(易错题精选)初中数学向量的线性运算技巧及练习题含答案(1)

（易错题精选）初中数学向量的线性运算全集汇编含答案(1)一、选择题1．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r③若ma mb =rr（m 是实数）时，则有a b =rr④若ma na =r r（m 、n 是实数，0a ≠rr），则有m n = A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】①对于实数m 和向量a r、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r ，正确；②对于实数m 、n 和向量a r，恒有()m n a ma na -=-r r r ，正确；③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ，错误，当m=0时不成立； ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =，正确；故选C. 【点睛】本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．2．四边形ABCD 中，若向量与是平行向量，则四边形ABCD ( )A ．是平行四边形B ．是梯形C ．是平行四边形或梯形D ．不是平行四边形，也不是梯形【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中给的已知条件与是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定与的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案.【详解】根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与的大小，所以有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征.3．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( ) A ．｜2｜＞｜-2｜ B ．｜2｜＜｜-2｜ C ．｜2｜＞｜2-｜ D ．｜2｜＜｜2-｜【答案】A 【解析】 【分析】对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A 、C 满足；当两向量不共线，构造三角形，从而排除C ，进而解答本题. 【详解】解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有；代入可知只有A 、C 满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义， 故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC ； 令，，则，∴且；又BA+BC>AC ∴∴. 故选A. 【点睛】本题考查了非零向量的模，针对向量是否共线和构造三角形是解答本题的关键.4．下列各式中错误的是( ) A ．()0a a r r+-= B ．|AB BA |0+=u u u r u u u rC ．()-=+-rrrra b a bD ．()()++=++r r r r r r a b c a b c【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】解：A. ()0a a vv v +-=，故本选项错误，B ，C ，D ，均正确，故选：A. 【点睛】本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.5．若AB u u u r是非零向量，则下列等式正确的是（ ）A ．AB BA =u u u r u u u r ；B ．AB BA u u u v u u u v =；C ．0AB BA +=u u u r u u u r；D ．0AB BA +=u u u r u u u r.【答案】B【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果 【详解】 ∵AB u u u r是非零向量, ∴AB BA =u u u v u u u v 故选B 【点睛】此题考查平面向量，难度不大6．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AE u u u r 用向量a br r 、表示为（ ）A ．12a b +r rB ．12a b -r rC ．12a b -+rrD ．12a b --r r【答案】A 【解析】 【分析】根据AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出BE u u u r即可解决问题. 【详解】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC AD BC ∴∥，＝， BC AD b ∴==u u u r u u u r r ， BE CE Q ＝， 1BE b 2∴=u u u r r ，AE AB BE,AB a =+=u u u r u u u r u u u r u u u r r Q ，1AE a b 2∴=+u u u r r r ，故选：A. 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.7．已知1,3a b ==r r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）A ．3a b =r rB ．3a b =-r rC ．3b a =r rD ．3b a =-r r.【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的性质即可解决问题． 【详解】∵1,3a b ==v v，而且b v 和a v 的方向相反 ∴3b a v v =-.故选D ． 【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．8．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =u u u rr，DC b =u u u r r，则（ ）A ．()12BO a b =+u u u r r r ； B ．()12BO a b =-u u u r r r ；C ．()12BO b a =-+u u u r r r ； D ．()12BO b a =-u u u r r r ．【答案】D 【解析】1,.21(b-a)2BCD BO BD BD DC CB CB BCBO D∆==+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r r r在中，所以故选9．D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式不成立的是( ) A ．+ ＝B ．++＝0C ．+＝D ．+＝【答案】C 【解析】 【分析】由加法的三角形法则化简求解即可． 【详解】由加法的三角形法则可得， + ＝, ++＝ , +＝,+＝故选：B.此题考查向量的加法及其几何意义，解题关键在于掌握平面向量的加法法则.10．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）． ①0m <，0a ≠rr时，ma r 与a r的方向一定相反； ②0m ≠，0a ≠rr时，ma r 与a r是平行向量； ③0mn >，0a ≠rr时，ma r 与na r的方向一定相同； ④0mn <，0a ≠rr时，ma r 与na r的方向一定相反． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【解析】 【分析】根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】解：①因为0m <，1＞0，0a ≠rr，所以ma r 与a r的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠rr，所以ma r 与a r是平行向量，故②正确；③因为0mn >，0a ≠rr，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠r r ，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r 的方向一定相反，故④正确．故选D. 【点睛】此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.11．已知e →为单位向量，a r=-3e →，那么下列结论中错误．．的是（ ） A ．a r ∥e →B ．3a =rC ．a r与e →方向相同D ．a r与e →方向相反【答案】C 【解析】 【分析】由向量的方向直接判断即可. 【详解】解：e r 为单位向量，a v =3e r -，所以a v 与e r方向相反，所以C 错误， 故选C.本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.12．如图，点C 、D 在线段AB 上，AC BD =，那么下列结论中，正确的是（ ）A ．AC u u u r 与BD u u u r是相等向量 B ．AD u u u r 与BD u u u r是平行向量 C ．AD u u u r 与BD u u u r是相反向量 D ．AD u u u r 与BC uuu r是相等向量【答案】B 【解析】 【分析】由AC=BD ，可得AD=BD ，即可得AD u u u r 与BD u u u r 是平行向量，AD BC AC BD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，，继而证得结论． 【详解】 A 、∵AC=BD ，∴AC BD =-u u u r u u u r，该选项错误； B 、∵点C 、D 是线段AB 上的两个点， ∴AD u u u r 与BD u u u r是平行向量，该选项正确； C 、∵AC=BC ， ∴AD ≠BD ，∴AD u u u r 与BD u u u r不是相反向量，该选项错误； D 、∵AC=BD ， ∴AD=BC ，∴AD BC =-u u u r u u u r，，该选项错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．13．如图,在平行四边形ABCD 中，设AB a =r r ,AD b =rr ，那么向量OC r 可以表示为. ( )A ．1122a b +r rB ．1122r r a b -C ．1122a b -+rrD ．1122a b --rr【答案】A【分析】利用平行四边形的性质以及平面向量的加法与减法运算法则解题即可. 【详解】 由题意可得()()1111122222OC AC AD AB a b a b ==+=+=+r r r r r r r r【点睛】本题主要考察平面向量的加法与减法运算，掌握平行四边形法则是解题的关键.14．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r表示正确的是（ ）A ．34a rB ．34a -rC ．43a rD ．43a -r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r，∴BA=43AC ， ∵BA u u u r 与AC u u ur 方向相反， ∴BA u u u r =43a -r ，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.15．如图，向量OA u u u r 与OB uuu r 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n r =OA u u u r +OB uuu r ，则||n v=（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】B 【解析】根据向量的运算法则可得: n v =故选B.16．已知a r ，b r 和c r 都是非零向量，下列结论中不能判定a r ∥b r的是（ ）A ．a r //c r ，b r //c rB ．1,22a cbc ==r r r r C ．2a b =r r D ．a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.∵a r //c r ，b r //c r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；B.∵1,22a c b c ==r r r r ∴a r ∥b r，故本选项错误.C.∵2a b =r r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；D.∵a b =r r ，∴a r 与b r的模相等，但不一定平行，故本选项正确；故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．17．已知一个单位向量e v ，设a v 、b v是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．A ．1a e a =r r r ；B ．e a a =r r r ；C ．b e b =r r r ；D ．11a b a b=r r r r ．【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】解：A 、左边得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；B 、符合向量的长度及方向，正确；C 、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；D 、左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误．故选：B ． 【点睛】本题考查了向量的性质．18．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（ ）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的加法即可解答. 【详解】 解：根据题意得＝,＋ .故选D. 【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.19．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ） A ．m na mn a r r（）＝（）B ． m n a ma na ++r r r（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r（+）＝ D ．若0ma =r r，那么0a =r r【答案】D 【解析】 【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0v是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的；∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v．∴错误．故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.20．若向量a r与b r均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．A ．a b =r rB ．1a =rC ．1b =rD ．a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】由向量a r与b r均为单位向量，可得向量a r与b r的模相等，但方向不确定． 【详解】解：∵向量a r 与b r均为单位向量，∴向量a r 与b r的模相等，∴a b =r r.故答案是：D. 【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算经典测试题附答案解析一、选择题1．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）．A ． //a c r r ,//b c r rB ．||3||a b =r rC ． 5a b =-r rD ．2a b =r r【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的性质进行逐一判定即可． 【详解】解：A 、由//a c r r ,//b c r r 推知非零向量a r 、b r 、c r 的方向相同，则//a b r r，故本选项不符合题意．B 、由||3||a b =rr只能判定向量a r 、b r 的模之间的关系，不能判定向量a r 、b r的方向是否相同，故本选项符合题意．C 、由5a b =-r r 可以判定向量a r 、b r 的方向相反，则//a b r r，故本选项不符合题意． D 、由2a b =r r 可以判定向量a r 、b r 的方向相同，则//a b r r，故本选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a r 、b r叫做平行向量．2．已知向量，且则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ． A 、B 、CC ．B 、C 、DD ．A 、C 、D【答案】A 【解析】 【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点 【详解】解：由向量的加法原理知所以A 、B 、D 三点共线. 【点睛】本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型.3．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r 3BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为（ ） A ．2B ．4C 31D 31【答案】B 【解析】 【分析】先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r，利用勾股定理即可计算出向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为【详解】|||1||22|||2|224AB BC AC AC AB BCAB BC AC AC AB BC AC AC ==∴===+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u r Q u u u ru u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：B. 【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.4．下列判断正确的是( )A ．0a a -=r rB ．如果a b =r r ，那么a b =r rC ．若向量a r 与b 均为单位向量，那么a b =r rD ．对于非零向量b r，如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么//a b r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】A. -r ra a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误；B. 如果a b =r r，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误；C. 若向量a r 与b r均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误；D. 对于非零向量b r，如果()0a k b k =⋅≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r，故D 正确. 故答案为D. 【点睛】本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.5．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AE u u u r 用向量a br r 、表示为（ ）A ．12a b +r rB ．12a b -r rC ．12a b -+rr D ．12a b --r r 【答案】A 【解析】 【分析】根据AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出BE u u u r即可解决问题. 【详解】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC AD BC ∴∥，＝， BC AD b ∴==u u u r u u u r r ，BE CE Q ＝， 1BE b 2∴=u u u r r ，AE AB BE,AB a =+=u u u r u u u r u u u r u u u r r Q ，1AE a b 2∴=+u u u r r r ，故选：A. 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.6．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ==u u u r r u u u r r ，那么向量AO uuu r用向量a b⋅r r 表示为（ ）A ．12a b +rrB ．2133a b +r rC ．2233a b +r rD ．1124a b +r r【答案】B【解析】 【分析】利用三角形的重心性质得到： 23AO AD =；结合平面向量的三角形法则解答即可． 【详解】∵在△ABC 中，AD 是中线， BC b =u u u r r，∴11BD BC b 22==u u u r u u u r r．∴1b 2AD AB BD a =+=+u u u r u u u r u u u r r r又∵点O 是△ABC 的重心， ∴23AO AD =， ∴221AO AD a b 333==+u u u r u u u r r r ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出23AO AD =是解题的关键．7．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( ) A ．()a ab b --= B ．0a 0=C ．如果1a b 2=，那么a //b D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-【答案】C 【解析】 【分析】根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】解：A 、()a ab b --=rr r r ，正确；B 、0a 0⋅=r r ，正确；C 、如果1a b 2=，那么a //b ，错误，可能共线；D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-r，正确； 故选C ． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．若0a r、0b r 都是单位向量，则有（ ）．A ．00a b =r rB ．00a b =-r rC ．00a b =r rD ．00a b =±r r【答案】C 【解析】 【分析】由0a r 、0b r 都是单位向量，可得00a b =r r．注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：∵0a r 、0b r 都是单位向量 ∴00a b =r r故选C. 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握单位向量的定义．9．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=，=，=，=，则（ ） A ．+++= B ．-+-= C ．+--= D ．--+=【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项． 【详解】根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误；；而 ；∴B 正确. 故选B. 【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.10．对于非零向量a r 、b r ，如果2|a r |＝3|b r |，且它们的方向相同，那么用向量a r表示向量b r正确的是（ ）A ．b r＝32a r B ．b r＝23a r C ．b r＝﹣32a r D ．b r＝-23a r 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到非零向量a r、b r的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．【详解】∵2|a r|=3|b r |，∴|b r|23=|a r |． 又∵非零向量a r 与b r的方向相同，∴23b a =r r ．故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．11．已知e →为单位向量，a r=-3e →，那么下列结论中错误．．的是（ ） A ．a r ∥e →B ．3a =rC ．a r与e →方向相同D ．a r与e →方向相反【答案】C 【解析】 【分析】由向量的方向直接判断即可. 【详解】解：e r 为单位向量，a v =3e r -，所以a v 与e r方向相反，所以C 错误， 故选C. 【点睛】本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.12．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +rr 等于（ ）A ．BD u u u rB ．AC u u u rC ．DB u u u rD ．CA u u u r【答案】B【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ， ∵AD b =u u u r r ， ∴BC b =u u u r r，∵AB a =u u u rr，∴a b +r r =AB u u ur +BC uuu r =AC u u u r ． 故选B ．13．下列判断错误的是（ ） A ．0•=0a vvB ．如果a r +b r =2c r ，a r -b r =3c r ，其中0c ≠r r ，那么a r ∥b rC ．设e r 为单位向量，那么|e r |=1D ．如果|a r |=2|b r |，那么a r =2b r 或a r =-2b r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答． 【详解】A 、0•=0a vv ，故本选项不符合题意． B 、由a v +b v=2c v，a v -b v=3c v 得到：a v＝52c v ，b v ＝﹣12c v ，故两向量方向相反，a v ∥b v ，故本选项不符合题意．C 、e v 为单位向量，那么|e v|=1，故本选项不符合题意．D 、由|a v|=2|b v|只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意． 故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．14．下列说法不正确的是( ) A ．设e r为单位向量，那么||1e =rB ．已知a r、b r、c r 都是非零向量，如果2a c =r r，4b c =-rr ，那么//a b rrC ．四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r，那么这个四边形一定是平行四边形D ．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可． 【详解】解：A. 设e r为单位向量，那么||1e =r，此选项说法正确；B. 已知a r、b r、c r 都是非零向量，如果2a c =r r，4b c =-rr ，那么//a b rr，此选项说法正确；C. 四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r，即AD=BC ，不能判定这个四边形一定是平行四边形，此选项说法不正确；D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定方法是解此题的关键．15．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，下列式子中正确的是（ ）A ．DC a b =+u u u r r rB ．DC a b =-u u u r r r； C ．DC a b =-+u u u r r rD ．DC a b =--u u u r r r．【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形性质，得DC AB =u u u r u u u r ，由三角形法则，得到OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r，代入计算即可得到答案. 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC AB =u u u r u u u r，∵OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，在△OAB 中，有OA AB OB +=u u u r u u u ru u u r ， ∴AB OB OA b a a b =-=-=-+u u u r u u u r u u u r rr rr， ∴DC a b =-+u u u rr r； 故选择：C. 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．16．设e r为单位向量，2a =r ，则下列各式中正确的是（ ）A ．2a e =r rB ．a e a=rr r C ．2a e =r rD ．112a =±r【答案】C 【解析】 【分析】根据e r为单位向量，可知1e =r ,逐项进行比较即可解题.【详解】解：∵e r为单位向量，∴1e =r,A 中忽视了向量的方向性,错误B 中忽视了向量的方向性,错误C 中,∵2a =r ,1e =r, ∴2a e =r r,正确,D 中忽视了向量的方向性,错误故选C. 【点睛】本题考查了向量的应用,属于简单题,熟悉向量的概念是解题关键.17．已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（ ）A ．12CA AB =u u u r u u u rB ．12CB AB =u u u r u u u rC ．0AC BC u u u r u u u r +=D ．0AC CB +=u u u r u u u r r【答案】B 【解析】根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答．解：A 、12CA BA =u u u r u u u r，故本选项错误；B 、12CB AB =u u u r u u u r，故本选项正确；C 、0AC BC +=u u u r u u u r r，故本选项错误；D 、AC CB AB +=u u u r u u u r u u u r，故本选项错误．故选B ．18．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ） A ．m na mn a r r（）＝（）B ． m n a ma na ++r r r（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r（+）＝ D ．若0ma =r r，那么0a =r r【答案】D 【解析】 【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0v是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的； ∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v．∴错误． 故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.19．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v，那么AD uuu v等于（ ）A ．a b +v vB ．2233a b +v v C ．23a b -v vD ．23a b +v v【答案】D【解析】【分析】根据2BD CD =，即可求出BD uuu v，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论． 【详解】解：∵2BD CD = ∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v ∴23AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v 故选D ．【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．20．下列结论正确的是（ ）．A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量B ．若AB u u u r 是单位向量，则BA u u u r 不是单位向量C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r是单位向量D ．计算向量的模与单位长度无关【答案】C【解析】【分析】根据单位向量的定义及意义判断即可.【详解】 A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确； B. AB u u u r 是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B 不正确； C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r 都等于这个单位长度，这时OA u u u r 、OB uuu r 都是单位向量，故选项C 正确；D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确.故选C.【点睛】本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算经典测试题及答案一、选择题1．化简OP QP PS SP -++u u u r u u u r u u u r u u r的结果等于（ ）．A ．QP uuu rB ．OQ uuu rC ．SP u u rD ．SQ u u u r【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减法的法则化简即可. 【详解】解：原式=+Q OP P PS SP ++u u u r u u u r u u u r u u r=Q O uuu r ，故选B. 【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，难度不大.2．在矩形ABCD 中，如果AB u u u rBC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ） 的长度为（ ）A ．2B ．4C1D1【答案】B 【解析】 【分析】先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r，利用勾股定理即可计算出向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为【详解】|||1||22|||2|224AB BC AC AC AB BCAB BC AC AC AB BC AC AC ==∴===+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u r Q u u u ru u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：B. 【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.3．若AB u u u r是非零向量，则下列等式正确的是（ ）A ．AB BA =u u u r u u u r ；B ．AB BA u u u v u u u v =；C ．0AB BA +=u u u r u u u r；D ．0AB BA +=u u u r u u u r.【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果 【详解】 ∵AB u u u r是非零向量, ∴AB BA =u u u v u u u v 故选B 【点睛】此题考查平面向量，难度不大4．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =u u u rr，DC b =u u u r r，则（ ）A ．()12BO a b =+u u u r r r ； B ．()12BO a b =-u u u r r r ；C ．()12BO b a =-+u u u r r r ； D ．()12BO b a =-u u u r r r ．【答案】D 【解析】1,.21(b-a)2BCD BO BD BD DC CB CB BCBO D∆==+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r r r在中，所以故选5．已知a r 、b r为非零向量，下列判断错误的是（ ）A ．如果a r ＝3b r ，那么a r ∥b rB ．||a r＝||b r ，那么a r ＝b r 或a r ＝-b u u rC ．0r的方向不确定，大小为0D ．如果e r 为单位向量且a r ＝﹣2e r ，那么||a r＝2【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的性质解答即可． 【详解】解：A 、如果a r ＝3b r ，那么两向量是共线向量，则a r ∥b r，故A 选项不符合题意．B 、如果||a r＝||b r ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意．C 、0r的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意．D 、根据向量模的定义知，||a r ＝2|e r|＝2，故D 选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.6．若0a r、0b r 都是单位向量，则有（ ）．A ．00a b =r rB ．00a b =-r rC ．00a b =r rD ．00a b =±r r【答案】C 【解析】 【分析】由0a r 、0b r 都是单位向量，可得00a b =r r．注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：∵0a r 、0b r 都是单位向量 ∴00a b =r r故选C. 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握单位向量的定义．7．下列说法正确的是（ ）． A ．一个向量与零相乘，乘积为零 B ．向量不能与无理数相乘C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的定义和性质进行判断． 【详解】解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误； B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确. 故答案是：D. 【点睛】考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．8．以下等式正确的是（ ）． A ．0a a -=r rB ．00a ⋅=rC ．()a b b a -=--rr r rD ．km k m =r r【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的运算法则进行判断． 【详解】解：A. 0a a -=rr r，故本选项错误； B. 00a ⋅=rr，故本选项错误；C. ()a b b a -=--rr r r ，故本选项正确；D. km k m =⋅r r，故本选项错误.故选：C. 【点睛】考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．9．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④方向相同 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但的模不一定，③错误； 对于④，若，则能推出的方向相同，但的方向相同，得到④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.10．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，若设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r，则下列选项与1122a b -+rr 相等的向量是（ ）．A ．MA u u u rB ．MB u u u rC ．MC u u u u rD ．MD u u u u r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】解:∵在平行四边形ABCD 中, AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， ∴AC AB AD a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ,BD AD AB b a =-=-u u u r u u u r u u u r r r,M 分别为AC 、BD 的中点,∴()11112222a M AC ab A b =+==----u u u r u u u r r rr r ，故A 不符合题意；()11112222MB BD b a a b =-=--=-u u u r u u u r r rr r ，故B 不符合题意；()11112222a M AC a b C b =+=+=u u u u r u ur r u r rr ，故C 不符合题意；()11112222MD BD b a a b ==-=-+u u u u r u u u r r rr r ，故D 符合题意.故选D.【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.11．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，2b c =-r r，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．//a b r rB ．a b =r rC ．72BD =D ．a r 与b r方向相反【答案】C 【解析】 【分析】利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答. 【详解】解：已知2a c v v＝，2b c -vv＝，故a b vv ，是长度相同，方向相反的相反向量， 故A ,B ,D 正确，向量之和是向量，C 错误，故选C. 【点睛】本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A 、B 、D 三项结论正确.12．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．①对于实数m 和向量a r、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r②对于实数m 、n 和向量a r，恒有()m n a ma na -=-r r r③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】①对于实数m 和向量a r、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r ，正确；②对于实数m 、n 和向量a r，恒有()m n a ma na -=-r r r ，正确；③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ，错误，当m=0时不成立； ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =，正确；故选C. 【点睛】本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．13．如果向量a r 与单位向量e r 的方向相反，且长度为3，那么用向量e r 表示向量a r为（ ）A ．3a e =v vB ．3a e =-v vC ．3e a =v vD ．3e a =-v v【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的定义解答即可． 【详解】解：∵向量e r为单位向量，向量a r与向量e r方向相反， ∴3a e r r=-． 故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．14．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（ ）A ．||＝2||B ．是与方向相同的单位向量C ．2-＝D ．∥【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的模和向量平行的定义解答． 【详解】 A 、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误． B 、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误． C 、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误． D 、由＝-得到∥，故本选项说法正确．故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．15．下列说法中，正确的是（ ）A ．如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0B ．如果e r 是单位向量，那么e r＝1C ．如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a rD ．已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r，那么a r ∥b r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A 、如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0，错误，应该是k a r ＝0r．B 、如果e r 是单位向量，那么e r＝1，错误．应该是e r ＝1．C 、如果|b r|＝|a r|，那么b r＝a r或b r＝﹣a r，错误．模相等的向量，不一定平行． D 、已知非零向量a r，如果向量b r＝﹣5a r，那么a r∥b r，正确． 故选：D ．【点睛】本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.16．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +rr 等于（ ）A ．BD u u u rB ．AC u u u rC ．DB u u u rD ．CA u u u r【答案】B 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ，∵AD b =u u u r r ，∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ，∴a b +r r =AB u u ur +BC uuu r =AC u u u r ．故选B ．17．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r的结果是（ ）．A ．CA u u u rB ．AC u u u r C ．0rD ．AE u u u r【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r AE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u rAC =u u u r ，故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．18．如图,在平行四边形ABCD 中，设AB a =rr,AD b =r r ，那么向量OC r可以表示为. ( )A ．1122a b +r rB ．1122r r a b -C ．1122a b -+rrD ．1122a b --rr【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质以及平面向量的加法与减法运算法则解题即可.【详解】 由题意可得()()1111122222OC AC AD AB a b a b ==+=+=+r rr r r r r r【点睛】本题主要考察平面向量的加法与减法运算，掌握平行四边形法则是解题的关键.19．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ）A ．m na mn a r r（）＝（）B ．m n a ma na ++r r r（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r （+）＝ D ．若0ma =r r，那么0a =r r【答案】D 【解析】 【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0v是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的；∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v．∴错误． 故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.20．已知5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r ，则（ ）．A ．A 、B 、D 三点共线 B ．A 、B 、C 三点共线 C ．B 、C 、D 三点共线 D ．A 、C 、D 三点共线【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量定理逐一判断即可. 【详解】解：∵28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r ，5AB a b =+u u u r r r∴()2835BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r， ∴AB u u u r 、BD u u u r是共线向量∴A 、B 、D 三点共线，故A 正确； ∵5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r∴不存在实数λ，使AB BC λ=u u u r u u u r ，即AB u u u r 、BC uuur 不是共线向量∴A 、B 、C 三点共线，故B 错误；∵28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r∴不存在实数λ，使BC CD λ=u u u r u u u r ，即BC uuu r 、CD uuur 不是共线向量∴B 、C 、D 三点共线，故C 错误；∵5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r ，∴()52813AC AB BC a b a b a b =+=++-+=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r r∴不存在实数λ，使AC CD λ=u u u r u u u r ，即AC u u u r 、CD uuur 不是共线向量∴A 、C 、D 三点共线，故D 错误； 故选A. 【点睛】此题考查的是共线向量的判定，掌握共线向量的定理是解决此题的关键.。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算技巧及练习题含答案(1) 一、选择题1．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（）A．||＝2|| B．是与方向相同的单位向量C．2-＝D．∥【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的模和向量平行的定义解答．【详解】A、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误．B、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误．C、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误．D、由＝-得到∥，故本选项说法正确．故选D．【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．2．在中，已知是边上一点，，则( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据A，B，D三点共线得出入的值,即可完成解答.【详解】解：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，，则，∴，故选A.【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键.3．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④方向相同 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但的模不一定，③错误； 对于④，若，则能推出的方向相同，但的方向相同，得到④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.4．如果向量a r 与单位向量e r方向相反，且长度为12，那么向量a r 用单位向量e r表示为（ ）A ．12a e =rr B ．2a e =r rC ．12a e =-rr D ．2a e =-r r【答案】C 【解析】由向量a r 与单位向量e r方向相反，且长度为12，根据向量的定义，即可求得答案． 解：∵向量a r 与单位向量e r方向相反，且长度为12，∴12a e =-rr ．故选C ．5．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( )A ．()a ab b --=B ．0a 0=C ．如果1a b 2=，那么a //b D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-【答案】C 【解析】 【分析】根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】解：A 、()a ab b --=rr r r ，正确；B 、0a 0⋅=r r ，正确；C 、如果1a b 2=，那么a //b ，错误，可能共线； D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-r，正确；故选C ． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =u u u rr，DC b =u u u r r，则（ ）A ．()12BO a b =+u u u r r r ； B ．()12BO a b =-u u u r r r ；C ．()12BO b a =-+u u u r r r ； D ．()12BO b a =-u u u r r r ．【答案】D 【解析】1,.21(b-a)2BCD BO BD BD DC CB CB BCBO D∆==+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r r r在中，所以故选7．已知a r 、b r为非零向量，下列判断错误的是（ ） A ．如果a r ＝3b r ，那么a r ∥b rB ．||a r＝||b r ，那么a r ＝b r 或a r ＝-b u u rC ．0r的方向不确定，大小为0D ．如果e r 为单位向量且a r ＝﹣2e r ，那么||a r＝2【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的性质解答即可．【详解】解：A 、如果a r ＝3b r ，那么两向量是共线向量，则a r ∥b r，故A 选项不符合题意．B 、如果||a r＝||b r ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意．C 、0r的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意．D 、根据向量模的定义知，||a r＝2|e r |＝2，故D 选项不符合题意．故选：B ． 【点睛】此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.8．已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =u u u r r，AD b =u u u r r ，那么向量AC u u u r 用向量a r 、b r表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b r r - C ．12a b -+r r D ．12a b --r r【答案】A 【解析】试题分析：因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点，＝12a b +rr ．故选A ．考点：平面向量，等腰三角形的三线合一．9．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】根据相等向量的定义，分析可得， A.方向不同，错误，B. 方向不同，错误，C. 方向相反，错误，D. 方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，正确；故选D. 【点睛】此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.10．下列关于向量的运算中，正确的是A ．a b b a -=-r r r r ；B ．2()22a b a b --=-+r r r r ；C ．()0a a +-=r r；D ．0a a +=r r．【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算法则进行计算. 【详解】A. (),a b b a A ---v v v v＝所以错误；B. ()222a b a b B ---v vv v ＝＋，所以正确；C. ()0a a -rv v ＋＝，C 所以错误;D.向量与数字不能相加，所以D 错误．故选B. 【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键.11．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v，那么AD uuu v等于（ ）A ．a b +v vB ．2233a b +v vC ．23a b -v vD ．23a b +v v【答案】D 【解析】 【分析】根据2BD CD =，即可求出BD uuu v，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论． 【详解】解：∵2BD CD =∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v∴23AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v故选D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．12．对于非零向量a r 、b r ，如果2|a r |＝3|b r |，且它们的方向相同，那么用向量a r表示向量b r正确的是（ ）A ．b r＝32a r B ．b r＝23a r C ．b r＝﹣32a r D ．b r＝-23a r 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到非零向量a r、b r的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．【详解】∵2|a r|=3|b r |，∴|b r|23=|a r |． 又∵非零向量a r 与b r的方向相同，∴23b a =r r ．故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．13．下列判断错误的是（ ） A ．0•=0a vvB ．如果a r +b r =2c r ，a r -b r =3c r ，其中0c ≠r r ，那么a r ∥b rC ．设e r 为单位向量，那么|e r |=1D ．如果|a r |=2|b r |，那么a r =2b r 或a r =-2b r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答． 【详解】A 、0•=0a vv ，故本选项不符合题意．B 、由a v +b v=2c v，a v -b v=3c v 得到：a v＝52c v ，b v ＝﹣12c v ，故两向量方向相反，a v ∥b v ，故本选项不符合题意．C 、e v 为单位向量，那么|e v|=1，故本选项不符合题意．D 、由|a v|=2|b v|只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意． 故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．14．在下列关于向量的等式中，正确的是（ ） A ．AB BC CA =+u u u r u u u r u u u rB ．AB BC AC =-u u u r u u u r u u u r C ．AB CA BC =-u u u r u u u r u u u rD ．0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r，故A 选项错误； AB AC BC =-u u u r u u u r u u u r，故B 、C 选项错误； 0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r，故D 选正确. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.15．已知c r 为非零向量， 3a c =r r ， 2b c =-r r，那么下列结论中错误的是（ ）A ．//a b r rB ．3||||2a b =r r C ．a r 与b r 方向相同 D ．a r 与b r方向相反【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】 ∵ 3a c =r r ， 2b c =-r r∴3a b 2=-r r ，∴a r ∥b r ，32a b =-r ra r 与b r方向相反，∴A ，B ，D 正确，C 错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r表示正确的是（ ）A ．34a rB ．34a -rC ．43a rD ．43a -r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r，∴BA=43AC ， ∵BA u u u r 与AC u u ur 方向相反， ∴BA u u u r =43a -r ，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.17．已知非零向量a r 、b r 和c r，下列条件中，不能判定a b r r P 的是（ ）A ．2a b =-r rB ．a c =r r ，3b c =r rC ．2a b c +=r r r ，a b c -=-r rr D ．2a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求【详解】A 、2a b =-r r，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误； B 、a c =r r ，3b c =r r ，则a r ∥b r ∥c r，故本选项错误；C 、由已知条件知2a b =-r r ，3a c -=r r ，则a r ∥b r ∥c r，故本选项错误；D 、2a b =r r 只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，a r 与b r不一定平行，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．18．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n u u u v=.已知11(,OA x y =u u u v ），22(,)OB x y =u u u r ，如果12120x x y y +=，那么OA u u u r 与OB uuu r互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．(4,3)OC =-u u u r ；(3,4)OD =-u u u rB ．(2,3)OE =-u u u r ； (3,2)OF =-u u u rC ．OG =u u u r ；(OH =u u u rD ．4)OM =u u u u r ；(2)ON =-u u u r【答案】D 【解析】 【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可. 【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意； B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意； C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意； D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意； 故选D. 【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.19．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定a r ∥b r的是（ ）A ．=a b r rB ．a r ∥c r ，b r ∥c rC ．a +b r ＝0D ．a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r【答案】A 【解析】 【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A 、该等式只能表示两a r 、b r的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意； B 、由a r ∥c r ，b r ∥c r 可以判定a r ∥b r，故本选项不符合题意；C 、由a r +b r ＝0可以判定a r 、b r 的方向相反，可以判定a r ∥b r，故本选项不符合题意；D 、由a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r ，得到a r ＝52c r ，b r ＝﹣12c r，则a r 、b r 的方向相反，可以判定a r ∥b r，故本选项不符合题意；故选：A ． 【点睛】本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键.20．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =u u u r u r ，AD n =u u u r r，那么下列选项中，与向量()12m n +ur r 相等的向量是（ ）.A ．OA u u u rB ．OB uuu rC ．OC u u u rD ．OD uuu r【答案】C 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==u u u r u u u r r，然后由三角形法则，求得AC u u u r 与BD u u u r，继而求得答案．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC AD n ==u u u r u u u r r ，∴AC u u u r ＝AB BC m n +=+u u ur u u u r u r r ，=BD AD AB n m -=-u u u r u u u r u u u r r u r ， ∴()11=-22OA AC m n =-+u u u r u u u r ur r ，()11=22OC AC m n =+u u u r u u u r u r r ()11=-22OB BD n m =--u u u r u u u r r ur ，()11=22OD BD n m =-u u u r u u u r r u r故选：C ． 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算难题汇编含解析(1)一、选择题1．若2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，a r 与r b 是（ ）A ．a r 与r b 是相等向量B ．a r 与r b 是平行向量C ．a r 与r b 方向相同，长度不等D ．a r 与r b 方向相反，长度相等【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2c =-r r，由此确定a r 与b r 位置和数量关系．【详解】解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2c =-r r ，所以a r 与b r 方向相反，且|a r|＝5|b r |．观察选项，只有选项B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握．2．若AB u u u r是非零向量，则下列等式正确的是（ ）A ．AB BA =u u u r u u u r ；B ．AB BA u u u v u u u v =；C ．0AB BA +=u u u r u u u r；D ．0AB BA +=u u u r u u u r.【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果 【详解】 ∵AB u u u r是非零向量, ∴AB BA =u u u v u u u v 故选B 【点睛】此题考查平面向量，难度不大3．计算45a a -+r r的结果是（ ）A ．aB ．a rC ．a -D ．a -r【答案】B 【解析】【分析】按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】-4a+5a=a v v v ,所以答案为B 选项 【点睛】本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键4．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ==u u u r r u u u r r ，那么向量AO uuu r用向量a br r 表示为（ ）A ．12a b +rrB ．2133a b +r rC ．2233a b +r rD ．1124a b +r r【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的重心性质得到： 23AO AD =；结合平面向量的三角形法则解答即可． 【详解】∵在△ABC 中，AD 是中线， BC b =u u u r r，∴11BD BC b 22==u u u r u u u r r．∴1b 2AD AB BD a =+=+u u u r u u u r u u u r r r又∵点O 是△ABC 的重心，∴23AO AD =， ∴221AO AD a b 333==+u u u r u u u r r r ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出23AO AD =是解题的关键．5．下列判断不正确的是（ ）A ．如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u r u u u rB ．+＝+C ．如果非零向量a b(0)k k =坠r r，那么a r 与b r平行或共线D ．AB BA 0+=u u u r u u u r【答案】D 【解析】 【分析】根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA +=u u u r u u u r r可判断D 错误【详解】A 、如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u v u u u v ，故此选项正确；B 、a b b a +=+r r r r，故本选项正确；C 、如果非零向量a b(0)k k =坠r r ，那么a r 与b r平行或共线，故此选项正确；D 、0AB BA +=u u u r u u u r r，故此选项错误；故选：D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键6．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( ) A ．()a ab b --= B ．0a 0=C ．如果1a b 2=，那么a //b D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-【答案】C 【解析】 【分析】根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】解：A 、()a ab b --=rr r r ，正确；B 、0a 0⋅=r r ，正确；C 、如果1a b 2=，那么a //b ，错误，可能共线； D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-r，正确；故选C ． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．已知1,3a b ==r r ，而且b r 和a r的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）A ．3a b =r rB ．3a b =-r rC ．3b a =r rD ．3b a =-r r . 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的性质即可解决问题． 【详解】∵1,3a b ==v v，而且b v 和a v 的方向相反 ∴3b a v v =-.故选D ． 【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．8．已知3a →=，2b =r ，而且b r 和a r的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）A ．32a b →→= B ．23a b →→=C ．32a b →→=-D ．23a b →→=-【答案】D 【解析】 【分析】根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v的方向相反，可得两者的关系，即可求解.【详解】∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v的方向相反 ∴32a b =-v v 故选D. 【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.9．已知向量，若与共线，则( )A ．B ．C ．D ．或【答案】D 【解析】 【分析】 要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答.【详解】解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即；与任一向量共线.故答案为D. 【点睛】本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键.10．已知非零向量a r 、b r 、c r ，在下列条件中，不能判定a r //b r的是（ ）A ．a r //c r ，b r //c rB ．2a c =r r ，3b c =rr C ．5a b =-r rD ．||2||a b =r r【答案】D 【解析】分析：根据平面向量的性质即可判断． 详解：A ．∵a r ∥c b r r ，∥c r，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；B ．∵a r =2c b r r ，=3c r，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；C ．∵a r=﹣5b r ，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；D ．∵|a r|=2|b r |，不能判断a b P u u r r，故本选项，符合题意． 故选D ．点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．11．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，下列条件中，不能判断//a b r r 的是（ ）A ．a b =r rB ．3a b =r rC ．//a c r r ，//b c r rD ．2,2a c b c ==-r r r r【答案】A 【解析】 【分析】根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案． 【详解】解：A 、||||a b =r r只能说明a r 与b r 的模相等，不能判定a r ∥b r，故本选项符合题意;B 、3a b =r r说明a r 与b r 的方向相同，能判定a r ∥b r，故本选项不符合题意; C 、a r ∥c r ，b r ∥c r ，能判定a r ∥b r，故本选项不符合题意;D 、2a c =r r，2b c =-rr说明a r 与b r 的方向相反，能判定a r ∥b r，故本选项不符合题意． 故选：A ． 【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．12．下列说法中，正确的是（ ）A ．如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0B ．如果e r 是单位向量，那么e r＝1C ．如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a rD ．已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r，那么a r ∥b r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A 、如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0，错误，应该是k a r ＝0r．B 、如果e r 是单位向量，那么e r＝1，错误．应该是e r ＝1．C 、如果|b r|＝|a r|，那么b r＝a r或b r＝﹣a r，错误．模相等的向量，不一定平行． D 、已知非零向量a r，如果向量b r＝﹣5a r，那么a r∥b r，正确． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.13．下列判断错误的是（ ） A ．0•=0a vvB ．如果a r +b r =2c r ，a r -b r =3c r ，其中0c ≠r r ，那么a r ∥b rC ．设e r 为单位向量，那么|e r |=1D ．如果|a r |=2|b r |，那么a r =2b r 或a r =-2b r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答． 【详解】A 、0•=0a vv ，故本选项不符合题意．B 、由a v +b v=2c v，a v -b v=3c v 得到：a v＝52c v ，b v ＝﹣12c v ，故两向量方向相反，a v ∥b v ，故本选项不符合题意．C 、e v 为单位向量，那么|e v|=1，故本选项不符合题意．D 、由|a v|=2|b v|只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意． 故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．14．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ）A ．AB BA =-u u u r u u u rB ．AB BA =uu u r uu rC ．AB BC AC +=u u u r u u u r u u u rD ．AB BC AB BC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的性质，逐一判定即可得解. 【详解】A 选项，AB BA =-u u u r u u u r，成立；B 选项，AB BA =uu u r uu r，成立；C 选项，AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r，成立；D 选项，AB BC AB BC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r不一定成立；故答案为D. 【点睛】此题主要考查向量的运算,熟练掌握,即可解题.15．如图，向量OA u u u r 与OB uuu r 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n r =OA u u u r +OB uuu r，则||n v=（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】B 【解析】根据向量的运算法则可得: n v =故选B.16．已知a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，用a r表示b r 向量为（ ） A ．35b a =r r B ．53b a =r r C ．35b a =-r r D ．53b a =-r r【答案】D 【解析】 【分析】根据a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，即可用a r 表示b r 向量.【详解】a r=3，b r =5，b r =53a r ,b r 与a r的方向相反, ∴5.3b a =-r r故选：D. 【点睛】考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.17．已知a r ，b r 和c r 都是非零向量，下列结论中不能判定a r ∥b r的是（ ）A ．a r //c r ，b r //c rB ．1,22a cbc ==r r r r C ．2a b =r r D ．a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.∵a r //c r ，b r //c r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；B.∵1,22a c b c ==r r r r ∴a r ∥b r，故本选项错误.C.∵2a b =r r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；D.∵a b =r r ，∴a r 与b r的模相等，但不一定平行，故本选项正确；故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．18．已知向量a r和b r都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）A ．a b =r rB ．2a b +=r rC ．0a b -=r rD ．a b =rr【答案】D 【解析】 【分析】根据向量a r和b r都是单位向量，，可知|a r|＝|b r|＝1，由此即可判断． 【详解】解：A 、向量a r 和b r 都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =r r 不一定成立，故本选项错误．B 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=rr不一定成立，故本选项错误．C 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=rr不一定成立，故本选项错误．D 、向量a r 和b r 都是单位向量，则|a r|＝|b r |＝1，故本选项正确．故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键19．若a v ＝2e v，向量b v和向量a v方向相反，且|b v|＝2|a v|，则下列结论中不正确的是（ ）A ．|a v |＝2B ．|b v|＝4 C ．b v ＝4e vD ．a v＝12b v -【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件可以得到：b v＝﹣4e v，由此对选项进行判断．【详解】A 、由a v ＝2e v 推知|a v |＝2，故本选项不符合题意．B 、由b v ＝-4e v推知|b v |＝4，故本选项不符合题意．C 、依题意得：b v ＝﹣4e v，故本选项符合题意．D 、依题意得：a v ＝-12b v，故本选项不符合题意．故选C ． 【点睛】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．20．下列各式正确的是（ ）．A ．()22a b c a b c ++=++r r r r r r B ．()()330a b b a ++-=rr r r C ．2AB BA AB +=u u u r u u u r u u u r D ．3544a b a b a b ++-=-r r r r r r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量计算法则依次判断即可. 【详解】A 、()222a b c a b c ++=++r r r r rr ，故A 选项错误；B 、()()3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-r r r r rr r r r ，故B 选项错误；C 、0AB BA +=uu u r uu r r，故C 选项错误；D 、3544a b a b a b ++-=-r r r r r r ，故D 选项正确；故选D. 【点睛】本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算易错题汇编及答案(1)一、选择题1．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =u u u r u r ，AD n =u u u r r，那么下列选项中，与向量()12m n +ur r 相等的向量是（ ）.A ．OA u u u rB ．OB uuu rC ．OC u u u rD ．OD uuu r【答案】C 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==u u u r u u u r r，然后由三角形法则，求得AC u u u r 与BD u u u r，继而求得答案． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC AD n ==u u u r u u u r r ，∴AC u u u r ＝AB BC m n +=+u u ur u u u r u r r ，=BD AD AB n m -=-u u u r u u u r u u u r r u r ， ∴()11=-22OA AC m n =-+u u u r u u u r ur r ，()11=22OC AC m n =+u u u r u u u r u r r ()11=-22OB BD n m =--u u u r u u u r r ur ，()11=22OD BD n m =-u u u r u u u r r u r故选：C ． 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．2．下列各式中错误的是( )A ．()0a a r r+-=B ．|AB BA |0+=u u u r u u u rC ．()-=+-r r r ra b a bD ．()()++=++r r r r r ra b c a b c【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】解：A. ()0a a vv v +-=，故本选项错误，B ，C ，D ，均正确，故选：A. 【点睛】本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.3．计算45a a -+r r的结果是（ ）A ．aB ．a rC ．a -D ．a -r【答案】B 【解析】 【分析】按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】-4a+5a=a v v v ,所以答案为B 选项 【点睛】本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键4．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ==u u u r r u u u r r ，那么向量AO uuu r用向量a b⋅r r 表示为（ ）A ．12a b +rrB ．2133a b +r rC ．2233a b +r rD ．1124a b +r r【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的重心性质得到： 23AO AD =；结合平面向量的三角形法则解答即可． 【详解】∵在△ABC 中，AD 是中线， BC b =u u u r r，∴11BD BC b 22==u u u r u u u r r．∴1b 2AD AB BD a =+=+u u u r u u u r u u u r r r又∵点O 是△ABC 的重心，∴23AO AD =，∴221AO AD a b 333==+u u u r u u u r r r ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出23AO AD =是解题的关键．5．下列判断不正确的是（ ）A ．如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u r u u u rB ．+＝+C ．如果非零向量a b(0)k k=坠r r，那么a r 与b r平行或共线D ．AB BA 0+=u u u r u u u r【答案】D 【解析】 【分析】根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA +=u u u r u u u r r可判断D 错误【详解】A 、如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u v u u u v ，故此选项正确；B 、a b b a +=+r r r r，故本选项正确；C 、如果非零向量a b(0)k k =坠r r ，那么a r 与b r平行或共线，故此选项正确；D 、0AB BA +=u u u r u u u r r，故此选项错误；故选：D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键6．若0a r、0b r 都是单位向量，则有（ ）．A ．00a b =r rB ．00a b =-r rC ．00a b =r rD ．00a b =±r r【答案】C 【解析】【分析】由0a r 、0b r 都是单位向量，可得00a b =r r．注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：∵0a r 、0b r 都是单位向量 ∴00a b =r r故选C. 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握单位向量的定义．7．下列说法正确的是（ ）． A ．一个向量与零相乘，乘积为零 B ．向量不能与无理数相乘C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的定义和性质进行判断． 【详解】解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误； B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确. 故答案是：D. 【点睛】考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．8．若点O 为平行四边形的中心，14AB m =u u u r r ，26BC m =u u u r r，则2132m m -r r 等于（ ）．A ．AO u u u rB ．BO uuu rC ．CO uuu rD ．DO u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】解:∵在平行四边形ABCD 中, 14AB m =u u u r r ，26BC m =u u u r r，∴1246B m C AC AB m =+=+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ,1246BD BA BC AC m m =+==-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u r,M 分别为AC 、BD 的中点,∴122312AO AC m m =+=u u u r u u u u u r r u u r，故A 不符合题意；211322BO BD m m ==-u u u r u u u r u u r u u r，故B 符合题意；122312CO AC m m ==---u u u r u u uu u r r u u r ，故C 不符合题意；121232DO BD m m =-=-u u u r u u ur u u r u u r ，故D 不符合题意.故选B.【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.9．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】根据相等向量的定义，分析可得， A. 方向不同，错误， B. 方向不同，错误， C. 方向相反，错误，D. 方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，正确；故选D. 【点睛】此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.10．已知非零向量a r 、b r 、c r ，在下列条件中，不能判定a r //b r的是（ ）A ．a r //c r ，b r //c rB ．2a c =r r ，3b c =rr C ．5a b =-r rD ．||2||a b =r r【答案】D 【解析】分析：根据平面向量的性质即可判断． 详解：A ．∵a r ∥c b r r ，∥c r，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；B ．∵a r =2c b r r ，=3c r，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；C ．∵a r=﹣5b r ，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；D ．∵|a r|=2|b r |，不能判断a b P u u r r，故本选项，符合题意． 故选D ．点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．11．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，2b c =-r r，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．//a b r rB ．a b =r rC ．72BD =D ．a r 与b r方向相反【答案】C 【解析】 【分析】利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答. 【详解】解：已知2a c v v ＝，2b c -v v ＝，故a b v v ，是长度相同，方向相反的相反向量，故A ,B ,D 正确，向量之和是向量，C 错误， 故选C. 【点睛】本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A 、B 、D 三项结论正确.12．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为(),m n ，向量OP u r可以用点P 的坐标表示为：(),OP m n =u r ．已知()11,OA x y =u r ，()22,OB x y =u r，如果12120x x y y ⋅+⋅=，那么OA u r 与OB u r互相垂直．在下列四组向量中，互相垂直的是（ ） A ．()()013,2019,3,1OC OD -==-u r u r B．))1,1,1,1OE OF =u r u r C．(()21,,82OG OH ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r u rD．,OM +⎭u r【答案】A【分析】根据题意中向量垂直的性质对各项进行求解即可． 【详解】 A.()133201910-⨯-+⨯=，正确；B.))11112⨯+⨯=，错误；C.(21842+⨯=，错误；D.))2222⨯+=，错误； 故答案为：A ． 【点睛】本题考查了向量垂直的问题，掌握向量互相垂直的性质以及判定是解题的关键．13．下列命题正确的是（ ） A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b rB ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b rC ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b rD ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r＝0 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确；B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确；C . a r ＝k b r （k ≠0）⇔a r ∥b r，所以C 选项正确； D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r，不正确． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.14．在下列关于向量的等式中，正确的是（ ） A ．AB BC CA =+u u u r u u u r u u u rB ．AB BC AC =-u u u r u u u r u u u r C ．AB CA BC =-u u u r u u u r u u u rD ．0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r，故A 选项错误； AB AC BC =-u u u r u u u r u u u r，故B 、C 选项错误； 0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r，故D 选正确. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.15．如图,在平行四边形ABCD 中，设AB a =rr,AD b =r r ，那么向量OC r可以表示为. ( )A ．1122a b +r rB ．1122r r a b -C ．1122a b -+rrD ．1122a b --rr【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质以及平面向量的加法与减法运算法则解题即可.【详解】 由题意可得()()1111122222OC AC AD AB a b a b ==+=+=+r rr r r r r r【点睛】本题主要考察平面向量的加法与减法运算，掌握平行四边形法则是解题的关键.16．已知e r 是单位向量，且2,4a e b e =-=v v v v，那么下列说法错误的是（ ）A ．a r∥b rB ．|a r |=2C ．|b r |=﹣2|a r |D ．a r =﹣12b r【答案】C 【解析】【详解】解：∵e v 是单位向量，且2a e =-v v，4b e =vv，∴//a b v v ，2a =v ， 4b =v ， 12a b =-v v ，故C 选项错误， 故选C.17．已知a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，用a r表示b r 向量为（ ） A ．35b a =r r B ．53b a =r r C ．35b a =-r r D ．53b a =-r r【答案】D 【解析】 【分析】根据a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，即可用a r 表示b r 向量.【详解】a r=3，b r =5，b r =53a r ,b r 与a r的方向相反, ∴5.3b a =-r r故选：D. 【点睛】考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.18．已知a r ，b r 和c r 都是非零向量，下列结论中不能判定a r ∥b r的是（ ）A ．a r //c r ，b r //c rB ．1,22a cbc ==r r r rC ．2a b =r rD ．a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.∵a r //c r ，b r //c r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；B.∵1,22a cbc ==r r r r ∴a r ∥b r，故本选项错误.C.∵2a b =r r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；D.∵a b =r r ，∴a r 与b r的模相等，但不一定平行，故本选项正确；故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．19．设e r为单位向量，2a =r ，则下列各式中正确的是（ ）A ．2a e =r rB ．a e a=rr r C ．2a e =r r D ．112a =±r【答案】C 【解析】 【分析】根据e r为单位向量，可知1e =r ,逐项进行比较即可解题.【详解】解：∵e r为单位向量，∴1e =r,A 中忽视了向量的方向性,错误B 中忽视了向量的方向性,错误C 中,∵2a =r ,1e =r, ∴2a e =r r,正确,D 中忽视了向量的方向性,错误故选C. 【点睛】本题考查了向量的应用,属于简单题,熟悉向量的概念是解题关键.20．已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =u u u rr，AD b =u u u r r ，那么向量AC u u u r 用向量a r 、b r表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b r r - C ．12a b -+r rD ．12a b --r r【答案】A 【解析】试题分析：因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点，＝12a b +rr ．故选A ．考点：平面向量，等腰三角形的三线合一．。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算全集汇编含答案解析(1)一、选择题1．在矩形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）A ．AB CD =u u u r u u u rB ．AC BD =uuu r uu u rC ．AO OD =u u u r u u u rD ．BO OD =-u u u r u u u r【答案】C 【解析】 【分析】根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可． 【详解】相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ． A. AB CD =-u u u r u u u r，故该选项错误；B. AC BD =u u u r u u u r，但方向不同，故该选项错误；C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以AO OD =u u u r u u u r，故该选项正确； D. BO OD =u u u r u u u r，故该选项错误；故选：C ． 【点睛】本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．2．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ==u u u r r u u u r r，那么向量AO uuu r用向量a b⋅r r 表示为（ ）A ．12a b +rrB ．2133a b +r rC ．2233a b +r rD ．1124a b +r r【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的重心性质得到： 23AO AD =；结合平面向量的三角形法则解答即可． 【详解】∵在△ABC 中，AD 是中线， BC b =u u u r r，∴11BD BC b 22==u u u r u u u r r ．∴1b 2AD AB BD a =+=+u u u r u u u r u u u r r r又∵点O 是△ABC 的重心， ∴23AO AD =， ∴221AO AD a b 333==+u u u r u u u r r r ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出23AO AD =是解题的关键．3．下列判断不正确的是（ ）A ．如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u r u u u rB ．+＝+C ．如果非零向量a b(0)k k=坠r r，那么a r 与b r平行或共线D ．AB BA 0+=u u u r u u u r【答案】D 【解析】 【分析】根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA +=u u u r u u u r r可判断D 错误【详解】A 、如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u v u u u v ，故此选项正确；B 、a b b a +=+r r r r，故本选项正确；C 、如果非零向量a b(0)k k =坠r r ，那么a r 与b r平行或共线，故此选项正确；D 、0AB BA +=u u u r u u u r r，故此选项错误；故选：D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键4．已知3a →=，2b =r，而且b r和a r的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →→= B ．23a b →→=C ．32a b →→=-D ．23a b →→=-【答案】D 【解析】 【分析】根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v的方向相反 ∴32a b =-v v故选D. 【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.5．若0a r、0b r 都是单位向量，则有（ ）．A ．00a b =r rB ．00a b =-r rC ．00a b =r rD ．00a b =±r r【答案】C 【解析】 【分析】由0a r 、0b r 都是单位向量，可得00a b =r r．注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：∵0a r 、0b r 都是单位向量 ∴00a b =r r故选C. 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握单位向量的定义．6．以下等式正确的是（ ）． A ．0a a -=r rB ．00a ⋅=rC ．()a b b a -=--rr r rD ．km k m =r r【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的运算法则进行判断． 【详解】解：A. 0a a -=rr r，故本选项错误； B. 00a ⋅=rr，故本选项错误；C. ()a b b a -=--rr r r ，故本选项正确；D. km k m =⋅r r，故本选项错误.故选：C. 【点睛】考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．7．点C 在线段AB 上，且35AC AB =u u u r u u u r ，若AC mBC =u u u r u u u r，则m 的值等于（ ）．A ．23B ．32C ．23-D ．32-【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件即可得：25AC AB CB AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得出：52AB BC =-u u u r u u ur ，再代入35AC AB =u u u r u u u r中，即可求出m 的值.【详解】解：∵点C 在线段AB 上，且35AC AB =u u u r u u u r∴25AC AB CB AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r∴5522CB AB BC ==-u u u r u u u r u u u r∴55322335BC B C A C A B ⎛⎫=- ⎝==-⎪⎭u u u r u u u r u u u r u u u r故选D.【点睛】此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键.8．若点O 为平行四边形的中心，14AB m =u u u r r ，26BC m =u u u r r，则2132m m -r r 等于（ ）．A ．AO u u u rB ．BO uuu rC ．CO uuu rD ．DO u u u r【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】解:∵在平行四边形ABCD 中, 14AB m =u u u r r ，26BC m =u u u r r ， ∴1246B m C AC AB m =+=+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ,1246BD BA BC AC m m =+==-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u r,M 分别为AC 、BD 的中点,∴122312AO AC m m =+=u u u r u u u u u r r u u r，故A 不符合题意；211322BO BD m m ==-u u u r u u u r u u r u u r，故B 符合题意；122312CO AC m m ==---u u u r u u uu u r r u u r ，故C 不符合题意；121232DO BD m m =-=-u u u r u u ur u u r u u r ，故D 不符合题意.故选B.【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.9．下列判断正确的是( )A ．0a a -=r rB ．如果a b =r r ，那么a b =r rC ．若向量a r 与b r 均为单位向量，那么a b =r rD ．对于非零向量b r，如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么//a b r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】A. -r ra a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误；B. 如果a b =r r，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误；C. 若向量a r 与b r均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误；D. 对于非零向量b r，如果()0a k b k =⋅≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r，故D 正确.故答案为D. 【点睛】本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.10．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）．A ． //a c r r ,//b c r rB ．||3||a b =r rC ． 5a b =-r rD ．2a b =r r【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的性质进行逐一判定即可． 【详解】解：A 、由//a c r r ,//b c r r 推知非零向量a r 、b r 、c r 的方向相同，则//a b r r，故本选项不符合题意．B 、由||3||a b =r r只能判定向量a r 、b r 的模之间的关系，不能判定向量a r 、b r 的方向是否相同，故本选项符合题意．C 、由5a b =-r r 可以判定向量a r 、b r 的方向相反，则//a b r r，故本选项不符合题意． D 、由2a b =r r 可以判定向量a r 、b r 的方向相同，则//a b r r，故本选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a r 、b r叫做平行向量．11．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v，那么AD uuu v等于（ ）A ．a b +v vB ．2233a b +v vC ．23a b -v vD ．23a b +v v【答案】D 【解析】 【分析】 根据2BD CD =，即可求出BD uuu v，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．【详解】 解：∵2BD CD =∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v∴23AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v故选D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．12．在ABCD Y 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么OD uuu r等于（ ）A ．1122a b +r rB ．1122a b --r rC ．1122a b -r rD ．1122a b -+r r【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得12OD BD =u u u r u u u r ，，又由BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r ，即可求得OD uuu r的值．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB=OD=12BD ， ∴12OD BD =u u u r u u u r ，∵BD BA AD a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ， ∴12OD BD =u u u r u u u r =111()222a b a b -+=-+r r r r故选：D ．【点睛】此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．13．如图，向量OA u u u r 与OB uuu r 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n r =OA u u u r +OB uuu r ，则||n v=（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】B 【解析】根据向量的运算法则可得: n v ()222OA OB +=u u u v u u u v 故选B.14．已知一个单位向量e v ，设a v 、b v是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．A ．1a e a =r r r ；B ．e a a =r r r ；C ．b e b =r r r ；D ．11a b a b=r r r r ．【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】解：A 、左边得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；B 、符合向量的长度及方向，正确；C 、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；D 、左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误． 故选：B ．【点睛】本题考查了向量的性质．15．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n u u u v=.已知11(,OA x y =u u u v ），22(,)OB x y =u u u r ，如果12120x x y y +=，那么OA u u u r 与OB uuu r互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．(4,3)OC =-u u u r ；(3,4)OD =-u u u rB ．(2,3)OE =-u u u r ； (3,2)OF =-u u u rC ．OG =u u u r ；(OH =u u u rD ．4)OM =u u u u r ；(2)ON =-u u u r【答案】D 【解析】 【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可. 【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意； B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意； C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意； D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意； 故选D. 【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.16．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为（m ，n ），向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为：OP uuu r ＝（m ，n ）．已知OA u u u r ＝（x 1，y 1），OB uuu r＝（x 2，y 2），如果x 1•x 2+y 1•y 2＝0，那么OA u u u r 与OB uuu r互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（ ） A ．OC u u u r ＝（3，20190），OD uuu r＝（﹣3﹣1，1）B ．OE uuu r ﹣1，1），OF uuu r，1）C ．OG u u u r 12），OH u u u r ）2，8）D ．OM u u u u r ），ON u u u r2，2） 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量互相垂直的定义作答． 【详解】A 、由于3×（﹣3﹣1）+20190×1＝﹣1+1＝0，则OC u u u r 与OD uuu r互相垂直，故本选项符合题意．B ﹣1+1）+1×1＝2﹣1+1＝2≠0，则OE uuu r 与OF uuu r不垂直，故本选项不符合题意．C ）2+12×8＝4+4＝8≠0，则OG u u u r 与OH u u u r 不垂直，故本选项不符合题意．D 2）×2＝5﹣4+1＝2≠0，则OM u u u u r 与ON u u u r 不垂直，故本选项不符合题意．故选：A ． 【点睛】本题考查了平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.17．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定a r ∥b r的是（ ）A ．=a b r rB ．a r ∥c r ，b r ∥c rC ．a r +b r ＝0D ．a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r【答案】A 【解析】 【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A 、该等式只能表示两a r 、b r的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；B 、由a r ∥c r ，b r ∥c r 可以判定a r ∥b r，故本选项不符合题意；C 、由a r +b r ＝0可以判定a r 、b r 的方向相反，可以判定a r ∥b r，故本选项不符合题意；D 、由a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r ，得到a r ＝52c r ，b r ＝﹣12c r，则a r 、b r 的方向相反，可以判定a r ∥b r，故本选项不符合题意；故选：A ． 【点睛】本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键.18．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ） A ．m na mn a r r（）＝（）B ． m n a ma na ++r r r（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r（+）＝ D ．若0ma =r r，那么0a =r r【答案】D 【解析】 【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0v 是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的；∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v．∴错误．故选D ．【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.19．已知向量a r 和b r都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ） A ．a b =r rB ．2a b +=r rC ．0a b -=r rD ．a b =r r 【答案】D【解析】【分析】 根据向量a r 和b r 都是单位向量，，可知|a r |＝|b r |＝1，由此即可判断．【详解】解：A 、向量a r 和b r 都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =r r 不一定成立，故本选项错误．B 、向量a r 和b r 都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=r r 不一定成立，故本选项错误．C 、向量a r 和b r 都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=r r 不一定成立，故本选项错误．D 、向量a r 和b r 都是单位向量，则|a r |＝|b r|＝1，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键20．对于非零向量a r 、b r ，如果2|a r |＝3|b r |，且它们的方向相同，那么用向量a r 表示向量b r 正确的是（ ）A ．b r ＝32a rB ．b r ＝23a rC ．b r ＝﹣32a rD ．b r ＝-23a r 【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件得到非零向量a r 、b r 的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．【详解】∵2|a r |=3|b r |，∴|b r |23=|a r |． 又∵非零向量a r 与b r 的方向相同，∴23b a =r r ． 故选B ．【点睛】本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算解析含答案(1)一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +rr 等于（ ）A ．BD u u u rB ．AC u u u rC ．DB u u u rD ．CA u u u r【答案】B 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ，∵AD b =u u u r r ，∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ，∴a b +r r =AB u u ur +BC uuu r =AC u u u r ．故选B ．2．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( ) A ．｜2｜＞｜-2｜ B ．｜2｜＜｜-2｜ C ．｜2｜＞｜2-｜ D ．｜2｜＜｜2-｜【答案】A 【解析】 【分析】对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A 、C 满足；当两向量不共线，构造三角形，从而排除C ，进而解答本题. 【详解】解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有；代入可知只有A 、C 满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义， 故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC ； 令，，则，∴且；又BA+BC>AC ∴∴.故选A.【点睛】本题考查了非零向量的模，针对向量是否共线和构造三角形是解答本题的关键.3．已知向量，若与共线，则( ) A．B．C．D．或【答案】D【解析】【分析】要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答.【详解】解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即；与任一向量共线.故答案为D.【点睛】本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键.4．如图，已知△ABC中，两条中线AE、CF交于点G，设，，则向量关于、的分解式表示正确的为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由△ABC中，两条中线AE、CF交于点G可知，，求出的值即可解答.【详解】∵∴∵∴故本题答案选B.【点睛】本题考查向量的减法运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用．5．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r 模长为3, BC uuur 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为（ ） A ．2 B ．4C ．31-D ．31+【答案】B 【解析】 【分析】先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r，利用勾股定理即可计算出向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为【详解】22||3,||1||(3)122|||2|224AB BC AC AC AB BCAB BC AC AC AB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u rQ u u u ru u u r u u u r u u u rQ u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：B. 【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.6．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ==u u u r r u u u r r ，那么向量AO uuu r用向量a b⋅r r 表示为（ ）A ．12a b +rrB ．2133a b +r rC ．2233a b +r rD ．1124a b +r r【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的重心性质得到： 23AO AD =；结合平面向量的三角形法则解答即可． 【详解】∵在△ABC 中，AD 是中线， BC b =u u u r r，∴11BD BC b 22==u u u r u u u r r ．∴1b 2AD AB BD a =+=+u u u r u u u r u u u r r r又∵点O 是△ABC 的重心， ∴23AO AD =， ∴221AO AD a b 333==+u u u r u u u r r r ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出23AO AD =是解题的关键．7．已知3a →=，2b =r ，而且b r 和a r的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）A ．32a b →→= B ．23a b →→=C ．32a b →→=-D ．23a b →→=-【答案】D 【解析】 【分析】根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v的方向相反，可得两者的关系，即可求解.【详解】∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反 ∴32a b =-v v故选D. 【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.8．若向量a r与b r均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．A ．a b =r rB ．1a =rC ．1b =rD ．a b =r r【答案】D【分析】由向量a r与b r均为单位向量，可得向量a r与b r的模相等，但方向不确定． 【详解】解：∵向量a r与b r均为单位向量， ∴向量a r与b r的模相等，∴a b =r r.故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．9．D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式不成立的是( ) A ．+ ＝B ．++＝0C ．+＝D ．+＝【答案】C 【解析】 【分析】由加法的三角形法则化简求解即可． 【详解】由加法的三角形法则可得， + ＝, ++＝ , +＝,+＝故选：B. 【点睛】此题考查向量的加法及其几何意义，解题关键在于掌握平面向量的加法法则.10．已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =u u u rr，AD b =u u u r r ，那么向量AC u u u r 用向量a r 、b r表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b r r - C ．12a b -+r rD ．12a b --rr【解析】试题分析：因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点，＝12a b +rr ．故选A ．考点：平面向量，等腰三角形的三线合一．11．已知a r、b r、c r都是非零向量，下列条件中，不能判断//a b rr的是（ ）A ．a b =r rB ．3a b =r rC ．//a c r r，//b c r rD ．2,2a c b c ==-r r r r【答案】A 【解析】 【分析】根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案． 【详解】解：A 、||||a b =r r只能说明a r 与b r 的模相等，不能判定a r ∥b r ，故本选项符合题意;B 、3a b =r r 说明a r 与b r 的方向相同，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意;C 、a r ∥c r ，b r ∥c r ，能判定a r ∥b r，故本选项不符合题意;D 、2a c =r r ，2b c =-r r 说明a r 与b r 的方向相反，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意．故选：A ． 【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．12．下列判断错误的是（ ） A ．0•=0a vvB ．如果a r +b r =2c r ，a r -b r =3c r ，其中0c ≠r r ，那么a r ∥b rC ．设e r 为单位向量，那么|e r |=1D ．如果|a r |=2|b r |，那么a r =2b r 或a r =-2b r【答案】D【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答． 【详解】A 、0•=0a vv ，故本选项不符合题意． B 、由a v +b v=2c v，a v -b v=3c v 得到：a v＝52c v ，b v ＝﹣12c v ，故两向量方向相反，a v ∥b v ，故本选项不符合题意．C 、e v 为单位向量，那么|e v|=1，故本选项不符合题意．D 、由|a v|=2|b v|只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意． 故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．13．在ABCD Y 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么OD uuu r等于（ ）A ．1122a b +r rB ．1122a b --r rC ．1122a b -r rD ．1122a b -+r r【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得12OD BD =u u u r u u u r ，，又由BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r，即可求得OD uuu r的值．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB=OD=12BD ， ∴12OD BD =u u u r u u u r ，∵BD BA AD a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ， ∴12OD BD =u u u r u u u r =111()222a b a b -+=-+r r r r故选：D ．此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．14．已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r ，那么向量a r 与b r的方向关系是（ ）A ．a r ∥b r ，并且a r 和b r 方向一致B ．a r ∥b r ，并且a r 和b r 方向相反C ．a r 和b r 方向互相垂直D ．a r 和b r 之间夹角的正切值为5【答案】B 【解析】 【分析】根据平行向量的性质解决问题即可． 【详解】∵已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r ， ∴a r ∥b r ，a r 与b r的方向相反，故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．15．已知a r ，b r 和c r 都是非零向量，下列结论中不能判定a r ∥b r的是（ ）A ．a r //c r ，b r //c rB ．1,22a cbc ==r r r rC ．2a b =r rD ．a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.∵a r //c r ，b r //c r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；B.∵1,22a c b c ==r r r r ∴a r ∥b r，故本选项错误.C.∵2a b =r r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；D.∵a b =r r ，∴a r 与b r 的模相等，但不一定平行，故本选项正确；故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．16．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，下列式子中正确的是（ ）A ．DC a b =+u u u r r rB ．DC a b =-u u u r r r ；C ．DC a b =-+u u u r r rD ．DC a b =--u u u r r r ．【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形性质，得DC AB =u u u r u u u r ，由三角形法则，得到OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r，代入计算即可得到答案. 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC AB =u u u r u u u r，∵OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，在△OAB 中，有OA AB OB +=u u u r u u u ru u u r ， ∴AB OB OA b a a b =-=-=-+u u u r u u u r u u u r rr rr， ∴DC a b =-+u u u rr r； 故选择：C. 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．17．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为（m ，n ），向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为：OP uuu r ＝（m ，n ）．已知OA u u u r ＝（x 1，y 1），OB uuu r＝（x 2，y 2），如果x 1•x 2+y 1•y 2＝0，那么OA u u u r 与OB uuu r互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．OC u u u r ＝（3，20190），OD uuu r ＝（﹣3﹣1，1）B ．OE uuu r 2﹣1，1），OF uuu r2，1）C ．OG u u u r 318,2），OH u u u r 2）2，8）D ．OM u u u u r 52），ON u u u r52，22） 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量互相垂直的定义作答．【详解】A 、由于3×（﹣3﹣1）+20190×1＝﹣1+1＝0，则OC u u u r 与OD uuu r互相垂直，故本选项符合题意．B ﹣1+1）+1×1＝2﹣1+1＝2≠0，则OE uuu r 与OF uuu r不垂直，故本选项不符合题意．C ）2+12×8＝4+4＝8≠0，则OG u u u r 与OH u u u r 不垂直，故本选项不符合题意．D 2）＝5﹣4+1＝2≠0，则OM u u u u r 与ON u u u r 不垂直，故本选项不符合题意． 故选：A ． 【点睛】本题考查了平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.18．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ） A ．m na mn a r r（）＝（）B ． m n a ma na ++r r r（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r（+）＝ D ．若0ma =r r，那么0a =r r【答案】D 【解析】 【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0v是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的； ∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v．∴错误． 故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.19．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v，那么AD uuu v等于（ ）A ．a b +v vB ．2233a b +v vC ．23a b -v vD ．23a b +v v 【答案】D【解析】【分析】 根据2BD CD =，即可求出BD uuu v，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．【详解】解：∵2BD CD = ∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v ∴23AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v 故选D ．【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键． 20．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则AM u u u u r 等于（ ）．A ．()12a b -r r B ．()12b a -r r C ．()12a b +r r D ．()12a b -+r r 【答案】C【解析】【分析】 根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-u u u r r r ，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-u u u u r r r ，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM u u u u r . 【详解】 解：∵AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ∴CB AB AC a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r∵AM 是ABC △的边BC 上的中线 ∴()1122CM CB a b ==-u u u u r u u u r r r ∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+u u u u r u u u r u u u r r r u r r r 故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案一、选择题1．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为(),m n ，向量OP u r可以用点P 的坐标表示为：(),OP m n =u r ．已知()11,OA x y =u r ，()22,OB x y =u r ，如果12120x x y y ⋅+⋅=，那么OA u r与OB u r互相垂直．在下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．()()013,2019,3,1OC OD -==-u r u r B ．()()21,1,21,1OE OF -=+u r u rC ．()()2138,,2,82OG OH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u r u rD ．()252,2,52,OM⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭u r【答案】A 【解析】 【分析】根据题意中向量垂直的性质对各项进行求解即可． 【详解】 A.()133201910-⨯-+⨯=，正确；B.()()2121112-⨯++⨯=，错误；C.()21382812242⨯-+⨯=+，错误； D.()()25252222+⨯-+⨯=，错误； 故答案为：A ． 【点睛】本题考查了向量垂直的问题，掌握向量互相垂直的性质以及判定是解题的关键．2．已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为、、，则向量等于 （ ） A ．++ B ．-+C ．+-D ．--【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论． 【详解】 如图，，则-+故选B．【点睛】此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.3．□ABCD中， -+等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果．【详解】∵在平行四边形ABCD中，与是一对相反向量，∴ = -∴ -+=- + =，故选A．【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出与是一对相反向量.4．已知平行四边形ABCD，O为平面上任意一点.设=，=，=，=，则（）A．+++=B．-+-=C．+--=D．--+=【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项．【详解】根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误；；而 ；∴B 正确. 故选B. 【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.5．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r 3BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为（ ） A ．2 B ．4C 31D 31【答案】B 【解析】 【分析】先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r，利用勾股定理即可计算出向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为【详解】22||3,||1||(3)122|||2|224AB BC AC AC AB BCAB BC AC AC AB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u rQ u u u ru u u r u u u r u u u rQ u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：B. 【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.6．已知1,3a b ==r r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）A ．3a b =r rB ．3a b =-r rC ．3b a =r rD ．3b a =-r r . 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的性质即可解决问题． 【详解】∵1,3a b ==v v ，而且b v 和a v 的方向相反 ∴3b a v v =-.故选D ．本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．7．已知a r、b r和c r都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b rr 的是( )A ．2a b =rrB ．//a c r r，//b c r rC ．||||a b =rrD ．12a c =r r ，2bc =r r【答案】C 【解析】 【分析】由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】A 选项：由2a b =rr，可以推出//a b rr．本选项不符合题意；B 选项：由//a c r r ，//b c r r ，可以推出//a br r ．本选项不符合题意；C 选项：由||||a b =r r ，不可以推出//a b r r．本选项符合题意；D 选项：由12a c =r r ，2bc =r r ，可以推出//a b rr ．本选项不符合题意；故选：C ． 【点睛】考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．8．若向量a r与b r均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．A ．a b =r rB ．1a =rC ．1b =rD ．a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】由向量a r与b r均为单位向量，可得向量a r与b r的模相等，但方向不确定． 【详解】解：∵向量a r与b r均为单位向量， ∴向量a r与b r的模相等，∴a b =r r.故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．9．D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式不成立的是( ) A ．+ ＝B ．++＝0C ．+＝D ．+＝【解析】 【分析】由加法的三角形法则化简求解即可． 【详解】由加法的三角形法则可得， + ＝, ++＝ , +＝,+＝故选：B. 【点睛】此题考查向量的加法及其几何意义，解题关键在于掌握平面向量的加法法则.10．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =u u u r u r ，AD n =u u u r r，那么下列选项中，与向量()12m n +ur r 相等的向量是（ ）.A ．OA u u u rB ．OB uuu rC ．OC u u u rD ．OD uuu r【答案】C 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==u u u r u u u r r，然后由三角形法则，求得AC u u u r 与BD u u u r，继而求得答案． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC AD n ==u u u r u u u r r ，∴AC u u u r ＝AB BC m n +=+u u ur u u u r u r r ，=BD AD AB n m -=-u u u r u u u r u u u r r u r ， ∴()11=-22OA AC m n =-+u u u r u u u r ur r ，()11=22OC AC m n =+u u u r u u u r u r r()11=-22OB BD n m =--u u u r u u u r r ur ，()11=22OD BD n m =-u u u r u u u r r u r故选：C ． 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．11．若a v ＝2e v，向量b v和向量a v方向相反，且|b v|＝2|a v|，则下列结论中不正确的是（ ）A ．|a v |＝2B ．|b v|＝4 C ．b v ＝4e vD ．a v＝12b v -【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件可以得到：b v＝﹣4e v，由此对选项进行判断．【详解】A 、由a v ＝2e v 推知|a v |＝2，故本选项不符合题意．B 、由b v ＝-4e v推知|b v |＝4，故本选项不符合题意．C 、依题意得：b v ＝﹣4e v，故本选项符合题意．D 、依题意得：a v＝-12b v，故本选项不符合题意． 故选C ． 【点睛】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．12．若2a b c +=rr ，3a b c -=r r，而且c r ≠0，a r 与rb 是（ ） A ．a r与rb 是相等向量 B ．a r 与rb 是平行向量 C ．a r 与rb 方向相同，长度不等 D ．a r 与rb 方向相反，长度相等【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2c =-r r，由此确定a r 与b r 位置和数量关系．【详解】解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2c =-r r ，所以a r 与b r 方向相反，且|a r|＝5|b r |．观察选项，只有选项B 符合题意．故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握．13．如图，点C 、D 在线段AB 上，AC BD =，那么下列结论中，正确的是（ ）A ．AC u u u r 与BD u u u r是相等向量 B ．AD u u u r 与BD u u u r是平行向量 C ．AD u u u r 与BD u u u r是相反向量 D ．AD u u u r 与BC uuu r是相等向量【答案】B 【解析】 【分析】由AC=BD ，可得AD=BD ，即可得AD u u u r 与BD u u u r是平行向量，AD BC AC BD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，，继而证得结论． 【详解】 A 、∵AC=BD ，∴AC BD =-u u u r u u u r，该选项错误；B 、∵点C 、D 是线段AB 上的两个点， ∴AD u u u r 与BD u u u r是平行向量，该选项正确； C 、∵AC=BC ， ∴AD ≠BD ，∴AD u u u r 与BD u u u r不是相反向量，该选项错误； D 、∵AC=BD ， ∴AD=BC ，∴AD BC =-u u u r u u u r ，，该选项错误；故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．14．下列判断错误的是（ ）A ．0•=0a v vB ．如果a r +b r =2c r ，a r -b r =3c r ，其中0c ≠r r ，那么a r ∥b rC ．设e r 为单位向量，那么|e r |=1D ．如果|a r |=2|b r |，那么a r =2b r 或a r =-2b r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答．【详解】A 、0•=0a vv ，故本选项不符合题意． B 、由a v +b v=2c v，a v -b v=3c v 得到：a v＝52c v ，b v ＝﹣12c v ，故两向量方向相反，a v ∥b v ，故本选项不符合题意．C 、e v 为单位向量，那么|e v|=1，故本选项不符合题意． D 、由|a v|=2|b v |只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意． 故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．15．在ABCD Y 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么OD uuu r等于（ ）A ．1122a b +r rB ．1122a b --r rC ．1122a b -r rD ．1122a b -+r r【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得12OD BD =u u u r u u u r ，，又由BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r，即可求得OD uuu r的值．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB=OD=12BD ， ∴12OD BD =u u u r u u u r ，∵BD BA AD a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ， ∴12OD BD =u u u r u u u r =111()222a b a b -+=-+r r r r故选：D ． 【点睛】此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．16．已知一个单位向量e v ，设a v 、b v是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．A ．1a e a=r r r ；B ．e a a =r r r ；C ．b e b =r r r ；D ．11a b a b=r r r r ．【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】解：A 、左边得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；B 、符合向量的长度及方向，正确；C 、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；D 、左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误．故选：B ． 【点睛】本题考查了向量的性质．17．设e r为单位向量，2a =r ，则下列各式中正确的是（ ）A ．2a e =r rB ．a e a=rr r C ．2a e =r r D ．112a =±r【答案】C 【解析】 【分析】根据e r为单位向量，可知1e =r ,逐项进行比较即可解题.【详解】解：∵e r为单位向量，∴1e =r,A 中忽视了向量的方向性,错误B 中忽视了向量的方向性,错误C 中,∵2a =r ,1e =r, ∴2a e =r r,正确,D 中忽视了向量的方向性,错误故选C. 【点睛】本题考查了向量的应用,属于简单题,熟悉向量的概念是解题关键.18．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n u u u v=.已知11(,OA x y =u u u v ），22(,)OB x y =u u u r ，如果12120x x y y +=，那么OA u u u r 与OB uuu r互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．(4,3)OC =-u u u r ；(3,4)OD =-u u u rB ．(2,3)OE =-u u u r ； (3,2)OF =-u u u rC ．OG =u u u r ；(OH =u u u rD ．4)OM =u u u u r ；(2)ON =-u u u r【答案】D 【解析】 【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可. 【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意； B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意； C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意； D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意； 故选D. 【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.19．已知向量a r和b r都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）A ．a b =r rB ．2a b +=r rC ．0a b -=r rD ．a b =rr【答案】D 【解析】 【分析】根据向量a r和b r都是单位向量，，可知|a r|＝|b r|＝1，由此即可判断． 【详解】解：A 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =rr不一定成立，故本选项错误．B 、向量a r 和b r 都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=r r 不一定成立，故本选项错误．C 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=rr不一定成立，故本选项错误．D 、向量a r和b r都是单位向量，则|a r|＝|b r|＝1，故本选项正确． 故选：D ．【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键20．下列式子中错误的是（ ）．A ．2a a a +=r r rB ．()0a a +-=r r rC ．()a b a b -+=--r r r rD ．a b b a -=-r r r r【答案】D【解析】【分析】根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解．【详解】A. a r 与a r 大小、方向都相同，∴2a a a +=r r r，故本选项正确； B. a r 与a -r 大小相同，方向相反，∴()0a a +-=r r r ，故本选项正确；C.根据实数对于向量的分配律，可知()a b a b -+=--r r r r ，故本选项正确；D.根据向量的交换律，可知a b b a -=-+r r r r ，故本选项错误. 故选D.【点睛】本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算解析含答案一、选择题1．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r③若ma mb =rr（m 是实数）时，则有a b =rr④若ma na =r r（m 、n 是实数，0a ≠rr），则有m n = A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】①对于实数m 和向量a r、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r ，正确；②对于实数m 、n 和向量a r，恒有()m n a ma na -=-r r r ，正确；③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ，错误，当m=0时不成立； ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =，正确；故选C. 【点睛】本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．2．已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为、、，则向量等于 （ ） A ．++ B ．-+C ．+-D ．--【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论． 【详解】 如图，，则-+故选B ． 【点睛】此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.3．已知向量，且则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ． A 、B 、CC ．B 、C 、DD ．A 、C 、D【答案】A 【解析】 【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点 【详解】解：由向量的加法原理知所以A 、B 、D 三点共线. 【点睛】本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型.4．下列判断正确的是( )A ．0a a -=r rB ．如果a b =r r ，那么a b =r rC ．若向量a r 与b r 均为单位向量，那么a b =r rD ．对于非零向量b r，如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么//a b r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】A. -r ra a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误；B. 如果a b =r r，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误；C. 若向量a r 与b r均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误；D. 对于非零向量b r，如果()0a k b k =⋅≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r，故D 正确.故答案为D. 【点睛】本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.5．下列命题：①若a b r r=，b c =rr，则c a =r r； ②若a r ∥b r ，b r∥c r ，则a r ∥c r；③若|a r|=2|b r|，则2a b =rr或a r=﹣2b r； ④若a r与b r是互为相反向量，则a r +b r=0． 其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义，互为相反向量的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】①若a b =r r，b c =rr，则c a =r r，正确； ②若a r∥b r ，b r∥c r ，则a r ∥c r，正确；③若|a r|=2|b r|，则2a b =rr或a r=﹣2b r，错误，因为两个向量的方向不一定相同或相反；④若a r 与b r 是互为相反向量，则a r +b r=0，正确．综上所述，真命题的个数是3个． 故选C ．6．已知3a →=，2b =r，而且b r和a r的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →→= B ．23a b →→=C ．32a b →→=-D ．23a b →→=-【答案】D【解析】 【分析】根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v的方向相反，可得两者的关系，即可求解.【详解】∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反 ∴32a b =-v v故选D. 【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.7．已知a r、b r和c r都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b rr 的是( )A ．2a b =rrB ．//a c r r，//b c r rC ．||||a b =rrD ．12a c =r r ，2bc =r r【答案】C 【解析】 【分析】由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】A 选项：由2a b =rr，可以推出//a b rr．本选项不符合题意；B 选项：由//a c r r ，//b c r r ，可以推出//a br r ．本选项不符合题意；C 选项：由||||a b =r r ，不可以推出//a b r r．本选项符合题意；D 选项：由12a c =r r ，2bc =r r，可以推出//a b r r ．本选项不符合题意；故选：C ． 【点睛】考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．8．点C 在线段AB 上，且35AC AB =u u u r u u u r ，若AC mBC =u u u r u u u r，则m 的值等于（ ）．A ．23B ．32C ．23-D ．32-【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件即可得：25AC AB CB AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得出：52AB BC =-u u u r u u ur ，再代入35AC AB =u u u ru u u r中，即可求出m 的值.【详解】解：∵点C 在线段AB 上，且35AC AB =u u u r u u u r∴25AC AB CB AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r∴5522CB AB BC ==-u u u r u u u r u u u r∴55322335BC B C A C A B ⎛⎫=- ⎝==-⎪⎭u u u r u u u r u u u r u u u r故选D.【点睛】此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键.9．D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式不成立的是( ) A ．+ ＝B ．++＝0C ．+＝D ．+＝【答案】C 【解析】 【分析】由加法的三角形法则化简求解即可． 【详解】由加法的三角形法则可得， + ＝, ++＝ , +＝,+＝故选：B. 【点睛】此题考查向量的加法及其几何意义，解题关键在于掌握平面向量的加法法则.10．化简OP QP PS SP -++u u u r u u u r u u u r u u r的结果等于（ ）．A ．QP uuu rB ．OQ uuu rC ．SP u u rD ．SQ u u u r【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减法的法则化简即可. 【详解】解：原式=+Q OP P PS SP ++u u u r u u u r u u u r u u r=Q O uuu r ，故选B. 【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，难度不大.11．若a v ＝2e v，向量b v和向量a v方向相反，且|b v|＝2|a v|，则下列结论中不正确的是（ ）A ．|a v |＝2B ．|b v|＝4 C ．b v ＝4e vD ．a v＝12b v -【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件可以得到：b v＝﹣4e v，由此对选项进行判断．【详解】A 、由a v ＝2e v 推知|a v |＝2，故本选项不符合题意．B 、由b v ＝-4e v推知|b v |＝4，故本选项不符合题意．C 、依题意得：b v ＝﹣4e v，故本选项符合题意．D 、依题意得：a v＝-12b v，故本选项不符合题意． 故选C ． 【点睛】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．12．下列各式正确的是（ ）．A ．()22a b c a b c ++=++r r r r r rB ．()()330a b b a ++-=rr r rC ．2AB BA AB +=u u u r u u u r u u u rD ．3544a b a b a b ++-=-r r r r r r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量计算法则依次判断即可. 【详解】A 、()222a b c a b c ++=++r r r r rr ，故A 选项错误；B 、()()3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-r r r r rr r r r ，故B 选项错误；C 、0AB BA +=uu u r uu r r，故C 选项错误；D 、3544a b a b a b ++-=-r r r r r r ，故D 选项正确；故选D. 【点睛】本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.13．已知非零向量a r 、b r 、c r ，在下列条件中，不能判定a r //b r的是（ ）A ．a r //c r ，b r //c rB ．2a c =r r ，3b c =rr C ．5a b =-r rD ．||2||a b =r r【答案】D 【解析】分析：根据平面向量的性质即可判断． 详解：A ．∵a r ∥c b r r ，∥c r，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；B ．∵a r =2c b r r ，=3c r，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；C ．∵a r=﹣5b r ，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；D ．∵|a r|=2|b r |，不能判断a b P u u r r，故本选项，符合题意． 故选D ．点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．14．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为(),m n ，向量OP u r可以用点P 的坐标表示为：(),OP m n =u r ．已知()11,OA x y =u r ，()22,OB x y =u r，如果12120x x y y ⋅+⋅=，那么OA u r 与OB u r互相垂直．在下列四组向量中，互相垂直的是（ ） A ．()()013,2019,3,1OC OD -==-u r u r B．))1,1,1,1OE OF =u r u r C．(()21,,82OG OH ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r u r D．,2,2OM +⎭u r【答案】A 【解析】【分析】根据题意中向量垂直的性质对各项进行求解即可． 【详解】 A.()133201910-⨯-+⨯=，正确；B.))11112⨯+⨯=，错误；C.(21842+⨯=，错误；D.))222⨯+=，错误； 故答案为：A ． 【点睛】本题考查了向量垂直的问题，掌握向量互相垂直的性质以及判定是解题的关键．15．对于非零向量a r 、b r ，如果2|a r |＝3|b r |，且它们的方向相同，那么用向量a r表示向量b r正确的是（ ）A ．b r＝32a r B ．b r＝23a r C ．b r＝﹣32a r D ．b r＝-23a r 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到非零向量a r、b r的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．【详解】∵2|a r|=3|b r |，∴|b r|23=|a r |． 又∵非零向量a r 与b r的方向相同，∴23b a =r r ．故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．16．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r表示正确的是（ ）A ．34a rB ．34a -rC ．43a rD ．43a -r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r，∴BA=43AC ， ∵BA u u u r 与AC u u ur 方向相反， ∴BA u u u r =43a -r ，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.17．已知5a b =r r，下列说法中，不正确的是（ ） A ．50a b -=rrB ．a r与b r方向相同C ．//a b r rD ．||5||a b =r r【答案】A【解析】 【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】A 、50a b -=r r r ，故该选项说法错误B 、因为5a b =r r ，所以a r 与b r的方向相同，故该选项说法正确，C 、因为5a b =r r ，所以//a b r r，故该选项说法正确，D 、因为5a b =r r ，所以||5||a b =r r ；故该选项说法正确，故选：A ． 【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．18．已知a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，用a r表示b r 向量为（ ） A ．35b a =r rB ．53b a =r rC ．35b a =-r rD ．53b a =-r r【答案】D 【解析】 【分析】根据a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，即可用a r表示b r 向量.【详解】a r=3，b r =5，b r =53a r ,b r 与a r的方向相反, ∴5.3b a =-r r故选：D. 【点睛】考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.19．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n u u u v=.已知11(,OA x y =u u u v ），22(,)OB x y =u u u r ，如果12120x x y y +=，那么OA u u u r 与OB uuu r互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．(4,3)OC =-u u u r ；(3,4)OD =-u u u rB ．(2,3)OE =-u u u r ； (3,2)OF =-u u u rC ．OG =u u u r ；(OH =u u u rD ．4)OM =u u u u r ；(2)ON =-u u u r【答案】D 【解析】 【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可. 【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意； B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意； C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意； D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意； 故选D. 【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.20．已知5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r ，则（ ）．A ．A 、B 、D 三点共线 B ．A 、B 、C 三点共线 C ．B 、C 、D 三点共线 D ．A 、C 、D 三点共线【答案】A 【解析】【分析】根据共线向量定理逐一判断即可.【详解】 解：∵28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r ，5AB a b =+u u u r r r∴()2835BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r ，∴AB u u u r 、BD u u u r 是共线向量∴A 、B 、D 三点共线，故A 正确； ∵5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ∴不存在实数λ，使AB BC λ=u u u r u u u r ，即AB u u u r 、BC uuu r 不是共线向量 ∴A 、B 、C 三点共线，故B 错误； ∵28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r∴不存在实数λ，使BC CD λ=u u u r u u u r ，即BC uuu r 、CD uuu r 不是共线向量 ∴B 、C 、D 三点共线，故C 错误； ∵5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r ，∴()52813AC AB BC a b a b a b =+=++-+=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r r∴不存在实数λ，使AC CD λ=u u u r u u u r ，即AC u u u r 、CD uuu r 不是共线向量 ∴A 、C 、D 三点共线，故D 错误；故选A.【点睛】此题考查的是共线向量的判定，掌握共线向量的定理是解决此题的关键.。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算专项训练解析含答案(1)一、选择题1．下列各式正确的是（ ）．A ．()22a b c a b c ++=++r r r r r rB ．()()330a b b a ++-=rr r rC ．2AB BA AB +=u u u r u u u r u u u rD ．3544a b a b a b ++-=-r r r r r r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量计算法则依次判断即可. 【详解】A 、()222a b c a b c ++=++r r r r rr ，故A 选项错误；B 、()()3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-r r r r rr r r r ，故B 选项错误；C 、0AB BA +=uu u r uu r r，故C 选项错误；D 、3544a b a b a b ++-=-r r r r r r ，故D 选项正确；故选D. 【点睛】本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.2．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】根据相等向量的定义，分析可得， A. 方向不同，错误， B. 方向不同，错误， C. 方向相反，错误，D. 方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，正确；故选D. 【点睛】此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.3．在四边形ABCD 中，，，，其中与不共线，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．矩形C ．梯形D ．菱形【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算法则求出，利用向量共线的充要条件判断出，得到边AD ∥BC ，AD=2BC ，据梯形的定义得到选项.【详解】 解：∵，∴，∴AD ∥BC ，AD=2BC. ∴四边形ABCD 为梯形. 【点睛】本题考查向量的运算法则向量共线的充要条件、利用向量共线得到直线的关系、梯形的定义.4．已知向量，若与共线，则( )A ．B ．C ．D ．或【答案】D 【解析】 【分析】 要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答. 【详解】解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即；与任一向量共线.故答案为D. 【点睛】本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键.5．如图，已知向量a r，b r，c r,那么下列结论正确的是（ ）A ．a b c +=rrrB ．b c a +=rr rC ．a c b +=rr rD ．a c b +=-r r r【答案】D 【解析】 【分析】【详解】由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r， 即a c b +=-r r r 故选D ．6．下列各式中错误的是( )A ．()0a a r r+-=B ．|AB BA |0+=u u u r u u u rC ．()-=+-r r r ra b a bD ．()()++=++r r r r r ra b c a b c【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】解：A. ()0a a vv v+-=，故本选项错误，B ，C ，D ，均正确， 故选：A. 【点睛】本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.7．下列命题：①若a b r r =，b c =r r ，则c a =r r ； ②若a r ∥b r ，b r ∥c r ，则a r ∥c r ；③若|a r |=2|b r |，则2a b =r r 或a r =﹣2b r ； ④若a r 与b r 是互为相反向量，则a r +b r=0．其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义，互为相反向量的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】①若a b =r r，b c =rr，则c a =r r，正确； ②若a r∥b r ，b r∥c r ，则a r ∥c r，正确；③若|a r|=2|b r|，则2a b =rr或a r=﹣2b r，错误，因为两个向量的方向不一定相同或相反；④若a r与b r是互为相反向量，则a r +b r=0，正确． 综上所述，真命题的个数是3个． 故选C ．8．已知a r、b r和c r都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b rr 的是( ) A ．2a b =r rB ．//a c r r，//b c r rC ．||||a b =r rD ．12a c =r r ，2bc =r r【答案】C 【解析】 【分析】由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】A 选项：由2a b =r r ，可以推出//a b rr ．本选项不符合题意；B 选项：由//a c r r ，//b c r r ，可以推出//a b rr ．本选项不符合题意；C 选项：由||||a b =r r ，不可以推出//a b rr ．本选项符合题意；D 选项：由12a c =r r ，2bc =r r ，可以推出//a b r r ．本选项不符合题意； 故选：C ． 【点睛】考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．9．已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为、、，则向量等于 （ ） A ．++ B ．-+C ．+-D ．--【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论． 【详解】 如图，，则-+故选B ． 【点睛】此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.10．已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =u u u r r，AD b =u u u r r ，那么向量AC u u u r 用向量a r 、b r表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b r r - C ．12a b -+r r D ．12a b --r r【答案】A 【解析】试题分析：因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点，＝12a b +rr ．故选A ．考点：平面向量，等腰三角形的三线合一．11．已知e r 是一个单位向量，a r 、b r是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）A ．a e a v v v =B ．e b b =v v vC ．1a e a=v v vD ．11a b a b=v v v v 【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B. 符合向量的长度及方向，正确；C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.12．下列式子中错误的是（ ）．A ．2a a a +=r r rB ．()0a a +-=r r rC ．()a b a b -+=--r r r rD ．a b b a -=-r r r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解． 【详解】A. a r 与a r 大小、方向都相同，∴2a a a +=r r r，故本选项正确；B. a r与a -r 大小相同，方向相反，∴()0a a +-=r r r ，故本选项正确；C.根据实数对于向量的分配律，可知()a b a b -+=--r r r r，故本选项正确；D.根据向量的交换律，可知a b b a -=-+r r r r，故本选项错误.故选D. 【点睛】本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.13．下列各式不正确的是（ ）． A ．0a a -=rr rB ．a b b a +=+r rrrC ．如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么b r 与a r 平行D ．如果a b =r r ，那么a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的定义是规定了方向和大小的量，向量的运算法则及实数与向量乘积的意义判断各选项即可． 【详解】A.任意向量与它的相反向量的和都等于零向量，所以选项A 正确；B.向量的加法符合交换律，即a b b a +=+r r r r，所以选项B 正确；C.如果()0a k b k =≠r r g ，根据实数与向量乘积的意义可知：a r ∥b r ，所以选项C 正确；D.两个向量相等必须满足两个条件：长度相等且方向相同，如果a b =r r ，但a r 与b r 方向不同，则a b ≠r r，所以D 选项错误. 故选D. 【点睛】本题考查了向量的定义、运算及运算法则、实数与向量乘积的意义，明确定义及法则是解题的关键.14．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（ ）A ．||＝2||B ．是与方向相同的单位向量C ．2-＝D ．∥【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的模和向量平行的定义解答． 【详解】 A 、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误． B 、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误． C 、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误． D 、由＝-得到∥，故本选项说法正确．故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．15．对于非零向量a r 、b r ，如果2|a r |＝3|b r |，且它们的方向相同，那么用向量a r表示向量b r正确的是（ ）A ．b r ＝32a rB ．b r ＝23a rC ．b r ＝﹣32a rD ．b r ＝-23a r【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到非零向量a r、b r的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题． 【详解】∵2|a r|=3|b r |，∴|b r|23=|a r |． 又∵非零向量a r 与b r的方向相同，∴23b a =r r ．故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．16．在矩形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）A ．AB CD =u u u r u u u rB ．AC BD =uuu r uu u rC ．AO OD =u u u r u u u rD ．BO OD =-u u u r u u u r【答案】C 【解析】 【分析】根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可． 【详解】相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ．A. AB CD =-u u u r u u u r，故该选项错误； B. AC BD =u u u r u u u r，但方向不同，故该选项错误；C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以AO OD =u u u r u u u r，故该选项正确； D. BO OD =u u u r u u u r，故该选项错误；故选：C ． 【点睛】本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．17．下列说法不正确的是( ) A ．设e r为单位向量，那么||1e =rB ．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，4b c =-r r ，那么//a b r rC ．四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r，那么这个四边形一定是平行四边形D ．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可． 【详解】解：A. 设e r为单位向量，那么||1e =r，此选项说法正确；B. 已知a r、b r、c r 都是非零向量，如果2a c =r r，4b c =-rr ，那么//a b rr，此选项说法正确；C. 四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r，即AD=BC ，不能判定这个四边形一定是平行四边形，此选项说法不正确；D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定方法是解此题的关键．18．如果2a b =r r （a r ，b r均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）A ．a r //b rB ．a r -2b r =0C ．b r =12a rD ．2a b =r r【答案】B 【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b v vv-= 故错误. 故选B.19．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（ ）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的加法即可解答. 【详解】解：根据题意得＝,＋.故选D.【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.20．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（）．①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等．A．1个B．2个C．3个D．0个【答案】D【解析】【分析】根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可.【详解】解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误；②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误；③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误.故选D.【点睛】此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键.。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算全集汇编附答案(1)一、选择题1．如图，向量OA u u u r与OB uuu r均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n r =OA u u u r +OB uuu r，则||n v=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】B 【解析】根据向量的运算法则可得: n v=()222OA OB +=u u u v u u u v ,故选B.2．已知向量，若与共线，则( )A ．B ．C ．D ．或【答案】D 【解析】 【分析】 要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答.【详解】解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即；与任一向量共线.故答案为D. 【点睛】本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键.3．下列判断正确的是( )A ．0a a -=r rB ．如果a b =r r ，那么a b =r rC ．若向量a r 与b 均为单位向量，那么a b =r rD ．对于非零向量b r，如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么//a b r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】A. -r ra a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误；B. 如果a b =r r，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误；C. 若向量a r 与b r均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误；D. 对于非零向量b r，如果()0a k b k =⋅≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r，故D 正确.故答案为D. 【点睛】本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.4．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（ ）．①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个【答案】D 【解析】 【分析】根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可. 【详解】解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误；②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误； ③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误. 故选D. 【点睛】此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键.5．已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =u u u rr，AD b =u u u r r ，那么向量AC u u u r 用向量a r 、b r表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b r r - C ．12a b -+r rD ．12a b --r r【答案】A 【解析】试题分析：因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点，＝12a b +rr ．故选A ．考点：平面向量，等腰三角形的三线合一．6．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．①对于实数m 和向量a r、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r②对于实数m 、n 和向量a r，恒有()m n a ma na -=-r r r③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】①对于实数m 和向量a r、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r ，正确；②对于实数m 、n 和向量a r，恒有()m n a ma na -=-r r r ，正确；③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ，错误，当m=0时不成立；④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =，正确；故选C. 【点睛】本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．7．已知非零向量a r 、b r 、c r ，在下列条件中，不能判定a r //b r的是（ ） A ．a r//c r ，b r //c rB ．2a c =r r ，3b c =r rC ．5a b =-r rD ．||2||a b =r r【答案】D 【解析】分析：根据平面向量的性质即可判断． 详解：A ．∵a r ∥c b r r ，∥c r，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；B ．∵a r=2c b rr，=3c r，∴a b P u u r r，故本选项，不符合题意； C ．∵a r=﹣5b r ，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；D ．∵|a r|=2|b r |，不能判断a b P u u r r ，故本选项，符合题意．故选D ．点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．8．下列关于向量的运算中，正确的是 A ．a b b a -=-r r r r； B ．2()22a b a b --=-+r r r r； C ．()0a a +-=r r； D ．0a a +=r r．【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算法则进行计算. 【详解】A. (),a b b a A ---vv v v ＝所以错误；B. ()222a b a b B ---v vv v ＝＋，所以正确； C. ()0a a -rv v ＋＝，C 所以错误;D.向量与数字不能相加，所以D 错误． 故选B. 【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键.9．在中，已知是边上一点，，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据A ，B ，D 三点共线得出入的值,即可完成解答. 【详解】解：在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2，，则，∴，故选A.【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键.10．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r表示正确的是（ ）A ．34a rB ．34a -rC ．43a rD ．43a -r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r，∴BA=43AC ， ∵BA u u u r 与AC u u ur 方向相反， ∴BA u u u r =43a -r ，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.11．已知e →为单位向量，a r=-3e →，那么下列结论中错误．．的是（ ） A ．a r ∥e →B ．3a =rC ．a r与e →方向相同D ．a r与e →方向相反【答案】C 【解析】 【分析】由向量的方向直接判断即可. 【详解】解：e r 为单位向量，a v =3e r -，所以a v 与e r方向相反，所以C 错误， 故选C. 【点睛】本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.12．已知非零向量a r 、b r ，且有2a b =-r r，下列说法中，不正确的是（ ）A ．||2||a b =r r；B ．a r ∥b r；C ．a r 与b r方向相反； D ．20a b +=r r．【解析】 【分析】根据平行向量以及模的知识求解即可.【详解】A.∵2a b =-r r，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴||2||a b =r r，该选项不符合题意错误；B. ∵2a b =-r r，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -r 与br 方向相反，但还是相互平行，∴a r ∥b r ，该选项不符合题意错误； C. ∵2a b =-r r，而2b -r 与b r 方向相反，∴a r 与b r 的方向相反，该选项不符合题意错误；D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +r r是两个矢量相加是带方向的，应该是02b a →→→+=，该选项符合题意正确；故选：D 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本知识.13．如果a b c +=r r r ，3a b c -=r r r，且0c ≠r r ，下列结论正确的是A ．=a b r rB ．20a b +=r rC ．a r与b r方向相同 D ．a r与b r方向相反【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的性质进行计算判断即可. 【详解】解：将a b c +=r r r 代入3a b c -=r r r ，计算得：-2a b =r r（方向相反）.故选：D 【点睛】本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键.14．已知一个单位向量e v ，设a v 、b v是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．A ．1a e a=r r r ；B ．e a a =r r r ；C ．b e b =r r r；D ．11a b a b=r rr r ．【答案】B 【解析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】解：A 、左边得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；B 、符合向量的长度及方向，正确；C 、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；D 、左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误． 故选：B ．【点睛】本题考查了向量的性质．15．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（ ）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的加法即可解答. 【详解】 解：根据题意得＝,＋ .故选D. 【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.16．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定a r ∥b r的是（ ）A ．=a b r rB ．a r ∥c r ，b r ∥c rC ．a r +b r ＝0D ．a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r【答案】A 【解析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A 、该等式只能表示两a r 、b r的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意； B 、由a r ∥c r ，b r ∥c r 可以判定a r ∥b r，故本选项不符合题意；C 、由a r +b r ＝0可以判定a r 、b r 的方向相反，可以判定a r ∥b r，故本选项不符合题意； D 、由a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r ，得到a r＝52c r ，b r ＝﹣12c r，则a r 、b r 的方向相反，可以判定a r∥b r，故本选项不符合题意； 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键.17．已知向量a r 和b r都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）A ．a b =r rB ．2a b +=r rC ．0a b -=r rD ．a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量a r和b r都是单位向量，，可知|a r|＝|b r|＝1，由此即可判断． 【详解】解：A 、向量a r 和b r 都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =r r 不一定成立，故本选项错误．B 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=rr不一定成立，故本选项错误．C 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=rr不一定成立，故本选项错误．D 、向量a r 和b r 都是单位向量，则|a r|＝|b r |＝1，故本选项正确．故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键18．已知e r 是一个单位向量，a r 、b r是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）A ．a e a v v v =B ．e b b =v v vC ．1a e a=v v vD ．11a b a b=v v v v 【答案】B 【解析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B. 符合向量的长度及方向，正确；C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.19．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v，那么AD uuu v等于（ ）A ．a b +v vB ．2233a b +v vC ．23a b -v vD ．23a b +v v【答案】D 【解析】 【分析】 根据2BD CD =，即可求出BD uuu v，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．【详解】 解：∵2BD CD =∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v∴23AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v故选D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．20．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）． A ． //a c r r ,//b c r rB ．||3||a b =rrC ． 5a b =-r rD ．2a b =r r【答案】B 【解析】根据平面向量的性质进行逐一判定即可． 【详解】解：A 、由//a c r r ,//b c r r 推知非零向量a r 、b r 、c r 的方向相同，则//a b r r，故本选项不符合题意．B 、由||3||a b =r r只能判定向量a r 、b r 的模之间的关系，不能判定向量a r 、b r 的方向是否相同，故本选项符合题意．C 、由5a b =-r r 可以判定向量a r 、b r 的方向相反，则//a b r r，故本选项不符合题意． D 、由2a b =r r 可以判定向量a r 、b r 的方向相同，则//a b r r，故本选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a r 、b r叫做平行向量．。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算分类汇编附答案解析(1)一、选择题1．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（ ）A ．||＝2||B ．是与方向相同的单位向量C ．2-＝D ．∥【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的模和向量平行的定义解答． 【详解】 A 、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误． B 、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误． C 、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误． D 、由＝-得到∥，故本选项说法正确．故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．2．下列等式正确的是（ ）A ．AB u u u r +BC uuur ＝CB u u u r +BA u u u rB ．AB u u u r﹣BC uuu r ＝AC u u u rC ．AB u u u r +BC uuur +CD uuu r ＝DA u u u r D ．AB u u u r +BC uuur ﹣AC u u u r ＝0r【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形法则即可判断. 【详解】∵AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ， ∴0AB BC AC AC AC +-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ，故选D ． 【点睛】本题考查平面向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握三角形法则.3．下列判断正确的是( )A ．0a a -=r rB ．如果a b =r r ，那么a b =r rC ．若向量a r 与b r 均为单位向量，那么a b =r rD ．对于非零向量b r，如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么//a b r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】A. -r ra a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误；B. 如果a b =r r，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误；C. 若向量a r 与b r均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误；D. 对于非零向量b r，如果()0a k b k =⋅≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r，故D 正确.故答案为D. 【点睛】本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.4．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AE u u u r 用向量a br r 、表示为（ ）A ．12a b +r rB ．12a b -r rC ．12a b -+rrD ．12a b --r r【答案】A 【解析】 【分析】根据AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出BE u u u r即可解决问题. 【详解】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC AD BC ∴∥，＝，BC AD b ∴==u u u r u u u r r ，BE CE Q ＝， 1BE b 2∴=u u u r r ，AE AB BE,AB a =+=u u u r u u u r u u u r u u u r r Q ，1AE a b 2∴=+u u u r r r ，故选：A. 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.5．已知1,3a b ==r r ，而且b r 和a r的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）A ．3a b =r rB ．3a b =-r rC ．3b a =r rD ．3b a =-r r . 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的性质即可解决问题． 【详解】∵1,3a b ==v v，而且b v 和a v 的方向相反 ∴3b a v v =-.故选D ． 【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．6．若0a r、0b r 都是单位向量，则有（ ）．A ．00a b =r rB ．00a b =-r rC ．00a b =r rD ．00a b =±r r【答案】C 【解析】 【分析】由0a r 、0b r 都是单位向量，可得00a b =r r．注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：∵0a r、0b r 都是单位向量∴00a b =r r故选C. 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握单位向量的定义．7．点C在线段AB上，且35AC AB=u u u r u u u r，若AC mBC=u u u r u u u r，则m的值等于（）．A．23B．32C．23-D．32-【答案】D【解析】【分析】根据已知条件即可得：25AC ABCB AB==-u u u r u u u r u u u r u u u r，从而得出：52AB BC=-u u u r u u u r，再代入35AC AB=u u u r u u u r中，即可求出m的值.【详解】解：∵点C在线段AB上，且35AC AB=u u u r u u u r∴25AC ABCB AB==-u u u r u u u r u u u r u u u r∴5522CBAB BC==-u u u r u u u r u u u r∴55322335BC BC A CA B⎛⎫=-⎝==-⎪⎭u u u r u u u r u u u r u u u r故选D.【点睛】此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键. 8．已知m、n是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（）．①0m<，0a≠rr时，mar与ar的方向一定相反；②0m≠，0a≠rr时，mar与ar是平行向量；③0mn>，0a≠rr时，mar与nar的方向一定相同；④0mn<，0a≠rr时，mar与nar的方向一定相反．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】根据向量关系的条件逐一判断即可.【详解】解：①因为0m <，1＞0，0a ≠rr，所以ma r 与a r的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠rr，所以ma r 与a r是平行向量，故②正确；③因为0mn >，0a ≠rr，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠rr，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r的方向一定相反，故④正确． 故选D. 【点睛】此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.9．如图，已知向量a r，b r，c r,那么下列结论正确的是（ ）A ．a b c +=rrrB ．b c a +=rr rC ．a c b +=rr rD ．a c b +=-r r r【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由平行四边形法则，即可求得：解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r ，即a c b +=-r r r故选D ．10．下列关于向量的运算中，正确的是 A ．a b b a -=-r r r r； B ．2()22a b a b --=-+r r r r； C ．()0a a +-=r r； D ．0a a +=r r．【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算法则进行计算. 【详解】A. (),a b b a A ---vv v v ＝所以错误；B. ()222a b a b B ---v vv v ＝＋，所以正确；C. ()0a a -rv v ＋＝，C 所以错误;D.向量与数字不能相加，所以D 错误． 故选B. 【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键.11．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，2b c =-r r，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．//a b r rB ．a b =r rC ．72BD =D ．a r 与b r方向相反【答案】C 【解析】 【分析】利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答. 【详解】解：已知2a c v v＝，2b c -vv＝，故a b vv ，是长度相同，方向相反的相反向量， 故A ,B ,D 正确，向量之和是向量，C 错误， 故选C. 【点睛】本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A 、B 、D 三项结论正确.12．如图，点C 、D 在线段AB 上，AC BD =，那么下列结论中，正确的是（ ）A ．AC u u u r 与BD u u u r是相等向量 B ．AD u u u r 与BD u u u r是平行向量 C ．AD u u u r 与BD u u u r是相反向量 D ．AD u u u r 与BC uuu r是相等向量【答案】B 【解析】 【分析】由AC=BD ，可得AD=BD ，即可得AD u u u r 与BD u u u r是平行向量，AD BC AC BD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，，继而证得结论． 【详解】 A 、∵AC=BD ，∴AC BD =-u u u r u u u r，该选项错误；B 、∵点C 、D 是线段AB 上的两个点， ∴AD u u u r 与BD u u u r是平行向量，该选项正确；C 、∵AC=BC ， ∴AD ≠BD ，∴AD u u u r 与BD u u u r不是相反向量，该选项错误； D 、∵AC=BD ， ∴AD=BC ，∴AD BC =-u u u r u u u r，，该选项错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．13．已知c r 为非零向量， 3a c =r r ， 2b c =-r r ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．//a b r rB ．3||||2a b =r r C ．a r 与b r 方向相同 D ．a r 与b r方向相反【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】 ∵ 3a c =r r ， 2b c =-r r∴3a b 2=-r r ，∴a r ∥b r ，32a b =-r ra r 与b r方向相反，∴A ，B ，D 正确，C 错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r ，那么向量a r 与b r的方向关系是（ ） A ．a r∥b r，并且a r 和b r方向一致 B ．a r ∥b r ，并且a r 和b r方向相反 C ．a r 和b r方向互相垂直 D ．a r 和b r之间夹角的正切值为5【答案】B 【解析】 【分析】根据平行向量的性质解决问题即可． 【详解】∵已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r，∴a r ∥b r ，a r 与b r的方向相反， 故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．15．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，下列式子中正确的是（ ）A ．DC a b =+u u u r r rB ．DC a b =-u u u r r r ；C ．DC a b =-+u u u r r rD ．DC a b =--u u u r r r ．【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形性质，得DC AB =u u u r u u u r ，由三角形法则，得到OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r，代入计算即可得到答案. 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC AB =u u u r u u u r ， ∵OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，在△OAB 中，有OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r， ∴AB OB OA b a a b =-=-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r ， ∴DC a b =-+u u u r r r ；故选择：C. 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．16．如果a b c +=r r r ，3a b c -=r r r，且0c ≠r r ，下列结论正确的是A ．=a b r rB ．20a b +=r rC ．a r与b r方向相同 D ．a r与b r方向相反【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的性质进行计算判断即可. 【详解】解：将a b c +=r r r 代入3a b c -=r r r ， 计算得：-2a b =r r（方向相反）.故选：D 【点睛】本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键.17．已知非零向量a r 、b r 和c r ，下列条件中，不能判定a b r rP 的是（ ）A ．2a b =-r rB ．a c =r r ，3b c =r rC ．2a b c +=r r r ，a b c -=-r rrD ．2a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求【详解】A 、2a b =-r r，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；B 、a c =r r ，3b c =r r ，则a r ∥b r ∥c r，故本选项错误；C 、由已知条件知2a b =-r r，3a c -=r r ，则a r ∥b r ∥c r ，故本选项错误；D 、2a b =r r 只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，a r 与b r不一定平行，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．18．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n u u u v=.已知11(,OA x y =u u u v ），22(,)OB x y =u u u r ，如果12120x x y y +=，那么OA u u u r 与OB uuu r互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．(4,3)OC =-u u u r ；(3,4)OD =-u u u rB ．(2,3)OE =-u u u r ； (3,2)OF =-u u u rC ．OG =u u u r ；(OH =u u u rD ．4)OM =u u u u r ；(2)ON =-u u u r【答案】D 【解析】 【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可.【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意； B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意； C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意； D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意； 故选D. 【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.19．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v，那么AD uuu v等于（ ）A ．a b +v vB ．2233a b +v vC ．23a b -v vD ．23a b +v v【答案】D 【解析】 【分析】 根据2BD CD =，即可求出BD uuu v，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．【详解】 解：∵2BD CD =∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v∴23AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v 故选D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．20．下列各式不正确的是（ ）． A ．0a a -=rr rB ．a b b a +=+r rrrC ．如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么b r 与a r 平行D ．如果a b =r r ，那么a b =r r【答案】D 【解析】【分析】根据向量的定义是规定了方向和大小的量，向量的运算法则及实数与向量乘积的意义判断各选项即可．【详解】A.任意向量与它的相反向量的和都等于零向量，所以选项A 正确；B.向量的加法符合交换律，即a b b a +=+r r r r，所以选项B 正确； C.如果()0a k b k =≠r r g ，根据实数与向量乘积的意义可知：a r ∥b r ，所以选项C 正确；D.两个向量相等必须满足两个条件：长度相等且方向相同，如果a b =r r ，但a r 与b r 方向不同，则a b ≠r r ，所以D 选项错误.故选D.【点睛】本题考查了向量的定义、运算及运算法则、实数与向量乘积的意义，明确定义及法则是解题的关键.。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算易错题汇编及答案解析一、选择题1．下列说法中，正确的是（ ）A ．如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0B ．如果e r 是单位向量，那么e r＝1C ．如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a rD ．已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r，那么a r ∥b r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A 、如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0，错误，应该是k a r ＝0r．B 、如果e r 是单位向量，那么e r＝1，错误．应该是e r ＝1．C 、如果|b r|＝|a r|，那么b r＝a r或b r＝﹣a r，错误．模相等的向量，不一定平行． D 、已知非零向量a r，如果向量b r＝﹣5a r，那么a r∥b r，正确． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.2．□ABCD 中， -+等于( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果． 【详解】∵在平行四边形ABCD 中， 与 是一对相反向量，∴ = -∴-+=-+=，故选A ． 【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出与是一对相反向量.3．若AB u u u r是非零向量，则下列等式正确的是（ ）A ．AB BA =u u u r u u u r ；B ．AB BA u u u v u u u v =；C ．0AB BA +=u u u r u u u r；D ．0AB BA +=u u u r u u u r.【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果 【详解】 ∵AB u u u r是非零向量, ∴AB BA =u u u v u u u v 故选B 【点睛】此题考查平面向量，难度不大4．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =u u u rr，DC b =u u u r r，则（ ）A ．()12BO a b =+u u u r r r ； B ．()12BO a b =-u u u r r r ；C ．()12BO b a =-+u u u r r r ； D ．()12BO b a =-u u u r r r ．【答案】D 【解析】1,.21(b-a)2BCD BO BD BD DC CB CB BCBO D∆==+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r r r在中，所以故选5．已知a r 、b r为非零向量，下列判断错误的是（ ）A ．如果a r ＝3b r ，那么a r ∥b rB ．||a r＝||b r ，那么a r ＝b r 或a r ＝-b u u rC ．0r的方向不确定，大小为0D ．如果e r 为单位向量且a r ＝﹣2e r ，那么||a r＝2【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的性质解答即可． 【详解】解：A 、如果a r ＝3b r ，那么两向量是共线向量，则a r ∥b r，故A 选项不符合题意．B 、如果||a r＝||b r ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意．C 、0r的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意．D 、根据向量模的定义知，||a r ＝2|e r|＝2，故D 选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.6．若0a r、0b r 都是单位向量，则有（ ）．A ．00a b =r rB ．00a b =-r rC ．00a b =r rD ．00a b =±r r【答案】C 【解析】 【分析】由0a r 、0b r 都是单位向量，可得00a b =r r．注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：∵0a r 、0b r 都是单位向量 ∴00a b =r r故选C. 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握单位向量的定义．7．化简OP QP PS SP -++u u u r u u u r u u u r u u r的结果等于（ ）．A ．QP uuu rB ．OQ uuu rC ．SP u u rD ．SQ u u u r【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减法的法则化简即可. 【详解】解：原式=+Q OP P PS SP ++u u u r u u u r u u u r u u r=Q O uuu r，故选B.【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，难度不大.8．下列各式正确的是（ ）．A ．()22a b c a b c ++=++r r r r r rB ．()()330a b b a ++-=rr r rC ．2AB BA AB +=u u u r u u u r u u u rD ．3544a b a b a b ++-=-rrrrrr【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量计算法则依次判断即可. 【详解】A 、()222a b c a b c ++=++r r r r rr ，故A 选项错误；B 、()()3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-r r r r rr r r r ，故B 选项错误；C 、0AB BA +=uu u r uu r r，故C 选项错误；D 、3544a b a b a b ++-=-r r r r r r ，故D 选项正确；故选D. 【点睛】本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.9．D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式不成立的是( ) A ．+ ＝B ．++＝0C ．+＝D ．+＝【答案】C 【解析】 【分析】由加法的三角形法则化简求解即可． 【详解】由加法的三角形法则可得， + ＝, ++＝ , +＝,+＝故选：B. 【点睛】此题考查向量的加法及其几何意义，解题关键在于掌握平面向量的加法法则.10．对于非零向量a r 、b r ，如果2|a r |＝3|b r |，且它们的方向相同，那么用向量a r表示向量b r正确的是（ ）A ．b r ＝32a rB ．b r ＝23a rC ．b r ＝﹣32a rD ．b r ＝-23a r【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到非零向量a r、b r的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．【详解】∵2|a r|=3|b r |，∴|b r|23=|a r |． 又∵非零向量a r 与b r的方向相同，∴23b a =r r ．故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．11．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v，那么AD uuu v等于（ ）A ．a b +v vB ．2233a b +v vC ．23a b -v vD ．23a b +v v【答案】D 【解析】 【分析】 根据2BD CD =，即可求出BD uuu v，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．【详解】 解：∵2BD CD =∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v∴23AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v故选D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．12．下列说法正确的是（ ）A ．()0a a +-=r rB ．如果a r 和b r 都是单位向量，那么a b =r rC ．如果||||a b =r r ，那么a b =r rD ．12a b =-r r （b r为非零向量），那么//a b r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案. 【详解】解：A 、()a a +-r r等于0向量，而不是0，故A 选项错误；B 、如果a r 和b r都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；C 、如果||||a b =r r，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；D 、如果12a b =-r r （b r为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.13．在矩形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）A ．AB CD =u u u r u u u rB ．AC BD =uuu r uu u rC ．AO OD =u u u r u u u rD ．BO OD =-u u u r u u u r【答案】C 【解析】 【分析】根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可． 【详解】相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ．A. AB CD =-u u u r u u u r，故该选项错误； B. AC BD =u u u r u u u r，但方向不同，故该选项错误；C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以AO OD =u u u r u u u r，故该选项正确； D. BO OD =u u u r u u u r，故该选项错误；故选：C ． 【点睛】本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．14．下列判断错误的是（ ） A ．0•=0a vvB ．如果a r +b r =2c r ，a r -b r =3c r ，其中0c ≠r r ，那么a r ∥b rC ．设e r 为单位向量，那么|e r |=1D ．如果|a r |=2|b r |，那么a r =2b r 或a r =-2b r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答． 【详解】A 、0•=0a vv ，故本选项不符合题意． B 、由a v +b v=2c v，a v -b v=3c v 得到：a v＝52c v ，b v ＝﹣12c v ，故两向量方向相反，a v ∥b v ，故本选项不符合题意．C 、e v 为单位向量，那么|e v|=1，故本选项不符合题意． D 、由|a v|=2|b v |只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意． 故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．15．如图,在平行四边形ABCD 中，设AB a =r r ,AD b =rr ，那么向量OC r 可以表示为. ( )A ．1122a b +r rB ．1122rr a b -C ．1122a b -+rr D ．1122a b --rr【解析】 【分析】利用平行四边形的性质以及平面向量的加法与减法运算法则解题即可. 【详解】 由题意可得()()1111122222OC AC AD AB a b a b ==+=+=+r r r r r r r r【点睛】本题主要考察平面向量的加法与减法运算，掌握平行四边形法则是解题的关键.16．已知一个单位向量e v ，设a v 、b v是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．A ．1a e a=r r r ；B ．e a a =r r r ；C ．b e b =r r r；D ．11a b a b=r rr r ．【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】解：A 、左边得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；B 、符合向量的长度及方向，正确；C 、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；D 、左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误．故选：B ． 【点睛】本题考查了向量的性质．17．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（ ）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D 【解析】利用平面向量的加法即可解答. 【详解】 解：根据题意得＝,＋ .故选D. 【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.18．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ） A ．m na mn a r r（）＝（）B ． m n a ma na ++r r r（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r（+）＝ D ．若0ma =r r，那么0a =r r【答案】D 【解析】 【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0v是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的；∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v．∴错误．故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.19．若a v ＝2e v ，向量b v 和向量a v 方向相反，且|b v |＝2|a v|，则下列结论中不正确的是（ ）A ．|a v |＝2B ．|b v|＝4 C ．b v ＝4e vD ．a v ＝12b v - 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可以得到：b v ＝﹣4e v，由此对选项进行判断．【详解】A 、由a v ＝2e v 推知|a v |＝2，故本选项不符合题意．B 、由b v ＝-4e v推知|b v |＝4，故本选项不符合题意．C 、依题意得：b v ＝﹣4e v，故本选项符合题意．D 、依题意得：a v＝-12b v，故本选项不符合题意． 故选C ． 【点睛】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．20．下列式子中错误的是（ ）． A ．2a a a +=r r rB ．()0a a +-=rr rC ．()a b a b -+=--r r r rD ．a b b a -=-r rrr【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解． 【详解】A. a r 与a r 大小、方向都相同，∴2a a a +=r r r，故本选项正确；B. a r与a -r 大小相同，方向相反，∴()0a a +-=r r r ，故本选项正确；C.根据实数对于向量的分配律，可知()a b a b -+=--r r r r，故本选项正确；D.根据向量的交换律，可知a b b a -=-+r r r r，故本选项错误.故选D. 【点睛】本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算真题汇编及解析一、选择题1．下列说法不正确的是( ) A ．设e r为单位向量，那么||1e =rB ．已知a r、b r、c r 都是非零向量，如果2a c =r r，4b c =-rr ，那么//a b rrC ．四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r，那么这个四边形一定是平行四边形D ．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可． 【详解】解：A. 设e r为单位向量，那么||1e =r，此选项说法正确；B. 已知a r、b r、c r 都是非零向量，如果2a c =r r，4b c =-rr ，那么//a b rr，此选项说法正确；C. 四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r，即AD=BC ，不能判定这个四边形一定是平行四边形，此选项说法不正确；D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定方法是解此题的关键．2．□ABCD 中， -+等于( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果． 【详解】∵在平行四边形ABCD 中， 与 是一对相反向量，∴ = -∴-+=-+=，故选A ． 【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出与 是一对相反向量.3．如图，已知△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G ，设，，则向量关于、的分解式表示正确的为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G 可知，，求出的值即可解答.【详解】 ∵ ∴ ∵∴故本题答案选B. 【点睛】本题考查向量的减法运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用．4．若向量a r与b r均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．A ．a b =r rB ．1a =rC ．1b =rD ．a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】由向量a r与b r均为单位向量，可得向量a r与b r的模相等，但方向不确定． 【详解】解：∵向量a r 与b r均为单位向量，∴向量a r 与b r的模相等，∴a b =r r.故答案是：D. 【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．5．已知5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r ，则（ ）．A ．A 、B 、D 三点共线 B ．A 、B 、C 三点共线 C ．B 、C 、D 三点共线 D ．A 、C 、D 三点共线【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量定理逐一判断即可. 【详解】解：∵28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r ，5AB a b =+u u u r r r∴()2835BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r， ∴AB u u u r 、BD u u u r是共线向量∴A 、B 、D 三点共线，故A 正确； ∵5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r∴不存在实数λ，使AB BC λ=u u u r u u u r ，即AB u u u r 、BC uuur 不是共线向量∴A 、B 、C 三点共线，故B 错误；∵28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r∴不存在实数λ，使BC CD λ=u u u r u u u r ，即BC uuu r 、CD uuur 不是共线向量∴B 、C 、D 三点共线，故C 错误；∵5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r ，∴()52813AC AB BC a b a b a b =+=++-+=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r r∴不存在实数λ，使AC CD λ=u u u r u u u r ，即AC u u u r 、CD uuur 不是共线向量∴A 、C 、D 三点共线，故D 错误； 故选A. 【点睛】此题考查的是共线向量的判定，掌握共线向量的定理是解决此题的关键.6．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）．①0m <，0a ≠r r 时，ma r 与a r 的方向一定相反；②0m ≠，0a ≠rr时，ma r 与a r是平行向量； ③0mn >，0a ≠rr时，ma r 与na r的方向一定相同； ④0mn <，0a ≠rr时，ma r 与na r的方向一定相反． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【解析】 【分析】根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】解：①因为0m <，1＞0，0a ≠r r ，所以ma r 与a r 的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠r r ，所以ma r 与a r 是平行向量，故②正确；③因为0mn >，0a ≠r r ，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r 的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠r r ，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r 的方向一定相反，故④正确．故选D. 【点睛】此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.7．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =u u u r u r ，AD n =u u u r r，那么下列选项中，与向量()12m n +ur r 相等的向量是（ ）.A ．OA u u u rB ．OB uuu rC ．OC u u u rD ．OD uuu r【答案】C 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==u u u r u u u r r，然后由三角形法则，求得AC u u u r 与BD u u u r，继而求得答案． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC AD n ==u u u r u u u r r ，∴AC u u u r ＝AB BC m n +=+u u ur u u u r u r r ，=BD AD AB n m -=-u u u r u u u r u u u r r u r ， ∴()11=-22OA AC m n =-+u u u r u u u r ur r ，()11=22OC AC m n =+u u u r u u u r u r r()11=-22OB BD n m =--u u u r u u u r r ur ，()11=22OD BD n m =-u u u r u u u r r u r故选：C ． 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．8．对于非零向量a r 、b r ，如果2|a r |＝3|b r |，且它们的方向相同，那么用向量a r表示向量b r正确的是（ ） A ．b r＝32a r B ．b r＝23a r C ．b r＝﹣32a r D ．b r＝-23a r 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到非零向量a r、b r的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．【详解】∵2|a r|=3|b r |，∴|b r |23=|a r |．又∵非零向量a r 与b r的方向相同，∴23b a =r r ．故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．9．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】根据相等向量的定义，分析可得， A. 方向不同，错误， B. 方向不同，错误， C.方向相反，错误，D. 方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，正确；故选D. 【点睛】此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.10．如图，点C 、D 在线段AB 上，AC BD =，那么下列结论中，正确的是（ ）A ．AC u u u r 与BD u u u r是相等向量 B ．AD u u u r 与BD u u u r是平行向量 C ．AD u u u r 与BD u u u r是相反向量 D ．AD u u u r 与BC uuu r是相等向量【答案】B 【解析】 【分析】由AC=BD ，可得AD=BD ，即可得AD u u u r 与BD u u u r是平行向量，AD BC AC BD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，，继而证得结论． 【详解】 A 、∵AC=BD ，∴AC BD =-u u u r u u u r，该选项错误；B 、∵点C 、D 是线段AB 上的两个点， ∴AD u u u r 与BD u u u r是平行向量，该选项正确； C 、∵AC=BC ， ∴AD ≠BD ，∴AD u u u r 与BD u u u r不是相反向量，该选项错误； D 、∵AC=BD ，∴AD=BC ，∴AD BC =-u u u r u u u r ，，该选项错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．11．已知向量a r和b r都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）A ．a b =r rB ．2a b +=r rC ．0a b -=r rD ．a b =rr【答案】D 【解析】 【分析】根据向量a r 和b r 都是单位向量，，可知|a r|＝|b r |＝1，由此即可判断．【详解】解：A 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =rr不一定成立，故本选项错误．B 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=rr不一定成立，故本选项错误．C 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=rr不一定成立，故本选项错误．D 、向量a r和b r都是单位向量，则|a r|＝|b r|＝1，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键12．在ABCD Y 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么OD uuu r等于（ ）A ．1122a b +r rB ．1122a b --r rC ．1122a b -r rD ．1122a b -+r r【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得12OD BD =u u u r u u u r ，，又由BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r，即可求得OD uuu r的值．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB=OD=12BD ， ∴12OD BD =u u u r u u u r ，∵BD BA AD a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ， ∴12OD BD =u u u r u u u r =111()222a b a b -+=-+r r r r故选：D ． 【点睛】此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．13．如图,在平行四边形ABCD 中，设AB a =rr,AD b =r r ，那么向量OC r可以表示为. ( )A ．1122a b +r rB ．1122r r a b -C ．1122a b -+rrD ．1122a b --rr【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质以及平面向量的加法与减法运算法则解题即可.【详解】 由题意可得()()1111122222OC AC AD AB a b a b ==+=+=+r rr r r r r r【点睛】本题主要考察平面向量的加法与减法运算，掌握平行四边形法则是解题的关键.14．已知c r 为非零向量， 3a c =r r ， 2b c =-r r，那么下列结论中错误的是（ ）A ．//a b r rB ．3||||2a b =r rC ．a r 与b r方向相同D ．a r 与b r方向相反【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】∵ 3a c =r r ， 2b c =-r r∴3a b 2=-r r ，∴a r ∥b r ，32a b =-r ra r 与b r方向相反，∴A ，B ，D 正确，C 错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．已知e r是单位向量，且2,4a e b e =-=vvv v，那么下列说法错误的是（ ）A ．a r∥b rB ．|a r |=2C ．|b r |=﹣2|a r |D ．a r =﹣12b r【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解：∵e v 是单位向量，且2a e =-v v，4b e =vv，∴//a b v v ，2a =v ， 4b =v ， 12a b =-v v ，故C 选项错误，故选C.16．已知5a b =r r，下列说法中，不正确的是（ ）A ．50a b -=r rB ．a r 与b r 方向相同C ．//a b r rD ．||5||a b =r r【答案】A 【解析】 【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】A 、50a b -=r rr，故该选项说法错误B 、因为5a b =r r ，所以a r 与b r的方向相同，故该选项说法正确， C 、因为5a b =r r ，所以//a b r r，故该选项说法正确， D 、因为5a b =rr，所以||5||a b =r r；故该选项说法正确， 故选：A ． 【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．17．如果2a b =r r （a r ，b r均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）A ．a r //b rB ．a r -2b r =0C ．b r =12a rD ．2a b =r r【答案】B 【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b v vv-= 故错误.故选B.18．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（ ）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的加法即可解答. 【详解】 解：根据题意得＝,＋ .故选D. 【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.19．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ）A ．m na mn a r r（）＝（）B ．m n a ma na ++r r r（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r （+）＝ D ．若0ma =r r，那么0a =r r【答案】D 【解析】 【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0v是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的； ∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v．∴错误．故选D ．【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.20．下列说法正确的是（ ） A ．()0a a +-=r rB ．如果a r 和b r 都是单位向量，那么a b =r rC ．如果||||a b =r r ，那么a b =r rD ．12a b =-r r （b r 为非零向量），那么//a b r r【答案】D【解析】【分析】 根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案.【详解】解：A 、()a a +-r r 等于0向量，而不是0，故A 选项错误；B 、如果a r 和b r 都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；C 、如果||||a b =r r ，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；D 、如果12a b =-r r （b r 为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D 选项正确.故选：D.【点睛】本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算全集汇编附解析(1)一、选择题1．下列结论正确的是（ ）．A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量B ．若AB u u u r 是单位向量，则BA u u u r不是单位向量 C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r是单位向量D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；B. AB u u u r是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B不正确；C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r都等于这个单位长度，这时OA u u u r 、OB uuu r都是单位向量，故选项C 正确；D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.2．已知向量，且则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ． A 、B 、CC ．B 、C 、DD ．A 、C 、D【答案】A 【解析】 【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点 【详解】解：由向量的加法原理知所以A 、B 、D 三点共线. 【点睛】本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型.3．如图，已知△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G ，设，，则向量关于、的分解式表示正确的为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G 可知，，求出的值即可解答.【详解】 ∵ ∴ ∵∴故本题答案选B. 【点睛】本题考查向量的减法运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用．4．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r 3BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为（ ） A ．2 B ．4C 31D 31【答案】B 【解析】 【分析】先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r，利用勾股定理即可计算出向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为 【详解】22||3,||1||(3)122|||2|224AB BC AC AC AB BCAB BC AC AC AB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u r Q u u u ru u u r u u u r u u u rQ u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：B. 【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.5．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ==u u u r r u u u r r ，那么向量AO uuu r用向量a b⋅r r 表示为（ ）A ．12a b +rrB ．2133a b +r rC ．2233a b +r rD ．1124a b +r r【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的重心性质得到： 23AO AD =；结合平面向量的三角形法则解答即可． 【详解】∵在△ABC 中，AD 是中线， BC b =u u u r r，∴11BD BC b 22==u u u r u u u r r．∴1b 2AD AB BD a =+=+u u u r u u u r u u u r r r又∵点O 是△ABC 的重心， ∴23AO AD =， ∴221AO AD a b 333==+u u u r u u u r r r ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出23AO AD =是解题的关键．6．下列判断不正确的是（ ）A ．如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u r u u u rB ．+＝+C ．如果非零向量a b(0)k k=坠r r，那么a r 与b r平行或共线D ．AB BA 0+=u u u r u u u r【答案】D 【解析】 【分析】根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA +=u u u r u u u r r可判断D 错误 【详解】A 、如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u v u u u v ，故此选项正确；B 、a b b a +=+r r r r，故本选项正确；C 、如果非零向量a b(0)k k =坠r r ，那么a r 与b r平行或共线，故此选项正确；D 、0AB BA +=u u u r u u u r r，故此选项错误；故选：D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键7．若向量a r与b r均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．A ．a b =r rB ．1a =rC ．1b =rD ．a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】由向量a r 与b r 均为单位向量，可得向量a r 与b r的模相等，但方向不确定．【详解】解：∵向量a r与b r均为单位向量， ∴向量a r与b r的模相等，∴a b =r r.故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．8．以下等式正确的是（ ）． A ．0a a -=r rB ．00a ⋅=rC ．()a b b a -=--rr r rD ．km k m =r r【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的运算法则进行判断． 【详解】解：A. 0a a -=rr r，故本选项错误； B. 00a ⋅=rr，故本选项错误；C. ()a b b a -=--rr r r ，故本选项正确； D. km k m =⋅r r ，故本选项错误.故选：C. 【点睛】考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．9．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=，=，=，=，则（ ） A ．+++= B ．-+-= C ．+--= D ．--+=【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项． 【详解】根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误；；而；∴B 正确. 故选B. 【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.10．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（ ）．①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个【答案】D 【解析】 【分析】根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可. 【详解】解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误；②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误； ③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误. 故选D. 【点睛】此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键.11．已知e r 是一个单位向量，a r 、b r是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）A ．a e a v v v =B ．e b b =v v vC ．1a e a=v vvD ．11a b a b=v v v v 【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B. 符合向量的长度及方向，正确；C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.12．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =u u u r u r ，AD n =u u u r r，那么下列选项中，与向量()12m n +ur r 相等的向量是（ ）.A ．OA u u u rB ．OB uuu rC ．OC u u u rD ．OD uuu r【答案】C 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==u u u r u u u r r，然后由三角形法则，求得AC u u u r 与BD u u u r，继而求得答案． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC AD n ==u u u r u u u r r，∴AC u u u r ＝AB BC m n +=+u u u r u u u r u r r ，=BD AD AB n m -=-u u u r u u u r u u u r r u r，∴()11=-22OA AC m n =-+u u u r u u u r ur r ，()11=22OC AC m n =+u u u r u u u r u r r ()11=-22OB BD n m =--u u u r u u u r r ur ，()11=22OD BD n m =-u u u r u u u r r u r故选：C ． 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．13．对于非零向量a r 、b r ，如果2|a r |＝3|b r |，且它们的方向相同，那么用向量a r表示向量b r正确的是（ ）A ．b r ＝32a rB ．b r ＝23a rC ．b r ＝﹣32a rD ．b r ＝-23a r【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到非零向量a r 、b r的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．【详解】∵2|a r|=3|b r |，∴|b r|23=|a r |．又∵非零向量a r 与b r的方向相同，∴23b a =r r ．故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，AC BD =，那么下列结论中，正确的是（ ）A ．AC u u u r 与BD u u u r是相等向量B ．AD u u u r 与BD u u u r是平行向量 C ．AD u u u r 与BD u u u r是相反向量 D ．AD u u u r 与BC uuu r是相等向量【答案】B 【解析】 【分析】由AC=BD ，可得AD=BD ，即可得AD u u u r 与BD u u u r 是平行向量，AD BC AC BD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，，继而证得结论． 【详解】 A 、∵AC=BD ，∴AC BD =-u u u r u u u r，该选项错误； B 、∵点C 、D 是线段AB 上的两个点，∴AD u u u r 与BD u u u r是平行向量，该选项正确； C 、∵AC=BC ，∴AD ≠BD ，∴AD u u u r 与BD u u u r不是相反向量，该选项错误； D 、∵AC=BD ， ∴AD=BC ，∴AD BC =-u u u r u u u r，，该选项错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．15．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r的结果是（ ）．A ．CA u u u rB ．AC u u u r C ．0rD ．AE u u u r【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形法则计算即可解决问题．【详解】解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u rAE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u rAC =u u u r ，故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．16．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r表示正确的是（ ）A ．34a rB ．34a -rC ．43a rD ．43a -r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r，∴BA=43AC ， ∵BA u u u r 与AC u u ur 方向相反， ∴BA u u u r =43a -r ，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.17．如果a b c +=r r r ，3a b c -=r r r ，且0c ≠r r ，下列结论正确的是A ．=a b rrB ．20a b +=r rC ．a r与b r方向相同 D ．a r与b r方向相反【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的性质进行计算判断即可. 【详解】解：将a b c +=r r r代入3a b c -=r r r ，计算得：-2a b =r r（方向相反）.故选：D 【点睛】本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键.18．如果2a b =r r （a r ，b r均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）A ．a r //b rB ．a r -2b r =0C ．b r =12a rD ．2a b =r r【答案】B 【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b v vv-= 故错误. 故选B.19．已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（ ）A ．12CA AB =u u u r u u u rB ．12CB AB =u u u r u u u rC ．0AC BC u u u r u u u r+=D ．0AC CB +=u u u r u u u r r【答案】B 【解析】根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答．解：A 、12CA BA =u u u r u u u r，故本选项错误；B 、12CB AB =u u u r u u u r ，故本选项正确；C 、0AC BC +=u u u r u u u r r，故本选项错误；D 、AC CB AB +=u u u r u u u r u u u r，故本选项错误．故选B ．20．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ，则AM u u u u r 等于（ ）．A ．()12a b -r rB ．()12b a -r rC ．()12a b +r rD ．()12a b -+r r【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-u u u r rr ，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-u u u u r r r ，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM u u u u r .【详解】解：∵AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ∴CB AB AC a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r∵AM 是ABC △的边BC 上的中线 ∴()1122CM CB a b ==-u u u u r u u u r r r ∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+u u u u r u u u r u u u r r r u r r r 故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算分类汇编含答案(1)一、选择题1．下列各式正确的是（ ）．A ．()22a b c a b c ++=++r r r r r rB ．()()330a b b a ++-=rr r rC ．2AB BA AB +=u u u r u u u r u u u rD ．3544a b a b a b ++-=-r r r r r r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量计算法则依次判断即可. 【详解】A 、()222a b c a b c ++=++r r r r rr ，故A 选项错误；B 、()()3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-r r r r rr r r r ，故B 选项错误；C 、0AB BA +=uu u r uu r r，故C 选项错误；D 、3544a b a b a b ++-=-r r r r r r ，故D 选项正确；故选D. 【点睛】本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.2．四边形ABCD 中，若向量与是平行向量，则四边形ABCD ( )A ．是平行四边形B ．是梯形C ．是平行四边形或梯形D ．不是平行四边形，也不是梯形【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中给的已知条件与是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定与的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案.【详解】根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与的大小，所以有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征.3．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( ) A ．｜2｜＞｜-2｜ B ．｜2｜＜｜-2｜ C ．｜2｜＞｜2-｜D ．｜2｜＜｜2-｜【答案】A 【解析】 【分析】对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A 、C 满足；当两向量不共线，构造三角形，从而排除C ，进而解答本题. 【详解】解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有；代入可知只有A 、C 满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义， 故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC ； 令，，则，∴且；又BA+BC>AC ∴∴. 故选A. 【点睛】本题考查了非零向量的模，针对向量是否共线和构造三角形是解答本题的关键.4．已知向量，若与共线，则( )A ．B ．C ．D ．或【答案】D 【解析】 【分析】 要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答. 【详解】解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即；与任一向量共线.故答案为D. 【点睛】本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键.5．下列等式正确的是（ ）A ．AB u u u r +BC uuur ＝CB u u u r +BA u u u rB ．AB u u u r﹣BC uuu r ＝AC u u u rC ．AB u u u r +BC uuur +CD uuu r ＝DA u u u r D ．AB u u u r +BC uuur ﹣AC u u u r ＝0r【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形法则即可判断. 【详解】∵AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r，∴0AB BC AC AC AC +-=-=u u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r r， 故选D ． 【点睛】本题考查平面向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握三角形法则.6．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( ) A ．()a ab b --= B ．0a 0=C ．如果1a b 2=，那么a //b D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-【答案】C 【解析】 【分析】根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】解：A 、()a ab b --=rr r r ，正确；B 、0a 0⋅=r r ，正确；C 、如果1a b 2=，那么a //b ，错误，可能共线； D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-r，正确；故选C ． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．已知3a →=，2b =r ，而且b r 和a r的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）A ．32a b →→= B ．23a b →→=C ．32a b →→=-D ．23a b →→=-【答案】D 【解析】 【分析】根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v的方向相反∴32a b =-v v故选D.【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.8．若0a r 、0b r 都是单位向量，则有（ ）．A ．00a b =r rB ．00a b =-r rC ．00a b =r rD ．00a b =±rr【答案】C 【解析】 【分析】由0a r 、0b r 都是单位向量，可得00a b =r r．注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：∵0a r、0b r 都是单位向量∴00a b =r r故选C. 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握单位向量的定义．9．已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为、、，则向量等于 （ ） A ．++ B ．-+C ．+-D ．--【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论． 【详解】 如图，，则-+故选B ． 【点睛】此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.10．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r③若ma mb =rr（m 是实数）时，则有a b =rr④若ma na =r r（m 、n 是实数，0a ≠rr），则有m n = A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r ，正确；②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r，正确； ③若ma mb =rr（m 是实数）时，则有a b =rr，错误，当m=0时不成立； ④若ma na =r r（m 、n 是实数，0a ≠rr），则有m n =，正确； 故选C. 【点睛】本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．11．已知e →为单位向量，a r =-3e →，那么下列结论中错误．．的是（ ） A ．a r ∥e →B ．3a =rC ．a r 与e →方向相同D ．a r 与e →方向相反【答案】C 【解析】 【分析】由向量的方向直接判断即可. 【详解】解：e r 为单位向量，a v =3e r -，所以a v 与e r方向相反，所以C 错误， 故选C. 【点睛】本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.12．下列命题正确的是（ ） A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b rB ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b rC ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b rD ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r＝0 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确；B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确；C . a r ＝k b r （k ≠0）⇔a r ∥b r，所以C 选项正确； D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r，不正确． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.13．若2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，a r 与r b 是（ ）A ．a r 与r b 是相等向量B ．a r 与r b 是平行向量C ．a r 与r b 方向相同，长度不等D ．a r 与r b 方向相反，长度相等【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2c =-r r，由此确定a r 与b r 位置和数量关系．【详解】解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2c =-r r ，所以a r 与b r 方向相反，且|a r|＝5|b r |．观察选项，只有选项B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握．14．下列说法中，正确的是（ ）A ．如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0B ．如果e r 是单位向量，那么e r＝1C ．如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a rD ．已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r，那么a r ∥b r【解析】 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A 、如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0，错误，应该是k a r ＝0r．B 、如果e r 是单位向量，那么e r＝1，错误．应该是e r ＝1．C 、如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a r，错误．模相等的向量，不一定平行．D 、已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r ，那么a r ∥b r，正确．故选：D ． 【点睛】本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.15．已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r ，那么向量a r 与b r的方向关系是（ ） A ．a r∥b r，并且a r 和b r方向一致 B ．a r ∥b r ，并且a r 和b r方向相反 C ．a r 和b r方向互相垂直 D ．a r 和b r之间夹角的正切值为5【答案】B 【解析】 【分析】根据平行向量的性质解决问题即可． 【详解】∵已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r， ∴a r ∥b r ，a r 与b r的方向相反， 故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．16．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，下列式子中正确的是（ ）A ．DC a b =+u u u r r rB ．DC a b =-u u u r r r ；C ．DC a b =-+u u u r r rD ．DC a b =--u u u r r r ．【答案】C【分析】由平行四边形性质，得DC AB =u u u r u u u r ，由三角形法则，得到OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r，代入计算即可得到答案. 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC AB =u u u r u u u r，∵OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，在△OAB 中，有OA AB OB +=u u u r u u u ru u u r ， ∴AB OB OA b a a b =-=-=-+u u u r u u u r u u u r rr rr， ∴DC a b =-+u u u rr r； 故选择：C. 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．17．已知非零向量a r 、b r ，且有2a b =-r r，下列说法中，不正确的是（ ）A ．||2||a b =r r ；B ．a r ∥b r ；C ．a r 与b r 方向相反；D ．20a b +=r r ．【答案】D 【解析】 【分析】根据平行向量以及模的知识求解即可.【详解】A.∵2a b =-r r，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴||2||a b =r r，该选项不符合题意错误；B. ∵2a b =-r r，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -r 与b r 方向相反，但还是相互平行，∴a r ∥b r，该选项不符合题意错误；C. ∵2a b =-r r，而2b -r 与b r 方向相反，∴a r 与b r 的方向相反，该选项不符合题意错误；D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +r r是两个矢量相加是带方向的，应该是02b a →→→+=，该选项符合题意正确；故选：D 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本知识.18．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n u u u v=.已知11(,OA x y =u u u v ），22(,)OB x y =u u u r ，如果12120x x y y +=，那么OA u u u r 与OB uuu r互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．(4,3)OC =-u u u r ；(3,4)OD =-u u u rB ．(2,3)OE =-u u u r ； (3,2)OF =-u u u rC ．OG =u u u r ；(OH =u u u rD ．4)OM =u u u u r ；(2)ON =-u u u r【答案】D 【解析】 【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可. 【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意； B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意； C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意； D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意； 故选D. 【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.19．已知向量a r和b r都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）A ．a b =r rB ．2a b +=r rC ．0a b -=r rD ．a b =rr【答案】D 【解析】 【分析】根据向量a r和b r都是单位向量，，可知|a r|＝|b r|＝1，由此即可判断． 【详解】解：A 、向量a r 和b r 都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =r r 不一定成立，故本选项错误．B 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=rr不一定成立，故本选项错误．C 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=rr不一定成立，故本选项错误．D 、向量a r 和b r 都是单位向量，则|a r|＝|b r |＝1，故本选项正确．故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键20．若向量a r与b r均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．A ．a b =r rB ．1a =rC ．1b =rD ．a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】由向量a r 与b r 均为单位向量，可得向量a r 与b r的模相等，但方向不确定．【详解】解：∵向量a r与b r均为单位向量， ∴向量a r与b r的模相等，∴a b =r r.故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算知识点总复习附答案解析(1)一、选择题1．已知5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r ，则（ ）．A ．A 、B 、D 三点共线 B ．A 、B 、C 三点共线 C ．B 、C 、D 三点共线 D ．A 、C 、D 三点共线【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量定理逐一判断即可. 【详解】解：∵28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r ，5AB a b =+u u u r r r∴()2835BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r， ∴AB u u u r 、BD u u u r是共线向量∴A 、B 、D 三点共线，故A 正确；∵5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r∴不存在实数λ，使AB BC λ=u u u r u u u r ，即AB u u u r 、BC uuur 不是共线向量∴A 、B 、C 三点共线，故B 错误；∵28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r ∴不存在实数λ，使BC CD λ=u u u r u u u r ，即BC uuu r 、CD uuur 不是共线向量∴B 、C 、D 三点共线，故C 错误；∵5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r ，∴()52813AC AB BC a b a b a b =+=++-+=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r r∴不存在实数λ，使AC CD λ=u u u r u u u r ，即AC u u u r 、CD uuur 不是共线向量∴A 、C 、D 三点共线，故D 错误； 故选A. 【点睛】此题考查的是共线向量的判定，掌握共线向量的定理是解决此题的关键.2．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=，=，=，=，则（ ） A ．+++= B ．-+-= C ．+--= D ．--+=【答案】B 【解析】根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项．【详解】根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D错误；；而；∴B正确.故选B.【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.3．已知向量，若与共线，则( ) A．B．C．D．或【答案】D【解析】【分析】要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答.【详解】解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即；与任一向量共线.故答案为D.【点睛】本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键.4．下列命题中，真命题的个数为( )①方向相同②方向相反③有相等的模④方向相同A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案.【详解】解：对于①，若，则方向相同，①正确；对于②，若，则方向相反，②正确；对于③，若，则方向相反，但的模不一定，③错误；对于④，若，则能推出的方向相同，但的方向相同，得到④错误.所以正确命题的个数是2个，故选:C.本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.5．如图，已知△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G ，设，，则向量关于、的分解式表示正确的为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G 可知，，求出的值即可解答.【详解】 ∵ ∴ ∵∴故本题答案选B. 【点睛】本题考查向量的减法运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用．6．如图，已知向量a r，b r，c r,那么下列结论正确的是（ ）A ．a b c +=rrrB ．b c a +=rr rC ．a c b +=rr rD ．a c b +=-r r r【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由平行四边形法则，即可求得：解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r ，即a c b +=-r r r故选D ．7．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r 3BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为（ ） A ．2 B ．4C 31D 31【答案】B 【解析】 【分析】先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r，利用勾股定理即可计算出向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为【详解】22||3,||1||(3)122|||2|224AB BC AC AC AB BCAB BC AC AC AB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u rQ u u u ru u u r u u u r u u u rQ u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：B. 【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.8．已知233m a b =-r r r ，1124n b a =+r r r ，那么4m n -r r等于（ ）A ．823a b -r rB ．443a b r r -C ．423a b -r rD ．843a b -r r【答案】A 【解析】根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．解：∵233m a b =-r r r ，1124n b a =+r r r，∴4m n -r r =2112834()32232433a b b a a b b a a b --+=---=-rr r r r r r r r r ．故选A ．9．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】根据相等向量的定义，分析可得， A. 方向不同，错误， B. 方向不同，错误， C. 方向相反，错误，D. 方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，正确；故选D. 【点睛】此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.10．下列说法正确的是（ ）． A ．一个向量与零相乘，乘积为零 B ．向量不能与无理数相乘C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的定义和性质进行判断． 【详解】解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误； B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确. 故答案是：D. 【点睛】考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．11．已知e →为单位向量，a r=-3e →，那么下列结论中错误．．的是（ ） A ．a r ∥e →B ．3a =rC ．a r与e →方向相同D ．a r与e →方向相反【答案】C 【解析】 【分析】由向量的方向直接判断即可. 【详解】解：e r 为单位向量，a v =3e r -，所以a v 与e r方向相反，所以C 错误， 故选C. 【点睛】本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.12．化简OP QP PS SP -++u u u r u u u r u u u r u u r的结果等于（ ）．A ．QP uuu rB ．OQ uuu rC ．SP u u rD ．SQ u u u r【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减法的法则化简即可. 【详解】解：原式=+Q OP P PS SP ++u u u r u u u r u u u r u u r=Q O uuu r ，故选B. 【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，难度不大.13．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（ ）A ．||＝2||B ．是与方向相同的单位向量C ．2-＝D ．∥【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的模和向量平行的定义解答． 【详解】 A 、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误． B 、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误． C 、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误．D 、由＝-得到∥，故本选项说法正确．故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．14．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）． A ． //a c r r ,//b c r rB ．||3||a b =rrC ． 5a b =-r rD ．2a b =r r【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的性质进行逐一判定即可． 【详解】解：A 、由//a c r r ,//b c r r 推知非零向量a r 、b r 、c r的方向相同，则//a b r r ，故本选项不符合题意．B 、由||3||a b =r r只能判定向量a r 、b r 的模之间的关系，不能判定向量a r 、b r 的方向是否相同，故本选项符合题意．C 、由5a b =-r r 可以判定向量a r 、b r的方向相反，则//a b r r ，故本选项不符合题意．D 、由2a b =r r可以判定向量a r 、b r 的方向相同，则//a b r r ，故本选项不符合题意．故选：B ． 【点睛】本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a r 、b r叫做平行向量．15．下列说法中，正确的是（ ）A ．如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0B ．如果e r 是单位向量，那么e r＝1C ．如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a rD ．已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r，那么a r ∥b r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A 、如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0，错误，应该是k a r ＝0r．B 、如果e r 是单位向量，那么e r＝1，错误．应该是e r ＝1．C 、如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a r，错误．模相等的向量，不一定平行． D 、已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r ，那么a r ∥b r，正确． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.16．下列说法不正确的是( ) A ．设e r为单位向量，那么||1e =rB ．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，4b c =-r r ，那么//a b r rC ．四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r，那么这个四边形一定是平行四边形D ．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可． 【详解】解：A. 设e r为单位向量，那么||1e =r，此选项说法正确；B. 已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，4b c =-r r ，那么//a b r r ，此选项说法正确；C. 四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r，即AD=BC ，不能判定这个四边形一定是平行四边形，此选项说法不正确；D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定方法是解此题的关键．17．已知c r 为非零向量， 3a c =r r ， 2b c =-r r，那么下列结论中错误的是（ ）A ．//a b r rB ．3||||2a b =r rC ．a r 与b r方向相同 D ．a r 与b r方向相反【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】∵ 3a c =r r ， 2b c =-r r∴3a b 2=-r r ，∴a r ∥b r ，32a b =-r ra r 与b r方向相反，∴A ，B ，D 正确，C 错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．如图，向量OA u u u r 与OB uuu r 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n r =OA u u u r +OB uuu r，则||n v=（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】B 【解析】根据向量的运算法则可得: n v()222OA OB +=u u u v u u u v 故选B.19．已知a r，b r和c r 都是非零向量，下列结论中不能判定a r ∥b r的是（ ）A ．a r //c r ，b r //c rB ．1,22a cbc ==r r r rC ．2a b =r rD ．a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.∵a r //c r ，b r //c r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；B.∵1,22a c b c ==r r r r ∴a r ∥b r，故本选项错误.C.∵2a b =r r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；D.∵a b =r r ，∴a r 与b r的模相等，但不一定平行，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．20．已知a r 、b r为非零向量，下列判断错误的是（ ） A ．如果a r ＝3b r ，那么a r ∥b rB ．||a r＝||b r ，那么a r ＝b r 或a r ＝-b u u rC ．0r的方向不确定，大小为0D ．如果e r 为单位向量且a r ＝﹣2e r ，那么||a r＝2【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的性质解答即可． 【详解】解：A 、如果a r ＝3b r ，那么两向量是共线向量，则a r ∥b r，故A 选项不符合题意．B 、如果||a r＝||b r ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意．C 、0r的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意．D 、根据向量模的定义知，||a r＝2|e r |＝2，故D 选项不符合题意．故选：B ． 【点睛】此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算技巧及练习题附解析(1)一、选择题1．下列命题正确的是（ ）A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b rB ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b rC ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b rD ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r＝0【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确；B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确；C . a r ＝k b r （k ≠0）⇔a r ∥b r，所以C 选项正确；D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r，不正确．故选：C ． 【点睛】本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.2．四边形ABCD 中，若向量与是平行向量，则四边形ABCD ( )A ．是平行四边形B ．是梯形C ．是平行四边形或梯形D ．不是平行四边形，也不是梯形【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中给的已知条件与是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定与的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案.【详解】根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与的大小，所以有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征.3．在四边形ABCD 中，，，，其中与不共线，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．矩形C ．梯形D ．菱形【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算法则求出，利用向量共线的充要条件判断出，得到边AD ∥BC ，AD=2BC ，据梯形的定义得到选项.【详解】 解：∵，∴，∴AD ∥BC ，AD=2BC. ∴四边形ABCD 为梯形. 【点睛】本题考查向量的运算法则向量共线的充要条件、利用向量共线得到直线的关系、梯形的定义.4．已知向量，且则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ． A 、B 、CC ．B 、C 、DD ．A 、C 、D【答案】A 【解析】 【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点 【详解】解：由向量的加法原理知所以A 、B 、D 三点共线. 【点睛】本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型.5．下列各式中错误的是( )A ．()0a a r r+-=B ．|AB BA |0+=u u u r u u u rC ．()-=+-r r r ra b a bD ．()()++=++r r r r r ra b c a b c【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则和运算律判断即可.【详解】解：A. ()0a a vv v +-=，故本选项错误，B ，C ，D ，均正确，故选：A. 【点睛】本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.6．如果向量a r 与单位向量e r方向相反，且长度为12，那么向量a r 用单位向量e r表示为（ ）A ．12a e =rr B ．2a e =r rC ．12a e =-rr D ．2a e =-r r【答案】C 【解析】由向量a r 与单位向量e r方向相反，且长度为12，根据向量的定义，即可求得答案． 解：∵向量a r 与单位向量e r方向相反，且长度为12， ∴12a e =-rr ． 故选C ．7．计算45a a -+r r的结果是（ ）A ．aB ．a rC ．a -D ．a -r【答案】B 【解析】 【分析】按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】-4a+5a=a v v v ,所以答案为B 选项 【点睛】本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键8．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ，则AM u u u u r 等于（ ）．A ．()12a b -r rB ．()12b a -r rC ．()12a b +r rD ．()12a b -+r r【答案】C 【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-u u u r rr ，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-u u u u r r r ，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM u u u u r .【详解】解：∵AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ∴CB AB AC a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r∵AM 是ABC △的边BC 上的中线 ∴()1122CM CB a b ==-u u u u r u u u r r r ∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+u u u u r u u u r u u u r r r u r r r故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.9．□ABCD 中， -+等于( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果． 【详解】∵在平行四边形ABCD 中， 与 是一对相反向量，∴ = -∴-+=-+=，故选A ． 【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出与是一对相反向量.10．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（ ）A ．||＝2||B ．是与方向相同的单位向量C ．2-＝D ．∥【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的模和向量平行的定义解答． 【详解】 A 、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误． B 、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误． C 、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误． D 、由＝-得到∥，故本选项说法正确．故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．11．已知e →为单位向量，a r=-3e →，那么下列结论中错误．．的是（ ） A ．a r ∥e →B ．3a =rC ．a r与e →方向相同D ．a r与e →方向相反【答案】C 【解析】 【分析】由向量的方向直接判断即可. 【详解】解：e r 为单位向量，a v =3e r -，所以a v 与e r方向相反，所以C 错误， 故选C. 【点睛】本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.12．下列说法中，正确的是（ ）A ．如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0B ．如果e r 是单位向量，那么e r＝1C ．如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a rD ．已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r，那么a r ∥b r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A 、如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0，错误，应该是k a r ＝0r．B 、如果e r 是单位向量，那么e r＝1，错误．应该是e r ＝1．C 、如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a r，错误．模相等的向量，不一定平行．D 、已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r ，那么a r ∥b r，正确．故选：D ． 【点睛】本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.13．在矩形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）A ．AB CD =u u u r u u u rB ．AC BD =uuu r uu u rC ．AO OD =u u u r u u u rD ．BO OD =-u u u r u u u r【答案】C 【解析】 【分析】根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可． 【详解】相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ．A. AB CD =-u u u r u u u r，故该选项错误； B. AC BD =u u u r u u u r，但方向不同，故该选项错误；C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以AO OD =u u u r u u u r，故该选项正确； D. BO OD =u u u r u u u r，故该选项错误；故选：C ． 【点睛】本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．14．已知c r 为非零向量， 3a c =r r ， 2b c =-r r，那么下列结论中错误的是（ ）A ．//a b r rB ．3||||2a b =r rC ．a r 与b r方向相同D ．a r 与b r方向相反【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【详解】∵ 3a c =r r ， 2b c =-r r∴3a b 2=-r r ， ∴a r ∥b r ，32a b =-r ra r 与b r方向相反，∴A ，B ，D 正确，C 错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r表示正确的是（ ）A ．34a rB ．34a -rC ．43a rD ．43a -r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r，∴BA=43AC ， ∵BA u u u r 与AC u u ur 方向相反， ∴BA u u u r =43a -r ，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.16．已知非零向量a r 、b r 和c r ，下列条件中，不能判定a b r rP 的是（ ）A ．2a b =-r rB ．a c =r r ，3b c =r rC ．2a b c +=r r r ，a b c -=-r rrD ．2a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求【详解】A 、2a b =-r r，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误； B 、a c =r r ，3b c =r r ，则a r ∥b r ∥c r，故本选项错误；C 、由已知条件知2a b =-r r ，3a c -=r r ，则a r ∥b r ∥c r，故本选项错误；D 、2a b =r r 只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，a r 与b r 不一定平行，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．17．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ）A ．m na mn a r r （）＝（）B ．m n a ma na ++r r r（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r （+）＝D ．若0ma =r r，那么0a =r r【答案】D 【解析】 【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0v是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的； ∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v．∴错误． 故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.18．已知e r 是一个单位向量，a r 、b r是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）A ．a e a v v v =B ．e b b =v v vC ．1a e a=v v vD ．11a b a b=v v v v 【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B. 符合向量的长度及方向，正确；C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.19．已知a r、b r、c r都是非零向量，下列条件中，不能判断//a b rr的是（ ）A ．a b =r rB ．3a b =r rC ．//a c r r，//b c r rD ．2,2a c b c ==-r r r r【答案】A 【解析】 【分析】根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案． 【详解】解：A 、||||a b =r r只能说明a r 与b r 的模相等，不能判定a r ∥b r ，故本选项符合题意;B 、3a b =r r 说明a r 与b r 的方向相同，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意;C 、a r ∥c r ，b r ∥c r ，能判定a r ∥b r，故本选项不符合题意;D 、2a c =r r ，2b c =-r r 说明a r 与b r 的方向相反，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意．故选：A ． 【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．20．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（ ）．①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个【答案】D 【解析】 【分析】根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可. 【详解】解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误；②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误；③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误.故选D.【点睛】此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键.。

（易错题精选）初中数学向量的线性运算知识点总复习附答案解析一、选择题1．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（ ）．①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个【答案】D 【解析】 【分析】根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可. 【详解】解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误；②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误； ③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误. 故选D. 【点睛】此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键.2．下列命题：①若a b r r=，b c =rr，则c a =r r； ②若a r∥b r ，b r∥c r ，则a r ∥c r；③若|a r|=2|b r|，则2a b =rr或a r=﹣2b r； ④若a r与b r是互为相反向量，则a r +b r=0． 其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义，互为相反向量的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】①若a b =r r，b c =rr，则c a =r r，正确； ②若a r∥b r ，b r∥c r ，则a r ∥c r，正确；③若|a r|=2|b r|，则2a b =rr或a r=﹣2b r，错误，因为两个向量的方向不一定相同或相反；④若a r与b r是互为相反向量，则a r +b r=0，正确． 综上所述，真命题的个数是3个． 故选C ．3．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( ) A ．()a ab b --= B ．0a 0=C ．如果1a b 2=，那么a //b D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-【答案】C 【解析】 【分析】根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】解：A 、()a ab b --=rr r r ，正确；B 、0a 0⋅=r r ，正确；C 、如果1a b 2=，那么a //b ，错误，可能共线； D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-r，正确；故选C ． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．已知1,3a b ==r r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．3a b =r r B ．3a b =-r r C ．3b a =r rD ．3b a =-r r . 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的性质即可解决问题． 【详解】∵1,3a b ==v v ，而且b v 和a v 的方向相反 ∴3b a v v =-.故选D ． 【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．5．已知3a →=，2b =r，而且b r和a r的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →→= B ．23a b →→=C ．32a b →→=-D ．23a b →→=-【答案】D【分析】根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v的方向相反，可得两者的关系，即可求解.【详解】∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反 ∴32a b =-v v故选D. 【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.6．已知a r 、b r为非零向量，下列判断错误的是（ ） A ．如果a r ＝3b r ，那么a r ∥b rB ．||a r＝||b r ，那么a r ＝b r 或a r ＝-b u u rC ．0r的方向不确定，大小为0D ．如果e r 为单位向量且a r ＝﹣2e r ，那么||a r＝2【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的性质解答即可． 【详解】解：A 、如果a r ＝3b r ，那么两向量是共线向量，则a r ∥b r，故A 选项不符合题意．B 、如果||a r＝||b r ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意．C 、0r的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意．D 、根据向量模的定义知，||a r＝2|e r |＝2，故D 选项不符合题意．故选：B ． 【点睛】此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.7．下列说法正确的是（ ）． A ．一个向量与零相乘，乘积为零 B ．向量不能与无理数相乘C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反 【答案】D 【解析】根据平面向量的定义和性质进行判断． 【详解】解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误； B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确. 故答案是：D. 【点睛】考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．8．以下等式正确的是（ ）． A ．0a a -=r rB ．00a ⋅=rC ．()a b b a -=--rr r rD ．km k m =r r【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的运算法则进行判断． 【详解】解：A. 0a a -=rr r，故本选项错误； B. 00a ⋅=rr，故本选项错误；C. ()a b b a -=--rr r r ，故本选项正确；D. km k m =⋅r r，故本选项错误.故选：C. 【点睛】考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．9．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④方向相同 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则方向相同，①正确；对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但的模不一定，③错误； 对于④，若，则能推出的方向相同，但的方向相同，得到④错误.所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.10．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ，则AM u u u u r 等于（ ）．A ．()12a b -r rB ．()12b a -r rC ．()12a b +r rD ．()12a b -+r r【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-u u u r rr ，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-u u u u r r r ，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM u u u u r .【详解】解：∵AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ∴CB AB AC a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r∵AM 是ABC △的边BC 上的中线 ∴()1122CM CB a b ==-u u u u r u u u r r r∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+u u u u r u u u r u u u r r r u r r r故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.11．已知e →为单位向量，a r =-3e →，那么下列结论中错误．．的是（ ） A ．a r ∥e →B ．3a =rC ．a r 与e →方向相同D ．a r 与e →方向相反【答案】C 【解析】【分析】由向量的方向直接判断即可. 【详解】解：e r 为单位向量，a v =3e r -，所以a v 与e r方向相反，所以C 错误， 故选C. 【点睛】本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.12．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．①对于实数m 和向量a r、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r②对于实数m 、n 和向量a r，恒有()m n a ma na -=-r r r③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】①对于实数m 和向量a r、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r ，正确；②对于实数m 、n 和向量a r，恒有()m n a ma na -=-r r r ，正确；③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ，错误，当m=0时不成立； ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =，正确；故选C. 【点睛】本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．13．下列各式不正确的是（ ）． A ．0a a -=rr rB ．a b b a +=+r rrrC ．如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么b r 与a r 平行D ．如果a b =r r ，那么a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的定义是规定了方向和大小的量，向量的运算法则及实数与向量乘积的意义判断各选项即可． 【详解】A.任意向量与它的相反向量的和都等于零向量，所以选项A 正确；B.向量的加法符合交换律，即a b b a +=+r r r r，所以选项B 正确；C.如果()0a k b k =≠r r g ，根据实数与向量乘积的意义可知：a r ∥b r ，所以选项C 正确；D.两个向量相等必须满足两个条件：长度相等且方向相同，如果a b =r r ，但a r 与b r方向不同，则a b ≠r r，所以D 选项错误.故选D. 【点睛】本题考查了向量的定义、运算及运算法则、实数与向量乘积的意义，明确定义及法则是解题的关键.14．对于非零向量a r 、b r ，如果2|a r |＝3|b r |，且它们的方向相同，那么用向量a r表示向量b r正确的是（ ）A ．b r ＝32a rB ．b r ＝23a rC ．b r ＝﹣32a rD ．b r ＝-23a r【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到非零向量a r、b r的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．【详解】∵2|a r|=3|b r |，∴|b r|23=|a r |． 又∵非零向量a r 与b r的方向相同，∴23b a =r r ．故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．15．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r的结果是（ ）．A ．CA u u u rB ．AC u u u rC ．0rD ．AE u u u r【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u rAE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u rAC =u u u r ，故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．16．在ABCD Y 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么OD uuu r等于（ ）A ．1122a b +r rB ．1122a b --r rC ．1122a b -r rD ．1122a b -+r r【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得12OD BD =u u u r u u u r ，，又由BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r，即可求得OD uuu r的值．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB=OD=12BD ， ∴12OD BD =u u u r u u u r ，∵BD BA AD a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ， ∴12OD BD =u u u r u u u r =111()222a b a b -+=-+r r r r故选：D ． 【点睛】此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．17．在下列关于向量的等式中，正确的是（ ） A ．AB BC CA =+u u u r u u u r u u u rB ．AB BC AC =-u u u r u u u r u u u r C ．AB CA BC =-u u u r u u u r u u u rD ．0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r，故A 选项错误； AB AC BC =-u u u r u u u r u u u r，故B 、C 选项错误； 0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r，故D 选正确. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.18．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n u u u v=.已知11(,OA x y =u u u v ），22(,)OB x y =u u u r ，如果12120x x y y +=，那么OA u u u r 与OB uuu r互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．(4,3)OC =-u u u r ；(3,4)OD =-u u u rB ．(2,3)OE =-u u u r ； (3,2)OF =-u u u rC ．OG =u u u r ；(OH =u u u rD ．4)OM =u u u u r ；(2)ON =-u u u r【答案】D 【解析】 【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可. 【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意； B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意； C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意； D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意； 故选D. 【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.19．已知向量a r和b r都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）A ．a b =r rB ．2a b +=r rC ．0a b -=r rD ．a b =rr【答案】D 【解析】 【分析】根据向量a r和b r都是单位向量，，可知|a r|＝|b r|＝1，由此即可判断． 【详解】解：A 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =rr不一定成立，故本选项错误．B 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=rr不一定成立，故本选项错误．C 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=rr不一定成立，故本选项错误．D 、向量a r 和b r 都是单位向量，则|a r|＝|b r |＝1，故本选项正确．故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键20．已知5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r ，则（ ）．A ．A 、B 、D 三点共线 B ．A 、B 、C 三点共线 C ．B 、C 、D 三点共线 D ．A 、C 、D 三点共线【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量定理逐一判断即可. 【详解】解：∵28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r ，5AB a b =+u u u r r r∴()2835BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r， ∴AB u u u r 、BD u u u r是共线向量∴A 、B 、D 三点共线，故A 正确； ∵5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r∴不存在实数λ，使AB BC λ=u u u r u u u r ，即AB u u u r 、BC uuur 不是共线向量∴A 、B 、C 三点共线，故B 错误；∵28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r∴不存在实数λ，使BC CD λ=u u u r u u u r ，即BC uuu r 、CD uuur 不是共线向量∴B 、C 、D 三点共线，故C 错误；∵5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ，()3CD a b =-u u u r r r ， ∴()52813AC AB BC a b a b a b =+=++-+=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r r∴不存在实数λ，使AC CD λ=u u u r u u u r ，即AC u u u r 、CD uuu r 不是共线向量 ∴A 、C 、D 三点共线，故D 错误；故选A.【点睛】此题考查的是共线向量的判定，掌握共线向量的定理是解决此题的关键.。