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平面弯曲概念及计算简图72梁内力弯矩图

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梁的弯曲(工程力学课件)

梁的弯曲(工程力学课件)

02 弯曲的内力—弯矩与剪力
3-3截面
M 3 q 2a a 2qa 2
4-4截面
qa 2
5qa 2
2
M 4 FB 2a M C
3qa
2
2
5-5截面
qa 2
M 5 FB 2a
2
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
由以上计算结果可以看出：
（1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在
后逐段画出梁的剪力图和弯矩图。
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例8 悬臂梁AB只在自由端受集中力F作用，如图（a）所示，
试作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1-1截面： Q1＝-F M1＝0
2-2截面： Q1＝-F M1＝－Fl
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例9 简支梁AB在C点处受集中力F作用，如图（a）所示，作此梁的剪力
（2）建立剪力方程和弯矩方程；
（3）应用函数作图法画出剪力Q（x），弯矩M（x）的图线，即为剪力
图和弯矩图
03 弯矩图和剪力图
例9.3 悬臂梁AB在自由端B处受集中载荷F作用，如图（a）所示，试作
其剪力图和弯矩图。
解 ：（1）建立剪力方程和弯矩方程
() = ( < < )
() = −( − ) ( ≤ ≤ )
方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
（2）建立剪力方程和弯矩方程
03 弯矩图和剪力图
（3）绘制剪力图、弯矩图
计算下列5个截面的弯矩值：
03 弯矩图和剪力图
二、用简便方法画剪力图、弯矩图 (从梁的左端做起)
1.无载荷作用的梁段上 剪力图为水平线。 弯矩图为斜直线（两点式画图）。

弯矩的正负

弯矩的正负

N10 ×2 12 kN· m （由4-4截面右侧计算） ×1 M 4 q×2×1 FB ×2 4 ×2
7.10
§7.2 平面弯曲内力—剪力与弯矩
从以上 1-1 、 2-2 截面的剪力值可以看出， 在集中力 作用处的两侧截面的剪力值将发 F 的大小； F
生突变，突变值就等于该集中力
7.16
§7.3 剪力图与弯矩图
例7.3
图7.14a所示简支梁AB，在C点受集中力F作用，试列出梁的
F b C x2 l FS + Fb/l x Fa/l Fab/l + _ FB B x FA a x1
剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 y
解
1）求支反力 由平衡方程得
A
Fb FA l
(c) (d)
FB B x
3）绘制剪力图和弯矩图
x Fa/l Fab/l + _
M
7.18
x
§7.3
剪力图与弯矩图
式（b）表示在AC段内的弯矩图是一条向右上方倾斜的斜直线， Fab 决定。 由 x 0, M 0; xa, M l 而式（d）表示在BC段内的弯矩图是一条向右下方倾斜的斜直线，
l ql l q l 2 ql 2 l 将 x 代入弯矩计算公式得 M ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 8 （此即抛物线顶点的纵坐标，即可绘出抛物线，也就是梁的弯矩图。
由剪力图与弯矩图可以很方便地看出：
ql 最大剪力发生在两端截面的内侧，其绝对值为 FS max ； 2 ql 2 最大弯矩发生在中截面， M max 。 8
(a x2 l )
(d )
Meb/l
7.21
§7.3

梁的平面弯曲

梁的平面弯曲
3 VB左 YA 2 qa 1 M B左 qa 2 2
3 VA右 YA qa 2 M A右 qa 2
例2
15
二简易法 梁的内力计算的两个规律： （1）梁横截面上的剪力V，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
qa 2
B
q C a
Y 0 :
YB YA qa 0
3a M A 0 : YB a qa qa 2 0 2 3 YA 2 qa 5 YB qa 2
13
（2）计算各截面内力
A右截面
qa MA右
2
B左截面 A
qa
2
B右截面 MB左 B
F2
C
YA 外伸梁 YB
9
二、梁的内力（剪力和弯矩)
x m n M P 力平衡：V - P = 0 力矩平衡：M + P(l-x) = 0 l 剪力：V = P 是一集中力,作用 线过截面形心,与截面相切.
V
P
弯矩：M = - P(l-x) 是一内力 偶矩,作用面在纵向对称面内.
（按左半边梁，能算出V、M吗？）
l a 2 M C FA l a q
2
0
2q1 x 1.4 2 1.4 q 0 2 x 2
x 0.462m
21
18
FQC Fy FAy 2kN M c M O FAy 2m M e 2kN 2m 8kN m 4kN m
FQB 左 F FBy 2kN 4kN 2kN M B左 F 2m 2kN 2m 4kN m FQB 右 F 2kN M B右 F 2m 2kN 2m 4kN m

第16章 弯 曲

第16章 弯 曲
2）集中力偶
集中力偶是将通过微小梁段作用在梁上的力偶，近似地简化为一个集中力偶，如图 16-4 中所示 的力偶矩 M。
1.2梁的计算简图
2．载荷的简化
作用在梁上的载荷可以简化为以下三种形式。
3）分布载荷
分布载荷是沿着梁的轴线方向在一定长度上连续分布且垂直于轴线的力系，其大小一般用载 荷集度表示，单位为 N/m 或 kN/m。如果该力系是均匀分布的，则此时的分布载荷称为均布载荷， 如图 16-4 中所示的均布载荷 q。
实际工程问题中，梁的轴线一般为直线，绝大多数梁的横截面上都有 1 根或 2 根对称轴，如 图 16-3 所示。
图16-3
1.1 平面弯曲的概念
由横截面的纵向对称轴和梁的轴线所组成的平面，称为纵向对称面，如图 16-4 所示。如果梁 上的所有外力（包括约束反力）都作用在这个对称面内，那么梁变形后，其轴线也将变成这个对 称面内的一条平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。平面弯曲是最常见、最简单的弯曲变形。 本章仅讨论直梁的平面弯曲问题。
02 梁的剪力和弯矩
2 梁的剪力和弯矩
为了进一步研究梁的强度和刚度问题，当作用于梁上的外力确定后，可以采用截面法来分析 梁任意截面上的内力。此时内力包括剪力和弯矩。
如图 16-6（a）所示的简支梁，受到主动力 F 的作用，下面通过求解距离梁的左端为 x 处的横 截面 m-m 上的内力来研究剪力和弯矩。
图16-4
1.2梁的计算简图
1．支座的简化
根据支座对梁约束作用的不同，可将支座简化为活动铰支座、固定铰支座和固定端约束三种 基本形式。其中，活动铰支座和固定铰支座在第 1 章静力学基础中的约束和约束反力部分已有介 绍，此处不再赘述；固定端约束使梁既不能向任何方向移动，也不能转动，其约束反力包括两个 正交分力和一个力偶。

工程力学

工程力学
18:48 16
5qa Q1 R A 4
7qa 0得 R B 4
由截面法得内力结论： 梁任意截面上的剪力等于截面一侧梁上所有横向外力 的代数和。左侧梁上向上的外力为正(右侧梁上向下的外 力为正)，反之为负。 梁任意截面上的弯矩等于截面一侧梁上所有外力对 截面形心取矩的代数和。左侧梁上顺时旋转的弯矩为正 (右侧梁上逆时旋转弯矩为正)，反之为负。
斜直线
Q
自左向右突变
Q
无变化
Q C
x
Q<0
x
x
x
Q1 C
Q>0 M
斜直线
x M x
(-)
M
(+)
(-)
18:48
截面上的内力值
x
22
q
A
x
B
l
Fs
ql R A RB 2
ql Fs ( x) R A qx qx 2
RA
ql 2
RB
(0 x l )
ql 2
ql x M ( x) x qx 2 2
M
q l2 8
q ql l x 2 2 8
| Q | max F | M | max Fl
梁上集中荷载及支座处内力有以下特点
（1）集中力作用处，剪力无定值，定突变，变化的大小就是该处集中力的数 值。当该处集中力向上作用时，从左邻到右邻剪力的数值增加。 当该处集中力向下作用时，从左邻到右邻剪力的数值减小。 （2）集中力偶作用处，弯矩无定值，定突变，变化的大小就是该处集中力偶的 数值。当该集中力偶顺时转时，从左邻到右邻弯矩的数值增加。 当该集中力偶逆时转时，从左邻到右邻弯矩的数值减小。 （3）在两端的铰处或自由端，只要该处无集中力偶，则两端内侧截面的M=0。 若该处有集中力偶Me作用，则梁端内侧面或自由端内侧面M=Me （4）最大弯矩可能发生在 a)集中力作用处 b)集中力偶作用处

平面弯曲—梁的内力(建筑力学)

平面弯曲—梁的内力(建筑力学)
∑Fy=0 FQ1 ＋ FP=0 FQ1=－FP =－100kN (负剪力)
∑M1=0 M1＋FP×a=0 M1=－FP a= －100×1.5 =－150kN·m (负弯矩)
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩 ∑Fy=0 －FQ2－FP＋FAy =0 FQ2=25kN (正) ∑M2=0 M2＋FP×a=0 M2=－150kN·m (负)
弯曲内力
利用截面法求内力时应注意以下几点： １）为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。 ２）作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知 的剪力和弯矩通常均按正方向假定。 ３）在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作 隔离体上的外力来看待。因此，平衡方程中剪力、弯矩的 正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身 的正、负号相混淆。
=－15×1×2.5－30×3 =－127.5kN·m
计算结果为负，说明1-1截 面上弯矩的实际方向与图中 假定的方向相反，即1-1截面 上的弯矩为负值。
弯曲内力
（2）求2-2截面上的剪力和弯矩
取2-2截面的右侧为隔离体。
∑Fy =0 FQ2－FP－q×1=0 FQ2= FP＋q×1 =30＋15×1=45kN (正剪力)
弯曲内力
例10-3 直接用规律求图示简支梁指定截面上的剪力和弯矩。 已知：M=8kN·m，q=2kN/m
解 （1）求支座反力 FAy=1kN(↓) FBy=5kN(↑)
（2）求1-1截面上的剪力和弯矩。
取该截面的左侧为隔离体 FQ1=－FAy =－1kN
M1=8kN·m
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩。 取该截面的右侧为隔离体
FQ2=q×2－Fby =(2×2－5)kN=－1kN

第10章 1,2弯曲的概念及梁的计算简图

第10章 1,2弯曲的概念及梁的计算简图
14
[例1] 求下列图示梁的内力方程并画出内力图 ] F A L F M 解：①求支反力
FAY = F ; M = FL
B
FAY
15
F A L M
F S ( x) = FAy = F
M ( x) = FAY x − M = F ( x − L)
B
②写出内力方程
FAY
FS ( x)
x
FS(x)
M(x)
l
F S
–
M
b Me l
2 集中力偶作用处 剪力无变化。 集中力偶作用处, 剪力无变化。
⊕
a Me l
–
x
18
[例4] 例 A
q B
l
结论: ★ ★结论 1 受均布力 剪力图是斜直线， 受均布力,剪力图是斜直线， 剪力图是斜直线 弯矩图为抛物线； 弯矩图为抛物线；
F ql/2 S
⊕
–
M
ql2/8 ⊕ ql/2
§10–1.2 弯曲的概念及梁的计算简图
一、弯曲的概念
1. 弯曲（bending): 弯曲（ 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢
的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁(beam) (beam)。 构件通常称为梁(beam)。
11
二、剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图
内力方程：内力与截面位置坐标（ ）间的函数关系式。 1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
内力方程包括： 内力方程包括：
FS = FS ( x )
剪力方程 弯矩方程
M = M (x) 剪力图和弯矩图： 2. 剪力图和弯矩图： 剪力图 弯矩图

平面弯曲概念及计算简图72梁内力弯矩图

平面弯曲概念及计算简图72梁内力弯矩图

C
A
B D
2m
4m
2m
QB左 RB 3.5KN QB右 0
二、剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程：用函数表达式表示沿梁轴线各
横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程
和弯矩方程 。
即：
Q = Q (x )
M = M（x）
剪力图和弯矩图 绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出 梁的 剪力方程 和 弯矩方程 ，然后根据它们作图。 剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧 弯矩图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧
RB
P1a l
P2b
记 E 截面处的剪力 为 QE 和弯矩 ME ， 且假设 QE 和弯矩 ME 的指向和转向 均为 正值。
b
RA
a
A
E c
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
QE
RA
ME
A
E
C
b
y 0, RA QE 0 RA
a
mE 0, M E RA c 0 A
E
c 解得
P1 P2
RB
P=50KN yC ' yC
mA
XA
AE
C
xc ' xc
xc ' xc
RA
mA 0, mA 311.5 501 96.5kN m
§7—2 梁的内力· 弯矩图
一、梁的剪力和弯矩
１、Q 和 M 的定义与计算
a
P
m
A
B
m x
a
P
m
用截面法假想地在
A
B
m

六章弯曲内力

六章弯曲内力
(5)集中力作用的截面上剪力有“跳跃“（突 变），其跳跃的值就是这个集中力的大小；集中 力偶作用的截面上弯矩有”跳跃”，其跳跃的值 就是这个集中力偶的大小．
第六章 弯曲内力
三 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图
第六章 弯曲内力/三 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图
1 剪力方程与弯矩方程 在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。
Cx a
M(x)mPa(0xa)
第六章 弯曲内力/三 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图
BC段:
m=Pa
P
FQ(x)P (ax2a) A
xB
M (x)m P (xa)
a
a
2PaPx (ax2a)
Cx
2、作梁的剪力图和弯矩图
3、求
FQ
和
max
M
max
FQ max P（在BC段的各截面） Pa
MmaxPa（在AB段的各截面）
M0 8KN.m
A E
q=2KN/m
C
B
P=2KN
F D
1m 1m
2m
1m 1m
因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即
F QF Q (x), M M (x)称为剪力方程和弯矩方程
第六章 弯曲内力/三 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图 2 内力与外力的相依关系
某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外 力相平衡；
例题 一外伸梁受力如图所示。试求D左、D右、B左、B右截面
上的内力。
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A D
F Ay 1m
1m
B
F By
2m
1m

梁的弯曲--内力剪力弯矩

梁的弯曲--内力剪力弯矩
可见：
F
x
F q
x
剪力方程和弯矩方程都是载荷F、q和
Me
Me的线性函数
x
叠加法作弯矩图
Me
q
x
FQ x F q x M e 0 1 2 M x Fx q x M e 2
叠加原理：
F
由几个外力同时作用时所引起的构件内的某一参数（内力、应力或位 移等）
由各个外力单独作用时所引起的构件内的该一参数的矢量和或代数和
x
ql __ 2
l
ql __ 2
FQ
ql __ 2
2
ql __
M
ql __ 2
x
8
3. 作内力图
x
例 3 作图示梁的内力图。 解： 1.求支反力 2.列内力方程
a A
F C x l
b B
Fa l
x
Fb Fb 0 x a l l FQ x F Fb Fa F a a x l l x Fb ll l Fb x 0 x a l M x Fa Fb l F x a x l x l l x x a a M
（二）、符号规定
dx
dx
dx
dx
剪力： 弯矩：
绕研究体顺时针转为正 由下转向上为正
例 1 试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的FQ和M。 qa qa q 解： 1.求支反力
2
C
A a a 1 FAy qa 4
D a
B a 7 FBy qa 4
E
1 FAy qa ( ) 4 7 FBy qa ( ) 4
2
A左邻截面：
FQA左 qa

第六章：梁弯曲时的内力和应力

第六章：梁弯曲时的内力和应力
FS FS (x) M M (x)
剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标， 按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解 决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础。
第三节：剪力图和弯矩图
5-5 截面
FS5 q 2 FB 5.5 kN
1 23 4
5
1 23 4
5
M5 (q 2)1 8 kN m
第三节：剪力图和弯矩图
第三节：剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁 轴线选取坐标 x 表示梁截面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解 析表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
M 为常数，即对应弯矩图应为水平直线； 其他两段的弯矩图则均为斜直线。
第三节：剪力图和弯矩图
3）判断剪力图和弯矩图形状 AC、CD、DB 各段梁的剪力图均为水 平直线。在 CD 段，弯矩 M 为常数，对 应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯 矩图则均为斜直线。
4）作剪力图和弯矩图
剪力图 弯矩图
第四节：弯曲时的正应力
第一节：梁的计算简图 第二节：弯曲时的内力计算 第三节：剪力图和弯矩图 第四节：弯曲时的正应力 第五节：正应力强度计算 第六节：弯曲切应力 第七节：提高梁弯曲强度的一些措施
第一节：梁的计算简图
第一节：梁的计算简图
一、梁的支座 梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1、固定铰支座：如图 a)所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的 线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和 垂直于梁轴线方向的 FAy 。

第7章 平面弯曲《建筑力学》教学课件

第7章 平面弯曲《建筑力学》教学课件

坐标系。
列
方
当梁上同时作用着多个荷载时，剪力和弯矩 程
与截面位置间的关系发生变化，需分段列方程。
作 图
剪力图和弯矩图
将剪力方程和弯矩方程在直角坐标系中画成图 像，观察内力变化规律既唯一又直观。
1. 作 FS , M 图步骤 建立坐标系；
列 FS ，M 方程；
作 FS , M 图。
7.3.1 列 方 程 作 图
1）剪力
Fiy 0 YAFS 0 得： FS YA
大小：等于截面一侧所有横向外力的代数和。
7.2.1 梁
FS (左或)右Fi侧
弯 曲
正负号：对研究对象内任一点呈顺时针力矩者为正。
变 形
外力的正负号规定同剪力符号规定一致，仍是
的 内
顺正逆负。
力-
剪
力
和
弯
矩
2）弯矩
M0 YAxM 0
得： M YAx
图7-8
7.3.1 列 方 程 作 图
7.3.1 列 方 程 作 图
【例7-3】图7-9(a)所示的简支梁AB受一集中力作用,试作其剪 力图和弯矩图。
图7-9
7.3.1 列 方 程 作 图
【例7-3】图7-9(a)所示的简支梁AB受一集中力作用,试作其剪 力图和弯矩图。
图7-9
7.3.1 列 方 程 作 图
图7-2
7.1.1 梁 的 弯 曲 变 形
如图7-3所示的建筑物楼面梁和阳台挑梁,它们都因受 到楼面荷载和梁自重的作用而发生平面弯曲。
图7-3
7.1.1 梁 的 弯 曲 变 形
常见梁的分类
（1） 悬臂梁：梁的 一端固定,另 一端自由,如 图7-4(a)所示
。

材料力学第五章

材料力学第五章
FS FS (x) M M (x) 上两式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程，为了形象地描述剪力、弯矩 沿梁轴线的变化，常将剪力、弯矩方程用图线表示。这种图线分别称为剪力 图和弯矩图。
例5-2 求图5-9所示简支梁各截面内力，并作内力图。 （a）
（c） （d）
（b）
图5-9
（e）
解 （1）求约束力。注意固定铰 A 处 FAx 0 ，故梁 AB 受力如图 5-9（a） 所示。
材料力学
第五章 弯曲内力与强度计算
一 平面弯曲的概念与实例
二 梁的内力——剪力与弯矩
三
剪力图与弯矩图
四
载荷集度、剪力与弯矩间的关系
五
纯弯曲时梁横截面上的正应力
六
梁的弯曲正应力强度条件及其应用
七
弯曲切应力
八
提高梁的弯曲强度的措施
第一节 平面弯曲的概念与实例
直杆在垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的外力偶作用下， 杆的轴线将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。承受弯曲变形为主的杆 件通常称为梁。
（a）
（b） （c）
图5-12
解 （1）由静力平衡方程求出支座约束力。
FA
Me L
（方向向上）
FB
Me L
（方向向下）
（2）列剪力方程和弯矩方程。
FS ( x)
FA
Me L
(0 x L)
（a）
由于力偶在任何方向的投影皆等于零，所以无论在梁的哪一个横截面上，
剪力总是等于支座约束力 FA （或 FB ）。所以在梁的整个跨度内，只有一个剪 力方程式（a）。
设 a x2 a b ，左段受力如图 5-9（c）所示。 由平衡方程求得
FS2 FAy F 0

梁的剪力和弯矩概念讲解(剪力图弯矩图,含例题)

梁的剪力和弯矩概念讲解(剪力图弯矩图,含例题)
10kN m
X2
40 kN m
A
35kN
B
FS x1 20kN
M x1 20 x1
0 x1 1 0 x1 1
1m
15
4m
2.5
25kN
FS x2 25 10 x2
25
2 x2 M x2 25 x2 10 2
20
20
kN
0 x2 4
F=8kN
2、计算1-1
截面的内力 F A
3、计算2-2
FS1
q=12kN/m
M 1 F F F 7kN S1 A M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
FS2 q 1.5 FB 11kN
FB
截面的内力
M2
FS2
M 2 FB 1.5 q 1.5
M ＞0
M＜0
剪力：使脱离体有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负； 弯矩：使脱离体产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。
6.2
例 题
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
2 Fl
F
A
l
FCs
C
l
D
B
截面法求解
2 Fl
D
FCs F
C截面
F
B
M C Fl
FDs F
MC C
FDs
MD
D

l
F
B
D截面
2q1 x FA 2 x
x
l 2m a 0 .6 m
2 l a M C FA l a q
2
0
2q1 x 1.4 2 1.4 q 0 2 x 2
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(3) 几种超静定梁
(例题1) (例题2)
例1: 计算悬臂梁的支反力。
q
P
A
C
B
l2
l2
l
RA
A mR
3l 4
q
C
l
ql
P
2
B
解: 求梁的支反力 RA 和 mR 。
由平衡方程得： y 0,
R
A
ql 2
P0
M A 0,
mR
ql 2
3l 4
Pl
0
RA
A mR
3l 4
q
C
l
ql
P
2
B
解得：
处横截面处的剪力和弯矩。
b
P1 P2 a
A
CD
B
E
F
c
d
l
b
RA
a
A
E c
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
解:
mA 0
RBl P1a P2b 0
mB 0 RAl P1(l a) P2 (l b) 0
b
RA
a
A
E
c
P1 P2
RB
C
D
B
F
d
l
解得：
RA
P1 (l
a)
l
P2 (l
b)
非对称弯曲 ：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内这种弯 曲称为非对称弯曲。
1 。支座的简化
II . 梁的计算简图
在梁的计算简图中用梁的轴线代表梁
（1） 固定端
R Hm
（2）固定铰支座
R
R
H
( 3 ) 可动铰支座
2， 工程中常用到的静定梁 悬臂梁 简支梁 外伸梁
RA
ql 2
P
mR
Pl
3ql 2 8
(例题2)
例2：计算图所示多跨静定梁的支反力
P=50KN
q 20KN m
A
E CD
1m 0.5m 1m
3m
M=5KN.m
K
B
1m
P=50KN
q 20KN m
A
E CD
1m 0.5m 1m
3m
M=5KN.m B
K 1m
分析：先将中间铰 C 拆开，并通过平衡方程求出副梁 CB 的支反力。
l
B
F
d
y 0, QF RB 0
QF RB -
解得：
mF 0, M F RBd 0
M F RB d +
例题4
例题4： 图示简支梁受线性变化的分布荷载作用， 最大荷载集度为 q0 。试计算梁在 C 点处横截面上的 剪力和弯矩
q0
A
B
C
a l
RA 解：求梁的支反力 RA 和 RB
M E 0 RB (l c) P1(a c) P2 (b c) M E 0
解得：
QE RA +
M E RAc +
b
RA
a
E c
P1 P2
RB
QF
RB
C
D
F
B MF
d
l
B
F
d
计算 F 点横截面处的剪力 QF 和弯矩 MF 。
b
RA
a
E c
P1 P2
RB
QF
RB
C
D
F
B MF
d
RB
P1a l
P2b
记 E 截面处的剪力 为 QE 和弯矩 ME ， 且假设 QE 和弯矩 ME 的指向和转向 均为 正值。
b
RA
a
A
E c
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
QE
RA
ME
A
E
C
b
y 0, RA QE 0 RA
a
mE 0, M E RA c 0 A
E
c 解得
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
QE RA
+
M E RAc +
QE
RA
ME
A
E
C
取右段为研究对象
QE
RA
ME
A
E
C
b
RA
a
A
E c
P1 P2
RB
CD
B
F
d
l
QE
P1
P2
RB
Ec
D
B
a- c
ME
b- c
l- c
QE
RA
ME
A
E
C
QE
P1
P2
RB
Ec
D
B
a- c
ME
b- c
l- c
y0
QE RB P1 P2 0
再将副梁 CB 的两个支反力 XC ，YC 反向， 并分别加在主梁 AC 的 C 点处，求出 AC 的支反力。
P=50KN
q 20KN m
A
E CD
1m 0.5m 1m
3m
M=5KN.m B
K 1m
xC
C yC
q 20KN m D
M=5KN.m KB
RB
xC
C yC
q 20KN m D
M=5KN.m KB
内容提要
§7-1 平面弯曲的概念及计算简图 §7-2 梁的内力 · 弯矩图 §7-3 弯曲时的正应力和强度计算
§7-1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
I. 弯曲的概念
弯曲变形 受力特征： 外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系
（有时还包括力偶）。 变形特征：梁变形前为直线的轴线 ，变形后成为曲线。
梁： 以弯曲变形为主的杆件。
M
的转向则与取右段梁为 研究对象所示相反。
m
M
P
RB
Qm
B
2, Ｑ和 M 的正负号的规定 剪力符号
使dx 微段有 左端向上而右端向下 的相对错动时，横截面 m-m 上 的剪力为正 。或使dx微段有顺时针
转动趋势的剪力为正。
+m
Q
Q
m
dx
使dx 微段有 左端向下而右端向上 的相对错动时，横截面 m-m 上 的剪力为负 。或使dx微段有逆时针
y
RA
m
Q
C
x
A
xm
由平衡方程得
a
P
m
A
B
y 0 RAQ 0
m
x
可得 Q = RA
Q 称为 剪力
y
RA
m
Q
C
x
A
xm
由平衡方程
a
P
m
mC 0
A
B
m x
M RAx 0
可得 M=RAx
此内力偶称为 弯矩
y
RA
m
Q
C
x
A
xm
M
取右段梁为研究对象。 其上剪力的指向和弯矩
y
RA
m
Q
C
x
A
xm
纵向对称面 ： 包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线 的平面称为 纵向对称面
平面弯曲 ：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内 ，弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的 平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。或更确切地称为 对称弯曲。
纵向对称面
A
P1
P2
梁的轴线
B
RA
RB
梁变形后的轴线
与外力在同一平
面内
RB
解：（1）研究CB梁，由平衡方程
X 0, XC 0
mB 0, yC 5 20 3 2.5 5 0
y 0, RB 20 3 yC 0 X C 0, yC 31kN, RB 29kN
（2）研究 AC 梁，由平衡方程 X 0, X A 0
y 0, RA 50 31 81kN
P=50KN yC ' yC
mA
XA
AE
C
xc ' xc
xc ' xc
RA
mA 0, mA 311.5 501 96.5kN m
§7—2 梁的内力· 弯矩图
一、梁的剪力和弯矩
１、Q 和 M 的定义与计算
a
P
m
A
B
m x
aபைடு நூலகம்
P
m
用截面法假想地在
A
B
m
横截面mm处把梁分
x
为两段，先分析梁左段。
转动趋势的剪力为负。
-m
m
dx
弯矩符号
+ Mm
M
当dx 微段的弯曲下凸 （即该段的下半部受拉 ）时，
横截面m-m 上的弯矩为正；
m （受拉）
当dx 微段的弯曲上凸
_
（即该段的下半部受压）时，
横截面m-m 上的弯矩为为负。
m
m （受压）
例题3 例题4
例题3： 为图示梁的计算简图。已知 P1、P2，且 P2 > P1 ， 尺寸a、b、c和 l 亦均为已知。试求梁在 E 、 F 点