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01如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D 重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.
(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；
(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．
解：(1)AG 2＝GE 2＋GF 2；理由：如解图，连接CG ， ∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ADG ＝∠CDG ＝45°，AD ＝CD ，DG ＝DG ， ∴△ADG ≌△CDG ，∴AG ＝CG ， 又∵GE ⊥DC ，GF ⊥BC ，∠BCD ＝90°， ∴四边形CEGF 是矩形，∴CF ＝GE ，
在Rt △GFC 中，由勾股定理得，CG 2＝GF 2＋CF 2， ∴AG 2＝GE 2＋GF 2；
(2)如解图，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，
∵GF ⊥BC ，∠ABG ＝∠GBC ＝45°， ∴∠BAM ＝∠BGF ＝45°，
∴△ABM ，△BGF 都是等腰直角三角形， ∵AB ＝1， ∴AM ＝BM ＝2
2，
∵∠AGF ＝105°， ∴∠AGM ＝60°， ∴tan60°＝AM GM
， ∴GM ＝
66
， ∴BG ＝BM ＋GM ＝22＋66＝32＋6
6.
02如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
A B
C
D F
E
G
10题图
考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理
分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG ≌△AFG ；在直角△ECG 中，根据勾股定理可证BG =GC ；通过证明∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，由平行线的判定可得AG ∥CF ；由于
S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC ，求得面积比较即可．
解答：解：①正确．因为AB =AD =AF ，AG =AG ，∠B =∠AFG =90°，∴△ABG ≌△AFG ；
②正确．因为：EF =DE =
1
3
CD =2，设BG =FG =x ，则CG =6﹣x ．在直角△ECG 中，根据勾股定理，得（6﹣x ）2
+42
=（x +2）2
，解得x =3．所以BG =3=6﹣3=GC ； ③正确．因为CG =BG =GF ，所以△FGC 是等腰三角形，∠GFC =∠GCF ．又∠AGB =∠AGF ，∠AGB +∠AGF =180°﹣∠FGC =∠GFC +∠GCF ，
∴∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，∴AG ∥CF ； ④错误．过F 作FH ⊥DC ， ∵BC ⊥DH ， ∴FH ∥GC ，
∴△EFH ∽△EGC ， ∴
FH GC =EF
EG
， EF =DE =2，GF =3， ∴EG =5，
∴
FH GC =EF EG =2
5
， ∴S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC =
12×3×4﹣12×4×（25×3）=185
≠3． 故选C ．
点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．
A B C
D F
E
G
10题
03如图，在一方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，
（1）求证：△BEC≌△DEC：
（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．
考点：正方形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：（1）根据正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS即可证出结论；（2）根据对顶角相等求出∠AEF，根据正方形的性质求出∠DAC，根据三角形的内角和定理求出即可．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠DCA=∠BCA，
∵CE=CE，
∴△BEC≌△DEC．
（2）解：∵∠DEB=140°，
∵△BEC≌△DEC，
∴∠DEC=∠BEC=70°，
∴∠AEF=∠BEC=70°，
∵∠DAB=90°，
∴∠DAC=∠BAC=45°，
∴∠AFE=180°﹣70°﹣45°=65°．
答：∠AFE的度数是65°．
点评：本题主要考查对正方形的性质全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，对顶角等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．
04如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F．（1）求证：△ADE≌△BCE；（5分）
（2）求∠AFB的度数．（5分）
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC．
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=∠DCE=60°，DE=CE．
∵∠ADC=∠BCD=90°，∠CDE=∠DCE=60°，
∴∠ADE=∠BCE=30°．
∵AD=BC，∠ADE=∠BCE，DE=CE，
∴△ADE≌△BCE．
（2）∵△ADE≌△BCE，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠ABE．
∵∠BAE+∠DAE=90°，∠ABE+∠AFB=90°，∠BAE=∠ABE，∴∠DAE=∠AFB．
∵AD=CD=DE，
∴∠DAE=∠DEA．
∵∠ADE=30°，
∴∠DAE=75°，
∴∠AFB=75°．
