梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图

4-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。

4-3 试利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。

4-4 试作下列具有中间铰的剪力图和弯矩图。

4-14 一根搁在地基上的梁承受载荷如图所示。

假设地基的反力按直线规律
连续变化。

试求反力在两端A点和B点处的集度q A和q B，并作梁的剪力图和弯矩图。

4-15 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。

4-22 厚度为h＝1.5mm的钢带，卷成直径为D＝3m的圆环，试求钢带横截面上的最大正应力。

已知钢的弹性模量E＝210GPa。

4-25 矩形截面的悬臂梁受集中力和集中力力偶作用，如图所示。

试求截面m－m和固定端截面n－n上A、B、C、D四点处的正应力。

4-32 简支梁的荷载情况及尺寸如图所示，试求梁的下边缘的总伸长。

4-39 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。

已知F ＝5kN ，a ＝1.5m ，[σ]＝10MPa 。

试确定弯曲截面系数为最大时矩形截面的高宽比h /b ，以及梁所需木料的最小直径d 。

4-48 一矩形截面木梁，其截面尺寸及载荷如图，q ＝1.3kN/m 。

已知[σ]＝10MPa ，[τ]＝2MPa 。

试校核梁的正应力和切应力强度。

4-52 图示木梁受一可移动的载荷F ＝40kN 作用。

已知[σ]＝10MPa ，[τ]＝
3MPa 。

木梁的横截面为矩形，其高宽比23=b h 。

试选择梁的截面尺寸。

梁的剪力方程和弯矩方程常用弯矩图Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】5-7．试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。

解：首先求出支座反力。

考虑梁的整体平衡 由 0,0=+⋅=∑e RA B M l F M 得lM F eRA -= 由 0,0=-⋅=∑e RB A M l F M 得 lM F eRB= 则距左端为x 的任一横截面上的剪力和剪力图 弯矩表达式为：()l M F x F eRA S -== ()x lM x F x M eRA ⋅-=⋅= 剪力方程为常数，表明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是x 的一次函数，表明弯矩图是一条斜直线。

(如图) 解：首先求出支座反力。

考虑梁的平衡由 0452,0=⋅⋅-⋅=∑l l q l F M RB c得 ql F RB 85=由 021,02=+⋅=∑ql l F M RC B得 ql F RC 21-=则相应的剪力方程和弯矩方程为：AB 段：（201l x ≤≤） 剪力BC段：（2322lxl≤≤）AB段剪力方程为x1的一次函数，弯矩方程为x1的二次函数，因此AB段的剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；BC段剪力方程为常数，弯矩方程为x2的一次函数，所以BC 段剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为斜直线。

（如图）5-9 用简便方法画下列各梁的剪力图和弯矩图。

解：由梁的平衡求出支座反力：AB段作用有均布荷载，所以AB段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC段没有荷载作用，所以BC段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。

在B支座处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力（支座反力F RB）的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。

（如图）（5）解：由梁的平衡求出支座反力：KNFKNFRBRA5.6,5.3==AB 与BC 段没有外载作用，所以AB 、BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线；CD 段作用均布荷载，所以CD 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线。

5-7.试列出下列梁的画力方程和弯拒方程，并ntuw 力图和弯拒图。

解：首先求出支座反力。

考虑梁的整休平何由 £M fi =0, Fg/ + M<,=o由工M 「0, F 加/-M 严0则距左端为X 的任一横截面上的剪力和 弯葩表达式为：两力方程为常数，表明囲图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是X 的一次函 数，表明弯矩图是一条斜直线。

（如图）解：首先求岀支座反力。

考虑梁的平衡由工瓯=0,你小-“£心0 得F RB =討由》％=0,甩./ + *厂=0 得 F RC = - * qi则相应的画力方程和弯犯方程为：©M./1兀⑴=F RA = --—•X剪力图0」25g/8KN.M6.4KN.M弯矩图解：由梁的平求出支座反力：梯=8KN, F42KNAB段作用有均布荷裁，所以AB I?的剪力图为下颐直线，弯矩图为下凹二次I!物线；BC段没有荷教作用，所以BCI3的卿力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。

在B支座处，卿力图有突变，AB段：心是）心（“）=一处BC段：（*弓）集（小¥-如qiTAB段剪力方程为冷的一次函数，弯矩方程为冷的二次函数，因lit ABH的卿力图为斜直线，弯矩图为二次枢物线；BC段卿力方程为常数，弯拒方程为X2的一次函数，所以BC段勢力图为平行梁轴线的水平线fL弯葩图为斜直线。

（如图）5-9用简便方法画下列各梁的卿力图和弯葩图。

A/ (x2) = -q ・—・ x2(2 ) g=5KN/m Mr =8KN.mF RA4m F RB 2m解：由梁的平求岀支座反力：匚=3.5KN, F KB = 6.5KNAB 与BC 段没有外载作用，所 以AB 、BCB 的勇力图为平行 梁轴线的水平线段，弯矩图为 直线；CD 段作用均布荷载， 所以CD 段的卿力图为下颐直 线，弯拒图为下凹二次拋物 线。

在B 处，剪力图有突变，突变5)反力F RB ）的大小;弯矩图有 转折，转折方向习集中力方向 一致。

5.4.1 梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图梁在外力作用下，各个截面上的剪力和弯矩一般是不相等的。

若以横坐标表示横截面沿梁轴线的位置，则剪力Q 和弯矩M 可以表示为坐标的函数，即它们分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。

与绘制轴力图或扭矩图一样，可用图线表明梁的各截面上剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。

作图时，取平行于梁轴线的直线为横坐标轴，值表示各截面的位置；以纵坐标表示相应截面上的剪力、弯矩的大小及其正负，这种表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形，称为剪力图和弯矩图。

例5-1 简支梁AB 承受承受均布荷载作用，如图 5 - 10a 所示。

试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。

图5-10解：(1) 计算支反力以整梁为研究对象，利用平衡条件计算支反力。

由于简支梁上的载荷对于跨度中央截面是对称的，所以 A 、 B 两端的支反力应相等，即(1)方向如图。

(2) 建立剪力、弯矩方程以梁左端A 为的坐标原点，取坐标为的任意横截面的左侧梁段为研究对象。

设截面上的剪力Q () 、弯矩M () 皆为正，如图5-10b 所示。

由平衡方程将(1) 式代入上面两式，解得（ 2 ）（ 3 ）(2) 、(3) 两式分别为剪力方程和弯矩方程。

(3) 绘制剪力图、弯矩图由式(2) 可知，剪力图为一直线。

只需算出任意两个截面的剪力值，如A 、B 两截面的剪力，即可作出剪力图，如图5 - 10c 所示。

由式(3) 可知，弯矩图为一抛物线，需要算出多个截面的弯矩值，才能作出曲线。

例如计算下列五个截面的弯矩值：当时, M =0 ；当时，；当时，。

由此作出的弯矩图，如图5-10d 所示。

由剪力图和弯矩图可知，在靠近A 、B 支座的横截面上剪力的绝对值最大，其值为在梁的中央截面上，剪力Q ＝0 ，弯矩为最大，其值为例5-2 简支梁AB 承受集中力偶M0作用，如图 5 - 11a 所示。

试作梁的剪力图、弯矩图。

图5-11解：(1) 计算支反力由平衡方程分别算得支反力为反力R A的方向如图，R B为负值，表示其方向与图 5 - 11a 中假设的方向相反。

梁的剪⼒⽅程和弯矩⽅程常⽤弯矩图5-7 ?试列出下列梁的剪⼒⽅程和弯矩⽅程，并画出剪⼒图和弯矩图剪⼒⽅程为常数，表明剪图应是⼀条平⾏梁轴线的直线; 解：⾸先求出⽀座反⼒。

考虑梁的平衡, I 5 c由 M c 0, F RB I q - — I 0 5得 F RB -ql由 M B 0, F RC I 」ql 22 得 F RC 1 ql2则相应的剪⼒⽅程和弯矩⽅程为：AB 段：（0 X !-）2弯矩图F S X i M X 1qx i1 2 -qx i 2BC 段：（2X 2解：⾸先求出⽀座反⼒。

考虑梁的整体平衡由 M B 0, F RA I M e 0F RA由 M A 0, F RB I M e 0e得F RB则距左端为x 的任⼀横截⾯上的剪⼒和弯矩表达式为：F SXF RAM x F RA xM e弯矩⽅程是X 的⼀次函M /I剪⼒图数，表明弯矩图是⼀条斜直线。

（如图）AB 段剪⼒⽅程为X i 的⼀次函数，弯矩⽅程为X i 的⼆次函数，因此AB 段的剪⼒图为斜直线，弯矩图为⼆次抛物线；BC 段剪⼒⽅程为常数，弯矩⽅程为 X 2的⼀次函数，所以BC 段剪⼒图为平⾏梁轴线的⽔平线段，弯矩图为斜直线。

（如图）解：由梁的平衡求出⽀座反⼒：F RA 8KN ,F RB 12KNAB 段作⽤有均布荷载，所以 AB段的剪⼒图为下倾直线，弯矩图为下凹⼆次抛物线；BC 段没有荷载作⽤，所以BC 段的剪⼒图为平⾏梁轴线的⽔平线段，弯矩图为直线。

在B ⽀座处，剪⼒图有突变，突变值⼤⼩等于集中⼒（⽀座反⼒F RB ）的⼤⼩；弯矩图有转折，转折⽅向与集中⼒⽅向⼀致。

（如图）(5)F S x 2 M X 25ql 1 1 ql 8 2l q 2 x 2 qi85ql8 X 2F =2KNq =4 kN/ mF RA * 1m ■解：由梁的平衡求出⽀座反⼒：F RA 3.5KN , F RB 6.5KNAB 与BC 段没有外载作⽤，所以AB BC 段的剪⼒图为平⾏梁轴线的⽔平线段，弯矩图为直线；CD 段作⽤均布荷载，所以CD 段的剪⼒图为下倾直线，弯矩图为下凹⼆次抛物线。

梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图1、 剪力和弯矩剪力：沿截面切线方向的内力F S 称为剪力，剪力符号规定为：截面上的剪力如果有使考虑的脱离体有顺时针转动的趋势则为正，反之为负（图9-2）。

弯矩：作用面垂直于横截面的内力偶矩M 称为弯矩，弯矩符号规定为截面上的弯矩如果使考虑的脱离体向下凸（或者说使梁下边受拉，上边受压）为正，反之为负（图9-3）。

2、 列方程作梁的剪力图和弯矩图。

剪力方程和弯矩方程可以表示剪力和弯矩随横截面位置变化的规律。

)(S S x F F =和 )(x M M = （9-1）剪力图和弯矩图是将剪力和弯矩随横截面位置变化情况用图形表示出来。

在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化，各段的分界点为各段梁的控制截面，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程。

列方程作梁的剪力图和弯矩图的步骤为：（1）、求支座反力； （2）、确定坐标原点，分段列剪力方程和弯矩方程； （3）、计算控制点处的剪力值和弯矩值，标注在图上； （4）、根据各段的剪力方程和弯矩方程作剪力图和弯矩图，并说明剪力和弯矩的最大值。

3、利用弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作梁的剪力图和弯矩图。

弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系为)(d )(d S x q x x F =， )(d )(d S x F x x M =，)(d )(d 22x q x x M = （9−2） 剪力图和弯矩图的规律为表9−1梁上的外力情况 剪力图上的特征弯矩图上的特征弯矩极值所在截面的可能位置水平线段直线段FF FF(a)(b)图9−2MMMM(a)(b)图9−3无外力段 ()()0d d S ==x q xx F ()()常数d d S ==x F xx M q (x )=常数向下的均布荷载 向下方倾斜的直线段()()0d d S <=x q xx F 下凸的二次抛物线()()0d d 22<=x q xx M 在F S =0的截面上q (x )=常数向上的均布荷载 向上方倾斜的直线段()()0d d S >=x q xx F 上凸的二次抛物线()()0d d 22>=x q x x M 在F S =0的截面上F 作用处发生突变，突变值等于FF 作用处发生转折在左右剪力具有不同正负号的截面上集中力偶在M e 作用处无变化M e 作用处发生突变，突变值等于M e在紧靠集中力偶作用处的某一侧截面上利用弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作梁的剪力图和弯矩图的步骤为： （1）、求支座反力； （2）、计算控制点处的剪力值和弯矩值，标注在图上； （3）、根据弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作剪力图和弯矩图，并标出剪力和弯矩的最大值。

4-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。

4-3 试利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。

4-4 试作下列具有中间铰的剪力图和弯矩图。

4-14 一根搁在地基上的梁承受载荷如图所示。

假设地基的反力按直线规律
连续变化。

试求反力在两端
A点和B点处的集度q A和q B，并作梁的剪力图和弯矩图。

4-15 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。

4-22 厚度为h＝1.5mm的钢带，卷成直径为D＝3m的圆环，试求钢带横截面上的最大正应力。

已知钢的弹性模量E＝210GPa。

4-25 矩形截面的悬臂梁受集中力和集中力力偶作用，如图所示。

试求截面m－m和固定端截面n－n上A、B、C、D四点处的正应力。

4-32 简支梁的荷载情况及尺寸如图所示，试求梁的下边缘的总伸长。

4-39 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。

已知F ＝5kN ，a ＝1.5m ，[s ]＝10MPa 。

试确定弯曲截面系数为最大时矩形截面的高宽比h /b ，以及梁所需木料的最小直径d 。

4-48 一矩形截面木梁，其截面尺寸及载荷如图，q ＝1.3kN/m 。

已知[s ]＝10MPa ，[t ]＝2MPa 。

试校核梁的正应力和切应力强度。

4-52 图示木梁受一可移动的载荷F ＝40kN 作用。

已知[s ]＝10MPa ，[t ]＝
3MPa 。

木梁的横截面为矩形，其高宽比23 b h 。

试选择梁的截面尺寸。

资料仅供参考!!!。