轻松解决波的多解问题

题组剖析
1．(2018· 河北唐山一模)(多选)如图所示为一列向左传播的横波的图象，图 中实线表示 t 时刻的波形，虚线表示又经 Δt＝0.2 s 时刻的波形，已知波长 为 2 m，下列说法正确的是( A．波的周期的最大值为 2 s 2 B．波的周期的最大值为 s 9 C．波的速度的最小值为 9 m/s D．这列波不能发生偏振现象 E．这列波遇到直径 r＝1 m 的障碍物会发生明显的衍射现象
备选训练
备选训练
2．[双向性造成的多解问题](2017· 衡水模拟)在一
列沿水平直线传播的简谐横波上有相距4 m的A、B
两点，如图10甲、乙分别是A、B两质点的振动图象， 已知该波波长大于2 m，求这列波可能的波速。
转到解析
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规律总结
方法技巧： 1．解决波的多解问题的思路：一般采用从特殊到一般的思维方 法，即找出一个周期内满足条件的关系 Δt或Δx，若此关系为时间， 则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝ 0，1，2…)。 2．求解波的多解问题的一般思路 (1)根据初末两时刻的波形图确定传播距离与波长的关系通式。 Δx λ (2)根据题设条件判断是唯一解还是多解。 (3)根据波速公式 v＝ Δt 或 v＝T＝λf 求波速。
课堂互动
c. 只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿两个方
向传播的可能，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播．
d. 只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能． 解决此类问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法 ，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上，如 已知时间关系，则加nT；如已知空间关系，则加nλ.
1．[周期性造成的多解问题](2016· 吉林长春三 模)(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻波 形图如图9中的实线所示，此时波刚好传到P点，t ＋0.6 s时刻的波形 如图中的虚线所示，a、b、 c、P、Q是介质中的质点， A ．这列波的波速可能为 则下列说法正确的是 ( 50 ) m/s B．质点a在这段时间内通过的路程一定小于30 cm C．质点c在这段时间内通过的路程可能为60 cm D．若周期T＝0.8 s，则在t＋0.5 s时刻，质点b、P 的位移相同 E．若周期T＝0.8 s，从t＋0.4 s时刻开始计时，则 转到解析 质点c的振动方程为x＝0.1sin πt(m)

波的多解问题一、波传播的周期性与多解问题1．造成波传播多解的主要因素(1)周期性①时间周期性：时间间隔Δt 与周期T 的关系不明确。

②空间周期性：波传播的距离Δx 与波长λ的关系不明确。

(2)双向性①传播方向双向性：波的传播方向不确定。

②振动方向双向性：质点振动方向不确定。

2．解决波的多解问题的思路一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件关系的Δt 或Δx ，若此关系为时间，则t ＝nT ＋Δt (n ＝0，1，2，…)；若此关系为距离，则x ＝nλ＋Δx (n ＝0，1，2，…)。

二、针对练习1、（多选）一列在竖直方向振动的简谐横波，波长为λ，沿正x 方向传播.某一时刻，在振动位移向上且大小等于振幅一半的各点中，任取相邻的两点1P 、2P ，已知1P 的x 轴坐标小于2P 的x 轴坐标，则（ ）A ．若221λ<P P ，则1P 向下运动，2P 向上运动 B ．若221λ<P P ，则1P 向上运动，2P 向下运动 C ．若221λ>P P ，则1P 向上运动，2P 向下运动 D ．若221λ>P P ，则1P 向下运动，2P 向上运动2、(多选)如图所示，一列简谐横波沿x 轴传播，实线为t ＝0时的波形图，虚线为t ＝0.5 s 时的波形图，下列说法正确的是( )A ．若波沿x 轴正方向传播，则其最大周期为2.0 sB ．若波沿x 轴负方向传播，则其传播的最小速度为2 m/sC ．若波速为26 m/s ，则t ＝0时P 质点的运动方向沿y 轴正方向D ．若波速为14 m/s ，则t ＝0时P 质点的运动方向沿y 轴正方向3、（多选 ）一列横波以10 m/s 的速率沿水平方向传播，某时刻的波形如图中的实线所示，经时间t ∆后的波形如图中的虚线所示，已知T t T >∆>2(T 为这列波的周期).由此可知t ∆可能是（ ）A ．0.3sB ．0.5sC ．0.6sD ．0.7s4、(多选)一列简谐横波沿x 轴传播，t ＝0时刻该波波形如图中实线所示，此时x ＝0处的质点沿y 轴负向振动；t ＝2.0 s 时刻波形如图中虚线所示。

(2)双向性:
①传播方向双向性:波的传播方向不确定。
②振动方向双向性:质点振动方向不确定。
考点巧讲
一 波的多解性问题
2.解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法,即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx,
若此关系为时间,则t=nT+Δt(n=0,1,2,…);若此关系为距离,则x=nλ+Δx(n=0,1,2,…)。
3
+4


得 v= =
=
3
4
6
4+3
λ(n=0、1、2…)
(n=0、1、2…)
当 n=0 时,v=2 m/s,当 n=1 时,v≈0.86 m/s,B 项正确。
丁
考点巧讲
例3.(多选)如图所示,有一列减幅传播的简谐横波,x=0与x=75 m处的A、B 两个质
点的振动图象分别如图中实线与虚线所示。则这列波的( BC )。
则波长有:x2-x1= +
1
4
λ(n=0、1、2…)

2 - 1
1
+4


得波速1、2…)
当 n=0 时,v=6 m/s,当 n=1 时,v=1.2 m/s,C 项正确。
丙
②若沿 x 轴负向传播,其波形如图丁所示。
则有 x2-x1= +

2 - 1
求解波的多解问题的一般步骤：
(1)根据初、末两时刻的波形图确定传播距离与波长的关系通式。
(2)根据题设条件判断是唯一解还是多解。
(3)根据波速公式v=Δx/Δt或v=λ/T=λf求波速。
典例讲解
1.一列简谐横波沿 x 轴传播,已知 x 轴上 x1=1 m 和 x2=7 m 处质点的振动图象分别如图

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原题：如图，一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点， 相距为14.0m，b点在a点的右方，波长λ＞１４ｍ。当 一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到 正极大时，b点的位移为零，且向下运动，经过1.00s后， a点的位移第一次为零，且向下运动，而b点的位移达到 负极大，则这列简谐波的波速等于多少？
a
b
变化二：若把原题中“a点的位移第一次为零”改为“a
点的位移为零”。问这列简谐波的波速可能等于：
A：4.67m/s B：6m/s C：10m/s D：14m/s 解答：由题意知，3 λ/4=14m，考虑时间上的周期性， 即：（n+1/4）T=1s ，故波速：V=λ/T=14（4n+1）/3
当n=0时，V= 4.67m/s A答案正确
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a
b
变化一：若把原题中“波长λ＞１４ｍ”的条件取消，

张 遂围邯郸 使诸侯得推恩分子弟国邑 世世勿绝 更容貌而前 乐之文也 ”始皇可其议 螫足则斩足 廉颇易与 其貌诚高矣 於是秦乃归由余 取六邑 五国各自救於秦 子必轻矣 秦穆公卒 我非杀戎王则不敢入邑 回积十六曲 以振贫民 故鲁有白牡、骍刚之牲 槐里人 由为郡守 取羁马 於是赵王
歇、张耳乃得出钜鹿 各有所尚 乃使使赦田横罪而召之 级十七万 不如见之於行事之深切著明也 与弟子相失 二十九年 且淮南王为人刚 是为若敖 则尊卑相逾 置之地 天下大饥 楚骑追汉王 灵王肘加之 张仪相楚 下甄城 将招来仙神人之属 故不久长 指王翳曰：“此项王也 立弟沃甲之子南庚
吏侵之益急 於是肃慎贡楛矢石砮 成子得政 二十三年 周公北面立 项梁至薛 客之居下坐者有能为鸡鸣 是以阳脉下遂 欲待灌婴兵与齐合而发 子戴侯立 是以秦、晋好用兵 王其无患 百足不僵 其辞曰： 汉兴七十有八载 君欲彊对邪 乃复引兵西 及三子更死 命乎命乎 叔孙通降汉王 狱久者不
过十日 遂以死于外 为秦将攻魏 长史欣亦故栎阳狱吏 为员官 天下初定 丕显文、武 如环之无端 赵相徵至长安 是王为恶而相为善也 櫜纤罗 徐州 上问左右 与田仁会 郎中令为前将军 康王又不用臣 卢绾亲与高祖太上皇相爱 今诸王苟能存亡继绝 丁未 海外殊俗 武公 诸侯晏然弗讨 县隔千
敬长上 大馀四十一 ” 孔子以仲弓为有德行 匈奴乃去 至将军 以非上之所建立 不察其终始 又不避席 与随袭弑庄敖代立 往击之 无近塞 以与炎帝战於阪泉之野 然必审诊 使淮南 遂将其兵北略城邑 西伯出而献洛西之地 臣之所恐者 久留臣无为也 ”陈涉不听 曰“近我” 亚父谋欲杀沛公
成王少 景帝入卧内 我将好往袭辱之 发兵袭攻杀何 父子俱从军 庄公弗听 诸游士宾客争归魏其侯 有土德之瑞 初 不死 田乞欲为乱 敬执宾主之礼 行常带经 然陵少戆 度吾所能行为之 客有见髡於梁惠王 道塞不通 如此者四十馀年 有功者显荣 其来气盛 伏而读之 幽王、悼惠王绝无後 为

专题机械波的多解问题一．造成多解的原因以及处理方法1 原因：波的传播方向不确定。

解决方法：分两种情况分别讨论2.原因:时间与周期的关系不确定造成多解。

解决方法：找出时间与周期的对应关系。

常见题型：波形变化题3.原因:一列波上不同的两个振动质点之间的距离与波长的关系不确定造成多解解决方法：画某一时刻(如t=0时刻）的波形图,找出两质点可能的位置，确定距离与波长的对应关系。

常见题型：题目中会给出两个质点的振动情况二．确定时间与周期或者距离与波长的关系时，有两个思路:其一是根据质点振动确定关系；其二是根据波的平移确定关系。

注意：灵活运用对应关系：振动一个周期的时间,波传播一个波长的距离.振动半个周期的时间，波传播半个波长的距离。

振动1/4个周期的时间，波传播1/4个波长的距离.振动几分之几个周期的时间,波传播几分之几个波长的距离。

三．例题：1．如图所示,一列简谐波在x轴上传播,实线和虚线分别表示前后间隔1s的两个时刻的波形图，则这列简谐波的波速可能是A.0.60m/sB. 0。

75m/sC. 1。

05m/s D。

1.15m/s2．如图所示，实线是一列简谐横波某时刻的波形，虚线是经过0。

5s后的波形．已知波的周期为T，而且0。

25s＜T＜0.5s,下列说法中正确的是A。

当波向x轴的正方向传播时，该波的波速为7m/sB。

当波向x轴的正方向传播时，在这0.5s内，x=1。

5m处的质点通过的路程为50cmC. 当波向x轴负方向传播时，x=1。

5m的质点M比x=1。

75m的质点N在0.5s内通过的路程少D. 当t＝0.1s时.x＝1.5m处的质点的位移一定是03．一列沿x轴正方向传播的简谐横波，t=0时刻的波形如图中实线所示,t=0。

2s时刻的波形如图中的虚线所示,则正确的是( ）A。

质点P的运动方向沿y轴正方向B。

波的周期可能为0.27sC。

波的频率可能为8.75HzD。

波的传播速度可能为150m/s4．一列简谐横波沿x轴正方向传播，在x=12m处的质点的振动图线如图1所示，在x=18m处的质点的振动图线如图2所示。

波的图象多解问题【思考】１．波动图象多解问题主要由两方面引起：①波图象的周期性；②波传播方向的双向性。

２．由于波的周期性和波的传播方向的不明确导致波动问题中出现系列解、多解问题，主要包括三种情况：① 时间间隔Δt 与周期T 的关系不明确② 波传播的距离Δx 与波长λ的关系不明确③ 传播方向的不明确【预测】1．一列横波沿直线在介质中传播，某时刻直线上相距s 的a 、b 两点均处在平衡位置，如图所示，若a 、b 之间只有一个波峰，且经过时间t 后质点b 第一次到达波峰位置，则这列波的波速可能是 （ ）A ．t sB ．t s t s 232和C ．t s t s 434和D ．ts t s 636和 2．有一列沿水平绳传播的简谐横波，频率为10Hz ，振动方向沿竖直方向，当绳上的质点P 到达其平衡位置且向下运动时，在其右方相距0.6m 处的质点Q 刚好到达最高点。

由此可知波速和传播方向可能是 （ ）A ．8m/s ，向右传播B ．8m/s ，向左传播C ．24m/s ，向右传播D ．24m/s ，向左传播3．一列横波在t =0时刻的波形如图中实线所示，在t =1s 时刻的波形如图中虚线所示。

由此可以判定此波的 （ ）A ．波长一定是4cmB ．周期一定是4sC ．振幅一定是2cmD ．传播速度一定是1cm/s4．一列沿x 轴正方向传播的简谐横波，周期为0.5s ；某一时刻，离开平衡位置的位移都相等的各质点依次为P 1、P 2、P 3···已知P 1和P 2之间的距离为20cm ，P 2和P 3之间的距离为80cm ，则P 1的振动传到P 2所需要的时间为 （ ）A ．0.50sB ．0.13sC ．0.10sD ．0.20s5．一列简谐横波沿x 轴正方向传播，x 轴上相距 1.2m 的两个质点A 和B ，它们的振动方向始终是相反的，已知波的周期是0.2s ，则这列波的波速多大？【例题】6．如图所示，一根张紧的水平弹性长绳上的a 、b 两点，相距14m ，b 点在a 点的右方；当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a 点的位移达到正的最大时，b 点的位移恰好为零，且向下运动；经过1s 后，a 点的位移为零，且向下运动，而b 点的位移恰好达到负最大，则这列简谐横波的波速可能等于 （ ）A ．4.67m/sB ．6.0m/sC ．10.0m/sD ．14.0m/s7．在波的传播方向上，有相距1.05m 的两质点a 、b ，当a 到达正向最大位移时，b 恰好在平衡位置，已知a 、b 间的距离小于２个波长，波的频率为200Hz ，求波传播的可能速度。

2.4 波的多解问题1．造成波动问题多解的主要因素(1)周期性：①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。

②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。

(2)双向性：①传播方向双向性：波的传播方向不确定。

②振动方向双向性：质点振动方向不确定。

如：a.质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。

b．质点由平衡位置开始振动，则起振方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能。

c．只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播。

d．只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。

(3)波形的隐含性形成多解：在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态。

这样，波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。

2．解决波的多解问题的思路一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1,2…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0,1，2…)。

1.时间的多解问题例1．一列简谐横波在x轴上传播，如图4所示，实线是这列波在t1＝0.1 s 时刻的波形，虚线是这列波在t 2＝0.2 s 时刻的波形，求：图4(1)如果此波沿x 轴正方向传播，波速的最小值；(2)如果此波沿x 轴负方向传播，波速的可能值．答案 (1)30 m/s (2)v ＝(80k ＋50) m/s(k ＝0,1,2，3…)解析 (1)由波形图知波长λ＝8 m波沿x 轴正方向传播时，传播距离Δx 满足Δx ＝kλ＋38λ(k ＝0,1,2,3…)由v ＝Δx Δt 知，当k ＝0时波速取最小值．解得最小波速v min ＝30 m/s(2)波沿x 轴负方向传播时，传播距离Δx ＝kλ＋58λ(k ＝0,1,2,3…)由v ＝Δx Δt 得v ＝(80k ＋50) m/s(k ＝0,1,2,3…)1.一列简谐横波在x 轴上传播，在t 1＝0和t 2＝0.05 s 时刻，其波形图分别如图中的实线和虚线所示，求：(1)该波的振幅和波长；(2)若这列波向右传播，波速是多少？若这列波向左传播，波速是多少？解析：(1)由图可知：A ＝2 cm ，λ＝8 m(2)若波向右传播，则Δx 1＝14λ＋nλ＝2＋8n (n ＝0,1,2，…)v 1＝Δx 1Δt ＝2＋8n 0.05＝40＋160n (n ＝0,1,2，…)若波向左传播，则Δ x 2＝34λ＋nλ＝6＋8n (n ＝0,1,2，…)v 2＝Δx 2Δt ＝6＋8n 0.05＝120＋160n (n ＝0,1,2，…)答案： (1)2 cm 8 m (2)40＋160n (n ＝0,1,2，…)，120＋160n (n ＝0,1,2，…)2．如图所示，实线是某时刻的波形图，虚线是0.2 s 后的波形图．(1)若波向左传播，求它的可能周期和最大周期；(2)若波向右传播，求它的可能传播速度；(3)若波速是45 m/s ，求波的传播方向．答案 (1)0.84n ＋3s(n ＝0,1,2，…) 0.27 s (2)5(4n ＋1) m/s(n ＝0,1,2，…) (3)向右解析 (1)波向左传播，传播的时间为Δt ＝34T ＋nT (n ＝0,1,2，…)，所以T ＝4Δt 4n ＋3＝4×0.24n ＋3 s ＝0.84n ＋3s(n ＝0,1,2，…)，最大周期为T max ＝0.83 s≈0.27 s.(2)波向右传播，Δt ＝T 4＋nT (n ＝0,1,2，…)所以T ＝0.84n ＋1s(n ＝0,1,2，…)，而λ＝4 m 所以v ＝λT ＝5(4n ＋1) m/s(n ＝0,1,2，…)．（3）波速是45 m/s ，设波向右传播，由上问求得的向右传播的波速公式得：45 m/s ＝5(4n ＋1) m/s ，解得n ＝2.故假设成立，因此波向右传播．例2．如图5所示，图中的实线是一列简谐横波在t ＝0时刻的波形图，虚线对应的是t ＝0.5 s 时的波形图．求：图5(1)如果波沿x 轴负方向传播，且周期T ＞0.5 s ，则波的速度多大？(2)如果波沿x 轴正方向传播，且周期T 满足0.3 s ＜T ＜0.5 s ，则波的速度又是多少？答案 (1)0.12 m/s (2)0.84 m/s解析 (1)如果波沿x 轴负方向传播，且周期T ＞0.5 s ，则波向左传播的距离x ＝14λ＝14×24 cm ＝6 cm波速v ＝x t ＝0.06 m 0.5 s ＝0.12 m/s(2)如果波是沿x 轴正方向传播的，且周期T 满足0.3 s ＜T ＜0.5 s ，则波向右传播了1个波长多，所以波传播的距离为x ＝34λ＋λ＝74×24 cm＝42 cm波速v ＝x t ＝0.42 m 0.5 s ＝0.84 m/s.1.如图所示实线是一列简谐横波在t 1＝0时刻的波形，虚线是这列波在t 2＝0.5 s 时刻的波形，这列波的周期T 符合：3T ＜t 2－t 1＜4T ，问：(1)若波速向右，波速多大？(2)若波速向左，波速多大？(3)若波速大小为74 m/s ，波速方向如何？[解析] (1)波向右传播时，传播距离Δx 满足Δx ＝kλ＋38λ(k ＝0,1,2,3…)由Δt ＝Δx v 知传播时间满足Δt ＝kT ＋38T (k ＝0,1,2,3…)由于3T ＜t 2－t 1＜4T因此k 取3故Δt ＝3T ＋38T由波形图知λ＝8 m波速v ＝λT解得v ＝54 m/s(2)波向左传播时，传播距离Δx 满足Δx ＝kλ＋58λ(k ＝0,1,2,3，…)传播时间满足Δt ＝kT ＋58T (k ＝0,1,2,3…)由3T ＜t 2－t 1＜4T 可知k 取3故Δt ＝3T ＋58T波速v ＝λT解得v ＝58 m/s(3)波速大小为74 m/s 时，波在Δt 时间内传播的距离为Δx ＝v Δt ＝74×0.5 m ＝37 m ＝(4λ＋5) m所以波向左传播[答案] (1)54 m/s (2)58 m/s (3)波向左传播2.(2019·绵阳三诊)如图所示，一简谐横波在t ＝0时的波形是图中实线，在t 1＝0.2 s 时的波形是图中虚线，P 为介质中x ＝4 m 处的质点，则( )A ．该波一定沿x 轴正方向传播B ．该波的传播速度可能为5 m/sC ．从t ＝0开始，质点P 经过0.2 s 沿x 轴正方向运动1 mD ．t ＝0.4 s 时，质点P 的位置y ＝4 cm[解析] 当波向左传播时，传播的距离x ＝nλ＋34λ＝4n ＋3,0.2＝nT ＋34T ，波速v ＝20n ＋15(m/s)，T ＝0.84n ＋3，n ＝0、1、2、3… 当波向右传播时，传播的距离x ＝nλ＋14λ＝4n ＋1,0.2＝nT ＋14T ，波速v ＝20n ＋5(m/s)，T ＝0.84n ＋1，n ＝0、1、2、3… 由于波传播方向的不定性，所以据波形图与时间无法判断该波的传播方向，故A 错误。

3．两质点间关系不确定形成多解 在波的传播方向上，如果两质点间距离不确定或 相位之间关系不确定，会形成多解，若不会联想所有 的可能性，就会出现漏解。
[例证] 一列简谐横波沿直线传播，在传播方向上有 P、 Q 两个质点，它们相距 8 m，当 t＝0 时，P、Q 的位移恰好是 正最大值，且 P、Q 之间只有一个波谷。t＝0.6 s 末时，P、Q 两点正好都处在平衡位置，且 P、Q 之间只有一个波峰和一个 波谷，且波峰距 Q 点的距离第一次为4λ，试求：
(1)波由 P 传至 Q，波的周期； (2)波由 Q 传到 P，波的速度； (3)波由 Q 传到 P，从 t＝0 时开始观察，哪些时刻 P、Q 间(P、Q 除外)只有一个质点的位移大小等于振幅。
[解析] (1)由题意，t＝0 时的波形如图 1(a)所示，t＝0.6 s 时的波形如图(b)所示：
图1 若波从 P 传向 Q，则 t＝34T，从而得 T＝0.8 s。 (2)若波从 Q 传向 P，则 t＝14T，从而得 T＝2.4 s， 波速 v＝Tλ ＝3向性不确定出现多解 波总是由波源发出并由近及远地向前传播，波在介质 中传播时，介质各质点的振动情况根据波的传播方向是可 以确定的，反之亦然。因此，根据题中的已知条件不能确 定波的传播方向或者不能确定质点的振动方向，就会出现 多解，然而同学们在解题中往往凭着主观臆断，先入为主 地选定某一方向为波的传播方向或是质点的振动方向，这 样就会漏掉一个相反方向的可能性解。
2．时间、距离不确定形成多解 沿着波的传播方向，相隔一个波长的连续两个相邻的 质点振动的步调是完全相同的；在时间上相隔一定周期的 前后两个相邻时刻的波形图线是完全相同的，所以，当题 中已知条件没有给定传播的时间(波传播的时间Δt与周期T之 间的大小关系不确定)或是没有给定波的传播距离(波的传播 距离Δs与波长λ之间的大小关系不确定)，就会出现多解现象。 同学们在解题时经常只分析传播时间Δt小于T(或传播距离Δs 小于波长λ)的特解情况，从而造成特解代替通解的漏解现象。

机械波多解问题引言机械波是指由介质的振动传递能量的波动现象。

在机械波的研究中，我们经常会遇到波传播过程中的一些问题，其中最常见的问题是波产生、波传播和波干涉等问题。

本文将介绍机械波多解问题，探讨在实际问题中如何处理这些多解。

机械波的基本特性机械波的传播速度取决于介质的特性，如密度、弹性系数等。

对于一维机械波，可以用波动方程来描述其传播过程：∂²y/∂t² =v²∂²y/∂x² (1)其中，y(x,t)表示波动函数，v表示波速。

方程(1)是一个二阶偏微分方程，它描述了波在空间和时间上的传播特性。

波产生问题在实际问题中，我们经常需要考虑如何产生特定形式的波。

在波产生问题中，多解的存在使得问题的求解变得复杂。

下面以弦上的振动为例说明该问题。

弦上的振动考虑一个固定在两端的弦，我们以一个周期性力来激发弦的振动。

这个周期性力的形式可以是正弦函数：F(t) = F₀sin(ωt) (2)其中，F₀是振动的振幅，ω是角频率。

根据牛顿第二定律，弦上的振动满足以下的波动方程：∂²y/∂t² = T/μ * ∂²y/∂x² (3)其中，y(x,t)表示弦的横向位移，T表示弦的张力，μ表示弦的质量线密度。

我们可以将方程(3)与边界条件约束在弦的两端（x=0和x=L），得到弦的振动情况。

然而，方程(3)是一个二阶偏微分方程，解的多解性使得问题变得困难。

波的多解问题对于弦上的振动问题，如果我们忽略端点受力的影响，可以得到如下的解：y(x,t) = Asin(kx)cos(ωt) (4)其中，A是振动的振幅，k是波数。

这个解描述了在弦上传播的正弦波。

然而，方程(4)并不是方程(3)的唯一解。

方程(3)的其他解被称为驻波。

驻波是两个相同波数、频率相同但振幅和相位不同的波在空间上叠加形成的结果。

由于驻波的产生是源于波在介质中的传播和干涉现象，因此驻波的解不会出现在方程(3)中。

a
b
变化四：若取消原题中 “简谐横波沿此长绳向右传播”
和“波长λ＞１４ｍ”的条件，并把原题中“a点的位移
第一次为零”改为“a点的位移为零”。问这列简谐波的
波速可能等于：
A：4.67m/s B：6m/s C：10m/s D：14m/s
解答： （1）当波向右传播时，由变化三可知选 A、C （2）当波向左传播时，
a
b
变化二：若把原题中“a点的位移第一次为零”改为“a
点的位移为零”。问这列简谐波的波速可能等于：
A：4.67m/s B：6m/s C：10m/s D：14m/s 解答：由题意知，3 λ/4=14m，考虑时间上的周期性， 即：（n+1/4）T=1s ，故波速：V=λ/T=14（4n&题：如图，一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点， 相距为14.0m，b点在a点的右方，波长λ＞１４ｍ。当 一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到 正极大时，b点的位移为零，且向下运动，经过1.00s后， a点的位移第一次为零，且向下运动，而b点的位移达到 负极大，则这列简谐波的波速等于多少？
a、b两点间的距离可写成
（n1+1/4）λ=14m （n1=0、1、2、3…） a回到平衡位置经过的时间：
（n2+1/4）T=1s （ n2=0、1、2、3…） 又由：V=λ/T=14（4 n2 +1）/（4 n1 +1） 故B、D也正确， 所以正确答案为A、B、C、D。
小结： （1）变化一出现多解的原因：
原题：如图，一列横波在直线上传播，直线上有A、B两 点相距为d，某一时刻A、B均处于平衡位置，且A、B仅 有一个波峰，经过时间t，B质点第一次到达波峰，则 该波的波速可能是多少？

机械波多解问题详解引言机械波是指由振动物体产生的波动现象。

在机械波的传播过程中，经常会遇到多解问题，即存在不止一种解释或解决办法。

本文将深入探讨机械波多解问题，并提供详细解释和示例。

什么是机械波多解问题？机械波多解问题指的是，在机械波传播过程中，存在多种可能的解释或解决办法。

这些解释或解决办法可能会导致不同的波动现象或结果。

机械波多解问题在物理学和工程学中都具有重要的意义。

机械波多解问题的原因机械波多解问题的产生主要是由于以下原因：1. 边界条件的不确定性在机械波传播过程中，边界条件的不确定性可能导致多解问题。

边界条件是指波传播过程中的边界或限制条件，如波的幅度、波速、波长等。

不同的边界条件可能会导致不同的波动效果。

2. 环境中存在多种影响因素机械波的传播环境中常常存在多种影响因素，如介质的性质、外界的扰动等。

这些因素可能会对波动过程产生影响，并导致多种解释或解决办法。

3. 不完全的物理模型在研究机械波的传播过程中，我们通常会使用一定的物理模型来进行分析。

然而，由于模型的简化或忽略了一些细节，可能会导致多种解释或解决办法。

机械波多解问题的应用机械波多解问题的研究对于物理学和工程学领域有着广泛的应用，以下是几个典型的应用领域：1. 声波传播在声学研究中，机械波多解问题的研究能够帮助我们更好地理解声波在不同介质中的传播规律。

通过探究声波的多解问题，可以更好地解释和预测声音的传播情况，这对于声学工程和声学设计有着重要的意义。

2. 地震波传播地震波是一种特殊的机械波，其传播过程中也存在多解问题。

研究地震波的多解问题有助于预测地震的传播路径、强度和震中位置等。

这对于地震预警和地震工程有着重要的应用价值。

3. 光波传播光波是另一种机械波，其在光学领域中的传播过程也存在多解问题。

通过研究光波的多解问题，可以改善光学器件的设计和性能，为光学通信、激光技术等领域的发展提供支持。

机械波多解问题的解决方法对于机械波多解问题的解决，常用的方法包括以下几种：1. 理论推导和模型分析通过理论推导和模型分析，可以对机械波多解问题进行深入研究。

D．6 m/s
分析：由图可知T=0.2s,某一时刻，一质点在波峰，而另一质点 在波谷。则二者相距△x=nλ+λ/2=3 λ=6/(2n+1) ﹥1.5 , ∴ n=0、1。 V=λ/T= 30/(2n+1)
， n=0、1
y/cm
v
a
x /cm
0.15
4．已知：a坐标为（0.0），在t=0时向下振动，同时在 0.15位置有一质点处于波峰，问：这列波的波长可能是 多少？波长存在最大值还是最小值？
左传时：B第一次到达波峰t=3T/4,所以V=λ/T=3S/2t. （乙）λ=s,右传时：B第一次到达波峰t=3T/4,所以V=λ/T=3S/4t. 左传时：B第一次到达波峰t=T/4,所以V=λ/T=S/4t. （丙）λ=s,右传时：B第一次到达波峰t=T/4,所以V=λ/T=S/4t.
左传时：B第一次到达波峰t=3T/4,所以V=λ/T=3S/4t. （丁）λ=2s/3,右传时：B第一次到达波峰t=3T/4,所以V=λ/T=S/2t.
(4)若波速是35 m/s，求波的传播方向； (5)当0.2 s小于一个周期时，传播的距离、周期、波速．
(4)若波速是 35 m/s，则波在 0.2 s 内传播的距离为 3 x＝vt＝35×0.2 m＝7 m＝1 λ，所以波向左传播． 4 (5)若 0.2 s 小于一个周期，说明波在 0.2 s 内传播的距离小于一个波 3λ 3T 长．则：向左传播时，传播的距离 x＝ ＝3 m；传播的时间 t＝ ，得 4 4 周期 T＝0.267 s；波速 v＝15 m/s. λ T 向右传播时，传播的距离为 ＝1 m；传播的时间 t＝ ，得 4 4 周期 T＝0.8 s；波速 v＝5 m/s.
方法总结：

形成机械波的多解问题原因与应试对策作者：胡朝平来源：《中学生理科应试》2021年第11期机械波的多解问题是高中物理的一个难点，也是历来高考中的热点.学生在求解机械波问题时，往往由于对波动的实质理解不深刻、对题目中隐含条件挖掘不透彻、对已知条件使用不全面等，常常会出现解答不完整而造成漏解.本文限于横波沿一条直线传播的情形，就常见的机械波多解问题通过剖析其成因进行归类例析，力求帮助大家掌握解决此类问题的方法.一、造成波动问题多解的原因有传播方向、波长大小、波形周期、质点振动方向、传播时间、质点振动图像.1.传播方向导致的多解问题波源起振后产生的波可以在介质中向四周传播.若题中没有特别注明传播方向，则求解时必须讨论其传播方向，从而导致了波的多解问题.例1 一列简谐横波在t=0时刻的波形如图1中的实线所示，t=0.02 s时刻的波形如图1所示中虚线所示.若该波的周期T大于0.02 s，则该波的传播速度可能是（）.A.1 m/sB.2m/sC.3m/sD.5 m/s图1解析由于该波的周期大于0.02 s，则波沿传播方向传播的距离小于一个波长，即Δx<8 cm.若波向右传播，则Δx=2 cm，v=ΔxΔt=0.020.02 m/s=1 m/s若波向左传播，则Δx=6 cm，v=ΔxΔt=0.060.02 m/s=3 m/s故A、C正确.答案：AC2.波长大小导致的多解问题因题中没有给定波长的确切条件，故引起答案的不确定性导致多解问题.例2 一列简谐横波沿直线传播，某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6 m，且这两质点之间的波峰只有一个，则该简谐波可能的波长为（）.A.4 m、6 m和8 mB.6 m、8 m和12 mC.4 m、6 m和12 mD.4 m、8 m和12 m解析画出符合条件的所有可能波形，如图2所示.分别有λ2 =6 m，λ=6 m，3λ2=6 m，则λ可能为4 m、6 m和12 m，C正确.图2答案：C3.波形周期导致的多解问题简谐机械波是周期性的，每经过一个周期波形与原波形重复，从而导致了问题的多解性.例3 如图3所示中实线是一列简谐波在某一时刻的波形图线，虚线是0.2s后它的波形图线.这列波可能的传播速度是.图3解析从图上可以看出λ=4m，当波沿x正方向传播时，两次波形之间间隔的时间为：14T，114T，214T，…，4n+14T.而4n+14T=0.2sT=4×0.24n+1s由波速公式v=λT代入数据得：v=4n+30.2 m/s=20n+5 m/s （n=0，1，2，…）;当波沿x负方向传播时，两次波形之间间隔的时间为：34T，134T，234T，…，4m+34T4m+34T=0.2，T=4×0.24m+3，由波速公式v=λT代入数据得：v′=4m+30.2 m/s=20m+15 m/s （m=0，1，2，…）此题的答案为：（20n+5） m/s，（n=0，1，2，…）和（20m+15） m/s，（m=0，1，2，…）.答案：（20n+5）m/s，（n=0，1，2，…）和（20m+15） m/s，（m=0，1，2，…）4.质点振动方向导致多解问题例4 一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点，相距14.0 m，b点在a点的右方，如图4所示.当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到正极大时，b点的位移恰为零，且向下运动，经过1.00 s后，a点的位移为零，且向下运动，而b点的位移达到负极大，则这简谐横波的波速可能等于（）.A.4.67 m/sB.6 m/sC.10 m/sD.14 m/s图4 图5解析由于波向右传播，据“a点位移达正极大时，b点的位移恰为零，且向下运动”，可画出此时a、b间的最简波形，如图5所示.因未明确a、b距离与波长的约束关系，故a、b间的距离存在“周期性”.即n1+34λ=ab=14m （n1=0，1，2，…）因所给定时间与周期的关系未知，故运动时间也存在“周期性”.即（n2+14）T=Δt=1.00 s （n2=0，1，2，…）因此可能的波速为v=λT=14（4n2+1）4n1+3m/s当n2=0，n1=0时，v=4.67 m/s;当n2=0，n1=1時，v=2 m/s;（n2=0，v随n1增大还将减小.）当n2=1，n1=0时，v=23.3 m/s;（n1=0，V随n2的增大而增大.）当n2=1，n1=1时，v=10 m/s;据以上计算数据，不可能出现B和D选项的结果，故选项A、C正确.答案：AC5.传播时间导致的多解问题题目中所给定的时间条件不充分，可能比一个周期长，可能比一个周期短，从而导致了多解问题的出现.例5 某时刻的波形图如图6所示，波沿x轴正方向传播，P点的横坐标x=0.32 m.从此时刻开始计时.图6（1）若P点经0.4 s第一次达到最大正位移，求波速.（2）若P点经0.4 s到达平衡位置，波速又如何？解析（1）依题意，经时间Δt=0.4 s，波向右传播的距离Δx=0.32 m-0.2 m=0.12 m，此时P 点恰好第一次达到最大正位移波速v=ΔxΔt=0.120.4 m/s=0.3 m/s.（2）波向右传播Δx′=0.32 m，P点恰好第一次达到平衡位置，由波的周期性可知，波可能传播的距离Δx′=0.32+λ2n，（n=0、1、2、3…）波速v′=Δx′Δt=0.32+0.82n0.4 m/s=（0.8+n） m/s，（n=0、1、2、3…）答案：（1）0.3 m/s （2）（0.8+n） m/s，（n=0、1、2、3…）6.波动图像上和质点运动导致的多解问题在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态.这样波形就有多种情况，形成波动问题的多解性.例6 一列正弦横波在x轴上传播，a、b是x轴上相距sab=6m的两质点，t=0，b点正好振动到最高点而a点恰好经过平衡位置向上运动，已知这列波的频率为25 Hz.（1）设a、b在x轴上的距离小于一个波长，试求出该波的波速.（2）设a、b在x轴上的距离大于一个波长，试求出该波的波速，若波速为40 m/s时，求波的传播方向.图7解析（1）若波向右传播，a和b两质点应于如图7所示的a1和b1的两位置，sab=34λ1=6m，λ1=8m，向右传播的波速v1=λ1f=200 m/s.若波向左传播，a和b两质点应分别位于图7中a2和b1两位置，sab=14λ2=6 m，λ2=24 m，向左传播的波速v2=λ2f=600 m/s.（2）因a，b在x轴上的距离大于一个波长，若波向右传播，a质点若位于图7中a1的位置，则b质点可位于b1，b2，…等位置，此时，sab=34λ右+nλ右=6 m，（n=1，2，3，…），λ右=244n+3 m，向右传播的波速v右=λ右f=6004n+3 m/s，（n=1，2，3，…）若波向左传播，a质点若位于图7中的a2的位置，则b质点可位于b1，b2，…等位置，此时，sab=34λ左+nλ左=6 m，λ左=244n+1 m.向左传播的波速 v左=λ左f=6004n+1 m/s，（n=1，2，3，…）当波速为40 m/s时，该波向左传播，应有：6004n+1 =40，n=144，无整数解，故不可能向左.设波向右传播，有6004n+3=40，n=3，故可以判定当波速为40 m/s时，波传播的方向是由左向右.答案：（1）600 m/s （2）40 m/s例7 一简谐横波沿水平绳沿x轴负方向以v=20 m/s的波速传播.已知t=0时的波形如图8所示，绳上两质点M、N的平衡位置分别是xM=5 m、xN=35 m.从该时刻开始计时，求：（1）质点N第一次回到平衡位置的时间t;（2）平衡位置在x=20m的质点，其振动的位移随时间变化的表达式（用余弦函数表示）;（3）经过多长时间，质点M、N振动的速度相同.图8解析（1）机械波在均匀介质中匀速传播，波沿x轴负方向传播，平衡位置的振动状态距N点t=Δxv=50-3520s，解得t=0.75 s;（2）由题知A=2 m，λ=40 m，T=λv=2 s，ω=2πT=π（rad/s）该质点与原点的距离为20 m=12λ，则该质点的初相位为φ0=12×2π=π，故该质点的振动表达式为y=Acosωt+φ0=2cos（πt+π）（m）或y=-2cosπt（m）;（3）当某质点位于平衡位置时，其两侧与它平衡位置间距相等的质点速度相同，平衡位置的振動状态传播到MN中点的距离Δx′=λ4+nλ2（n=0，1，2…）经过的时间t′=Δx′v，解得t′=（n+0.5）（s），（n=0，1，2…）答案：（1）0.75s;（2） y=-2cosπt（m）;（3）t′=（n+0.5）（s），（n=0，1，2…）二、解决波的多解问题的思路一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，若此关系为时间，则t=nT+Δt（n=0，1，2，…）;若此关系为距离，则x=nλ+Δx（n=0，1，2…）.三、波的多解问题的一般解题步骤（1）根据初末两时刻的波形图确定传播距离与波长的关系通式.（2）根据题设条件判断是唯一解还是多解.（3）根据波速公式v=ΔxΔt或v=λT=λf求波速.（收稿日期：2021-09-10）。

A
SP 17.4m 21 4 1 SQ 16.2m 20 4
Q
S
P
有两列简谐横波a、b在同一媒质中沿x轴正方向传播，波速 均为v＝2.5m/s。在t＝0时，两列波的波峰正好在x＝2.5m处重合， 如图所示。 （1）求两列波的周期Ta和Tb。 （2）求t＝0时，两列波的波峰重合处的所有位置。
图511
例2 (2010· 福州质检)质点以坐标原点O为 中心位置在y轴上做简谐运动，其振动图 象如图所示，振动在介质中产生的简谐 横波向 x 轴正方向传播，波速为 1.0m/s, 0.4s 后，此质点立即停止运动，再经过 0.1s后的波形图是下图中的(D )
1：如图所示，S为向上振动的波源，频率为100 Hz， 所产生的正弦波向左、右传播，波速为80m/s.已知 SP=17.4m，SQ=16.2m，则当S通过平衡位置向上振动 A.P在波峰，Q在波谷 B.P、Q都在波峰 v 0.8m C.P在波谷，Q在波峰 f D.P、Q均在平衡位置 3
1．(2010年广东广州模拟)一列简谐横波沿x轴传播，如图甲、 乙分别为传播方向上相距3 m的两质点的振动图象，如果波长大 于1.5 m，则波的传播速度大小可能为( AC)
A．30 m/s B．15 m/s
C．10 m/s
D．6 m/s
分析：由图可知T=0.2s,t=0时刻，一质点在波峰，而另一质点 在波谷。则二者相距△x=nλ+λ/2=3 λ=6/(2n+1) ﹥1.5 , ∴ n=0、1。 V=λ/T= 30/(2n+1)
t=x/v=5/5s=1s
或:x=2.5m的波动，传到Q点经t=3.5/5s=0.7s 此时向下运动再经3T/4到达波峰，则总经历时间1s.

轻松解决波的多解问题
一、典型问题
1. 波长与距离的关系不确定（λ与s）
2. 周期与时间关系不确定（t与T）
3. 传播方向不确定（x与－x）
4. 传播方向、距离与波长关系不确定
5. 周期与时间、波长与距离关系均不确定
6. 质点振动方向、距离与波长的关系均不确定
二、多解问题总结
1. 时间周期性和空间周期性
质点振动时间（也是波传播时间）可以写成
相应的波传播的距离可以写成
并且有
若，则
在波传播方向上有两个质点，如图A所示，若质点a与质点b的平衡位置相距，则b 比a的振动要落后，如果a在某一时刻正处在正向最大位移处，则b一定处在平衡位置，a、b间只有个波形（见图B）。

再过，b也将到达正向最大位移处，因为a的振动状态传播到b 的时间为。

同理可分析a、b相距时的情形。

若a、b相距波长的整数倍，b比a的振动落后周期的整数倍，但在振动中，a、b振动情况完全相同。

这就是波动在空间距离和运动时间上周期性的表现。

2. 双向性特点
波在介质中的传播沿各个方向，但在波的图象中，传播方向只限在两个方向上：沿x 轴正方向或沿x轴负方向。

若波的传播方向未定，应注意对两种可能的传播方向进行讨论。

B
B
B
例4、如图所示，实线是一列简谐波在某时刻 如图所示， 的波形图，虚线是0.2s后它的波形图。 0.2s后它的波形图 的波形图，虚线是0.2s后它的波形图。求该 波的波速。 波的波速。
y/m
–4 -3 –2 -1 0 1 2 3 4
x/m
解：由图中读出波长λ=4m。 由图中读出波长λ=4m。 λ=4m 若波向右传播，则在0.2s时间传播的距离为： 0.2s时间传播的距离为 ⑴ 若波向右传播，则在0.2s时间传播的距离为： (n=0、 s=nλ+λ/4 (n=0、1、2、3……) ) ∴ v=s/t=(4n+1)/0.2=5(4n+1)m/s (n=0、 (n=0、1、2、3……) ) 若波向左传播，则在0.2s时间传播的距离为： 0.2s时间传播的距离为 ⑵ 若波向左传播，则在0.2s时间传播的距离为： (n=0、 s=nλ+3λ/4 (n=0、1、2、3……) ) ∴v=s/t=(4n+3)/0.2 =5(n+3)m/s (n=0、 (n=0、1、2、3……) )
OБайду номын сангаас
2．如图所示，一列向右传播的简谐横波，波速 ．如图所示，一列向右传播的简谐横波， 大小为0.6m/s，P质点的横坐标 质点的横坐标x=0.96m，从图中 大小为 ， 质点的横坐标 ， 状态开始计时， 状态开始计时，求： 质点第一次到达波谷？ （1）经过多长时间，P质点第一次到达波谷？ ）经过多长时间， 质点第一次到达波谷 质点第二次到达波峰？ （2）经过多长时间，P质点第二次到达波峰？ ）经过多长时间， 质点第二次到达波峰 质点刚开始振动时， （3）P质点刚开始振动时，振动方向如何？ ） 质点刚开始振动时 振动方向如何？