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高中数学 2.1 向量的线性运算 2.1.4 向量数乘优化训练 新人教B版必修4

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2.1.4 向量数乘
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知a =e 1+e 2，b =3e 1-2e 2，则3a -2b 等于( )
A.9e 1+4e 2
B.0
C.7e 2-2e 1
D.-3e 1+7e 2 解析：3a -2b =3(e 1+e 2)-2(3e 1-2e 2)=-3e 1+7e 2. 答案：D
2.已知=a ，=b ，AB =
4
3
AP ，用a ，b 表示，则等于( ) A.a b 4143- B.a b 3134- C.b a 4
3
31+ D.a -b 解析：∵=43，∴-=43(-).∴b -a =43-43
a .
∴OP =a b 3
1
34-.
答案：B
3.化简(-2)·3m -4(n -2m )的结果为( )
A.-14m -4n
B.-6m -4n
C.2m -4n
D.4n +2m 解析：原式=-6m-4n+8m=2m-4n. 答案：C
4.若|a |=3，b 与a 的方向相反，且|b |=5，则a =b . 解析：∵b 与a 的方向相反，且|a |=
5
3
|b |, ∴a =-53b . 答案：-5
3
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.如图2-1-16，在梯形ABCD 中，AD∥BC，=a ，=b ，=c ，=d ，且E 、F 分别为AB 、CD 的中点，则( )
图2-1-16
A.EF =
21(a +b +c +d ) B.EF =21
(a -b +c -d ) C.EF =21(c +d -a -b ) D.EF =2
1
(a +b -c -d )
解析：EF =OF -OE =21(OC +OD )-21(OA +OB )=21(c +d )-2
1
(a +b ). ∴EF =
2
1
(c +d -a -b ). 答案：C 2.已知AD 、BE 、CF 分别为△ABC 的三条中线，G 是它们的交点，则下列等式不正确的是( )
A.=
32 B.=2
1
C.=-2
D.31+32=2
1
解析：本题的关键点在于将重心的性质用向量的形式表示出来，由图知B 错在方向反了.应该为=2
1
-
.
答案：B
3.点C 在线段AB 上，且AC =5
3
AB ，则AC =BC .( ) A.32 B.23 C.32- D.2
3- 解析：∵||=5
3
||，∴||∶||=3∶2，
且与方向相反,∴=2
3
-.
答案：D
4.化简：)]24()82(21[31b a b a --+=____________.
解析：原式=3
1
[(a +4b )-4a +2b ]
=3
1
(-3a +6b )=-a +2b . 答案：2b -a 5.若2(x -
31a )-21
(b -3x+c )+b =0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量x =______________. 解析：2x+c b b a x 21
213223+-+=，
∴x=c b a 7171214+-. 答案：c b a 7
1
71214+-.
6.如图2-1-17,已知=3e 1,=3e 2,
(1) (2)
图2-1-17
(1)如图（1）,C 、D 为AB 三等分点，求,； (2)如图（2），C 、D 、E 为AB 的四等分点，求、. 解:(1)=-=3e 2-3e 1，
∴AC =e 2-e 1=CD .∴OC =OA +AC =3e 1+e 2-e 1=2e 1+e 2；
OD =OC +CD =2e 1+e 2+(e 2-e 1)=e 1+2e 2.
(2)AB =3e 2-3e 1，AC =
43e 2-43
e 1， =+=3e 1+43e 2-43e 1=49e 1+4
3
e 2，
此时，=43=43(3e 2-3e 1)=49e 2-4
9
e 1，
=+=3e 1+49e 2-49e 1=43e 1+4
9
e 2.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.M 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，=a ，=b ，则OM 等于（ ）
A
b a 2121+ B.a b 21
21- C.b a 2
1
21- D.2a +2b 解析：以OA 、OB 为邻边作平行四边形OANB ，ON =a +b ，OM =2
1
ON ， ∴OM =
21a +2
1b .
答案：A
2.如图2-1-18平行四边形ABCD 中，O 为平面外任一点，AO =a ，OB =b ，OC =c ，OD =d ，则( )
图2-1-18
A.a +b +c +d =0
B.a -b -c -d =0
C.a +b -c -d =0
D.a -b +c -d =0 解析：由平行四边形ABCD 知BA =CD ，即OA -OB =OD -OC ， ∴a -b =d -c .∴a -b +c -d =0. 答案：D
3.已知四边形ABCD 为菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C)，则等于( ) A.λ(+)，λ∈(0，1) B.λ(+)，λ∈(0，
22) C.λ(-)，λ∈(0，1) D.λ(-)，λ∈(0，
2
2) 解析：由向量的运算法则=+，点P 在对角线AC 上，所以与同向，且||＜||，故=λ(+)，λ∈(0，1). 答案：A
4.正方形ABCD 中，已知=a ，=b ，=c ，表示a -b +c 的是( ) A. B. C. D. 解析：a -b +c =-+=+==. 答案：C
5.(2006高考广东卷，4)如图2-1-19所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量等于( )
图2-1-19
A.-+21
B.--21
C.-21
D.+2
1
解析：CD =BD -BC =2
1
BA -BC .
答案：A
6.O 为平行四边形ABCD 中心，AB =4e 1，BC =6e 2，则3e 2-2e 1=_______________. 解析：3e 2-2e 1=
21(6e 2-4e 1)=21(BC -AB )=21(AD -AB )=2
1
BD =BO .
答案：BO 或OD
7.已知向量x ，y ，则满足方程组⎩
⎨⎧=+=-q y x p y x 32,
3的x =_______________,y =_______________.
解析：用解方程组方法即得x =p +q ，y =q -2p .
答案：p +q q -2p
8.给出下面四个结论：
①对于实数p 和向量a ，b ，有p(a -b )=p a -p b ; ②对于实数p 、q 和向量a ,有(p-q)a =p a -q a ; ③若p a =p b (p∈R )，则有a =b ； ④若p a =q a (p,q∈R ,a ≠0),则p=q.
其中正确结论的序号为_______________. 解析：①②显然正确；③在p =0时不可以； ④可化为(p -q )a =0，
∵a ≠0，∴p -q =0即p =q ，∴④正确. 答案：①②④
9.如图2-1-20，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB =a ，AD =b ，你能用a 、b 表示MA 、
、和吗?
图2-1-20
解：在
ABCD 中，∵AC =+=a +b ，=-=a -b ，
又∵平行四边形的两条对角线互相平分，
∴MA =21-
AC =21-(a +b )=21-a 21
-b ， MB =21DB =21(a -b )=21a 21
-b ，
=21=21a +2
1
b ，
=-=21-=21-a +2
1
b .
10.如图2-1-21，平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM =c ，AN =d ，
试用c 、d 表示和
.
图2-1-21
解：设AB =a ，AD =b ，则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点，可得=21b ，DM =2
1
a . 从△ABN 和△ADM 中，可得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=+)
2(.21)
1(,21c a b d b a
①×2-②，得a =
32(2d -c )，②×2-①，得b =3
2
(2c -d )， 即AB =32(2d -c )，AD =3
2
(2c -d ).。

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【高中教育】最新高中数学2-1向量的线性运算2-1-1向量的概念优化训练新人教B版必修4

【高中教育】最新高中数学2-1向量的线性运算2-1-1向量的概念优化训练新人教B版必修4

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学2-1向量的线性运算2-1-1向量的概念优化训练新人教B版必修4______年______月______日____________________部门5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功.其中不是向量的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析：一个量是不是向量就是看它是否具备向量的两要素：大小和方向.②③④既有大小又有方向，所以是向量；而①⑤⑥⑦只有大小没有方向，所以不是向量.答案：D2.下列命题中真命题的个数为( )①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同②若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线③若非零向量a与b共线，则a=b④四边形ABDC是平行四边形，则必有= ⑤a∥b，则a、b方向相同或相反AB CD AB CDA.0B.1C.2D.3解析：①显然为假命题；②中与共线，只能说明AB、CD所在直线平行或在一条直线上，所以错；AB CD③a与b共线，说明a与b方向相同或相反，a与b不一定相等，所以③错；④对；⑤a可能为零向量，则a∥b，但零向量的方向为任意的，所以⑤错.答案：B3.如图2-1-1的四边形ABCD中，=，则相等的向量是( )AB DC图2-1-1A.与B.与AD CB OA OCC.与D.与AC OC DO OB解析：判断出四边形ABCD为平行四边形即得出=.DO OB答案：D4.在⊙O中，以O点为起点，圆周上任一点为终点作向量，则该向量可以确定的要素是( )A.方向B.大小C.大小和方向D.以上均不对解析：由于⊙O半径的确定性，因此该向量的长度(大小)是确定的.答案：B10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列各命题中，正确命题的个数为( )①若|a|=|b|，则a=b或a=-b ②若=，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点③若a=b，b=c，则a=c ④若a∥b，b∥c，则a∥c AB DCA.4B.3C.2D.1解析：①|a|=|b|只说明两向量大小相等，不能得出两向量相等或反向，故此命题不正确；②由=可得||=||且∥，由于∥可能是A、B、C、D在同一条直线上，故此命题不正确；③正确；④b=0时，a∥c不一定成立，命题不正确.AB DC AB DC AB DC AB DC答案：D2.以下说法中正确的是( )A.长度相等的两个向量一定是相等向量B.当且仅当两个向量所在的直线恰为同一直线时，这两个向量为共线向量C.零向量没有方向D.单位向量的长度一定是1解析：相等向量不仅长度相等，而且方向相同，A错；共线向量所在直线可以相互平行，也可以是同一条直线，B错；零向量方向为任意方向，C错.答案：D3.如图2-1-2所示，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，则图中，，，，，向量中共线的向量有( )AD AE EC DE CB DB图2-1-2A.1组B.2组C.3组D.4组解析：与、与、与分别共线.AD DB AE EC DE CB答案：C4.在四边形ABCD中,若∥,且||≠||,则四边形为_________________.AB CD AB CD解析：由梯形的定义及向量的概念判断.答案：梯形5.在四边形ABCD中，若=且||=||，则四边形为_________________.AB DC AB AD解析：∵=，∴四边形ABCD为平行四边形，又||=||.∴四边形ABCD为菱形.AB DC AB AD答案：菱形6.如图2-1-3，D、E、F分别为正△ABC的各边中点，则在以A、B、C、D、E、F六个点中任意两点为起点与终点的向量中：图2-1-3(1)找出与向量相等的向量；DE(2)是否存在与向量长度相等，方向相反的向量？DE(3)与向量共线的向量有几个？DE(4)若△ABC为任意三角形，以上几问的答案会发生变化吗？解析：由向量相等与向量共线的定义可知：(1)与相等的向量有、；(2)存在，例如、；(3)有7个，分别为、、、、、、；(4)不会.DE AFFC CF FA ED AF FC AC FA CF CA30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在下列命题中，正确的是( )A.若|a|>|b|，则a>bB.若|a|=|b|，则a=bC.若a=b，则a与b共线D.若a≠b，则a一定不与b共线解析：A错.因为向量有大小和方向两个要素，无法比较大小；B错.相等向量不仅要模长相等，方向也要相同；C对.相等向量方向一定相同，因此共线；D错.因为向量不相等，可能仅由于模长不等，方向仍可能是相同的，所以a与b有共线的可能.答案：C2.设O为△ABC外心，则、、是( )AO BO COA.相等向量B.平行向量C.模相等向量D.起点相同的向量解析：∵O为△ABC外心，∴OA=OB=OC，即||=||=||.AO BO CO答案：C3.在矩形ABCD中，AB=2AD，M、N分别为AB和CD的中点，则在以A、B、C、D、M、N六点中任一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，相等向量有( )A.9对B.11对C.18对D.22对解析：其中===；==；=；=.以上分别取相反向量(如变为)又有4组.经计算，共有22对.AM MB DN NC AD BC MN AN MC MD BN AM MA答案：D4.如图2-1-4，点O是正六边形ABCDEF的中心，则在以A、B、C、D、E、F、O七点中的任一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，设与相等的向量个数为m，与模相等的向量个数为n，则m、n的值分别是( )OA OA图2-1-4A.3，23B.3，11C.3，24D.以上都不对解析：(1)与方向相同的向量仅有、、、四个，而||≠||，||=||=||，故m=3.OA CB DO EF DA DA OA CB DO EF(2)与的模相等的向量有两类：OA一是以O为起点，以正六边形的顶点为终点或以正六边形顶点为起点，以O为终点的向量，有2×6-1=11个;还有六边形的六条边2×6=12个.答案：A5.下列命题中正确的是( )A.|a|=|b|a=bB.|a|>|b|a>b⇒⇒C.a=ba∥bD.a∥ba=b⇒⇒解析：由向量相等的概念知A错,C对；向量不能比较大小，B错；向量平行不能推出相等，D错.答案：C6.一架飞机向西飞行100 km，然后改变方向向南飞行100 km，则飞机两次位移的和是_____________.解析：如图，令起点为A，向西飞行100 km到达B，由B向南飞行100 km到达C，则飞机两次飞行后的位移向量为，且||= km.AC AC1002答案： km21007.如图2-1-5，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.图2-1-5(1)与向量相等的向量为_____________;(2)若||=3，则向量的模等于_____________.AB EC答案：(1), (2)6AB DC8.如图2-1-6,B、C、D是线段AE的四等分点，分别以A、B、C、D、E为起点和终点，最多可以写多少个互不相等的非零向量？图2-1-6解：设||=1，则与方向相同，模为1的向量算一个向量，与方向相同，模为2的向量算一个向量,与方向相同，模为3的向量算一个向量，与方向相同，模为4的向量算一个向量，∴与方向相同，互不相等的向量共有4个.同理与方向相反，互不相等的向量共有4个.AB AB AB AB AB AB AB∴共8个.9.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行km到达丁地，问丁地在甲地什么地方？丁地距甲地多远？10002解：如图，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知△ABC为正三角形，∴AC=2 000 km.又∵∠ACD=45°，CD=1 0002，∴△ACD为等腰直角三角形，即AD=km，∠CAD=45°.21000答：丁地在甲地的东南方向，距甲地km.21000快乐时光教授在考试当天突然宣布延期考试,有个学生立即理直气壮地站起来抗议,说延期会扰乱他温习其他科目的计划.教授立刻问，“你叫什么名字？”“我叫王大明”.王大明学生的口气有些软化.“好吧,王同学,我给你一个甲等，而且免你参加考试,因为你有胆量据理直言,这正是教育的最重要目的.”学生答道,“既然这样,那么,我的本名叫做李小华.”。

高中数学2.1向量的线性运算2.1.4向量数乘优化训练新人教B版必修4(2021学年)

高中数学2.1向量的线性运算2.1.4向量数乘优化训练新人教B版必修4(2021学年)

高中数学 2.１向量的线性运算 2.1.4 向量数乘优化训练新人教Ｂ版必修4编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学２.1 向量的线性运算２.1.4 向量数乘优化训练新人教B版必修４）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.１。

4 向量数乘５分钟训练（预习类训练，可用于课前）１.已知a =ｅ1＋e 2,b =3e 1-２e 2,则3a －2b 等于（ )Ａ.９ｅ１+4e ２ Ｂ.0 C 。

7e 2-2e １ D.-３e １+7ｅ2解析:3a -2b =3（e １+e 2)－2(３e 1－２e 2)＝-３ｅ1+７e 2。

答案:D2．已知OA =ａ，OB ＝b ，AB ＝43AP ,用a ，b 表示OP ,则OP 等于( ) A.a b 4143- B 。

a b 3134- C.b a 4331+ D 。

a -b 解析:∵AB =43AP ，∴OB -OA ＝43（OP -OA ).∴ｂ—ａ=43OP —43ａ。

∴OP =a b 3134-.答案:B3。

化简(—２)·3m —4（n —2m )的结果为（ )Ａ。

—14m -4ｎ Ｂ。

—6m —4n C.２m —4n Ｄ。

4n +2m解析:原式=－6m —4ｎ+8ｍ=2ｍ—４n 。

答案：C４.若|ａ｜=3,ｂ与a 的方向相反,且|b ｜＝5，则a =ｂ. 解析:∵b 与a 的方向相反，且｜ａ|=53|b |， ∴a =—53b . 答案：—5310分钟训练(强化类训练，可用于课中)１.如图2—1－16，在梯形AB ＣＤ中,ＡＤ∥ＢC,OA =a ，OB =b ，OC =c ,OD ＝d ,且E 、F 分别为ＡB 、ＣD 的中点,则( )图2-1-１6Ａ.EF ＝21(ａ+b +ｃ+d ） B 。

高中数学 2.1.4 数乘向量学案 新人教B版必修4(2021年整理)

高中数学 2.1.4 数乘向量学案 新人教B版必修4(2021年整理)

2016-2017学年高中数学2.1.4 数乘向量学案新人教B版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学2.1.4 数乘向量学案新人教B版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2。

1.4 数乘向量1.掌握数乘向量的定义并理解其几何意义。

（重点)2。

理解数乘向量的运算律.3。

了解向量线性运算的性质及其几何意义。

(难点)［基础·初探］教材整理1 数乘向量阅读教材P86~P87以上内容，完成下列问题.1。

定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa,且λa的长度|λa｜＝｜λ|｜a|。

若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反。

当λ＝0或a＝0时,0a＝0或λ0＝0.2.数乘向量的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.3。

数乘向量的运算律：设λ,μ为实数，则（1)(λ＋μ）a＝λa＋μa；（2）λ（μa）＝（λμ)a；(3）λ(a＋b）＝λa＋λb(分配律).设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________。

①a与－λa的方向相反；②｜－λa|≥｜a|;③a与λ2a方向相同；④｜－2λa|＝2|λ｜·｜a｜。

【解析】由向量数乘的几何意义知③④正确.【答案】③④教材整理2 向量的线性运算阅读教材P88“例1"以上内容，完成下列问题.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算。

高中数学2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念课后训练新人教B版必修4(2021学年)

高中数学2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念课后训练新人教B版必修4(2021学年)

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向量的概念1.下列说法中，正确的是( ）A．长度相等的两个向量一定是相等的向量B．当且仅当两个向量所在的直线恰为同一条直线时，这两个向量为共线向量C．零向量没有方向D.零向量的方向是任意的２.下列说法中,不正确的是（)A．向量AB的长度与向量BA的长度相等Ｂ.任何一个非零向量都可以平行移动Ｃ.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D．两个有共同始点且共线的向量,其终点必相同3.如图所示，D,E分别是△ABＣ的边AB,AC的中点,则向量AD，AE,EC，DE,CB，DB 中共线的向量有（）A．1组 B.2组C.3组D.4组4.如下图所示，四边形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量AB与DC的关系是（ )A．AB=DC B．|AB|=|DC｜C．AB>DC D．AB<DC５.如图所示，点O是正六边形AＢCDＥF的中心,以A,B,C，D,E,F，O七点中的任一点为始点,与始点不同的另一点为终点的所有向量中，设与OA相等的向量个数为m，与OA的模相等的向量个数为n,则m，ｎ的值分别是（）A.3，23B.３,1１C．3,24 D．以上都不正确６.下列说法中,正确的是__________．(填序号)①相等的向量的始点必相同;②平行向量就是共线向量;③若|a|＞|b|,则a＞b；④质量、能量、功都是向量;⑤若ａ∥b，则ａ,b的方向相同或相反.7．如图所示，四边形ＡＢＣD和ABDE都是平行四边形.（1）与向量ED相等的向量为_＿___＿＿___；（2）若｜AB|＝3,则向量EC的模等于_______＿__．８．已知飞机从甲地向北偏东30°的方向飞行2 00０ km到达乙地，再从乙地向南偏东３０°的方向飞行2 ０00 kｍ到达丙地，再从丙地向西南方向飞行到达丁地,则丁地在甲地的______＿_＿_方向，丁地距甲地的距离为_＿____＿__＿ km。