第八章 多元函数微分法及其应用A 题1、 填空题1） 设()22,y x y x f +=，()22,y x y x g -=，则()[]=2,,y y x g f2） 设()y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z3） 设()y x y y x y x f arctan arctan ,22-⋅=，则()=∂∂y x f ,04） 设()()y ax x x z ++++=ϕ211，若已知：当0=x 时，()2ln ey z =，则=dz 5） 设()y x f z ,=，由1345=++yz xz z 所确定，则()=0,0'x f6） 设2lnx y z +=，则在点()1,1,10M 的法线方程为 7） 曲面1232222=++z y x 上点()1,2,1-处的切平面方程为8） 设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为2、 下列函数的定义域并图示 1)y x y x z -++=112)()221ln y x x x y z --+-=3)22arccosy x z u +=3、 求下列各极限1)()()221,0,1limy x xy y x +-→2)()()xyxy y x 42lim 0,0,+-→3)()()()y xy y x sin lim0,2,→4、 问函数xy x y z 2222-+=在何处间断.5、 求下列函数的偏导数 1)uvv u s 22+=2)()()xy xy z 2cos sin +=3)yx z tanln =4)z y x u =6、 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z 在点()5,4,2处的切线对于x 轴的倾角是多少?7、 设()()yx y x y x f arcsin1,-+=，求()1,x f x .8、 求下列函数的22x z ∂∂,22y z ∂∂,yx z ∂∂∂2 1)xy z arctan=2)x y z =9、 求下列函数的全微分 1)22y x y z +=2)yz x u =10、求函数22y x xy z +=当2=x ，1=y ，01.0=∆x ，03.0=∆y 时的全增量和全微分.11、计算()()3393.102.1+的近似值.12、已知边长为cm x 6=与cm y 8=的矩形，如果x 边增加cm 5而y 边减少cm 10，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？13、设v u z ln 2=，而y x u =，y x v 23-=，求x z ∂∂，yz ∂∂.14、设()y x z -=arcsin ，而t x 3=，34t y =，求dtdz .15、设()12+-=a z y e u ax ，而x a y sin =，x z cos =，求dxdu .16、求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）1)()xy ey x f u ,22-=2)()xyz xy x f u ,,=17、设()y y x f x z cos ,31-=，求x z ∂∂，yz ∂∂.18、设()22y x f z +=，其中f 就有二阶导数，求22x z ∂∂，y x z ∂∂∂2，22y z ∂∂.19、求下列函数的22xz ∂∂，y x z ∂∂∂2，22y z ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数） 1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y x x f z ,2)()y x u f z ,,=，其中y xe u =3)()y x ey x f z +=,cos ,sin20、设y z z x ln =，求x z ∂∂及yz ∂∂.21、设()y x z z ,=由方程()0,2=xyz F 确定，求dz .22、设()z y x x ,=，()z x y y ,=，()z x z z ,=都是由方程()0,,=z y x F 所确定的具有连续偏导数的函数，求xz z y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂.23、设()z y x z y x 3232sin 2-+=-+，计算yz x z ∂∂+∂∂.24、求下列方程组所确定函数的导数或偏导数 1)设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x 求dz dx ，dz dy2)设⎪⎩⎪⎨⎧-=+=vu e y v u e x u u cos sin 求x u ∂∂，y u ∂∂，x v ∂∂，y v ∂∂25、求曲线mx y 22=，x m z -=2在点()000,,z y x 处的切线和法线方程.26、求出曲线t x =，2t y =，3t z =上的点，使在该点的切线平行于平面42=++z y x .27、求椭球面12222=++z y x 上平行于平面02=+-z y x 的切平面方程.28、求函数22y x z +=在点()2,1处沿从点()2,1到点()32,2+的方向的方向导数.29、求函数222z y x u ++=沿曲线t x =，2t y =，3t z =在点()1,1,1处的切线正方向（对应于t 增大的方向）的方向导数.30、设()z y x xy z y x z y x f 62332,,222--++++=，求()0,0,0gradf 及()1,1,1gradf .31、问函数z xy u 2=在点()2,1,1-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.32、求函数()()y y x ey x f x 2,22++=的极值.33、求函数xy z =在适合条件1=+y x 下的极大值.34、欲选一个无盖的长方形水池，已知底部造价为每平方米a 元，侧面造价为每平方米b 元，现用A 元造一个容积最大的水池，求它的尺寸.35、要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.36、在平面xoy 上求一点，使它到0=x ，0=y 及0162=-+y x 三直线的距离平方之和为最小.B 题1、 填空题1) 设()x y y x z -+=22arcsin ，其定义域为2) 设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000sin ,2xy xy xy y x y x f ，则()=1,0x f 3) 已知函数()22,y x y x y x f z -=-+=，则=∂∂+∂∂y z x z 4) 函数()z y x z y x f 1,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，则()=1,1,1df 5) ()y x f ,在点()y x ,处可微分是()y x f ,在该点连续的 的条件，()y x f ,在点()y x ,处连续是()y x f ,在该点可微分的 的条件6) ()y x f z ,=在点()y x ,的偏导数x z ∂∂及y z ∂∂存在是()y x f ,在该点可微分的 条件 7) 由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数()y x z z ,=在点()1,0,1-处的全微分为8) 设y x e u xsin -=，则y x u ∂∂∂2在点⎪⎭⎫ ⎝⎛π1,2处的值为 9) 设()()y ax y xy f xz ++=ϕ1，f ，ϕ具有二阶连续导数，则=∂∂∂y x z 2 10) 由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点()2,3,0处的指向外侧的单位法向量为11) 曲面4323232=++z y x 上任一点的切平面在坐标轴上的截距平方和为12) 设()222ln zy x u ++=在点()2,2,1-M 处的梯度=M gradu 13) 设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为2、 求函数()()2221ln 4,y x y x y x f ---=的定义域，并求()()y x f y x ,lim0,21,⎪⎭⎫⎝⎛→.3、 证明：()()0lim220,0,=+→yx xy y x .4、 证明下列极限不存在1) ()()()222220,0,limy x y x y x y x -+→2) ()()4220,0,limy x xy y x +→5、 求下列函数的偏导数1) ()yxy z +=12)nx e z t kn cos 2-=3) ()xyy x ey x z 2222++=6、 设()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000,2222222y x y x yx y x y x f ，求()y x f x ,及()y x f y ,.7、 设y x z arctan =，而v u x +=，v u y -=，验证：22vu v u v z u z +-=∂∂+∂∂.8、 设()u xF xy z +=，而xyu =，()u F 为可导函数，证明：xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂.9、 设()22yx f y z -=，其中()u f 为可导函数，验证：211y z y z y x z x =∂∂+∂∂.10、设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求xv x u ∂∂⋅∂∂.11、设()()xy x g y x f z ,2+-=，其中函数()t f 二阶可导，()v u g ,具有连续二阶偏导数，求yx z ∂∂∂2.12、设()y x f u ,=的所有二阶偏导数连续，而23ts x -=，23ts y +=，证明：2222⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂t u s u y u x u 及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.13、设v e x u cos =，v e y usin =，uv z =，试求x z ∂∂和yz ∂∂.14、在方程02222=∂∂-∂∂y ux u 中，函数u 具有二阶连续偏导数，令⎩⎨⎧+=-=y x y x ηξ，求u 以ξ，η为自变量的新方程.15、设0=-xyz e z，求22xz∂∂.16、设()v u ,Φ具有连续偏导数，证明由方程()0,=--Φbz cy az cx 所确定的函数()y x f z ,=，满足c yz x z a=∂∂+∂∂. 17、设()()⎩⎨⎧-=+=y v x u g v y v ux f u 2,,，其中f ，g 具有一阶连续偏导数，求x u ∂∂和xv ∂∂.18、求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点()1,1,1处的切线及法平面方程.19、试证曲面a z y x =++()0>a 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为一常数.20、求函数z y x u ++=在球面1222=++z y x 上点()000,,z y x 处沿球面在该点的外法线方向的方向导数.21、设()θθsin ,cos =l ，求函数()22,y xy x y x f +-=在点()1,1处沿方向l 的方向导数，并分别确定角θ，使这个导数有： a)最大值 b)最小值 c)等于022、证明：曲面()0,=--bz y az x F 上任意点处的切平面与直线z bya x ==平行（a ，b 为常数）.23、求平面1222=++z cwy b v x a u 的三截距之积在条件1222222=++c w b v a u 之下的最小值.24、经过⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1,2的所有的平面中，哪一个平面与坐标面围成的立体体积最小？最小体积是多少？25、抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到这个椭圆的最长与最短距离.C 题1、 讨论函数()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,0,00,0,1sin ,2222y x y x y x y x y x f 在()0,0点处的连续性，偏导数存在性，可微性. 2、 设yx y z 1tan⎪⎭⎫ ⎝⎛=，求x z ∂∂及yz ∂∂. 3、 设()y x z z ,=由方程()z y f y x z ,2++=所确定，求xz∂∂， y z ∂∂及y x z ∂∂∂2.4、 设()y x z z ,=由方程⎰-+=x y zt dt e x z 22所确定，求xz ∂∂， y z ∂∂.5、 设()t x f y ,=，而t 是由方程()0,,=t y x F 所确定的x ，y 的函数，其中f ，F 都具有一阶连续偏导数，试证明：tF y F t f x Ft f t F x f dxdy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=.6、 设()z y x f u ,,=，()0,,2=z e x yϕ，x y sin =，其中f ，ϕ都具有一阶连续偏导数，且0≠∂∂x ϕ，求dxdu. 7、 设变换⎩⎨⎧+=-=ayx v y x u 2可把方程0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂y zy x z x z 转化为02=∂∂∂v u z ，求常数a . 8、求椭球面2132222=++z y x 上某点M 处的切平面π的方程，使π过已知直线L ：2121326--=-=-z y x . 9、 求函数22y xy x z +-=在区域1≤+y x 的最大值，最小值.10、求旋转椭球面14222=++z y x 在第一卦限部分上的点，使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小.第八章 多元函数微分法及其应用习 题 答 案A1、填空题1)422422y y x x +- 2）()22y x y -+ 3）y -4）()()()dy y ax x dx y ax x a y ax x dz +++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=2221212ln 21 5）51- 6）111111--=-=-z y x 7)()()()0162812=-++--z y x 8）352、下列函数的定义域并图示1）(){}0,0,>->+y x y x y x 2）(){}1,0,0,22<+≥>-y x x x y y x 3）(){}0,0,,22222≠+≥-+y x z y x z y x3、1）1 2）41-3）2 4、(){}02,2=-x y y x 5、 1）21u v v u s -=∂∂,21vuu v s -=∂∂2）()()[]xy xy y xz2sin cos -=∂∂,()()[]xy xy x y z 2sin cos -=∂∂ 3）y x y x z 2csc 2=∂∂,y x yx y z2csc 22-=∂∂ 4）1-=∂∂z yx z y x u ,x x zy u z y ln 1=∂∂,x x z yz u z yln 2-=∂∂ 6、4π7、()11,=x f x 8、 1）()222222y x xyx z +=∂∂,()222222y x xy y z +-=∂∂,()222222y x x y y x z +-=∂∂∂2）y y x z x 222ln =∂∂,()2221--=∂∂x y x x yz ,()y x y y x z x ln 112+=∂∂∂- 9、1）()()xdy ydx y xxdz -+-=23222）xdz yx xdy zx dx yzx dz yzyz yz ln ln 1++=- 10、02.0=∆z ，03.0=dy 11、95.2 12、cm 5-13、()()22223323ln 2y y x x y x y x x z -+-=∂∂，()()223223323ln 2y y x x y x yx y z ----=∂∂ 14、()()232431413t t t dt dz ---= 15、x e dx du ax sin =16、1）'2'12f ye xf xuxy +=∂∂,'2'12f xe yf y u xy +-=∂∂ 2）'3'2'1yzf yf f x u ++=∂∂,'3'2xzf xf y u +=∂∂,'3xyf zu=∂∂ 17、()2'1cos ,33x y y x f xf x z --=∂∂,x y f f y zsin '2'1+-=∂∂ 18、'''22224f f x x z +=∂∂，''24xyf y x z =∂∂∂，'''22224f f y yz +=∂∂ 19、1）''222''22''112212f y f y f x z ++=∂∂,'22''22''122211f y f y f yx y x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂∂ ''2242'23222f yx f y x y z +=∂∂ 2）()''''''2''22xx y xu ux y uu f e f f e f xz +++=∂∂'''''''''22u y xy xu y yu y uu y f e f f xe f e f xe yx z ++++=∂∂∂ ()'''''''22''22yyy yu u uy y uu f xe f f f e x f yz ++++=∂∂ 3）()''332''13''112'1'322cos 2cos sin f e xf e xf xf f e xz y x y x y x ++++++-=∂∂()''332''32''13''12'32sin cos sin cos f e yf e xf e yf x f e yx z y x y x y x y x +++++-+-=∂∂∂()''332''23''222'2'322sin 2sin cos f e yf e yf yf f e yz y x y x y x ++++-+-=∂∂ 20、z x z x z +=∂∂,()z x y z y z+=∂∂2 21、dy y z dx yf f x dz -'-=122 22、1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x z z y y x 23、1=∂∂+∂∂y zx z 24、1）y x z y dz dx --=，yx xz dz dy --= 2）()1cos sin sin +-=∂∂v v e v x u u ,()1cos sin cos +--=∂∂v v e v y u u ()[]1cos sin cos +--=∂∂v v e u e v y v u u ,()[]1cos sin sin +-+=∂∂v v e u e v x v u u25、切线方程：000211z z z y m y y x x --=-=- 法线方程：()()()02100000=---+-z z z y y y mx x 26、()1,1,11--P 及⎪⎭⎫⎝⎛--271,91,312P 27、切平面方程：2112±=+-z y x28、321+ 29、147630、()→→→--=k j i gradf 6230,0,0，()→→+=j i gradf 361,1,131、→→→+-=k j i gradu 42是方向导数取最大值的方向，此方向导数的最大值为21=gradu32、极小值：21,21e f -=⎪⎭⎫⎝⎛- 33、极大值：4121,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛z34、a A y x 3＝＝宽长，aAb a z 32＝高35、当长，宽都是32k ，而高3221k 为时，表面积最小 36、⎪⎭⎫⎝⎛516,58 B 解答及提示 1、 填空题1)(){}0,1,22≥>≤+x y y xy x 2) ()11,0=x f 3)y x 22-4)dy dx - 5)充分，必要 6)必要 7)dy dx dz 2-=8)2⎪⎭⎫⎝⎛e π 9)()()()y x ay y x xy yf y x z ++++=∂∂∂'''''2ϕϕ 10)()3,2,05111)64 12)()2,2,192- 13)35 2、 (){}x y y x y x 4,10,222≤<+<，43ln 2 3、 提示：222221y x y x xy +≤+ 4、 证明下列极限不存在1)()1lim222220=-+=→y x y x y x yx x ,()0lim2222220=-+=→y x y x y x xy x2)1lim 242202+=+=→k ky x xy kyx y 5、 求下列函数的偏导数1)()121-+=∂∂y xy y x z ,()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=∂∂xy xy xy xy y z y 11ln 1 2)nx e kn t z t kn cos 22--=∂∂,nx ne xzt kn sin 2--=∂∂ 3) ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++=∂∂+y x y x y y x x ex z xyy x 2222222222 ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=∂∂+2222222222xy y x x y x y eyz xyy x 6、提示：()0,0处的偏导数应按定义求()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0002,22222223y x y x y x xy y x f x ,()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=000,2222222222y x y x y x y x x y x f y10、()()'211g y yf f xv x u ++=∂∂⋅∂∂ 11、22212''22xyg g x g f y x z +++-=∂∂∂ 13、提示：由⎪⎩⎪⎨⎧==ve y ve x uusin cos 解出()()⎩⎨⎧==y x v v y x u u ,,再解或者由⎪⎩⎪⎨⎧==ve y v e x uusin cos 直接分别求对于x ，对于y 的偏导数，通过解关于x u ∂∂，y u ∂∂或x v ∂∂，y v ∂∂的方程组解出x u ∂∂，y u ∂∂ ，x v ∂∂，yv∂∂14、提示：将ξ，η看作中间变量，通过复合函数偏导数运算求得新方程为02=∂∂∂ηξu15、()322322222xy e e z y z xy ze y x z z zz ---=∂∂ 17、()()()'1'2'2'1'1'2'2'11211g f yvg xf g f zyvg uf x u ------=∂∂，()()()'1'2'2'1'1'1'11211g f yvg xf uf xf g y u----+=∂∂ 18、提示：平法球法切向＝ηηη→→→⨯,切线方程：1191161--=-=-z y x 法平面方程：024916=--+z y x20、()000,,000z y x luz y x ++=∂∂处沿球面在该点的外法线方向的方向导数21、θθsin cos +=∂∂l f ,a)4πθ= b)45πθ=c)43πθ=或47π22、提示：令()()bz y ay x F z y x G --=,,,,已知曲线在任意点处的法向量即为{}''',,z y x G G G =→η 23、提示：考虑()uvw c b a w v u f 222,,=在条件1222222=++cw b v a u 之下的最小值，由拉格朗日乘数法得最小值为abc 3324、提示：设平面方程为0=+++D Cz By Ax ，问题即求：22262361C B A D V =在条件0312=+++D C B A 下的最小值，由拉格朗日乘数法得平面方程为：0662=-++z y x ，最小体积是325、提示：问题可看作2222z y x d ++=在条件⎩⎨⎧=+++=122z y x y x z 下的最值，令()()()1,,,,22222-+++++++=z y x u yx z y x u z y x F λλ求得最长距离为：359+，最短距离为：359-C 解答及提示解：1）因为()2222221sin0y x y x yx +≤++≤又 0lim 2200=+→→y x y x 由夹逼准则知：()01sinlim 22220=++→→yx y x y x ,又因 ()00,0=f ,所以 ()y x f ,在()0,0处连续 2）根据定义 ()y x f ,在()0,0处的偏导数为：()()()()()01s i n lim0,00,0lim0,02200'=∆∆⋅∆=∆-∆+=→∆→∆xx x xf x f f x x x同理可得 ()00,0'=y f3）()()()()[]()()22221sin0,00,0y x y x f y x f z ∆+∆⋅∆+∆=-∆+∆+=∆ ()()()()[]()()2222''1sin0,00,0y x y x y f x f y x ∆+∆⋅∆+∆+∆+∆= 而 ()()[]()()()()01sinlim2222220=∆+∆∆+∆⋅∆+∆→∆→∆y x y x y x y x所以 ()y x f ,在()0,0处可微分C1、解：两边取对数有：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y y z tan ln 1ln两边对x 求偏导有：x yxy x y x z z 22sec tan1111⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂故xyx y x x z y2112s e ct a n 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂ 同理： xy x y xy x y x y y y z y y2112sec tan 1tan ln tan 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂ 2、解：两边分别对x 求偏导有：xzf x z z∂∂+=∂∂'212, 故 '221f z x z -=∂∂ 同理由：y z f f y z z ∂∂++=∂∂'2'112，得： '2'121f z f y z -+=∂∂ 对方程'221f z x z -=∂∂两边同时求y 的偏导有：()2'2''22''21222f z y z f f y z y x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--∂∂-=∂∂∂将'2'121f z f y z -+=∂∂代入上式有： ()()3'2'1''22''22''21'2''21'12'2'2'1''22''21'2'122222221212f z f f f f f zf f f z f z f f f f z f y x z -++-+--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---+-=∂∂∂ 4、解：方程可表示为：⎰⎰-+=-xat xy at dt e dt e x z 222（a 为任意常数）对方程两边求x 的偏导数有：()()x z z e e x x z z x y ∂∂--+=∂∂-21122，所以 ()zx y e z ez z x x z +-=∂∂-2242，同理得 ()zx y ez e z y z +=∂∂-2225、 由题意可知：tF x Fdxdt ∂∂∂∂-=，t F y F dy dt ∂∂∂∂-=，由()()y x t x f y ,,=，两边对x 求导有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂=dx dy y t x t t f x f dx dy ，得：yt t f x t t f x f dx dy ∂∂∂∂-∂∂∂∂+∂∂=1 将上面偏导代入即得结果 6、解：dx dz z f dx dy y f x f dx du ∂∂+∂∂+∂∂= ，易见 x dxdy cos = 由()0,,2=z e x yϕ，对方程两边求x 的导数有：0cos 2'3'2'1=++dx dz x e x yϕϕϕ，得'3'2'1cos 2ϕϕϕx e x dx dzy +-= 7、 解法一：v z u z x z ∂∂+∂∂=∂∂，vza u z x z ∂∂+∂∂-=∂∂222222222v z v u z u z x z ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂，2222222244v z a v u z a u z x z ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂()22222222vza v u z a u z y x z ∂∂+∂∂∂-+∂∂-=∂∂∂ 将上述结果代入原方程，经整理后可得：()()065102222=∂∂-++∂∂∂+vz a a v u z a 依题意a 应满足：⎩⎨⎧≠+=-+0510062a a a ，3=∴a解法二：将z 视为以x ，y 为中间变量的u ，v 的二元复合函数，由题意可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=++=222a v u y a v av x ，从而2+=∂∂a a u x ，2+=∂∂a a v x ，21+-=∂∂a u y ，21+=∂∂a v y yz a x z a a u y y z u x x z u z ∂∂+-∂∂+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂212 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+=∂∂∂v y y z v x y x z a y y y x z v x x z a a v u z 2222222212 ()()()22222222212222yza y x z a a x z a a∂∂+-∂∂∂+-+∂∂+=依题意 0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂y z y x z x z ，即 y x zx z y z ∂∂∂+∂∂=∂∂222226 代入上式得 ()()y x za a x z a a v u z ∂∂∂+-+∂∂+-=∂∂∂22222223262，令 02=∂∂∂v u z ，得：⎩⎨⎧≠+=-0203a a 故 3=a 8、解：令()2132,,222-++=z y x z y x F ，x F x 2'=，y F y 4'=，z F z 6'=椭球面在点()000,,z y x M 处的切平面π的方程为()()()0642000000=-+-+-z z z y y y x x x ，即2132000=++z z y y x x因为平面π过直线L ，故直线L 上任意两点，如点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3,6，⎪⎭⎫ ⎝⎛27,0,0应满足平面π的方程，代入有：212366000=++z y x ()1 20=z ()2 又因为2132202020=++z y x ()3解()1，()2，()3有 30=x ，00=y ，20=z 及 10=x ，20=y ，20=z 故所求切平面方程为：72=+z x 及 2164=++z y x9、 解：函数z 在闭区域1≤+y x 上连续，故存在最大值，最小值令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=0202''x y z y x z yx ⇒ 0==y x 此时 0=z显然()0.0是函数在区域内的唯一驻点，且()()[]02122222≥-++=+-=y x y x y xy x z所以函数在驻点()0.0取得最小值，而函数的最大值只可能在区域的边界上取得 设()y x f z ,=，显然()()y x f y x f ,,=--，故只需讨论以下边界的函数值 1）1=+y x 10≤≤x 10≤≤y 2）1=-y x 10≤≤x 01≤≤-y 对于情形1）()()4121311222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+--=x x x x x z∴ 当 0=x 或 1=x 时 z 取最大值 1ma x=z对于情形2）()()432111222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+--=x x x x x z∴ 当 0=x 或 1=x 时 1ma x=z综上()00,0min ==z z ()()()()10,11,00,11,0ma x=====--z z z z z10、设所取的点为()z y x M ,,，在点M 处切平面的法向量为⎭⎬⎫⎩⎨⎧2,2,2z y x ，切平面方程为()()()0222=-+-+-z Z zy Y y x X x ，即14=++Z z yY xX （考虑到14222=++z y x ） 此平面在三个坐标轴上的截距分别为：x 1，y 1，z4 问题即为求()z y x ,,，使得函数()2221611,,z y x z y x F ++=在条件⎪⎩⎪⎨⎧>>>=++0,0,014222z y x z y x 下求极值令 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++=141611,,,222222z y x z y x z y x G λλ则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==+-==+-==+-=014022022022222'2'2'2'z y x G z zG y y G x x G z y x λλλλ 解得 λ18222===z y x代入约束条件得 14181812=⎪⎭⎫ ⎝⎛++z 由 0,0,0>>>z y x 知21==y x ，2=z ， ∴所求点为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21,21M。
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