8-1多元函数微分学

多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。

其中，偏导数和全微分也是重要的概念。

2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。

同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。

2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。

二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。

2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。

对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。

3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。

二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。

2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。

三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。

1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。

2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。

3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。

专题七：多元函数微分学【大纲要求】1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2．了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 5．会用隐函数的求导法则.6．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法.7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程. 8．了解二元函数的二阶泰勒公式.9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.【知识要点】1.多元函数及其极限与连续：1.1 二元函数的定义：设D 为一平面点集，若()D y x ∈∀,，变量z 按一定法则，总有确定值与之相对应,则称变量z 是变量y x ,的二元函数，记作()y x f z ,=。

1.2 二元函数的极限：设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某去心邻域内有定义，A 为常数，如果,0,0>∃>∀δε当()()δ<-+-<20200y y x x 时，有()ε<-A y x f ,，则称函数()y x f z ,=当()y x ,趋于()00,y x 时极限为A ，记作()A y x f y y x x =→→,lim0,。

1.3 二元函数的连续性：设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内有定义，且()()00,,,lim0y x f y x f y y x x =→→，则称函数()y x f z ,=在点()00,y x 连续。

2. 多元函数的偏导数与全微分：2.1 偏导数： 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有定义，极限xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(), (lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 对x 的偏导数,记为;),(00y x x z ∂∂;),(00y x x f∂∂),(00y x f x 。

第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。

解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。

解： 2(,,)()()xyxf x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。

解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）z=解：要使表达式有意义，必须0x ≥， ∴{(,)|D x y x =≥★★（3）u=解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z = 解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）ln()z y x =-+解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）10y x y →→知识点：二重极限。

思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。

解：1ln 2ln 21y x y →→== ★★（2）00x y →→知识点：二重极限。

思路： 应用有理化方法去根号。

第八章 多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念一、填空题：1． 设 ),其中x>y>0,则f (x+y, x-y)=_____________.2． 函数_______________________________.3． 函数z=arcsin(2x)+ 的定义域____________________. 4． 函数f (x, y)= 221sin()x y +的间断点___________________________.5． (x , y )沿任何直线趋于00(,)x y 时，f (x , y )的极限存在且相等是00(x,y)(,)x y →时f(x, y)的极限存在的_________条件。

（充分非必要，充要，必要非充分，既非充分又非必要）二、 求下列函数的极限：1．(,)lim y x y → 2．(,)(0,1)lim x y →3．2(,)(,)1lim (1)x x y x y a xy+→∞+ （a 不为0） 4．22222(,)(0,0)1cos()lim ()xyx y x y x y e →-++5．(,)(0,lim x y → 0 6．(,)(0,)11lim()sin cos x y x y x y →+ 0三、 证明下列极限不存在：1．2(,)(0,)lim x y x y x →- 02．(,)(0,)lim x y xyx y →+ 0四、 函数f(x, y)= 24242420)00x yx y x y x y ⎧+≠⎪+⎨⎪+=⎩ （（） 在（0，0）点连续吗？§8.2 偏导数一、 选择题：1．x f ，y f 在00(,)x y 处均存在是f (x ,y)在该点连续的________条件。

(A) 充分； (B) 必要； (C) 充要； (D) 即不充分又不必要。

2．设z= f (x ,y)，则00(,)z x y x∂∂=（ ）。

多元函数微分学知识点多元函数微分学是微积分的重要内容，它研究的是在多变量条件下函数的导数和微分的性质。

在实际应用中，多元函数微分学为我们解决各种问题时提供了有效的数学工具。

本文将介绍一些多元函数微分学的基本知识点，包括偏导数、全微分和梯度。

多元函数微分学的第一个知识点是偏导数。

在一元函数中，导数表示函数在某一点上的变化率。

而在多元函数中，我们需要引入偏导数的概念。

偏导数表示函数在某一点上沿着一个坐标轴的变化率。

对于一个两个自变量的函数f(x, y)，偏导数可以用∂f/∂x和∂f/∂y表示。

它们分别表示函数沿x轴和y轴的变化率。

偏导数可以帮助我们理解函数的局部变化情况，并在解决最优化问题时提供重要的线索。

第二个知识点是全微分。

全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，它表示函数在某一点上的微小变化量。

全微分可以用df表示，其中df = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy。

全微分可以帮助我们推导函数的逼近值和误差，从而得出函数在某一点的性质和特点。

例如，在工程学中，通过对一个物理过程的全微分分析，我们可以推导出近似解，并估计误差。

最后一个知识点是梯度。

梯度是多元函数微分学中的一个重要工具，它表示函数在某一点的最大变化方向。

对于一个函数f(x, y)，梯度可以用∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)表示。

梯度的方向是函数变化最快的方向，它的模长表示函数的变化速率。

通过研究梯度，我们可以找到函数的极大值、极小值和鞍点，并解决最优化问题。

多元函数微分学是高级数学中的一个重要分支，它在各个学科领域都有广泛的应用。

在物理学中，我们可以通过多元函数微分学的方法推导出物理方程，并解决各种动力学问题。

在经济学中，多元函数微分学可以帮助我们分析供求关系，推导出边际效应，并解决最优决策问题。

在金融学中，多元函数微分学可以帮助我们研究金融风险和资产定价。

综上所述，多元函数微分学是微积分的重要内容之一，它研究的是多变量条件下函数的导数和微分的性质。

第八章 多元函数微分学习题8－13*. :证明下列极限不存在332)0,0(),(lim)1(y x yx y x -→ 证：时，有趋向于为任意常数，沿直线当)0,0()1(),(≠=k k kx y y x,1)1(im ),(lim 3333kxy 0x kx y 0x k kx k kx y x f -=-==→=→ .lim 332)0,0(),(不存在的不同而不同，因此显然极限值随斜率y x y x k y x -→yx xyy x +→)0,0(),(lim)2( 证：时，有趋向于为任意非零实常数沿曲线当)0,0()(-),(2k x kx y y x =,1k im ),(lim 223x-kx y 0x x-kx y 0x 22k x x kx y x f -=-==→=→ .lim)0,0(),(不存在的不同而不同，因此显然极限值随斜率yx xyk y x +→4. :求下列极限 11xy lim)1()3,1(),(-+→xy y x解：；原式31-13131=+⨯⨯= xyxy y x 42lim)2()0,0(),(+-→解：；）（原式41-42lim)0,0(),(=++-=→xy xy xyy x )1sin 1sin (lim )3()0,0(),(xy y x y x +→解：量仍为无穷小量）；（利用无穷小量乘有界原式0= 2233)0,0(),(*lim)4(y x y x y x ++→ 解：，则，令θρθρsin cos ==y x.0)s cos (lim s cos lim 330233330=+=+=→→θρθρρθρθρρρin in 原式习题8－22. .5,4,2,4)(4122轴的倾角）处切线对于在点（求曲线x y y x z ⎪⎩⎪⎨⎧=+= 解：轴的）处的切线对于即表示在点（）处，，在点（x z x z x x 5,4,2,15,4,221==.4,1tan .1πθθ轴的倾角为故所求切线对于，则有设相应的倾角为斜率为x =4. ，证明：设222z y x r ++=.2)2(;11222222222r zr y r x r z r y r x r =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂）（）（））（（证：，，，）（rzz r r y y r r x z y x x x r =∂∂=∂∂=++=∂∂222221 ;1222=∂∂+∂∂+∂∂）（）（）故（z r y r x r.11)1(1)2(22222r x r r r x rx r x r ⋅-=⋅-⋅+=∂∂,11,1122222222r z r r z r r y r r y r ⋅-=∂∂⋅-=∂∂ .2222222r zr y r x r =∂∂+∂∂+∂∂故7. .0zz 2)2(cos 22222=∂∂∂+∂∂-=t x tt x z ，证明：设 证：),2sin(2)2sin()2cos(4t x tx t x x z --=-⋅--=∂∂ ),2cos(22t x tx z-=∂∂∂ ),2sin()2())2sin(()2cos(22t x tt x t x t z -=-⋅--⋅-⋅=∂∂ ).2cos()1()2cos(22t x t x tz--=-⋅-=∂∂ .0z z 2222=∂∂∂+∂∂t x t故8. 的竞争对手，这两家公司公司是机床行业的两个公司和Y X 别为主要产品的供给函数分.41600;51000Y Y X X Q P Q P -=-=.250100个单位个单位和是公司现在的销售量分别公司和Y X 多少？公司当前的价格弹性是公司和）（Y X 1下降的销售量个单位，同时导致增加到降价后，使）假定（X Y Q X Q Y 3002 性是多少？公司产品的交叉价格弹个单位，试问到X 75 证：,100,5001==X X Q P X 公司）（ ,51||XXX X X X X Q P Q P dP dQ =⨯=η .110050051=⨯公司当前的价格弹性为故X,250,600==Y Y Q P Y 公司,51||Y YY Y YY Y Q P Q P dP dQ =⨯=η.6.025060041=⨯公司当前的价格弹性为故Y，时时，）（625,75;4003002====X X Y Y P Q P Q .7.0600400600-40010075100-75=++性为公司产品的交叉价格弹X习题8－41. .求下列函数的全导数.,4,3),arctan()2(3dtdzt y t x y x z 求而设==-= 解：dtdy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂= 22212)(113)(11t y x y x ⋅-+-+⋅-+=.)43(1123232t t t -+-= 2. ：具有一阶连续偏导数）数（其中求下列函数的一阶偏导f );,()4(zyy x f u =解：.,1,1222121f zy z u f z f y x y u f y x u '-=∂∂'+'-=∂∂'=∂∂ ).,,()5(xyz xy x f u =解：.,,332321f xy zu f xz f x y u f yz f y f x u '=∂∂'+'=∂∂'+'+'=∂∂ 3. .11,)(,)(222y zy z y x z x u f y x f y z =∂∂⋅+∂∂⋅-=验证为可导函数其中设解：,))(()(22)())((2222222222y x f y x f xy x y x f y x f y x z --'-=⋅-'⋅--=∂∂ ,))(()(2)(1)2()())(()(1222222222222222y x f y x f y y x f y y x f y x f y y x f y z --'+-=-⋅-'⋅---=∂∂代入左式，化简得2222222222222))(()(2)(1))(()(2y x f y x f y y x f y x f y x f xy --'+-+--'-=左式.)(1222右式==-=yzy x yf 5. 数：求下列函数的二阶偏导).ln()2(22y x y z ++=解：,)(22122222222y x y x y xy x x y x y x z +++=+⋅++=∂∂,)1)221(1222222y x yx yy x y y z +=++⋅++=∂∂,)()()2()(1322222222222222y x y x y y x y x y x y x y x z +++++-+++=∂∂,)(3222y x x y x z +-=∂∂∂ .)(32222y x y y z +-=∂∂习题8－53. .,,0)tan()cos()sin(yzx z yz xz xy ∂∂∂∂=++求设 解：.,,的函数为为独立变量，由题意知，y x z y x求导，得等式两边对x,0)(sec )()sin()cos(2=∂∂⋅⋅+∂∂⋅+⋅-xz y yz x z x z xz xy y 整理得;)(sec )sin()sin()cos(2yz y xz x xz z xy y x z --=∂∂ 求导，整理得同理，等式两边对y .)(sec )sin()(sec )cos(22yz y xy x yz z xy x y z -+=∂∂ 5. 所确定的）（都是由方程设0,,),(),,(),,(====z y x F y x z z z x y y z y x x.1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xzz y y x 证明有连续偏导数的函数，解：的函数，则方程为为独立变量，，视）（方程中z y x z y z y x F ,,0,,= .-,0xy y x F F y xF y x F y =∂∂=+∂∂⋅从而求导得两边对.-,-zx y z F F x z F F z y=∂∂=∂∂同理可求.1)(-)(---=⋅⋅=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x 故7. .2yx zxyz e z∂∂∂=，求设 解：求导，得等式两边对x ;xye yzx z x z xy yz x z e z x -=∂∂⇒∂∂⋅+=∂∂⋅（1） 求导，得等式两边对y;xye xz y z y z xy xz y z e z x -=∂∂⇒∂∂⋅+=∂∂⋅（2） 求导得式对y )1()];())([()(122x yz e yz xy e y z y z xy e y x z z z z -∂∂⋅--∂∂+-=∂∂∂ 得代入)2(.12-322）（-=∂∂∂z y x y x z习题8－62. .)2()(22的极值求函数y y x ex,y f x++=解：).1(2)1422(222+=+++=y e f y y x e f x y x x ，.1-2101014222），，求得驻点（解方程组⎩⎨⎧=+=+++y y y x 再求出二阶偏导.2)44(2)4844(2222x yy x xy x xx e f y e f y y x e f =+=+++=，，,004.2,0,21-2122>>--===A e B AC e C B e A ，因）处，，在驻点（ .2-1-21),(e y x f ）处取得极小值，在点（所以函数3. .442222上的最大值和最小值在闭区域求函数≤+-=y x y x z 解：0,2,2.4422令其等于时，求出所有的驻点当y z x z y x y x -==<+.0,0）得驻点（.4422的点求出所有可能取得最值时，由拉格朗日乘数法当=+y x ),44(),,(2222-++-=y x y x y x L λλ设拉格朗日函数⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+-==+=0440*******y x L y y L x x L y x λλλ令 .0,2;1,0=±=±==y x y x 解得.41-，最大值为值为的点的函数值，得最小比较所有可能取得最值4. ，和售价分别为同时在两个市场销售，某厂家生产的一种产品 21P P ;5.0-10 ,2.0-24 221121P Q P Q Q Q ==，需求函数分别为和销售量分别为 市场的售价，问厂家如何确定两个总成本函数为 )(403421Q Q C ++= 大？最大利润为多能使得获得的总利润最 解：，则设利润函数为L，13945.02.030322221212211---+=-+=P P P P C Q P Q P L ，，，联立解得，令其为，又30800-304.0-32212121====P P P L P L P P .此为唯一驻点 .336308021时取得为，定存在，故又由题意知最大利润一==P P .最大利润7. .角形求有最大周长的直角三的一切直角三角形中，从斜边长为l 解：,,,222l y x C l y x y x ++==+，周长则设另两边长分别为.222下的极值问题在约束条件题目即为求l y x l y x C =+++=设拉格朗日函数),(),,(222l y x l y x y x F -++++=λλ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=,0,021,021222l y x F y F x F y x λλλ令周长一定存在，，为唯一驻点，且最大解方程组得l y x 22== .22时有最大周长故当l y x == 7. 品的广告，根据统计资纸两种方式做销售某商某公司可通过电台及报 （万元）用（万元）及报纸广告费用（万元）与电台广告费料，销售收入21x x R验公式：之间的关系有如下的经 222121211028321415x x x x x x R ---++= ；况下，求最优广告策略）在广告费用不限的情（1 .5.12告策略万元，求相应的最优广）若提供的广告费用为（解：）利润函数（1 22212121211028311315)(x x x x x x x x R L ---++=+-=.25.175.003102-8-0138-4-21212121（万元）（万元），解得，，令==⎩⎨⎧=+==+=x x x x L x x L x x.2084222212212-=∂∂=-=∂∂∂=-=∂∂=x LC x x L B x L A ，，又 .25.1,75.000162）为极大值点，故点（，<>=-A B AC时的最优广告策略为：，它为最大值点，即此由问题的实际意义可知 .25.175.0万元作报纸广告万元作电台广告，用用 做拉格朗日函数)2(),5.1(),(),,(212121-++=x x x x L x x F λλ),5.1(10283113152122212121-++---++=x x x x x x x x λ,05.10208310481321211221⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+--==+--=x x F x x F x x F x x λλλ令.5.15.1,021，可使利润最大万元全部用于报纸广告，即广告费用解得==x x 10. .022之间的最短距离和直线求抛物线=--=y x x y解：的距离的求抛物线上的点到直线由题意，问题可转化为02=--y x .最小值的距离为）到直线任意点（02,=--y x y x.2|2|)1(1|2|2--=-+--=y x y x d.|2|2下的最值在约束条件先求函数x y y x =--设拉格朗日函数，)()2()(|2|22x y y x x y y x L -+---=-+--=λλ ，下，（注：在约束条件))2(|2|2---=--=y x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧=-==+==--=,0,01,0212x y L L x L y x λλλ令最短距离，为唯一驻点，故所求，解方程组得4121==y x.8272|24121|=--=d 11.的有最大体积试求内接于椭球面)0,0,0(1222222>>>=++c b a cz b y a x.的长方体解：），则按题意，我们，设其一个顶点为（此长方体的中心为原点z y x ,, ).0,0,0(18222222>>>=++=z y x cz b y a x xyz V 下的极值在约束条件应考虑函数设拉格朗日函数),1(222222-++++=cz b y a x xyz F λ,01020222222222⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==⋅+==⋅+=c z b y a x F byxz F a xyz F yx λλλ令体的长、宽、高分别为故具有最大体积的长方解得,3,3,3c z b y a x ===.33832,32,32abc V c z b y a x ====，且最大体积12. 这椭圆截成一椭圆，求原点到被平面求抛物面122=+++=z y x y x z.的最长与最短距离解：作拉格朗日函数)1()(22222-+++--+++=z y x y x z z y x L μλ ,022=+-=μλx x L x 令 (1),022=+-=μλy y L y (2) ,02=++=μλz L z (3).01,022=-++==--=z y x L y x z L μλ，得由或，故有）（）得（（）由（01.10)-12-1=====-μλλλy x y x ，得和代入将，不合题意，故舍去22221.21-x z z y x y x z y x z ==+++===，得到两，，得得；消去32231122122 =±-===+=+z y x x x z z x ），于是，，（）和，，（个点3223-123-13-223123121+--+-+-M M .35-9359，最短距离为求得最长距离为+总习题八1. 填入下列三者中选择一个正确的充分必要和必要、充分在""""""空格内：.),(),(),(.),(),(),()1(件在该点可微分的必要条连续是在点条件充分在该点连续的可微分是在点y x f y x y x f y x f y x y x f.),(),(),()2(条件必要在该点可微分的存在是及的偏导数在点y x f y zx z y x y x f z ∂∂∂∂=.),(),(条件充分存在的的及偏导数可微分是函数在该点的在点yzx z y x y x f z ∂∂∂∂=.),(),(),()3(条件充分在该点可微分的存在且连续是在点及的偏导数y x f y x y zx z y x f z ∂∂∂∂=.),()4(22条件充分内相等的混合偏导数在内连续是这两个二阶在区域及的两个二阶混合偏导数D D x y z y x z y x f z ∂∂∂∂∂∂=4. ).,(),(1),(),(222x x f x x x f x x f y x f y x ，求，有一阶连续偏导数，且设== 解：，求导得，，等式两端对由0211),(22=⋅+⋅=x f f x x x f x x .21-),(21-2-2-22=====x x f x x x f f x f y x x x ，即代入将8. ）处连续且在点（证明设0,0),(,0,00,)(),(2222232222y x f y x y x y x y x y x f ⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=.分偏导数存在，但不可微 解：）处连续，在（先证0,0),(y x f232222)0,0(),()0,0(),()(lim),(limy x y x y x f y x y x +=→→)sin ,cos (sin cos lim 32240θρθρρθθρρ===→y x ).0,0(0sin cos lim 220f ===→θθρρ.0,0),(）处连续在（故y x f）处偏导数存在，在（再证0,0),(y x f，）（），（），（000,00lim 00=--=→x f x f f x x.000,00lim 00=--=→y f y f f y y ）（），（），（）处不可微，在（最后证0,0),(y x f 22)0,0(),()0,0()0,0()0,0(),(limyx yf x f f y x f y x y x +---→22222)0,0(),()(lim y x y x y x +=→ )sin ,cos (sin cos lim 42240θρθρρθθρρ===→y x .sin cos lim 220θθρ→=.0,0),(）处不可微在（显然，极限不存在，故y x f12. .2),(222220-2y fx y y x f x f y x dt e y x f xyt ∂∂+∂∂∂-∂∂=⎰，求设解：，，x e yfy e x f y x y x ⋅=∂∂⋅=∂∂2222-- ，2222-22-22y x y x e y x e yx f-=∂∂∂ ，2222-32-222-)2-(y x y x e xy xy e y x f =⋅⋅=∂∂，22-3222-y x ye x yf =∂∂ .2-222-22222y x e yf x y y x f x f y x =∂∂+∂∂∂-∂∂代入所求式子得 13. .124522的面积试求椭圆=++y xy x解：原点的距离的最大值与在原点，故先求椭圆至由题意知，椭圆的中心 设乘数法最小值，利用拉格朗日.），（）（1245,,2222-++++=y xy x y x y x F λλ，令⎪⎩⎪⎨⎧=-++==++==++=012450)44(20)410(222y xy x F y x y F y x x F y x λλλ ，）（）（）（即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3124520)22(10)25(522y xy x y x y y x x λλ ）得，代入（）得（）（232-1xxy -=λ ，））（（02223222=-+=--y x y x y xy x .22x y y x -==，因而,30430112820)3(222222===++=x y y y y y x ，因而，解之得得代入将 .61301304,2221=+=+==y x y x f d ）（于是 ,54511885)3(222222===+--=y x x x x x y ，因而，解之得得代入将.15154,2222=+=+==y x y x f d ）（于是 .66611611611ππ=⋅⋅，故椭圆的面积为和短半轴的长分别为，即椭圆的长半轴与，最短距离为距离为因而椭圆至原点的最长15.底平所围圆锥体内所作出的和平面求在圆锥面33222=+=z y x z .面的最大长方体体积值面平行于xOy解：，且长方体的一，高为底面半径为由题设知直圆锥面的上32==H R 上，，四个顶点在直圆锥面和重合，两个边长为个面域直锥面的上底面y x 22面，则体底面的对角线作一截，过直圆锥的高和长方高为Z,,,,22y x CD EC R CB AC Z DG EF H DC +=======.)(22y x H R Z H +=-在约束条件问题转化为求函数xyz V 4=.0,0,0)(22）下的极值问题（>>>+=-z y x y x HR Z H设拉格朗日函数，])([22R Z H y x H xyz F --++=λ，令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+==+==++==++=)4(0)()3(0)2(0)1(0222222R Z H y x H F R xy F y x Hy xz Fy y x Hx yz F z x λλλλ ，）可得又由（）得，代入（）得）、（由（RH z R y x y x λλλ21.321--=-===.313292-4,,H z R y x R z y x ====，，从而有）得代入（将λ时得到最大体积值，高分别为故当长方体的长、宽、322322.932132232244=⨯⨯⨯==xyz V。

多元函数微分学及其应用总结
多元函数微分学是微积分学的一个分支，研究的是多元函数的导数和微分，并在实际应用中得到广泛的应用。

本文将从多元函数的导数、微分和应用等方面进行总结。

多元函数的导数是指多元函数在某一点处的切向量。

与一元函数的导数不同，多元函数的导数是一个向量，而不是一个数。

多元函数的导数可以通过偏导数来定义，偏导数是指多元函数在某一点处，对于某一个变量求导时，其他所有变量都视为常数的导数。

通过偏导数的定义，我们可以求出多元函数在某一点处的所有偏导数，再将这些偏导数组成一个向量，就是该点的导数。

多元函数的微分是指函数在某一点处沿着切向量的变化率。

对于一个多元函数，其微分可以通过求出该点的导数，再将其与自变量的变化量相乘得到。

多元函数的微分在实际应用中有着重要的作用，比如在经济学中，微分可以用来描述市场需求和供给之间的关系，从而帮助企业做出决策。

在实际应用中，多元函数微分学有着广泛的应用。

其中一个重要的应用是在物理学中，多元函数微分学可以用来描述物理量之间的关系。

比如在热力学中，温度、压力和体积之间的关系可以用多元函数来表示，通过求导和微分可以得到温度、压力和体积的变化率。

在机器学习中，多元函数微分学也有着重要的应用，比如在神经网
络中，通过求导和微分可以得到网络参数的更新量，从而提高模型的准确性。

多元函数微分学是微积分学中一个重要的分支，它可以用来描述多元函数的导数和微分，并在实际应用中得到广泛的应用。

对于学习微积分学的同学们来说，多元函数微分学是一个重要的课程，需要认真学习，并通过实际应用来加深对其的理解。

高等数学下册复习提纲第八章 多元函数微分学本章知识点（按历年考试出现次数从高到低排列）：复合函数求导（☆☆☆☆☆）条件极值-——拉格朗日乘数法(☆☆☆☆） 无条件极值(☆☆☆☆）曲面切平面、曲线切线(☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆）一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算(☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆)1. 多元复合函数高阶导数例 设),,cos ,(sin yx e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数,求xy zx z ∂∂∂∂∂2及。

解y x e f x f xz+⋅'+⋅'=∂∂31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x zx y z ++++⋅''+-⋅''+'+⋅''+-⋅''=∂∂∂=∂∂∂])sin ([cos ])sin ([33323131222析 1）明确函数的结构（树形图)这里yx e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构图，可以知道：对x的导数，有几条线通到“树梢”上的x ,结果中就应该有几项，而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是,“按线相乘，分线相加”.2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31yx y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构相同,仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数。

所以1f '对y 求导数为zu vwxx y yy x e f y f yf +⋅''+-⋅''=∂'∂13121)sin (。

第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概 念 2、多元函数的极限lim f(x, y)=A (或 lim f(x,y)=A )的；-' 定义(x,y)「(x °,y o)P「P )掌握判定多元函数极限不存在的方法：(1) 令P(x, y)沿y 二kx 趋向P(x o ,y o )，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在；(2) 找两种不同趋近方式，若 lim f (x, y)存在，但两者不相等，(x,y )Tx o ，y o )此时也可断言极限不存在。

多元函数的极限的运算法则(包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等)与一元类似：例1•用…定义证明(侧0,0)(x 2+y 2)sin 击=02 + 2例2(03年期末考试三、15 分当X>0,y >0时，函数x2；(；2_y)2的极限是否存在？证明你的结论。

xy 2 2 2 2 , x y = 0x y ，讨论 lim f (x, y)是否存在?(x,y )T(0,0)3卫， x 2+ y 2=0(JiH ,。

)f (X,y )是否存在?例 3 设 f (x, y) =2 例4(07年期末考试 一、2，3分)设f(x, y)=Q2 xy2 .4x y2 2小,x y =0 ，讨论x 2y 2二 0x3、多元函数的连续性台(Jim )f (x, y)= f (X o ,y o )(x，y) --- (X 0，y 0 )一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。

在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。

4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数 1、二元函数z = f (x, y)关于x, y 的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义)f(X0pX,y 0)— f(X 0,y 0)存在，则有y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。

第八章 多元函数微分学§8.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D ，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以z=f （x ，y ），D 称为定义域。

二元函数z=f （x ，y ）的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影域就是定义域D 。

例如 22221,:1z x y D x y =--+≤ 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2．三元函数与n 元函数：(,,),(,,)u f x y z x y z =∈Ω空间一个点集，称为三元函数12(,,,)n u f x x x n =称为元函数。

它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。

条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限：设00(,)(,)f x y x y 在点的邻域内有定义，如果对任意00,εδ>>存在只要2200()(),(,)x x y y f x y A δε-+-<-<就有则，0000(,)()lim (,)lim (,)x x x y x y y y f x y A f x y A →→→==或称当00(,)(,)(,)x y x y f x y 趋于时的极限存在，极限值为A 。

否则，称为极限不存在。

值得注意：00(,)(,)x y x y 这里趋于是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于00(,)x y ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

三、二元函数的连续性1．二元函数连续的概念若000000lim (,)(,)(,)(,)x x y y f x y f x y f x y x y →→=则称在点处连续 若(,)f x y D 在区域内每一点皆连续，则称(,)f x y 在D 内连续。

第七章多元函数的微分学一、多元函数微分学网络图二、内容与要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

5.会求多元隐函数的偏导数。

6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。

难点多元复合函数二阶偏导数的求法。

用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。

三、概念、定理的理解与典型错误分析1．求多元函数极限的方法（1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. （2）利用多元函数极限的四则运算。

（3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算.（4）对于证明或求时，感觉极限可能时零，而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而由夹逼定理知从而2．判断多元函数极限不存在的方法（1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。

注意：与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限，我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。

例1而知不存在. 例2在原点的两个累次极限都不存在，但是由于，因此.由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在，但二重极限存在，但我们有下面的结论。

定理7。