a n }中，∵ a 2＋a 3＋a 4＝18，∴3a 3＝18，a 3＝6.∴⎩⎨⎧ a 2＋a 4＝12，a 2·a 4＝11，解得⎩⎨⎧ a 2＝11，a 4＝1或⎩⎨⎧a 2＝1，a 4＝11.当⎩⎨⎧a 2＝11，a 4＝1时，a 1＝16，d ＝－5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋21.当⎩⎨⎧a 2＝1，a 4＝11时，a 1＝－4，d ＝5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)·5＝5n －9.三数a ，b ，c 成等差数列的条件是b ＝a ＋c 2(或2b ＝a ＋c )，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{a n }为等差数列，可证2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)．[活学活用]1．已知数列8，a,2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别为________，________，________.解析：因为8，a,2，b ，c 是等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋2＝2a ，a ＋b ＝2×2，2＋c ＝2b .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－1，c ＝－4.答案：5 －1 －42．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1为等差数列，则a 5＝________. 解析：由数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n＋1为等差数列，则有1a 3＋1＋1a 7＋1＝2a 5＋1，可解得a 5＝75. 答案：75等差数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.求证：数列{b n }是等差数列．证明：[法一 定义法]∵b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2)， ∴b n ＋1－b n ＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12，为常数(n ∈N *)． 又b 1＝1a 1－2＝12， ∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列． [法二 等差中项法]∵b n ＝1a n －2， ∴b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2). ∴b n ＋2＝a n ＋12(a n ＋1－2)＝4－4a n 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4－4a n －2＝a n －1a n －2.∴b n ＋b n ＋2－2b n ＋1＝1a n －2＋a n －1a n －2－2×a n 2(a n －2)＝0. ∴b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1(n ∈N *)，∴数列{b n }是等差数列．等差数列判定的常用的2种方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．[活学活用]已知1a ，1b ，1c 成等差数列，并且a ＋c ，a －c ，a ＋c －2b 均为正数，求证：lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列．解：∵1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c，∴2b＝a＋cac，即2ac＝b(a＋c)．(a＋c)(a＋c－2b)＝(a＋c)2－2b(a＋c)＝(a＋c)2－2×2ac＝a2＋c2＋2ac－4ac＝(a－c)2.∵a＋c，a＋c－2b，a－c均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a＋c)(a＋c－2b)]＝lg(a－c)2，即lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)＝2lg(a－c)，∴lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)成等差数列．层级一学业水平达标1．已知等差数列{a n}的通项公式为a n＝3－2n，则它的公差为()A．2B．3C．－2 D．－3解析：选C∵a n＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d ＝－2，故选C.2．若等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，则n ＝( )A ．50B ．51C ．52D ．53解析：选D 依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，代入a 1＝13，得d ＝23. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13，令a n ＝35，解得n ＝53. 3．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( )A ．a ＝－bB ．a ＝3bC ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝0解析：选C 由等差中项的定义知：x ＝a ＋b 2，x 2＝a 2－b 22， ∴a 2－b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即a 2－2ab －3b 2＝0. 故a ＝－b 或a ＝3b .4．数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 2 015的值是( )A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009 解析：选D 由2a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1－a n ＝12，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d ＝12， 所以a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32， 所以a 2 015＝2 015＋32＝1 009. 5．等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11解析：选B |a n |＝|70＋(n －1)×(－9)|＝|79－9n |＝9⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪879－n ，∴n ＝9时，|a n |最小． 6．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6.解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. ∴a 6＝2×6＋1＝13.答案：137．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________.解析：根据题意得：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1， ∴a 1＝1.又a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0，∴d ＝－12. 答案：－128．已知数列{a n }满足：a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________.解析：根据已知条件a 2n ＋1＝a 2n ＋4，即a 2n ＋1－a 2n ＝4.∴数列{a 2n }是公差为4的等差数列，则a 2n ＝a 21＋(n －1)×4＝4n －3.∵a n >0，∴a n ＝4n －3. 答案：4n －39．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．解：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是等差数列，理由如下： 因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2， 所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ， 所以1a n ＋1－1a n＝12(常数)． 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1a 1＝12为首项，公差为12的等差数列．10．若1b ＋c ，1a ＋c ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．证明：由已知得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2a ＋c，通分有2b ＋a ＋c (b ＋c )(a ＋b )＝2a ＋c. 进一步变形有2(b ＋c )(a ＋b )＝(2b ＋a ＋c )(a ＋c )，整理，得a 2＋c 2＝2b 2，所以a 2，b 2，c 2成等差数列．层级二 应试能力达标1．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( )A ．p ＋qB ．0C ．－(p ＋q ) D.p ＋q 2解析：选B ∵a p ＝a 1＋(p －1)d ，a q ＝a 1＋(q －1)d ，∴⎩⎨⎧a 1＋(p －1)d ＝q ， ①a 1＋(q －1)d ＝p . ② ①－②，得(p －q )d ＝q －p .∵p ≠q ，∴d ＝－1.代入①，有a 1＋(p －1)×(－1)＝q ，∴a 1＝p ＋q －1.∴a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)d ＝p ＋q －1＋(p ＋q －1)×(－1)＝0.2．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( ) A.m nB.m ＋1n ＋1C.n mD.n ＋1m ＋1解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 3．已知数列{a n }，对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( )A ．公差为2的等差数列B ．公差为1的等差数列C ．公差为－2的等差数列D ．非等差数列解析：选A 由题意知a n ＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n＝2，应选A.4．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则()A．a3a6>a4a5B．a3a6<a4a5C．a3＋a6>a4＋a5D．a3a6＝a4a5解析：选B由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(a1＋2d)(a1＋5d)＝a21＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝a21＋7a1d＋12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2<0，故选B.5．数列{a n}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n}是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n＝b n，则n的值为________．解析：a n＝2＋(n－1)×3＝3n－1，b n＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，令a n＝b n，得3n－1＝4n－6，∴n＝5.答案：56．在数列{a n}中，a1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ， a n －1)都在直线x －y －3＝0上，则a n ＝________.解析：由题意得a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n ，a n ＝3n 2.答案：3n 27．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且∈N *)．(1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n 是等差数列； (3)求数列{a n }的通项公式a n .解：(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20.(2)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)，∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)， 即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n 是首项为a 121＝12，公差d ＝1的等差数列．(3)由(2)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12， ∴a n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫n －12·2n .8．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n (n∈N *)．(1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{a n }为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．解：(1)∵a 1＝2，a 2＝－1，a 2＝(λ－3)a 1＋2，∴λ＝32. ∴a 3＝－32a 2＋22，∴a 3＝112. (2)∵a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n ，∴a 2＝(λ－3)a 1＋2＝2λ－4.a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{a n}为等差数列，则a1＋a3＝2a2.即λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{a n}成等差数列．第二课时等差数列的性质预习课本P39练习第4、5题，思考并完成以下问题(1)等差数列通项公式的推广形式是什么？(2)等差数列的运算性质是什么？[新知初探]1．等差数列通项公式的推广通项公式通项公式的推2.等差数列的性质若{a n}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m＋a n＝2a k.(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d 的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{a n}是等差数列，则{|a n|}也是等差数列()(2)若{|a n|}是等差数列，则{a n}也是等差数列()(3)若{a n}是等差数列，则对任意n∈N*都有2a n＋1＝a n＋a n＋2()(4)数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋5，则数列{a n}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等()解析：(1)错误．如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误．如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确．根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2成立．(4)正确．因为a n＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．在等差数列{a n}中，若a5＝6，a8＝15，则a14等于()A．32B．33C．－33 D．29解析：选B∵数列{a n}是等差数列，∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，∴a14＝6＋9×3＝33.3．在等差数列{a n}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝()A．90 B．270C．180 D．360解析：选C因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.4．在等差数列{a n}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.答案：30等差数列的性质应用[典例](1)已知等差数列{a n}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝()A．30B．15C．5 6 D．10 6(2)设{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝() A．0 B．37C．100 D．－37[解析](1)∵数列{a n}为等差数列，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a1＋a5)＋(a2＋a4)＋a3＝52(a2＋a4)＝52×6＝15.(2)设c n＝a n＋b n，由于{a n}，{b n}都是等差数列，则{c n}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴{c n}的公差d＝c2－c1＝0.∴c37＝100，即a37＋b37＝100.[答案](1)B(2)C本例(1)求解主要用到了等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.本例(2)应用了等差数列的性质：若{a n}，{b n}是等差数列，则{a n＋b n}也是等差数列．灵活运用等差数列的某些性质，可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的锻炼．[活学活用]1．已知{a n}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)的值为()A ．－12B ．－32 C.12 D.32 解析：选A a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝π，所以a 5＝π3，而a 2＋a 8＝2a 5＝2π3，所以cos(a 2＋a 8)＝cos 2π3＝－12，故选A. 2．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝( )A ．10B ．18C ．20D ．28解析：选C 由等差数列的性质得：3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋(2a 6)＝2(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 8)＝20，故选C.灵活设元求解等差数列[典例] (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[解] (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎨⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )，解得⎩⎨⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2. (2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8，∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a＋3d (公差为d )，依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8，把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8， 得⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－32d ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋32d ＝－8， 即1－94d 2＝－8， 化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2，a ＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a －d ，a ＋d ，公差为2d ；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a －d ，a ，a ＋d ，公差为d ；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，公差为2d .[活学活用]已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设这四个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )．由题设知⎩⎨⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝－32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.等差数列的实际应用[典例]某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解]设从第一年起，第n年的利润为a n 万元，则a1＝200，a n＋1－a n＝－20(n∈N*)，∴每年的利润构成一个等差数列{a n}，从而a n＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损．∴由a n＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．[活学活用]某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答案：23.2层级一学业水平达标1．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝()A．12B．16C．20 D．24解析：选B因为数列{a n}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.2．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6C．8 D．10解析：选A由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.3．下列说法中正确的是()A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列解析：选C因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．4．在等差数列{a n}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a 7＝( )A ．5B ．8C ．10D ．14解析：选B 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8.5．等差数列{a n }中， a 2＋a 5＋a 8＝9，那么方程x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0的根的情况( )A ．没有实根B ．两个相等实根C ．两个不等实根D ．无法判断解析：选A 由a 2＋a 5＋a 8＝9得a 5＝3，∴a 4＋a 6＝6，方程转化为x 2＋6x ＋10＝0.因为Δ<0，所以方程没有实根．6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．解析：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎨⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59.解得⎩⎨⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎨⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.答案：－217．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0. ∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2.答案：1或28．已知等差数列{a n }满足a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0，且m >1，则a 1＋a 2m －1＝________.解析：因为数列{a n }为等差数列，则 a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1，所以a 1＋a 2m －1＝2a m＝2.答案：29．在等差数列{a n}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.解：法一：由等差数列的性质得a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.法二：∵数列{a n}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.10．有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少．解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列．设该数列为{a n}．a n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式a n≥440，即800－20n≥440，得n≤18.当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，当n<10时，600n<(800－20n)n，当n＝10时，600n＝(800－20n)n，当10<n≤18时，(800－20n)n<600n，当n>18时，440n<600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．层级二应试能力达标1．已知等差数列{a n}：1,0，－1，－2，…；等差数列{b n}：0,20,40,60，…，则数列{a n＋b n}是()A．公差为－1的等差数列B．公差为20的等差数列C．公差为－20的等差数列D．公差为19的等差数列解析：选D(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.2．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )A. 3 B ．±3 C ．－33D ．－ 3解析：选D 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan2π3＝－ 3.3．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A ．1 B.34 C.12D.38解析：选C 设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2，再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2， ∵a 1＝14，∴d ＝12，∴a 2＝14＋12＝34，a 3＝14＋1＝54，a 4＝14＋32＝74，∴|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12.4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升 解析：选B 设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766，故第5节的容积为6766升．5．已知{a n }为等差数列，且a 6＝4，则a 4a 7的最大值为________．解析：设等差数列的公差为d ，则a 4a 7＝(a 6－2d )(a 6＋d )＝(4－2d )(4＋d )＝－2(d ＋1)2＋18，即a 4a 7的最大值为18.答案：186．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________.解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a nn ＝1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn ＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 27．数列{a n }为等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12a n ，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解：∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a 3＝218，b 1b 2b 3＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3.∵a 1，a 2，a 3成等差数列，∴a 2＝1，故可设a 1＝1－d ，a 3＝1＋d ，由⎝⎛⎭⎪⎪⎫121－d ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121＋d＝218，得2d＋2－d＝174，解得d ＝2或d ＝－2.当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3；当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，a n ＝3－2(n －1)＝－2n＋5.8．下表是一个“等差数阵”：a1…47()()()…ja2…712()()()…ja3…()()()()()…ja4…()()()()()…j……………………a i1a i2a i3a i4a i5…a ij………………………其中每行、每列都是等差数列，a ij表示位于第i行第j列的数．(1)写出a45的值；(2)写出a ij的计算公式，以及2 017这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．解：通过每行、每列都是等差数列求解．(1)a45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行，由题意4,7，…，a15，…成等差数列，公差d＝7－4＝3，则a15＝4＋(5－1)×3＝16.再看第2行，同理可得a25＝27.最后看第5列，由题意a15，a25，…，a45成等差数列，所以a45＝a15＋3d＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a1j＝4＋3(j－1)；第2行是首项为7，公差为5的等差数列a2j ＝7＋5(j－1)；…第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，∴a ij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)。
第一部分 第二章 2.2 第二课时 等差数列的性质应用创新演练1．等差数列{a n }中，a 5＝10，a 1＋a 2＋a 3＝3，则( )A ．a 1＝－2，d ＝3B ．a 1＝2，d ＝－3C ．a 1＝－3，d ＝2D ．a 1＝3，d ＝－2解析：∵a 1＋a 2＋a 3＝3，∴a 2＝1，∵a 5＝10，∴a 5－a 2＝3d ＝9，d ＝3，a 1＝－2. 答案：A2．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0() A ．无实根 B ．有两个相等实根C ．有两个不等实根D ．不能确定有无实根解析：由于a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，即3a 5＝9，∴a 5＝3，方程为x 2＋6x ＋10＝0，无实数解．答案：A3．下列命题中正确的个数是( )(1)若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2一定成等差数列；(2)若a ，b ，c 成等差数列，则2a,2b,2c 可能成等差数列；(3)若a ，b ，c 成等差数列，则ka ＋2，kb ＋2，kc ＋2一定成等差数列；(4)若a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c 可能成等差数列.A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：对于(1)取a ＝1，b ＝2，c ＝3⇒a 2＝1，b 2＝4，c 2＝9，(1)错；对于(2)a ＝b ＝c ⇒2a ＝2b ＝2c ，(2)正确；对于(3)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .∴(ka ＋2)＋(kc ＋2)＝k (a ＋c )＋4＝2(kb ＋2)，(3)正确；对于(4)，a ＝b ＝c ≠0⇒1a ＝1b ＝1c ，(4)正确.综上可知选B.答案：B4．(2012·临清高二检测)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．30B ．15C ．5 6D ．10 6解析：a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 4)＋a 2＋a 42＝52(a 2＋a 4)＝52×6＝15. 答案：B5．若x ≠y ，两个数列：x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，则a 2－a 1b 3－b 2＝________.解析：设这两个等差数列的公差分别为d 1，d 2.则a 2－a 1b 3－b 2＝d 1d 2. 由等差数列的性质，得y －x ＝4d 1＝5d 2，∴d 1d 2＝54. 答案：546．(2011·安徽高考)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为__________．解析：不妨设角A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos 120°＝b 2＋b －2－b ＋22b b －＝－12，解得b ＝10，所以S ＝12bc sin 120°＝15 3. 答案：15 37．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式． 解：∵a 1＋a 7＝2a 4，∴a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15.∴a 4＝5.又∵a 2a 4a 6＝45，∴a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，亦即(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2.若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .8．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个数．解：设所求四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，依题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧ a －3d 2＋a －d 2＋a ＋d 2＋a ＋3d 2＝94，a －d a ＋d －a －3da ＋3d ＝18. 化简可得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋20d 2＝94，8d 2＝18∴⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝32，a ＝72，或⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝32，a ＝－72，或⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝－32，a ＝－72，或⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝－32，a ＝72.∴所求四数为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1或8,5,2，－1或1，－2，－5，－8.。
等差数列的概念、性质考查重点：等差数列的通项公式、等差中项以及等差数列的判定 所占分数：10--25分教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系；教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。
1. 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 来表示。
用递推关系系表示为()1n n a a d n N ++-=∈或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d =+- 3. 等差中项如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项 4. 通项公式的变形对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有：()11p a a p d =+-()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>=5. 等差数列与函数的关系由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。
6. 等差数列的性质及应用（1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+=（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数） （3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数） （4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数）（5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈（6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列 （7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n =A.672B.673C.662D.663 解析：由题意得()()1111334,n a a n d n n =+-=-+-⨯=-令2015n a =，解得673n = 答案：B练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n = A.669 B.673 C.662 D.663 答案：A练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n = A.669 B.668 C.662 D.663 答案：B例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（）A.-2B.-3C.-4D.-6 解析：由题意知670,0a a ≥< 所以有115235062360a d d a d d +=+≥+=+<解得2323,456d d Z d -≤<-∈∴=- 答案：C练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 答案：D练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列{}n a 满足1111,1,4n na a a +==-其中n N +∈设221n n b a =-（1） 求证：数列{}n b 是等差数列 （2） 求数列{}n a 的通项公式解析：（1）1144222222121212121n n n n n n n n n a a b b a a a a a ++--=-=-==----- 所以数列{}n b 是等差数列（2）()111121,21221212,212n n n a b b b n d n a n n a a n=∴==∴=+-=-+∴==-答案：（1）略 （2）12n n a n +=练习5.已知数列{}n a 满足()1114,21n n n a a a n a --==≥+令1n nb a =（1） 求证：数列{}n b 是等差数列（2） 求数列{}n b 与{}n a 的通项公式 答案：（1）数列{}n b 是公差为1的等差数列 （2）443n a n =- ，34n b n =- 练习6.在等差数列{}n a 中，已知581,2,a a =-= 求1,a d 答案：15,1a d =-=例4.已知数列8,,2,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 解析：a 为8与2的等差中项，得8252a +== ；2为,ab 的等差中项得1b =-；由b 为2与c 的等差数列，得4c =- 答案：5，-1，-4练习7. 已知数列8,,2,,a b 是等差数列，则,a b 的值分别为____________ 答案：5，-1练习8. 已知数列2,,8,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 答案：5，11,14类型二：等差数列的性质及与函数的关系例5.等差数列{}n a 中，已知100110142015a a +=，则12014a a +=（）A.2014B.2015C.2013D.2016解析：1001101412014+=+，且{}n a 为等差数列，12014100110142015a a a a ∴+=+=故选B 答案：B练习9.在等差数列{}n a 中，若4681012120,a a a a a ++++=则10122a a -的值为 （） A.24 B.22 C.20 D.18 答案：A练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列{}n a 中，1007100812015,1,a a a +==-则2014a = _____ 答案：2016例6.已知数列{}n a 中，220132013,2a a ==且n a 是n 的一次函数，则 2015a =________ 解析：n a 是 n 的一次函数，所以设()0n a kn b k =+≠代入22013,a a 解得20151,20152015201520150n k b a n a =-=∴=-+∴=-+=答案：0练习11.若,,a b c 成等差数列，则二次函数()22f x ax bx c =-+的零点个数为（）A.0B.1C.2D.1或2 答案：D练习12.已知无穷等差数列{}n a 中，首项13,a = 公差5d =-，依次取出序号被4除余3的项组成数列{}n b （1） 求1b 和2b （2） 求{}n b 的通项公式 （3）{}n b 中的第503项是{}n a 的第几项答案：数列{}n b 是数列{}n a 的一个子集列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{}n a 是等差数列，所以{}n b 也是等差数列 （1）()()13,5,31585n a d a n n ==∴=+--=- 数列{}n a 中序号被4除余3的项是{}n a 中的第3项，第7项，第11项，…13277,27b a b a ∴==-==-（2）设{}n a 中的第m 项是{}n b 的第n 项即n mb a =()()413414185411320n m n m n n b a a n n -=+-=-∴===--=- 则1320n b n =-（3）503132*********b =-⨯=- ，设它是{}n a 中的第m 项，则1004785m -=-，则2011m =，即{}n b 中的第503项是{}n a 中的第2011项1.在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6 C．8 D．10答案：A2.在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1＝2a n＋1，则a101的值为()A．49 B．50 C．51 D．52答案：D3. 如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14 B．21 C．28 D．35答案：C4. 已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 C．a3＋a100≤0D．a51＝0答案：D5. 等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()A．30 B．27 C．24 D．21答案：B6. 等差数列{a n}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第()项()A．60 B．61 C．62 D．63答案：B_______________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ __基础巩固1.在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝()A ．11B ．12C ．13D ．14 答案：C2. 若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝( )A ．24B ．27C ．30D ．33 答案：D3. 已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12等于( )A ．15B ．30C ．31D ．64 答案：A4. 等差数列中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝420，则a 2＋a 10等于( )A ．100B ．120C ．140D ．160 答案：B 5. 已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( ) A.3 B.2 C.13 D.12答案：A6. 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 答案： 747. 等差数列{a n }中，公差为12，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝_______. 答案： 858. 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案：C9. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________. 答案：4210. 等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为__________． 答案：411. 已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项． 答案：设此数列为{a n }，则首项a 1＝6，公差d ＝3－6＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6－3(n －1)＝－3n ＋9. ∴a 100＝－3×100＋9＝－291.能力提升12. 等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤325答案：D13. 设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )A ．48B ．49C ．50D ．51 答案：C14. 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( )A ．0 B.12 C.23 D ．－1答案：B15. 若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2等于( )A.32B.23C.43D.34 答案：C16. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案：676617. 等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根答案：A18. 在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( ) A.b －a n B.a －b n ＋1 C.b －a n ＋1 D.b －a n －1答案：C19. 在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________. 答案：12(A ＋B )20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________． 答案：4,6,821. 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案：2022. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝11，a 2＝8.(1)求a 13的值；(2)判断－101是不是数列中的项； (3)从第几项开始出现负数？ (4)在区间(－31,0)中有几项？答案：(1)由题意知a 1＝11，d ＝a 2－a 1＝8－11＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. ∴a 13＝－3×13＋14＝－25.(2)设－101＝a n ，则－101＝－3n ＋14， ∴3n ＝115，n ＝1153＝3813∉N ＋.∴－101不是数列{a n }中的项． (3)设从第n 项开始出现负数，即a n <0， ∴－3n ＋14<0，∴n >143＝423.∵n ∈N ＋，∴n ≥5， 即从第5 项开始出现负数． (4)设a n ∈(－31,0)，即－31<a n <0， ∴－31<－3n ＋14<0， ∴423<n <15，∴n ∈N ＋， ∴n ＝5,6,7，…，14，共10项.23. 已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？答案：设首项为a 1，公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(15－1)d ＝33a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4，∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *， ∴153是所给数列的第45项．24. 已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定． (1)求证：{1x n }是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100的值．答案：(1)∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)． ∴数列{1x n }是等差数列．(2)由(1)知{1x n }的公差为13，又x 1＝12，∴1x n ＝1x 1＋(n －1)·13＝13n ＋53.∴1x 100＝1003＋53＝35，即x 100＝135.25. 四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．答案：设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94 ⇒2a 2＋10d 2＝47.①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18⇒8d 2＝18⇒d ＝±32代入①得a ＝±72，故所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1. 26. 已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 3＋a 9.答案：解法一：a 2＋a 6＋a 10＝a 1＋d ＋a 1＋5d ＋a 1＋9d ＝3a 1＋15d ＝1，∴a 1＋5d ＝13.∴a 3＋a 9＝a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.解法二：∵{a n }为等差数列，∴2a 6＝a 2＋a 10＝a 3＋a 9，∴a 2＋a 6＋a 10＝3a 6＝1，∴a 6＝13，∴a 3＋a 9＝2a 6＝23. 27. 在△ABC 中，若lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断三角形的形状．答案：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴3B ＝π，B ＝π3. ∵lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，∴2lgsin B ＝lgsin A ＋lgsin C ，即sin 2B ＝sin A ·sin C ，∴sin A sin C ＝34. 又∵cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ，cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ，∴sin A sin C ＝cos (A －C )－cos (A ＋C )2， ∴34＝12[cos(A －C )－cos 2π3]， ∴34＝12cos(A －C )＋14， ∴cos(A －C )＝1，∵A －C ∈(－π，π)，∴A －C ＝0，即A ＝C ＝π3，A ＝B ＝C . 故△ABC 为等边三角形．。
新教材高中数学学案新人教A 版选择性必修2：第2课时 等差数列的性质及应用新课程标准学业水平要求1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．3．体会等差数列与一元一次函数的关系．1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，理解等差数列与项有关的性质．(逻辑推理)2．能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(逻辑推理、数学运算)必备知识·自主学习导思1.等差数列的项有哪些性质？2．怎样应用等差数列的性质简化运算？1.等差数列通项公式的变形及推广 ①a n ＝dn ＋(a 1－d)(n∈N *)， ②a n ＝a m ＋(n －m)d(m ，n∈N *)， ③d＝a n －a m n －m(m ，n∈N *，且m≠n).其中①的几何意义是点(n ，a n )均在直线y ＝dx ＋(a 1－d)上． ②可以利用任意项及公差直接得到通项公式，不必求a 1. ③即斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1 ，可用来由等差数列任两项求公差．2．等差数列的性质在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ．特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p(m ，n ，p∈N *)，则a m ＋a n ＝a p 成立吗？提示：不一定．如数列1，2，3，4，…，满足a 1＋a 2＝a 3；而数列1，1，1，1，…，则不满足a 1＋a 2＝a 3.3．由等差数列衍生的新数列若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d′的等差数列，则有数列 结论{c ＋a n } 公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c·a n } 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数) {a n ＋a n ＋k } 公差为2d 的等差数列(k 为常数，k∈N *) {pa n ＋qb n }公差为pd ＋qd′的等差数列(p ，q 为常数)1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)若数列{a n }的通项公式a n ＝kn ＋b ，则{a n }是公差为k 的等差数列．( √ ) (2)等差数列{a n }中，必有a 10＝a 1＋a 9.( × )(3)若数列a 1，a 2，a 3，a 4，…是等差数列，则数列a 1，a 3，a 5，…也是等差数列．( √ ) (4)若数列a 1，a 3，a 5，…和a 2，a 4，a 6…都是公差为d 的等差数列，则a 1，a 2，a 3…是等差数列．( × )提示：(1)通项公式是关于n 的一次函数形式的数列都是等差数列． (2)等差数列中项的和相等都是等式两边项数相等，项数和相等． (3)等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列．(4)如数列1，1，1，…和数列2，2，2，…，按照规则排好后成为数列1，2，1，2，1，2，…，显然此数列不是等差数列．2．等差数列{a n }中，a 100＝120，a 90＝100，则公差d 等于( ) A ．2B ．20C ．100D ．－2【解析】选A.因为a 100－a 90＝10d ，所以10d ＝20即d ＝2. 3．等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( ) A.－3 B ．3 C ．32 D ．－32【解析】选B.由数列的性质，得a 4＋a 5＝a 2＋a 7， 所以a 2＝15－12＝3.4．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________． 【解析】因为a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450， 所以a 5＝90，所以a 2＋a 8＝2a 5＝2×90＝180. 答案：180关键能力·合作学习类型一 等差数列性质的应用(数学运算)1．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．30B ．15C ．5 6D ．10 6【解析】选B.因为数列{a n }为等差数列， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 4)＋a 3 ＝52 (a 2＋a 4)＝52×6＝15. 2．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( ) A.0B ．37C ．100D ．－37【解析】选C.设c n ＝a n ＋b n ， 由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100， c 2＝a 2＋b 2＝100，所以{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0. 所以c 37＝100，即a 37＋b 37＝100.3．已知等差数列{a n }的公差为d(d≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( ) A.12B ．8C ．6D ．4【解析】选B.由等差数列的性质，得 a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10) ＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，所以a 8＝8， 又d≠0，所以m ＝8.解决等差数列运算问题的一般方法一是灵活运用等差数列{a n }的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差求解，属于通用方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．对等差数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a 15≠a 7＋a 8，但a 6＋a 9＝a 7＋a 8；a 1＋a 21≠a 22，但a 1＋a 21＝2a 11【补偿训练】1．在等差数列{a n }中，已知a 2＋2a 8＋a 14＝120，则2a 9－a 10的值为________．【解析】因为a 2＋a 14＝2a 8，所以a 2＋2a 8＋a 14＝4a 8＝120，所以a 8＝30.所以2a 9－a 10＝(a 8＋a10)－a10＝a8＝30.答案：302．在等差数列{a n}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．【解析】因为(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，所以a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列．所以a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×33－39＝27.类型二等差数列的设法与求解(数学运算)【典例】已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数．四步内容理解题意条件：①三个数成单调递增等差数列②它们的和等于18，平方和等于116结论：求这三个数思路探求设出三个数，列方程组求解书写表达设这三个数分别为a－d，a，a＋d，且d>0.由题意可得222(a d)a(a d)18(a d)a a d116⎧⎨⎩－＋＋＋＝，－＋＋（＋）＝，解得a6d2⎧⎨⎩＝，＝或a6.d2⎧⎨⎩＝，＝－因为d>0，所以a＝6，d＝2.所以这个数列是4，6，8.题后反思三个数成等差数列设元时以中间一个为准，但需注意对公差符号的选取．设等差数列的三个技巧(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d.(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d.(3)等差数列的通项可设为a n＝pn＋q.三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数．【解析】设这三个数分别为a－d，a，a＋d.由题意可得a d a a d6 a d a a d24⎧⎨⎩（－）＋＋（＋）＝，（－）（＋）＝－，解得a2d4⎧⎨⎩＝，＝或a2.d4⎧⎨⎩＝，＝－所以所求三个数为－2，2，6或6，2，－2.类型三等差数列的实际应用(数学建模)【典例】某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【思路导引】每年的利润构成一个等差数列，公差是－20.【解析】设从第一年起，第n年的利润为a n万元，则a1＝200，a n＋1－a n＝－20(n∈N*)，所以每年的利润构成一个等差数列{a n}，从而a n＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损．所以由a n＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．与等差数列有关的实际问题解法解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．1．《周髀算经》中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为( )A ．12.5尺B ．10.5尺C ．15.5尺D ．9.5尺【解析】选C.设此等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋a 4＋a 7＝3a 1＋9d ＝37.5，a 1＋11d ＝4.5，解得d ＝－1，a 1＝15.5.2．某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．【解析】根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n }来计算车费．令a 1＝11.2，表示4 km 处的车费，公差d ＝1.2，那么当出租车行至14 km 处时，n ＝11，此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元). 答案：23.2课堂检测·素养达标1．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12等于( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 【解析】选A.a 7＋a 9＝a 4＋a 12，所以a 12＝16－1＝15.2．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13 a 11的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 【解析】选C.由题意，得5a 8＝120，所以a 8＝24， 所以a 9－13 a 11＝(a 8＋d)－13 (a 8＋3d)＝23a 8＝16.3．等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝－1，a 11－a 4＝21.则a 7等于________． 【解析】因为a 3＋a 7－a 10＋a 11－a 4＝a 3＋a 7＋a 11－(a 10＋a 4) ＝3a 7－2a 7＝a 7，所以a 7＝21－1＝20. 答案：204．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________． 【解析】由等差数列的性质可知a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6， 所以a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝2(a 3＋a 7)＝74. 答案：745．已知{a n }为等差数列，且a 6＝4，则a 4a 7的最大值为________．【解析】设等差数列的公差为d，则a4a7＝(a6－2d)(a6＋d) ＝(4－2d)(4＋d)＝－2(d＋1)2＋18，即a4a7的最大值为18. 答案：18。
回扣验收特训（二） 数列1．设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )A ．d >0B ．d <0C ．a 1d >0D ．a 1d <0解析：选D ∵{2a 1a n }为递减数列，∴2a 1a n ＋12a 1a n＝2a 1a n ＋1－a 1a n ＝2a 1d <1＝20，∴a 1d <0，故选D.2．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11＝( ) A ．24B ．48C ．66D ．132解析：选D 由a 9＝12a 12＋6得，2a 9－a 12＝12， 由等差数列的性质得，2a 9－a 12＝a 6＋a 12－a 12＝12，则a 6＝12，所以S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝132，故选D. 3．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－21 解析：选C 由已知得a 2＝a 1＋a 1＝2a 1＝－6，∴a 1＝－3.∴a 10＝2a 5＝2(a 2＋a 3)＝2a 2＋2(a 1＋a 2)＝4a 2＋2a 1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.4．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2a 8－3a 4，则S 8S 16＝( ) A.310B.13C.19D.18 解析：选A 由题意可得，a 1＝2a 1＋14d －3a 1－9d ，∴a 1＝52d ，又S 8S 16＝8a 1＋28d 16a 1＋120d ＝20d ＋28d 40d ＋120d ＝48d 160d ＝310，故选A. 5．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 016项之和S 2 016等于( )A ．1B ．2 010C ．4 018D ．0解析：选D 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前n 项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009，….由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 016＝6×336，∴S 2 016＝S 6＝0.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n ＝( ) A ．4n －1 B ．4n －1C ．2n －1 D ．2n －1 解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ，∵⎩⎨⎧ a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧ a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①÷②可得1q ＝2，∴q ＝12，代入①解得a 1＝2， ∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ， ∴S n a n＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n＝2n －1. 7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －30，S n 是{|a n |}的前n 项和，则S 10＝________. 解析：由a n ＝2n －30，令a n <0，得n <15，即在数列{a n }中，前14项均为负数， 所以S 10＝－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＝－102(a 1＋a 10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190. 答案：1908．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.解析：由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q－3＝0，解得q ＝32或q ＝－1.因为q >0，所以q ＝32. 答案：329．数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2且n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2)，a 1＝1， ∴a 2－a 1＝12×1＝1－12， a 3－a 2＝13×2＝12－13， a 4－a 3＝14×3＝13－14，…， a n －a n －1＝1n (n －1)＝1n －1－1n . 以上各式累加，得a n －a 1＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1－1n. ∴a n ＝a 1＋1－1n ＝2－1n ，当n ＝1时，2－1n ＝1＝a 1，∴a n ＝2－1n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－1n. 答案：2－1n10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，数列{b n }满足b 1＝3，b 2＝6，且{b n －a n }为等差数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由题意知数列{a n }是首项a 1＝1，公比q ＝2的等比数列， 所以a n ＝2n －1. 因为b 1－a 1＝2，b 2－a 2＝4，所以数列{b n －a n }的公差d ＝2，所以b n －a n ＝(b 1－a 1)＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ， 所以b n ＝2n ＋2n －1. (2)T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋(1＋2＋4＋…＋2n －1) ＝(2＋2n )n 2＋1×(1－2n )1－2＝n (n ＋1)＋2n －1.11．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝1S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . 解：(1)证明：S n ＝a n (a n ＋1)2(n ∈N *)，① S n －1＝a n －1(a n －1＋1)2(n ≥2)．② ①－②得a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －12(n ≥2)， 整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1(n ≥2)． ∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)得S n ＝n 2＋n 2， ∴b n ＝2n 2＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝2[ ⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ]＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3×22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)由已知，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1 ＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n ×22n －1，①从而22·S n ＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n ×22n ＋1.② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ×22n ＋1， 即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．。
新教材高中数学学案新人教A版选择性必修2：等差数列的概念新课程标准学业水平要求1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．3．体会等差数列与一元一次函数的关系．1.借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．(数学抽象)2．借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．(数学抽象)3．会求等差数列的通项公式，并能利用等差数列的通项公式解决相关的问题．(数学运算)4．能利用等差数列的通项公式解决相关的实际问题．(数学运算、数学建模)第1课时等差数列的概念必备知识·自主学习导思1.什么是等差数列？2．等差数列的通项公式是什么？3．什么是等差中项？1.等差数列的定义(1)条件：①从第2项起．②每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．(2)结论：这个数列是等差数列．(3)相关概念：这个常数叫做等差数列的公差，常用d表示．(1)为什么强调“从第2项起”？提示：①第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；②定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．(2)如何理解“每一项与前一项的差”？提示：它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．2．等差中项(1)前提：三个数a ，A ，b 成等差数列．(2)结论：A 叫做a 与b 的等差中项．(3)满足的关系式：2A ＝a ＋b ．等式“2A＝a ＋b”有哪些等价形式？提示：2A ＝a ＋b ⇔A －a ＝b －A ⇔A ＝a ＋b 2. 3．等差数列的通项公式递推公式通项公式 a n ＋1－a n ＝d(n∈N *)a n ＝a 1＋(n －1)d (n∈N *)1．怎样从函数角度认识等差数列？提示：若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则a n ＝f(n)＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d).(1)点(n ，a n )落在直线y ＝dx ＋(a 1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.2．由等差数列的通项公式可以看出，要求a n ，需要哪几个条件？提示：只要求出等差数列的首项a 1和公差d ，代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 即可．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关．( √ )(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．( √ )(4)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列．( √ )提示：(1)若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)当d>0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)只需将项数n 代入即可求出数列中的任意一项．(4)若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列．2．已知等差数列{a n }的首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n ＝( )A ．4－2nB ．2n －4C ．6－2nD ．2n －6【解析】选C.a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×(－2)＝4－2n ＋2＝6－2n.3．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d ＝________．【解析】(－3)－(－6)＝3，故d ＝3.答案：34．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，则B 等于________．【解析】因为三内角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，所以B ＝60°.答案：60°关键能力·合作学习类型一 等差中项的应用(数学运算)1．若5，x ，y ，z ，21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．26B ．29C ．39D ．52【解析】选C.因为5，x ，y ，z ，21成等差数列，所以y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项．所以5＋21＝2y ，所以y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26，所以x ＋y ＋z ＝39.2．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( )A.a ＝－bB ．a ＝3b C.a ＝－b 或a ＝3b D ．a ＝b ＝0【解析】选C.由等差中项的定义知：x ＝a ＋b 2 ，x 2＝a 2－b 22， 所以a 2－b 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2 ，即a 2－2ab －3b 2＝0. 故a ＝－b 或a ＝3b.3．若m 和2n 的等差中项为4，2m 和n 的等差中项为5，则m 和n 的等差中项为________．【解析】由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8.又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10.两式相加，得m ＋n ＝6.所以m 和n 的等差中项为m ＋n 2＝3. 答案：3等差中项的应用方法三数a ，b ，c 成等差数列的条件是b ＝a ＋c 2(或2b ＝a ＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{a n }为等差数列，可证2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n∈N *). 【补偿训练】在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列．【解析】因为－1，a ，b ，c ，7成等差数列，所以b 是－1与7的等差中项，所以b ＝－1＋72＝3. 又a 是－1与3的等差中项，所以a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，所以c ＝3＋72 ＝5. 所以该数列为－1，1，3，5，7.类型二 等差数列的通项公式及其应用(数学运算)【典例】(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 10＝25，求通项公式a n ；(2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54 ，a 7＝－74，求a 15的值． 四步内容 理解题意条件：等差数列的任意两项 结论：求通项公式 思路探求设出基本量a 1，d ，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式a n ＝a m ＋(n －m)d 求解． 书写表达 设等差数列的首项为a 1，公差为d ， (1)因为a 4＝7，a 10＝25，则11a 3d 7a 9d 25⎧⎨⎩＋＝，＋＝，得1a 2d 3⎧⎨⎩＝－，＝，所以a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5， 所以通项公式a n ＝3n －5(n∈N *).(2)方法一：由 375a 47a 4⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝，＝－， 得 115a 2d 47a 6d 4⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝，＋＝－，解得a 1＝114 ，d ＝－34 ， 所以a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114 ＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34 ＝－314 . 方法二：(利用a n ＝a m ＋(n －m)d 求解)由a 7＝a 3＋(7－3)d ，即－74 ＝54＋4d ，解得d ＝－34， 所以a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54 ＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34 ＝－314 . 题后反思应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式．若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其他项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n)d 较为简捷基本量法求通项公式根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{a n }中的每一项均可用a 1和d 表示，这里的a 1和d 就称为基本量．有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1，d 的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．1．已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( )A ．15B ．22C ．7D ．29【解析】选A.设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得381161a a a 2d a 7d 22a a 5d 7⎧⎨⎩＋＝＋＋＋＝，＝＋＝，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.2．(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？【解析】设等差数列的首项为a 1，公差为d ，(1)由a 1＝8，d ＝5－8＝－3，n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1.由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100，即－401是这个数列的第100项．类型三 等差数列的判定与证明(数学运算、逻辑推理)【典例】已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2 . (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由； (2)求a n .【思路导引】要判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列，要先求1a n ＋1 －1a n 的表达式，再求出数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的通项公式．【解析】(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下： 因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2 ，所以1a n ＋1 ＝a n ＋22a n ＝12 ＋1a n， 所以1a n ＋1 －1a n ＝12 ，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1 ＝12 ，公差为d ＝12 的等差数列． (2)由(1)可知1a n ＝1a 1 ＋(n －1)d ＝n 2 ，所以a n ＝2n.将典例中的条件“a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2”换为“a 1＝1，a 2＝2，2a n ＋1＝2a n ＋3(n≥2，n∈N *)”试判断数列{a n }是否是等差数列．【解析】当n≥2时，由2a n ＋1＝2a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝32， 但a 2－a 1＝1≠32，故数列{a n }不是等差数列．等差数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d(常数)(n∈N *)⇔{a n }为等差数列；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n∈N *)⇔{a n }为等差数列；(3)通项公式法：a n ＝an ＋b(a ，b 是常数，n∈N *)⇔{a n }为等差数列．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1 (n>1)，记b n ＝1a n －2.求证：数列{b n }是等差数列． 【证明】(定义法)因为b n ＋1＝1a n ＋1－2 ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4a n －2 ＝a n 2（a n －2） ， 所以b n ＋1－b n ＝a n 2（a n －2） －1a n －2 ＝a n －22（a n －2） ＝12，为常数(n∈N *). 又b 1＝1a 1－2 ＝12， 所以数列{b n }是首项为12 ，公差为12的等差数列． (等差中项法)因为b n ＝1a n －2， 所以b n ＋1＝1a n ＋1－2 ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4a n －2 ＝a n 2（a n －2） . 所以b n ＋2＝a n ＋12（a n ＋1－2） ＝4－4a n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4a n －2 ＝a n －1a n －2 . 所以b n ＋b n ＋2－2b n ＋1＝1a n －2 ＋a n －1a n －2 －2×a n 2（a n －2）＝0. 所以b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1(n∈N *)，所以数列{b n }是等差数列．【补偿训练】已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n，且a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)由a n ＋1＝3a n ＋3n，两边同时除以3n ＋1，得a n ＋13n ＋1 ＝a n 3n ＋13 ，即a n ＋13n ＋1 －a n 3n ＝13. 由等差数列的定义知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以a 13 ＝13 为首项，13 为公差的等差数列． (2)由(1)知a n 3n ＝13 ＋(n －1)×13 ＝n 3， 故a n ＝n·3n －1，n∈N *. 备选类型 等差数列的证明与递推公式(数学运算、逻辑推理)【典例】已知f(x)＝2x x ＋2 ，在数列{x n }中，x 1＝13，x n ＝f(x n －1)(n≥2，n∈N *)，试说明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列，并求x 95的值． 【思路导引】设法说明1x n －1x n －1是常数． 【解析】因为当n≥2时，x n ＝f(x n －1)，所以x n ＝2x n －1x n －1＋2(n≥2)， 即x n x n －1＋2x n ＝2x n －1(n≥2)，得2x n －1－2x n x n x n －1＝1(n≥2)， 即1x n －1x n －1 ＝12(n≥2). 又1x 1 ＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是以3为首项，12 为公差的等差数列， 所以1x n ＝3＋(n －1)×12 ＝n ＋52， 所以x n ＝2n ＋5 ，所以x 95＝295＋5 ＝150.(1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明a n －a n －1＝d(n≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d(d 为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养．1．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n≥2，且n∈N *).(1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列； (3)求数列{a n }的通项公式a n .【解析】(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20.(2)因为a n ＝2a n －1＋2n (n≥2，且n∈N *)，所以a n 2n ＝a n －12n －1 ＋1(n≥2，且n∈N *)， 即a n 2n －a n －12n －1 ＝1(n≥2，且n∈N *)， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 121 ＝12 ，公差d ＝1的等差数列． (3)由(2)，得a n 2n ＝12 ＋(n －1)×1＝n －12， 所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12 ·2n . 2．已知数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n≥3).(1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由；(2)求{a n }的通项公式．【解析】(1)当n≥3时，a n ＝a n －1＋2，即a n －a n －1＝2，而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n≥3)，所以{a n }不是等差数列．(2)当n≥2时a n 是等差数列，公差为2.当n≥2时，a n ＝1＋2(n －2)＝2n －3，又a 1＝1不适合上式，所以{a n }的通项公式为a n＝1n 12n 3n 2.⎧⎨≥⎩，＝，－，课堂检测·素养达标1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6【解析】选B.设{a n }的公差为d ，根据题意知：a 4＝a 2＋(4－2)d ，易知d ＝－1，所以a 6＝a 4＋(6－4)d ＝0.2．等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )A ．a 11B ．a 10C ．a 9D ．a 8【解析】选C.|a n |＝|70＋(n －1)×(－9)|＝|79－9n|，所以n ＝9时，|a n |最小．3．已知数列{a n }，对任意的n∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( )A ．公差为2的等差数列B ．公差为1的等差数列C ．公差为－2的等差数列D ．非等差数列【解析】选A.由题意知a n ＝2n ＋1，所以a n ＋1－a n ＝2.4．已知a ＝13＋2 ，b ＝13－2 ，则a ，b 的等差中项为________． 【解析】a ＋b 2 ＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝ 3 . 答案： 35．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，则这三个数为________．【解析】设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则3a ＝9，所以a ＝3.所以这三个数分别为3－d ，3，3＋d.由题意，得3(3－d)＝6(3＋d)，所以d ＝－1.所以这三个数分别为4，3，2.答案：4，3，2。
等差数列的前n项和本P42～45，思考并完成以下数列前n和的定是什么？通常用什么符号表示？(2)能否根据首、末与数求出等差数列的前n和？(3)能否根据首、公差与数求出等差数列的前n和？[新知初探]1．数列的前 n和于数列{a n}，一般地称a1＋a2＋⋯＋a n数列{a n}的前n和，用S n表示，即S n＝a1＋a2＋⋯＋a n.2．等差数列的前n和公式量首，末与数首，公差与数用na1＋an nn－1dSn＝S n＝na1＋公式22[小身手]1．判断以下命是否正确．(正确的打“√〞，的打“×〞)(1)数列的前n和就是指从数列的第1a1起，一直到第n a n所有的和()(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化后关于n与an的函数式即数列{an}的通公式()(3)在等差数列{an}中，当数m偶数2n，S偶－S奇＝an＋1()解析：(1)正确．由前n和的定可知正确．．例如数列{a n}中，S n＝n2＋2.n≥2，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又∵a1＝S1＝3，∴a1缺乏a n＝S n－S n－1＝2n－1，故命．．当数m偶数2n，S偶－S奇＝nd.答案：(1)√(2)×(3)×2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，那么S n 等于( )A ．nB ．n(n ＋1)C ．n(n －1)D.nn ＋12解析：选D因为a ＝1，d ＝1，所以S ＝n ＋nn －1×1＝ 2n ＋n 2－n n 2＋n nn ＋1，＝＝1n2222应选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 1＝1，S 4＝20，那么S 6等于()2A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，4×3即 由得4a 1＋ 2 d ＝20，4×1＋4×3d ＝20，解得d ＝3，1 226×5S 6＝6×2＋2×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，那么S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以 2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.答案：12等差数列的前 n 项和的有关计算[典例] 等差数列{a n }．(1)a 1 ＝ 5，a 15＝－ 3，S n ＝－5，求d 和n ；6 2 (2)a 1 ＝4，S 8＝172，求a 8和d.[解](1)∵a 15＝5＋(15－1)d ＝－3，∴d ＝－1.62 6S n ＝na 1＋nn －1d ＝－5，2解得n ＝15或n ＝－4(舍)．(2) 由，得S 8＝8a 1＋a 8＝84＋a 8＝172，22解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.等差数列中的根本计算(1)利用根本量求值：等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量 a 1，d ，n ，a n 和三求二〞．一般是利用公式列出根本量a 1和d 的方程组，解出a 1和S n ，这五个量可以“知d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：假设 m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q ∈N *)，那么a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝na 1＋a n结合使用．2[活学活用]设S n 是等差数列{a n }的前n 项和， a 2＝3，a 8＝11，那么S 9等于() A ．13 B ．35C ．49D ．63解析：选D ∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 9＝a 2＋a 8，S 9＝9a 2＋a8＝9×14＝63.22S n 求a n 问题＝ [典例] 数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2.求{a n }的通项公式；判断{a n }是否为等差数列？[解](1)∵S n ＝－2n 2＋n ＋2，∴当n ≥2时，S n －1＝－2(n －1)2＋(n －1)＋2＝－2n 2＋5n －1，a n ＝S n －S n －1(－2n 2＋n ＋2)－(－2n 2＋5n －1)＝－4n＋3.又a1＝S1＝1，不满足a n＝－4n＋3，1，n＝1，∴数列{a n}的通项公式是a n＝－4n＋3，n≥2.由(1)知，当n≥2时，a n＋1－a n＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4，但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n}不满足等差数列的定义，{a n}不是等差数列．(1)S n求a n，其方法是a n＝S n－S n－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2而〞出错．在书写{a n}的通项公式时，务必验证n＝1是否满足a n(n≥2)的情形．如果不满足，那么通项公式只能用a n＝S1，n＝1，表示．S n－S n－1，n≥2[活学活用]1．数列{a n}的前n项和为S n＝－n2，那么()A．a n＝2n＋1B．a n＝－2n＋1C．a n＝－2n－1D．a n＝2n－1解析：选B当n＝1时，a1＝S1＝－1；n≥2时，a n＝S n－S n－1＝－n2＋(n－1)2＝－2n＋1，此时满足a1＝－1.综上可知a n＝－2n＋1.2．S n是数列{a n}的前n项和，根据条件求 a n.S n＝2n2＋3n＋2；S n＝3n－1.解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝7，n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，又a1＝7不适合上式，7，n＝1，所以a n＝4n＋1，n≥2.当n＝1时，a1＝S1＝2，n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1适合上式，所以a n＝2×3n－1(n∈N*).等差数列的前n项和性质[典例](1)等差数列前n 的和30，前2n 的和100，它的前3n 的和()A ．130B ．170C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1，所有的奇数之和132，所有的偶数之和120，n 等于________．n2n ＋2 5(3){a n }，{b n }均等差数列，其前n 和分S n ，T n ，且S＝，a ＝________.T nn ＋3b 5[解析](1)利用等差数列的性：(2) S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )，30＋(S 3n －100)＝2(100－30)，解得S 3n ＝210.因等差数列共有2n ＋1，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n＋1，即132－120＝132＋120，2n ＋12n ＋1解得n ＝10.由等差数列的性，知a 1＋a 9 a 1＋a 9×9＝S 9＝2×9＋2＝5a 5＝2 ＝ 2.b 5b 1＋b 9b 1＋b 9T 99＋332×925[答案] (1)C (2)10(3)3等差数列的前 n 和常用的性等差数列的依次k 之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ⋯成公差k 2d 的等差数列．数列{a n }是等差数列?S n ＝an 2＋bn(a ，b 常数)?数列S n n 等差数列．(3)假设S 奇表示奇数的和， S 偶表示偶数的和，公差d ，①当数偶数2n ，S 偶－S 奇＝nd ，S奇＝a n；Sa偶n ＋1②当数奇数2n －1，S 奇－S 偶＝a n ，S奇n .＝S 偶n －1[活学活用]1．等差数列 {a n }的前n 和S n ，假设S 4＝8，S 8＝20，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝()A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选A设{a n }的公差为d ，那么a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 41＝16d ，解得d ＝4，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.S n2．等差数列{a n }的通项公式是 a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，那么数列n 的前10项和________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3，所以 S n ＝n3＋2n ＋1＝n 2＋2n ，2S n所以n ＝n ＋2， 所以Snn是公差为 1，首项为 3的等差数列，10×9所以前10项和为3×10＋ ×1＝75.答案：75等差数列的前 n 项和最值问题[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解]由S 17＝S 9，得17×17－19×9－1d ，25×17＋2d ＝25×9＋2解得d ＝－2，[法一公式法]S n ＝25n ＋nn －1×(－2)＝－(n －13)2＋169.2由二次函数性质得，当 n ＝13 时，S n 有最大值169.[法二邻项变号法]a n ＝25－2n －1≥0，∵a 1＝25＞0，由a n ＋1＝25－2n ≤0，n ≤13 1，2得即121≤n ≤131.n ≥12 1，2 22又n ∈N *，∴当n ＝13时，S有最大值169.n求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略(1)将S n ＝na 1＋nn －1d 2dn 配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函2d ＝n ＋a 1－22数单调性来解决．(2)邻项变号法：当a 1>0，d<0时，满足a n ≥0，的项数n 使S n 取最大值．a n ＋1≤0当a 1<0，d>0时，满足a n ≤0，的项数n 使S n 取最小值．a n ＋1≥0[活学活用]{a n }为等差数列，假设a 11 S n 取得最小正<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当a 10值时，n ＝()A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C∵S n 有最大值，∴d<0，那么a 10>a 11，又a 11<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，a 10S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．应选 C.层级一 学业水平达标1．数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，那么{a n }的前n 项和S n 等于()3 2nB ．－ 32 － nA ．－n ＋2 n 22 232 n3 2nC.n ＋2D.n －222解析：选A∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n －1＋2－3n＝－3n 2＋n .22 2 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 7>0，a 8<0，那么以下结论正确的选项是()A ．S 7<S 8B ．S 15<S 16C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选C由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13a 1＋a 13＝13a 7>0，S 15＝215 a 1＋a 15＝15a 8<0，应选C.23．设等差数列 {a n }的前n 项和为S n ，假设S 3＝9，S 6＝36，那么a 7＋a 8＋a 9等于()A ．63B ．45C ．36D ．27解析：选B∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．等差数列 {a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，那么S n 取得最小值时 n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B由7a 5＋5a 9＝0，得a 1＝－17.d 3a 9>a 5，所以d>0，a 1<0.因为函数y ＝d 2＋a 1－d的图象的对称轴为 ＝1－a 1＝1＋17＝37，取最接近的整数2x2xx 2d2366，故S n 取得最小值时 n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，假设 a 5＝5，那么S 9等于()a 3 9 S 5A ．1B ．－11C ．2D.299×2a 59 2a 1＋a9解析：选ASS 5＝5a 1＋a 5＝ 5×2a 32＝ 9a 5＝9×5＝1.5a 3596．假设等差数列 {a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，那么该数列的公差为 ________． 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当 n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn A(n －1)2－B(n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A. 答案：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，那么m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列S n是等差数列，所以S m ＋S m＋2＝nm ＋2m 2S m ＋1 －2 3＝0，解得m ＝4. ＋ ，即 m ＋＋m 1 m 2答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为 33，那么这个数列的中＝是________，数是________．解析：等差数列{a n}的数 2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋⋯＋a 2n ＋1n ＋1a 1＋a2n ＋12(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋⋯＋a 2n ＝na 2＋a 2n＝na n ＋1，2S 奇n ＋144所以 ＝ ＝ ，解得n ＝3，所以数 2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11所求中．答案：11 79．数列{a n }的前n 和S n ，且足 log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通公式．n ＋1S n ＝2n ＋1－1.n ＝1，a 1＝S 1＝3，n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ，又当n ＝1，3≠21，3，n ＝1，a n ＝2n ，n ≥2. 10．在等差数列 {an }中，S n 其前n 的和，a 1＋a 3＝22，S 5＝45.求a n ，S n ；数列{S n }中最大S k ，求k.解：(1)由得2a 2＝22， a 2＝11， 5a 3＝45，即a 3＝9，a 1＝13， 所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n.所以d ＝－2，由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.二 能力达1．等差数列 {a n }的前n 和S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，n ＝( )A ．12B ．14C ．16D ．18解析：B因S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以 4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝na 1＋a n＝210，得n ＝14.22．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2021＝S 2021，S k ＝S 2021，那么正整数k 为( )A ． 2021B ．2021C ． 2021D ．2021解析：选C因为等差数列的前 n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2021＝S 2021，S k ＝S 2021，可得2021＋2021＝2021＋k，解得k ＝2021.应选C.223．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，那么S n 取最小值时，n 的值为()A ． 11B ．12C ． 13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为 d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d>0，67a 11＝67(a 1＋10d)＝67a 1＋670d<0,67a 12＝67(a 1＋11d)＝67a 1＋737d>0，即a 11<0，a 12>0.应选A.4．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 7n ＋45a nA n 和B n ，且B n ＝＋3 ，那么使得b n 为整n数的正整数n 的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．5a 1＋a 2n－1a 1＋a 2n－12n －1解析：选D ∵a n＝22＋45＝ 14n ＋38＝7＝＝A 2n －1＝72n －1b n＋b －＋b －－－ ＋＋b 12n1b 12n1B 2n132n －12n12n222＋12 ，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5.n ＋ 15．假设数列{a n }是等差数列，首项 a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，那么使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．(1) 解析：由a 203＋a 204>0?a 1＋a 406>0?S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d>0，那么数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4056．等差数列 {a n }的前n 项和为S n ，假设S 4≤4，S 5≥15，那么a 4的最小值为________．解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4?2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15?a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.答案：77．等差数列 {a n }的公差d>0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28.求数列{a n }的通项公式；S n(2)假设b n ＝n ＋c (c 非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求 c 的． 解：(1)∵S 4＝28，∴a 1＋a 4×4＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，2 a 2a 3＝45，公差d>0， ∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9， a 1＋d ＝5， a 1＝1， ∴解得 ∴a n ＝4n －3. a 1＋2d ＝9，d ＝4，n ＝ 2n 2－n (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S ，n ＋c n ＋c ∴ b 1＝1，b 2＝6，b 3＝15. 即 1＋c2＋c 3＋c{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，2×6＝1＋15， 2＋c1＋c3＋c1 解得c ＝－2(c ＝0舍去)． 8．在等差数列 {a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.数列{a n }前多少和最大？ 求{|a n |}的前n 和S n . a 1＋9d ＝23， a 1＝50，解：(1)由 得 a 1＋24d ＝－22，d ＝－3， a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.53 令a n >0，得 n<3， ∴当n ≤17，n ∈N *，a n >0；n ≥18，n ∈N *，a n <0，∴{a n }的前17和最大． 当n ≤17，n ∈N *，|a 1|＋|a 2|＋⋯＋|a n|＝a 1＋a 2＋⋯＋a n ＝na 1＋nn －12 ＝ n ≥18，n ∈N *，|a 1|＋|a 2|＋⋯＋|a n | a 1＋a 2＋⋯＋a 17－a 18－a 19－⋯－a n32103d ＝－2n ＋2n.＝2(a 1＋a 2＋⋯＋a 17)－(a 1＋a 2＋⋯＋a n )2－3×172＋103×17－－3n 2＋103n 2222 32 103＝n － 2 n ＋884. 23 2 103 * ，－n ＋ 2 n ，n ≤17，n ∈N ∴S n ＝ 23 2 103*. n － 2 n ＋884，n ≥18，n ∈N2。
板块命题点专练(九) 数列与数学归纳法1.(2014·辽宁高考)设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0D ．a 1d >0 解析：选C ∵数列{2a 1a n }为递减数列，a 1a n ＝a 1[a 1＋(n －1)d ]＝a 1dn ＋a 1(a 1－d )，等式右边为关于n 的一次函数，∴a 1d <0.2．(2014·全国卷Ⅱ)数列 {a n }满足 a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1 ＝________. 解析：将a 8＝2代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n，可求得a 6＝－1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝11－a n，可求得a 5＝2；由此可以推出数列{a n }是一个周期数列，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12.答案：123.(2014·安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22， 所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22， 所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…， A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝⎛⎭⎫22n ， 故a 7＝2×⎝⎛⎭⎫226＝14. 答案：141.(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 2．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：选B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列， 记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2， 依题意，得S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.3．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23， 即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.4．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97解析：选C 法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 法二：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5.故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.故选C.5．(2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则 a 1＝________，S 5＝________.解析：∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝⎛⎭⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432， ∴S 5＝121. 答案：1 1216．(2016·全国卷Ⅰ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)． 因此{a n }的各项都为正数， 所以a n ＋1a n＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.7．(2017·北京高考)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10， b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 1＝1，b 2b 4＝a 5，所以b 1q ·b 1q 3＝9.解得q 2＝3. 所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.8．(2017·天津高考)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12. 因为b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q ＞0，解得q ＝2. 所以b n ＝2n .由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②联立①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2. 所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ， 由a 2n b n ＝(6n －2)·2n .有T n ＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n ，2T n ＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n －8)×2n ＋(6n －2)×2n ＋1，上述两式相减，得－T n ＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n －(6n －2)×2n ＋1＝12×(1－2n )1－2－4－(6n －2)×2n ＋1＝－(3n －4)2n ＋2－16.得T n ＝(3n －4)2n ＋2＋16.所以数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n －4)2n ＋2＋16.1.(2016·天津高考)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的 前2n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q . 由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2，解得q ＝2或q ＝－1. 又由S 6＝a 1·1－q 61－q ＝63，知q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12，即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列．设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2n (b 1＋b 2n )2＝2n 2. 2．(2016·江苏高考)记U ＝{1,2，…，100}，对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ，若T ＝∅，定义S T＝0；若T＝{t1，t2，…，t k}，定义S T＝at1＋at2＋…＋at k.例如：T＝{1,3,66}时，S T ＝a1＋a3＋a66.现设{a n}(n∈N*)是公比为3的等比数列，且当T＝{2,4}时，S T＝30.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对任意正整数k(1≤k≤100)，若T⊆{1,2，…，k}，求证：S T＜a k＋1；(3)设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C＋S C∩D≥2S D.解：(1)由已知得a n＝a1·3n－1，n∈N*.于是当T＝{2,4}时，S T＝a2＋a4＝3a1＋27a1＝30a1.又S T＝30，故30a1＝30，即a1＝1.所以数列{a n}的通项公式为a n＝3n－1，n∈N*.(2)证明：因为T⊆{1,2，…，k}，a n＝3n－1＞0，n∈N*，所以S T≤a1＋a2＋…＋a k＝1＋3＋…＋3k－1＝12(3k－1)＜3k.因此，S T＜a k＋1.(3)证明：下面分三种情况证明．①若D是C的子集，则S C＋S C∩D＝S C＋S D≥S D＋S D＝2S D.②若C是D的子集，则S C＋S C∩D＝S C＋S C＝2S C≥2S D.③若D不是C的子集，且C不是D的子集．令E＝C∩∁U D，F＝D∩∁U C，则E≠∅，F≠∅，E∩F＝∅.于是S C＝S E＋S C∩D，S D＝S F＋S C∩D，进而由S C≥S D得S E≥S F.设k为E中的最大数，l为F中的最大数，则k≥1，l≥1，k≠l. 由(2)知，S E＜a k＋1.于是3l－1＝a l≤S F≤S E＜a k＋1＝3k，所以l－1＜k，即l≤k.又k≠l，故l≤k－1.从而S F≤a1＋a2＋…＋a l＝1＋3＋…＋3l－1＝3l－12≤3k－1－12＝a k－12≤S E－12，故S E≥2S F＋1，所以S C－S C∩D≥2(S D－S C∩D)＋1，即S C＋S C∩D≥2S D＋1.综合①②③得，S C＋S C∩D≥2S D.3．(2017·北京高考)设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，b n－a n n}(n＝1,2，3，…)，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．(1)若a n＝n，b n＝2n－1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，c nn >M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列．解：(1)c 1＝b 1－a 1＝1－1＝0，c 2＝max{b 1－2a 1，b 2－2a 2}＝max{1－2×1,3－2×2}＝－1，c 3＝max{b 1－3a 1，b 2－3a 2，b 3－3a 3}＝max{1－3×1，3－3×2,5－3×3}＝－2. 当n ≥3时，(b k ＋1－na k ＋1)－(b k －na k )＝(b k ＋1－b k )－n (a k ＋1－a k )＝2－n <0， 所以b k －na k 关于k ∈N *单调递减．所以c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }＝b 1－a 1n ＝1－n . 所以对任意n ≥1，c n ＝1－n ，于是c n ＋1－c n ＝－1， 所以{c n }是等差数列．(2)证明：设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1，d 2，则 b k －na k ＝b 1＋(k －1)d 2－[a 1＋(k －1)d 1]n ＝b 1－a 1n ＋(d 2－nd 1)(k －1)．所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)，d 2>nd 1，b 1－a 1n ，d 2≤nd 1.①当d 1>0时， 取正整数m >d 2d 1，则当n ≥m 时，nd 1>d 2，因此c n ＝b 1－a 1n . 此时，c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列． ②当d 1＝0时，对任意n ≥1， c n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)max{d 2,0} ＝b 1－a 1＋(n －1)(max{d 2,0}－a 1)．此时，c 1，c 2，c 3，…，c n ，…是等差数列． ③当d 1<0时， 当n >d 2d 1时，有nd 1<d 2.所以c n n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)n＝n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2＋b 1－d 2n≥n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2－|b 1－d 2|.对任意正数M ，取正整数m >max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫M ＋|b 1－d 2|＋a 1－d 1－d 2－d 1，d 2d 1，故当n≥m时，c nn>M.(2017·浙江高考)已知数列{x n}满足：x1＝1，x n＝x n＋1＋ln(1＋x n＋1)(n∈N*)．证明：当n∈N*时，(1)0<x n＋1<x n；(2)2x n＋1－x n≤x n x n＋12；(3)12n－1≤x n≤12n－2.证明：(1)用数学归纳法证明：x n>0.当n＝1时，x1＝1>0.假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，x k>0，那么n＝k＋1时，若x k＋1≤0，则0<x k＝x k＋1＋ln(1＋x k＋1)≤0，矛盾，故x k＋1>0.因此x n>0(n∈N*)．所以x n＝x n＋1＋ln(1＋x n＋1)>x n＋1.因此0<x n＋1<x n(n∈N*)．(2)由x n＝x n＋1＋ln(1＋x n＋1)得，x n x n＋1－4x n＋1＋2x n＝x2n＋1－2x n＋1＋(x n＋1＋2)·ln(1＋x n＋1)．记函数f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)，f′(x)＝2x2＋xx＋1＋ln(1＋x)>0(x>0)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，因此x2n＋1－2x n＋1＋(x n＋1＋2)ln(1＋x n＋1)＝f(x n＋1)≥0，故2x n＋1－x n≤x n x n＋12(n∈N*)．(3)因为x n＝x n＋1＋ln(1＋x n＋1)≤x n＋1＋x n＋1＝2x n＋1，所以x n≥12n－1.由x n x n＋12≥2x n＋1－x n得1x n＋1－12≥2⎝⎛⎭⎫1x n－12>0，所以1x n－12≥2⎝⎛⎭⎫1x n－1－12≥…≥2n－1⎝⎛⎭⎫1x1－12＝2n－2，故x n≤12n－2.综上，12n－1≤x n≤12n－2(n∈N*)．。
第一课时 等差数列的概念及通项公式如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．[点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．这三个数满足的关系式是A ＝a ＋b2. 3．等差数列的通项公式已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .[点睛] n 1n 1p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关( )(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项( ) (4)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列( )解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列．(3)正确．只需将项数n 代入即可求出数列中的任意一项．(4)正确．若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列． 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝3，a n ＝298，则n 的值等于( ) A ．98 B ．100 C ．99D ．101解析：选B a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2，令a n ＝298，即3n －2＝298?n ＝100. 3．在等差数列{a n }中，若a 1·a 3＝8，a 2＝3，则公差d ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．±2解析：选C 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1?a 1＋2d ?＝8，a 1＋d ＝3，解得d ＝±1.4．若log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列．则x 的值为________．解析：由log 3(2x ＋11)－log 3(2x －1)＝log 3(2x －1)－log 32，得：(2x )2－4·2x －21＝0，∴2x＝7，∴x ＝log 27.答案：log 27[典例] n (1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9. [解] (1)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1.(2)设数列{a n }的公差为d .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴a 9＝2×9－1＝17.1．2 016是等差数列4,6,8，…的( ) A ．第1 006项B ．第1 007项C ．第1 008项D ．第1 009项解析：选B ∵此等差数列的公差d ＝2，∴a n ＝4＋(n －1)×2，a n ＝2n ＋2，即2 016＝2n ＋2，∴n ＝1 007.2．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋?15－1?d ＝33，a 1＋?61－1?d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23，d ＝4.所以a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，解得n ＝45∈N *，所以153是所给数列的第45项.[典例] n 234234{a n }的通项公式．[解] 在等差数列{a n }中，∵ a 2＋a 3＋a 4＝18，∴3a 3＝18，a 3＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 4＝12，a 2·a 4＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝11，a 4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11. 当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 4＝1时，a 1＝16，d ＝－5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋21.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11时，a 1＝－4，d ＝5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)·5＝5n －9.1．已知数列8，a,2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别为________，________，________.解析：因为8，a,2，b ，c 是等差数列， 所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋2＝2a ，a ＋b ＝2×2，2＋c ＝2b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－1，c ＝－4.答案：5 －1 －42．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则a 5＝________.解析：由数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则有1a 3＋1＋1a 7＋1＝2a 5＋1，可解得a 5＝75.答案：75[典例] 已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.求证：数列{b n }是等差数列．证明：[法一 定义法] ∵b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n 2?a n －2?，∴b n ＋1－b n ＝a n 2?a n －2?－1a n －2＝a n －22?a n －2?＝12，为常数(n ∈N *)．又b 1＝1a 1－2＝12， ∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．[法二 等差中项法] ∵b n ＝1a n －2， ∴b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n－2＝a n 2?a n －2?.∴b n ＋2＝a n ＋12?a n ＋1－2?＝4－4a n 2⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n －1a n －2.∴b n ＋b n ＋2－2b n ＋1＝1a n －2＋a n －1a n －2－2×a n 2?a n －2?＝0. ∴b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1(n ∈N *)， ∴数列{b n }是等差数列．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，并且a ＋c ，a －c ，a ＋c －2b 均为正数，求证：lg(a ＋c )，lg(a－c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列．解：∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ，∴2b ＝a ＋cac ，即2ac ＝b (a ＋c )．(a ＋c )(a ＋c －2b )＝(a ＋c )2－2b (a ＋c )＝(a ＋c )2－2×2ac ＝a 2＋c 2＋2ac －4ac ＝(a －c )2. ∵a ＋c ，a ＋c －2b ，a －c 均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a ＋c )(a ＋c －2b )]＝lg(a －c )2，即lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )＝2lg(a －c )，∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列．层级一 学业水平达标1．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2n ，则它的公差为( ) A ．2 B ．3 C ．－2D ．－3解析：选C ∵a n ＝3－2n ＝1＋(n －1)×(－2)，∴d ＝－2，故选C. 2．若等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，则n ＝( )A ．50B ．51C ．52D ．53解析：选D 依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，代入a 1＝13，得d ＝23.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13，令a n ＝35，解得n ＝53.3．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( ) A ．a ＝－b B ．a ＝3b C ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝0 解析：选C 由等差中项的定义知：x ＝a ＋b2， x 2＝a 2－b 22， ∴a 2－b 22＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即a 2－2ab －3b 2＝0. 故a ＝－b 或a ＝3b .4．数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 2 015的值是( ) A ．1 006 B ．1 007 C ．1 008D ．1 009解析：选D 由2a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1－a n ＝12，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d ＝12，所以a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，所以a 2 015＝2 015＋32＝1 009.5．等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( ) A ．a 8 B ．a 9 C ．a 10D ．a 11解析：选B |a n |＝|70＋(n －1)×(－9)|＝|79－9n |＝9⎪⎪⎪⎪879－n ，∴n ＝9时，|a n |最小． 6．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. ∴a 6＝2×6＋1＝13. 答案：137．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________. 解析：根据题意得：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1， ∴a 1＝1.又a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0， ∴d ＝－12.答案：－128．已知数列{a n }满足：a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________. 解析：根据已知条件a 2n ＋1＝a 2n ＋4，即a 2n ＋1－a 2n ＝4.∴数列{a 2n }是公差为4的等差数列，则a 2n ＝a 21＋(n －1)×4＝4n －3. ∵a n >0，∴a n ＝4n －3. 答案：4n －39．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．解：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2， 所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ， 所以1a n ＋1－1a n ＝12(常数)． 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝12为首项，公差为12的等差数列．10．若1b ＋c ，1a ＋c ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列． 证明：由已知得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2a ＋c ，通分有2b ＋a ＋c ?b ＋c ??a ＋b ?＝2a ＋c. 进一步变形有2(b ＋c )(a ＋b )＝(2b ＋a ＋c )(a ＋c )，整理，得a 2＋c 2＝2b 2， 所以a 2，b 2，c 2成等差数列．层级二 应试能力达标1．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋q B ．0 C ．－(p ＋q )D.p ＋q2解析：选B ∵a p ＝a 1＋(p －1)d ，a q ＝a 1＋(q －1)d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋?p －1?d ＝q ， ①a 1＋?q －1?d ＝p . ② ①－②，得(p －q )d ＝q －p . ∵p ≠q ，∴d ＝－1.代入①，有a 1＋(p －1)×(－1)＝q ，∴a 1＝p ＋q －1. ∴a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)d ＝p ＋q －1＋(p ＋q －1)×(－1)＝0.2．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( )A.m nB.m ＋1n ＋1C.n mD.n ＋1m ＋1解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 3．已知数列{a n }，对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为1的等差数列 C ．公差为－2的等差数列D ．非等差数列解析：选A 由题意知a n ＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2，应选A.4．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，且公差d ≠0，则( ) A ．a 3a 6>a 4a 5 B ．a 3a 6<a 4a 5 C ．a 3＋a 6>a 4＋a 5D ．a 3a 6＝a 4a 5解析：选B 由通项公式，得a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，那么a 3＋a 6＝2a 1＋7d ，a 3a 6＝(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝a 21＋7a 1d ＋10d 2，同理a 4＋a 5＝2a 1＋7d ，a 4a 5＝a 21＋7a 1d ＋12d 2，显然a 3a 6－a 4a 5＝－2d 2<0，故选B.5．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为________．解析：a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1， b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6， 令a n ＝b n ，得3n －1＝4n －6，∴n ＝5. 答案：56．在数列{a n }中，a 1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ， a n －1)都在直线x－y －3＝0上，则a n ＝________.解析：由题意得a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n ，a n ＝3n 2.答案：3n 27．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(3)求数列{a n }的通项公式a n .解：(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20. (2)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)，即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 121＝12，公差d ＝1的等差数列．(3)由(2)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫n －12·2n.8．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n (n ∈N *)． (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{a n }为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由． 解：(1)∵a 1＝2，a 2＝－1，a 2＝(λ－3)a 1＋2，∴λ＝32.∴a 3＝－32a 2＋22，∴a 3＝112.(2)∵a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n ， ∴a 2＝(λ－3)a 1＋2＝2λ－4. a 3＝(λ－3)a 2＋4＝2λ2－10λ＋16. 若数列{a n }为等差数列，则a 1＋a 3＝2a 2. 即λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{a n }成等差数列．第二课时 等差数列的性质2.若{a n }是公差为d 的等差数列，正整数m ，n ，p ，q 满足m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p＋a q .(1)特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ＋a n ＝2a k .(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a 1＋a n＝a 2＋a n －1＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{a n}是等差数列，则{|a n|}也是等差数列()(2)若{|a n|}是等差数列，则{a n}也是等差数列()(3)若{a n}是等差数列，则对任意n∈N*都有2a n＋1＝a n＋a n＋2()(4)数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋5，则数列{a n}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等()解析：(1)错误．如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误．如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确．根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2成立．(4)正确．因为a n＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．在等差数列{a n}中，若a5＝6，a8＝15，则a14等于()A．32B．33C．－33 D．29解析：选B∵数列{a n}是等差数列，∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，∴a14＝6＋9×3＝33.3．在等差数列{a n}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝()A．90 B．270C．180 D．360解析：选C因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.4．在等差数列{a n}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.答案：30[典例](1)n2412345＝()A ．30B ．15C ．5 6D ．10 6(2)设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( ) A ．0 B ．37 C ．100D ．－37[解析] (1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 4)＋a 3＝52(a 2＋a 4)＝52×6＝15.(2)设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列， 则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100， c 2＝a 2＋b 2＝100， ∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0. ∴c 37＝100，即a 37＋b 37＝100. [答案] (1)B (2)C1．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32解析：选A a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝π，所以a 5＝π3，而a 2＋a 8＝2a 5＝2π3，所以cos(a 2＋a 8)＝cos2π3＝－12，故选A. 2．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝( ) A ．10 B ．18 C ．20D ．28解析：选C 由等差数列的性质得：3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋(2a 6)＝2(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 8)＝20，故选C.[典例] (1)倍，求这三个数． (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解] (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧?a －d ?＋a ＋?a ＋d ?＝9，?a －d ?a ＝6?a ＋d ?， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )， 依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8， 即a ＝1，a 2－9d 2＝－8， ∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0， ∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )， 依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8， 把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得⎝⎛⎭⎫1－32d ⎝⎛⎭⎫1＋32d ＝－8， 即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2， a ＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设这四个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )．由题设知解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.[典例] 方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解] 设从第一年起，第n 年的利润为a n 万元， 则a 1＝200，a n ＋1－a n ＝－20(n ∈N *)， ∴每年的利润构成一个等差数列{a n }，从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝200＋(n －1)×(－20)＝220－20n . 若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损． ∴由a n ＝220－20n <0，得n >11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n }来计算车费．令a 1＝11.2，表示4 km 处的车费，公差d ＝1.2，那么当出租车行至14 km 处时，n ＝11，此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答案：23.2层级一 学业水平达标1．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝( ) A ．12 B ．16 C ．20D ．24解析：选B 因为数列{a n }是等差数列，所以a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝16.2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( ) A ．5 B ．6 C ．8D ．10解析：选A 由等差数列的性质，得a 1＋a 9＝2a 5， 又∵a 1＋a 9＝10，即2a 5＝10， ∴a 5＝5.3．下列说法中正确的是( )A ．若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列B ．若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列D ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a,2b,2c 成等差数列 解析：选C 因为a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ， 所以2b ＋4＝a ＋c ＋4， 即2(b ＋2)＝(a ＋2)＋(c ＋2)， 所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．4．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．14解析：选B 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 5．等差数列{a n }中， a 2＋a 5＋a 8＝9，那么方程x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0的根的情况( ) A ．没有实根 B ．两个相等实根 C ．两个不等实根D ．无法判断解析：选A 由a 2＋a 5＋a 8＝9得a 5＝3，∴a 4＋a 6＝6，方程转化为x 2＋6x ＋10＝0.因为Δ<0，所以方程没有实根．6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________． 解析：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，?a －d ?2＋a 2＋?a ＋d ?2＝59. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21. 答案：－217．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.答案：1或28．已知等差数列{a n}满足a m－1＋a m＋1－a2m－1＝0，且m>1，则a1＋a2m－1＝________.解析：因为数列{a n}为等差数列，则a m－1＋a m＋1＝2a m，则a m－1＋a m＋1－a2m－1＝0可化为2a m－a2m－1＝0，解得a m＝1，所以a1＋a2m－1＝2a m＝2.答案：29．在等差数列{a n}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.解：法一：由等差数列的性质得a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.法二：∵数列{a n}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.10．有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少．解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n 成等差数列．设该数列为{a n}．a n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式a n≥440，即800－20n≥440，得n≤18.当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，当n<10时，600n<(800－20n)n，当n＝10时，600n＝(800－20n)n，当10<n≤18时，(800－20n)n<600n，当n>18时，440n<600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }：1,0，－1，－2，…；等差数列{b n }：0,20,40,60，…，则数列{a n＋b n }是( )A ．公差为－1的等差数列B ．公差为20的等差数列C ．公差为－20的等差数列D ．公差为19的等差数列解析：选D (a 2＋b 2)－(a 1＋b 1)＝(a 2－a 1)＋(b 2－b 1)＝－1＋20＝19.2．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B ．±3 C ．－33D ．－ 3解析：选D 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan8π3＝tan 2π3＝－ 3. 3．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A ．1 B.34 C.12D.38解析：选C 设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2， 再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2， ∵a 1＝14，∴d ＝12，∴a 2＝14＋12＝34，a 3＝14＋1＝54，a 4＝14＋32＝74，∴|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3| ＝⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12.4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升解析：选B 设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4， 即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766， 故第5节的容积为6766升．5．已知{a n }为等差数列，且a 6＝4，则a 4a 7的最大值为________．解析：设等差数列的公差为d ，则a 4a 7＝(a 6－2d )(a 6＋d )＝(4－2d )(4＋d )＝－2(d ＋1)2＋18，即a 4a 7的最大值为18.答案：186．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n＝________.解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn ＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 27．数列{a n }为等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解：∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 3＝218，b 1b 2b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3.∵a 1，a 2，a 3成等差数列，∴a 2＝1，故可设a 1＝1－d ，a 3＝1＋d ， 由⎝⎛⎭⎫121－d ＋12＋⎝⎛⎭⎫121＋d ＝218，得2d ＋2－d ＝174，解得d ＝2或d ＝－2.当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3； 当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5. 8．下表是一个“等差数阵”：ij (1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式，以及2 017这个数在“等差数阵”中所在的一个位置． 解：通过每行、每列都是等差数列求解． (1)a 45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行，由题意4,7，…，a 15，…成等差数列， 公差d ＝7－4＝3，则a 15＝4＋(5－1)×3＝16. 再看第2行，同理可得a 25＝27.最后看第5列，由题意a 15，a 25，…，a 45成等差数列， 所以a 45＝a 15＋3d ＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a 1j ＝4＋3(j －1)； 第2行是首项为7，公差为5的等差数列a 2j ＝7＋5(j －1)； …第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， ∴a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1) ＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .要求2 017在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得i (2j ＋1)＋j ＝2 017， ∴j ＝2 017－i 2i ＋1.又∵j ∈N *，∴当i ＝1时，得j ＝672.∴2 017在“等差数阵”中的一个位置是第1行第672列．。
