一次函数代数几何综合问题

大类一、一次函数与几何综合班级：__________ 姓名：__________【知识点睛】1.一次函数表达式：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）①k是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM即为竖直高度，uj7BM即为水平宽度，则=AMkBM，②b是截距，表示直线与y轴交点的纵坐标．2.设直线l1：y1=k1x+b1，直线l2：y2=k2x+b2，其中k1，k2≠0．①若k1=k2，且b1≠b2，则直线l1∥l2；②若k1·k2=-1，则直线l1⊥l2．3.一次函数与几何综合解题思路从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交点．通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题．【精讲精练】1.如图，点B，C分别在直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为______．MA B第1题图 第2题图 第3题图2. 如图，直线l 1交x 轴、y 轴于A ，B 两点，OA =m ，OB =n ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△COD ．CD 所在直线l 2与直线l 1交于点E ，则l 1____l 2；若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2=_________．3. 如图，直线483y x =-+交x 轴、y 轴于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点D ，则点C 的坐标为4. 如图，在平面直角坐标系中，函数y =x 的图象l 是第一、三象限的角平分线．探索：若点A 的坐标为(3，1)，则它关于直线l 的对称点A'的坐标为____________；猜想：若坐标平面内任一点P 的坐标为(m ，n )，则它关于直线l 的对称点P ′的坐标为____________；应用：已知两点B (-2，-5)，C (-1，-3)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到B ，C 两点的距离之和最小，则此时点Q 的坐标为____________． 5. 如图，已知直线l ：y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 沿直线l 折叠，点O 落在点C 处，则直线CA 的表达式为__________________．第5题图 第6题图 第7题图6. 如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，E 是AB 上的一点，且BE :EA =5:3，EC=BCE 沿折痕EC 向上翻折，点B 恰好落在AD 边上的点F 处．若以点A 为原点，以直线AD 为x 轴，以直线BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则直线FC 的表达式为__________________．7. 如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点与原点O 重合，AB =2，AD =1，过定点Q (0，2)和动点P (a ，0)的直线与矩形ABCD 的边有公共点．（1）a 的取值范围是________________；（2）若设直线PQ 为y =kx +2（k ≠0），则此时k 的取值范围是____________8. 如图，已知正方形ABCD 的顶点A (1，1)，B (3，1)，直线y =2x +b 交边AB 于点E ，交边CD 于点F ，则直线y =2x +b 在y 轴上的截距b 的变化范围是____________．第9题图9. 如图，已知直线l 1：2833y x =+与直线l 2：y =-2x +16相交于点C ，直线l 1，l 2分别交x 轴于A ，B 两点，矩形DEFG 的顶点D ，E 分别在l 1，l 2上，顶点F ，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG :S △ABC =_________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A (4，0)，B (0，-4)，P 为y 轴上B点下方一点，PB=m（m>0），以点P为直角顶点，AP为腰在第四象限内作等腰Rt△APM．（1）求直线AB的解析式；（2）用含m的代数式表示点M的坐标；（3）若直线MB与x轴交于点Q，求点Q的坐标．大类二、一次函数之存在性问题班级：__________ 姓名：__________【知识点睛】存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向： 1. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息； 2. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题． 【精讲精练】 1.如图，直线y =+x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，已知点P 是第一象限内的点，由点P ，O ，B 组成了一个含60°角的直角三角形，则点P 的坐标为_____________．2. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且43OC OB =. （1）求点B 的坐标和k 的值． （2）若点A 是第一象限内直线y =kx -4上的一个动点，则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=点C的坐标为(-9，0)．（1）求点B的坐标．（2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4.点C 是直线y =kx +3上与A ，B 不重合的动点．过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于点D ，是否存在点C 使△BCD 与△AOB 全等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．5. 如图，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为(-3，0)，P (x ，y )是直线122y x=+上的一个动点（点P不与点A重合）．（1）在点P的运动过程中，试写出△OPC的面积S与x之间的函数关系式．？求出此时（2）当点P运动到什么位置时，△OPC的面积为278点P的坐标．（3）过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E，F两点，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若Array存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．大类三、一次函数之动点问题班级：__________ 姓名：__________【知识点睛】动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程．1.一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息；②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围；③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案．2.解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s=vt直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．【精讲精练】1. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 的运动时间为t 秒． （1）求OA ，OB 的长．（2）过点P 与直线AB 垂直的直线与y 轴交于点E ，在点P 的运动过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．3.如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A(8，0)，B(8，11)，C(0，5)，点D为线段BC的中点．动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA—AB—BD的路线运动，至点D停止，设运动时间为t秒．（1）求直线BC的解析式．（2）若动点P在线段OA上运动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的14？（3）在动点P的运动过程中，设△OPD的面积为S，求S与t4.如图，直线y =+与x 轴交于点A，与直线y =交于点P ．（1）求点P 的坐标． （2）求△OP A 的面积．（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OA 方向向终点A 运动，过点E 作EF ⊥x 轴交线段OP 或线段P A 于点F ，FB ⊥y 轴于点B ．设运动时间为t 秒，矩形OEFB 与△OP A 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．5.如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别交于A，B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别交于M，N两点，设运动时间为t秒（0< t <4）．（1）求A，B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重叠部分的面积为S2，试探究S2与t之间的函数关系式．大类四、一次函数之面积问题 班级：_________ 姓名：__________【知识点睛】1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线， 通常有以下三种思路： ①公式法（规则图形）；②割补法（分割求和、补形作差）； ③转化法（例：同底等高）． 2. 坐标系中面积问题的处理方法举例 ① 割补求面积（铅垂法）：12△APB S ah = 12△APB S ah= ②转化求面积：l 1l 2如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上．二、 精讲精练1. 如右图，在平面直角坐标系中，已知A (-1，3)，B (3，-2)，则△AOB 的面积为___________．2. 如图，直线y =-x +4与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，点P 的坐标为(-2，2)，则S △PAB =___________．第2题图 第3题图3. 如图，直线AB ：y =x +1与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，直线CD ：y =kx -2与x 轴、y 轴分别交于点C ，点D ，直线AB 与直线CD 交于点P ．若S △APD =4.5，则k =__________．4. 如图，直线112y x =+经过点A (1，m )，B (4，n )，点C 的坐标为(2，5)，求△ABC 的面积．5. 如图，在平面直角坐标系中，已知A (2，4)，B (6，6)，C (8，2)，求四边形OABC 的面积．6. 如图，直线112y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，C (1，2)，坐标轴上是否存在点P ，使S △ABP =S △ABC ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7. 如图，已知直线m 的解析式为112y x =-+，与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，且∠BAC =90°，点P 为直线x =1上的动点，且△ABP的面积与△ABC的面积相等．（1）求△ABC的面积；（2）求点P的坐标．8.如图，直线P A：y=x+2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，直线PB：y=-2x+8与x轴交于点B．（1）求四边形PQOB的面积．（2）直线P A上是否存在点M，使得△PBM的面积等于四边形PQOB的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分类一参考答案】 二、精讲精练1．232．⊥，-1 3．7(0)3-， 4．(1，3)；(n ，m )；1313()55--， 5．y =+ 6．4163y x =-+ 7．（1）-2≤a ≤2；（2）k ≥1或k ≤-1 8．-3≤b ≤-1 9．8:9 10．（1）y =x -4；（2）M (m +4，-m -8)；（3）Q (-4，0)【分类二参考答案】 二、精讲精练1．333(4444或(或，或(，) 2．（1）B (3，0)，43k =（2）A (6，4) （3）123413(120)03P P P P 或(-)或，或(，)3．（1）B (-3，6) （2）y =-x +3（3）123433(30)(22P P P P +，或或或(，) 4．1261224()(46)5555--，或(，)或，5．（1）33(4)433(4)4x x S x x ⎧--<-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩（2）1217919()2424P P --，或(，) （3）12412124()5555P P ，或(-，) 【分类三参考答案】1．（1）OA =4，OB =3； （2）t =1或t =7 2．（1）y =+（2）22(04)(48)t S t <=⎨⎪+<<⎪⎩≤（3）123(08)(08)(0M M M -或或，4(0M 或3．（1）354y x =+（2）32t =（3）4(08)248(819)248(1924)t t S t t t t <⎧⎪=-+<⎨⎪-+<<⎩≤≤4．（1）(3P （2） （3）22(03)(34)t S t <=⎨⎪+-<<⎪⎩≤第21页/共21页 5．（1）(40)(04)A B ，,， （2）2112S t =.（3）2221(02)2388(24)2t tS t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤ 【分类四参考答案】二、精讲精练1．72 2．8 3．52 4．925．24 6．123451(0)(50)(0)(10)22P P P P --，或，或，或，7．（1）52；（2）12(13)(12)P P -，或，8．（1）10；（2）12162242()()3333M M -，或，。

一次函数和几何综合题含答案1．（2013•天水）如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2013•济宁）如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．3．（2013•绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B 点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．4．（2013•齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2013春•屯留县期末）如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M．已知点A（﹣3，4）．（1）求AO的长；（2）求直线AC的解析式和点M的坐标；（3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB 的面积为S．①求S与t的函数关系式；②求S的最大值．6．（2012•鞍山）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．7．（2012•桃源县校级自主招生）如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值；（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论；（3）①设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．8．（2012秋•海陵区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC交于点C．（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，直线OC解析式为y=x，①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．9．（2012秋•成都校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；（2）若四边形PQOB的面积是，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2012秋•綦江县校级期末）如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2013•天水）如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解．（2）由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标．（3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t，0）：①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值．②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG，进而求出GF的长，然后同①．③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤时，方法同②．综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值．解答：解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得：BF=OE=2，OF==，∴点B的坐标是（，2）设直线AB的解析式是y=kx+b（k≠0），则有．解得．∴直线AB的解析式是y=x+4；（2）如图2，∵△ABD由△AOP旋转得到，∴△ABD≌△AOP，∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，∴∠DAP=∠BAO=60°，∴△ADP是等边三角形，∴DP=AP=．如图2，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．方法（一）在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．∴BG=BD•cos60°=×=．DG=BD•sin60°=×=．∴OH=EG=，DH=∴点D的坐标为（，）方法（二）易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG，∴△ABE∽△BDG，∴；而AE=2，BD=OP=，BE=2，AB=4，则有，解得BG=，DG=；∴OH=，DH=；∴点D的坐标为（，）．（3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于．设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG=t，∴DH=2+t．∵△OPD的面积等于，∴，解得，（舍去）∴点P1的坐标为（，0）．②∵当D在y轴上时，根据勾股定理求出BD==OP，∴当＜t≤0时，如图，BD=OP=﹣t，DG=﹣t，∴GH=BF=2﹣（﹣t）=2+t．∵△OPD的面积等于，∴，解得，，∴点P2的坐标为（，0），点P3的坐标为（，0）．③当t≤时，如图3，BD=OP=﹣t，DG=﹣t，∴DH=﹣t﹣2．∵△OPD的面积等于，∴（﹣t）[﹣（2+t）]=，解得（舍去），∴点P4的坐标为（，0），综上所述，点P的坐标分别为P1（，0）、P2（，0）、P3（，0）、P4（，0）．点评：本题综合考查的是一次函数的应用，包括待定系数法求解析式、旋转的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积公式的应用等，难度较大．2．（2013•济宁）如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出==，据此可以求得点P的运动速度；（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；（3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可．解答：解：（1）∵直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，∴x=0时，y=4，y=0时，x=8，∴==，当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，∵EP∥BO，∴==，∴AP=2t，∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，则∵OQ=FQ=t，PA=2t，∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，∴8﹣3t=t，解得：t=2；如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，∵OQ=t，PA=2t，∴OP=8﹣2t，∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，∴t=3t﹣8，解得：t=4；（3）如图1，当Q在P点的左边时，∵OQ=t，PA=2t，∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，∴S矩形PEFQ=QP•QF=（8﹣3t）•t=8t﹣3t2，当t=﹣=时，S矩形PEFQ的最大值为：=，如图2，当Q在P点的右边时，∵OQ=t，PA=2t，∴2t＞8﹣t，∴t，∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，∴S矩形PEFQ=QP•QF=（3t﹣8）•t=3t2﹣8t，∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，∴＜t≤4，当t=﹣=时，S矩形PEFQ的最大，∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×42﹣8×4=16，点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P，Q不同的位置进行分类讨论得出是解题关键．3．（2013•绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B 点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）通过解方程x2﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）；（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；（3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．解答：解：（1）解方程x2﹣14x+48=0得x1=6，x2=8．∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根，∴OC=6，OA=8．∴C（0，6）；（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．由（1）知，OA=8，则A（8，0）．∵点A、C都在直线MN上，∴，解得，，∴直线MN的解析式为y=﹣x+6；（3）∵A（8，0），C（0，6），∴根据题意知B（8，6）．∵点P在直线MNy=﹣x+6上，∴设P（a，﹣a+6）当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；②当PC=BC时，a2+（﹣a+6﹣6）2=64，解得，a=，则P2（﹣，），P3（，）；③当PB=BC时，（a﹣8）2+（a﹣6+6）2=64，解得，a=，则﹣a+6=﹣，∴P4（，﹣）．综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（﹣，）P3（，），P4（，﹣）．点评：本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质．解答（3）题时，要分类讨论，防止漏解．另外，解答（3）题时，还利用了“数形结合”的数学思想．4．（2013•齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）通过解一元二次方程x2﹣（+1）x+=0，求得方程的两个根，从而得到A、B两点的坐标，再根据两点之间的距离公式可求AB的长，根据AB：AC=1：2，可求AC的长，从而得到C点的坐标；（2）分①当点M在CB边上时；②当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于t的函数关系式；（3）分AQ=AB，BQ=BA，BQ=QA三种情况讨论可求Q点的坐标．解答：解：（1）x2﹣（+1）x+=0，（x﹣）（x﹣1）=0，解得x1=，x2=1，∵OA＜OB，∴OA=1，OB=，∴A（1，0），B（0，），∴AB=2，又∵AB：AC=1：2，∴AC=4，∴C（﹣3，0）；（2）∵AB=2，AC=4，BC=2，∴AB2+BC2=AC2，即∠ABC=90°，由题意得：CM=t，CB=2．①当点M在CB边上时，S=2﹣t（0≤t）；②当点M在CB边的延长线上时，S=t﹣2（t＞2）；（3）存在．①当AB是菱形的边时，如图所示，在菱形AP1Q1B中，Q1O=AO=1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0），在菱形ABP2Q2中，AQ2=AB=2，所以Q2点的坐标为（1，2），在菱形ABP3Q3中，AQ3=AB=2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2），②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，AP42=AO2+P4O2，即x2=12+（﹣x）2，解得x=，所以Q4（1，）．综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（﹣1，0），Q2（1，﹣2），Q3（1，2），Q4（1，）．点评：考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：解一元二次方程，两点之间的距离公式，三角形面积的计算，函数思想，分类思想的运用，菱形的性质，综合性较强，有一定的难度．5．（2013春•屯留县期末）如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M．已知点A（﹣3，4）．（1）求AO的长；（2）求直线AC的解析式和点M的坐标；（3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB 的面积为S．①求S与t的函数关系式；②求S的最大值．考点：一次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；菱形的性质．专题：计算题．分析：（1）根据A的坐标求出AH、OH，根据勾股定理求出即可；（2）根据菱形性质求出B、C的坐标，设直线AC的解析式是y=kx+b，把A（﹣3，4），C（5，0）代入得到方程组，求出即可；（3）①过M作MN⊥BC于N，根据角平分线性质求出MN，P在AB上，根据三角形面积公式求出即可；P 在BC上，根据三角形面积公式求出即可；②求出P在AB的最大值和P在BC上的最大值比较即可得到答案．解答：（1）解：∵A（﹣3，4），∴AH=3，OH=4，由勾股定理得：AO==5，答：OA的长是5．（2）解：∵菱形OABC，∴OA=OC=BC=AB=5，5﹣3=2，∴B（2，4），C（5，0），设直线AC的解析式是y=kx+b，把A（﹣3，4），C（5，0）代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为，当x=0时，y=2.5∴M（0，2.5），答：直线AC的解析式是，点M的坐标是（0，2.5）．（3）①解：过M作MN⊥BC于N，∵菱形OABC，∴∠BAC=∠OCA，∵MO⊥CO，MN⊥BC，∴OM=MN，当0≤t＜2.5时，P在AB上，MH=4﹣2.5=，S=×BP×MH=×（5﹣2t）×=﹣t+，∴，当t=2.5时，P与B重合，△PMB不存在；当2.5＜t≤5时，P在BC上，S=×PB×MN=×（2t﹣5）×=t﹣，∴，答：S与t的函数关系式是（0≤t＜2.5）或（2.5＜t≤5）．②解：当P在AB上时，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是×5×=，同理在BC上时，P与C重合时，S最大是×5×=，∴S的最大值是，答：S的最大值是．点评：本题主要考查对勾股定理，三角形的面积，菱形的性质，角平分线性质，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．6．（2012•鞍山）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可证△AOG≌△ADG；（2）利用（1）的方法，同理可证△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系；（3）由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，当∠1=∠2时，可证∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG，PC，确定P、G两点坐标，得出直线PE的解析式．解答：（1）证明：∵∠AOG=∠ADG=90°，∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，∵，∴△AOG≌△ADG（HL）；（2）解：PG=OG+BP．由（1）同理可证△ADP≌△ABP，则∠DAP=∠BAP，由（1）可知，∠1=∠DAG，又∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，所以，2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°，故∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°，∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，∴DG=OG，DP=BP，∴PG=DG+DP=OG+BP；（3）解：∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD，又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，∴∠1=∠2=30°，在Rt△AOG中，AO=3，AG=2OG，AG2=AO2+OG2，∴OG=，则G点坐标为：（，0），CG=3﹣，在Rt△PCG中，PG=2CG=2（3﹣），PC==3﹣3，则P点坐标为：（3，3﹣3），设直线PE的解析式为y=kx+b，则，解得，所以，直线PE的解析式为y=x﹣3．点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据正方形的性质证明三角形全等，根据三角形全等的性质求角、边的关系，利用特殊角解直角三角形，求P、G两点坐标，确定直线解析式．7．（2012•桃源县校级自主招生）如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值；（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论；（3）①设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．考点：一次函数综合题．专题：压轴题；探究型．分析：（1）△AOC和△BCP全等，则AO=BC=1，又∵AB=，t=AB﹣BC=﹣1；（2）过点C作x轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H，证△OTC≌△CHP即可；（3）根据题意可直接得出b=1﹣t；当t=0或1时，△PBC为等腰三角形，即P（1，1），P（1，1﹣），但t=0时，点C不在第一象限，所以不符合题意．解答：解：（1）△AOC和△BCP全等，则AO=BC=1，又AB=，所以t=AB﹣BC=﹣1；（2）OC=CP．证明：过点C作x轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H．∵PC⊥OC，∴∠OCP=90°，∵OA=OB=1，∴∠OBA=45°，∵TH∥OB，∴∠BCH=45°，又∠CHB=90°，∴△CHB为等腰直角三角形，∴CH=BH，∵∠AOB=∠OBH=∠BHT=90°，∴四边形OBHT为矩形，∴OT=BH，∴OT=CH，∵∠TCO+∠PCH=90°，∠CPH+∠PCH=90°，∴∠TCO=∠CPH，∵HB⊥x轴，TH∥OB，∴∠CTO=∠THB=90°，TO=HC，∠TCO=∠CPH，∴△OTC≌△CHP，∴OC=CP；（3）①∵△OTC≌△CHP，∴CT=PH，∴PH=CT=AT=AC•cos45°=t，∴BH=OT=OA﹣AT=1﹣t，∴BP=BH﹣PH=1﹣t，∴；（0＜t＜）②t=0时，△PBC是等腰直角三角形，但点C与点A重合，不在第一象限，所以不符合，PB=BC，则﹣t=|1﹣t|，解得t=1或t=﹣1（舍去），∴当t=1时，△PBC为等腰三角形，即P点坐标为：P（1，1﹣）．点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数的性质和点的意义表示出相应的线段的长度，再结合三角形全等和等腰三角形的性质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．8．（2012秋•海陵区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC交于点C．（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，直线OC解析式为y=x，①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．考点：一次函数综合题．专题：综合题；数形结合．分析：（1）①联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标．②欲求△OAC的面积，结合图形，可知，只要得出点A和点C的坐标即可，点C的坐标已知，利用函数关系式即可求得点A的坐标，代入面积公式即可．（2）在OC上取点M，使OM=OP，连接MQ，易证△POQ≌△MOQ，可推出AQ+PQ=AQ+MQ；若想使得AQ+PQ存在最小值，即使得A、Q、M三点共线，又AB⊥OP，可得∠AEO=∠CEO，即证△AEO≌△CEO（ASA），又OC=OA=4，利用△OAC的面积为6，即可得出AM=3，AQ+PQ存在最小值，最小值为3．解答：解：（1）①由题意，（2分）解得所以C（4，4）（3分）②把y=0代入y=﹣2x+12得，x=6，所以A点坐标为（6，0），（4分）所以．（6分）（2）存在；由题意，在OC上截取OM=OP，连接MQ，∵OQ平分∠AOC，∴∠AOQ=∠COQ，又OQ=OQ，∴△POQ≌△MOQ（SAS），（7分）∴PQ=MQ，∴AQ+PQ=AQ+MQ，当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小．即AQ+PQ存在最小值．∵AB⊥ON，所以∠AEO=∠CEO，∴△AEO≌△CEO（ASA），∴OC=OA=4，∵△OAC的面积为6，所以AM=12÷4=3，∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．（9分）点评：本题主要考查一次函数的综合应用，具有一定的综合性，要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度．9．（2012秋•成都校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；（2）若四边形PQOB的面积是，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题．专题：开放型．分析：（1）已知直线解析式，令y=0，求出x的值，可求出点A，B的坐标．联立方程组求出点P的坐标．推出AO=QO，可得出∠PAB=45°．（2）先根据CQ：AO=1：2得到m、n的关系，然后求出S△AOQ，S△PAB并都用字母m表示，根据S四边形PQOB=S△PAB ﹣S△AOQ积列式求解即可求出m的值，从而也可求出n的值，继而可推出点P的坐标以及直线PA与PB的函数表达式．（3）本题要依靠辅助线的帮助．求证相关图形为平行四边形，继而求出D1，D2，D3的坐标．解答：解：（1）在直线y=x+m中，令y=0，得x=﹣m．∴点A（﹣m，0）．在直线y=﹣3x+n中，令y=0，得．∴点B（，0）．由，得，∴点P（，）．在直线y=x+m中，令x=0，得y=m，∴|﹣m|=|m|，即有AO=QO．又∵∠AOQ=90°，∴△AOQ是等腰直角三角形，∴∠PAB=45°．（2）∵CQ：AO=1：2，∴（n﹣m）：m=1：2，整理得3m=2n，∴n=m，∴==m，而S四边形PQOB=S△PAB﹣S△AOQ=（+m）×（m）﹣×m×m=m2=，解得m=±4，∵m＞0，∴m=4，∴n=m=6，∴P（）．∴PA的函数表达式为y=x+4，PB的函数表达式为y=﹣3x+6．（3）存在．过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D1，过点A作BP的平行线交PM于点D2，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点D3．①∵PD1∥AB且BD1∥AP，∴PABD1是平行四边形．此时PD1=AB，易得；②∵PD2∥AB且AD2∥BP，∴PBAD2是平行四边形．此时PD2=AB，易得；③∵BD3∥AP且AD3∥BP，此时BPAD3是平行四边形．∵BD3∥AP且B（2，O），∴y BD3=x﹣2．同理可得y AD3=﹣3x﹣12，得，∴．点评：本题的综合性强，主要考查的知识点为一次函数的应用，平行四边形的判定以及面积的灵活计算．难度较大．10．（2012秋•綦江县校级期末）如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）先求出A、B两点的坐标，再由一个角等于30°，求出AC的长，从而计算出面积；（2）过P作PD⊥x轴，垂足为D，先求出梯形ODPB的面积和△AOB的面积之和，再减去△APD的面积，即是△APB的面积；根据△APB与△ABC面积相等，求得m的值；（3）假设存在点Q，使△QAB是等腰三角形，求出Q点的坐标即可．解答：解：（1）∵一次函数的解析式为函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A（1，0），B（0，），∴AB=2，设AC=x，则BC=2x，由勾股定理得，4x2﹣x2=4，解得x=，S△ABC==；（2）过P作PD⊥x轴，垂足为D，S△APB=S梯形ODPB+S△AOB﹣S△APD==，﹣=，解得m=；（3）∵AB==2，∴当AQ=AB时，点Q1（3，0），Q2（﹣1，0），Q3（0，﹣）；当AB=BQ时，点Q4（0，+2），Q2（0，﹣2），Q2（﹣1，0）；当AQ=BQ时，点Q6（0，），Q2（﹣1，0），综上可得：（0，），（0，），（﹣1，0）（3，0），（0，），（0，）点评：此题主要考查平面直角坐标系中图形的面积的求法．解答此题的关键是根据一次函数的特点，分别求出各点的坐标再计算．。

一次函数与几何图形综合专题讲座思想方法小结 ： （1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结 ：（1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点；当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－kb＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－kb=0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－kb﹤0时，直线与x 轴负半轴相交．③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限； 当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0)当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系．①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交； ②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行；④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.例题精讲：1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB(1) 求AC 的解析式；(2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。

一次函数几何综合题解题技巧一次函数是初中数学的重点知识之一，同时也是中考的热点。

它与几何知识的综合应用在中考中主要体现在：利用一次函数求待定系数、一次函数图象与几何图形相结合、一次函数图象的应用等几个方面。

本文将结合实例谈谈一次函数与几何图形综合题的解题技巧。

一、利用一次函数求待定系数解决这类问题的关键是利用已知条件建立方程组，求出待定系数。

具体来说，一般先设出一次函数解析式，利用已知条件得到解析式中的系数，再得到一次函数解析式。

【例1】已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与两坐标轴分别交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于点C。

（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）根据图像，当C的横坐标在哪个取值范围内时，线段AB不经过第四象限？分析：（1）由点C在反比例函数图象上，可直接求得解析式；（2）由于点C在直线AB上，可设直线AB的解析式为，将点C 的坐标分别代入解析式，可求得A、B两点的坐标，进而可求得直线AB 的解析式；（3）由图象可知，当C点的横坐标小于时，线段AB不经过第四象限。

解：（1）设反比例函数的解析式为，将点C（3，4）代入得，所以该反比例函数的解析式为；（2）设直线AB的解析式为，因为点C（3，4）在直线AB上，所以，解得，所以直线AB与轴交于点D（6，0），又因为点A（－3，－4），所以直线AB的解析式为；（3）由图象可知，当C点的横坐标小于时，线段AB不经过第四象限。

二、一次函数图象与几何图形相结合此类问题主要利用了待定系数法、数形结合的思想以及分类讨论的思想。

解题时要注意数形结合，根据已知条件建立方程或不等式，结合图形加以分析。

【例2】如图2，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，2），点D是边BC上的一个动点（点D与B、C不重合），过点D的抛物线经过点A、C、E。

（1）求该抛物线的解析式；（2）当AC为何值时，四边形DEOB为平行四边形？请说明理由；（3）设点D的坐标为（x，y），①试求该抛物线的对称轴及点D 到直线AC的距离；②试探究在抛物线上是否存在点M，使四边形AMDE 的面积最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

一次函数与几何综合例1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知矩形纸片ABCO 的顶点AC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且BC =15．将纸片沿过点C 的直线折叠后，点B 恰好落在x 轴上的点B ′处，折痕交AB 于点D ．若34OC OB'=则直线CD 的表达式为____________． 【思路分析】1. 由折叠性质得，△BCD ≌△B′CD ，则B′C =BC =OA =15，=2. 设AD =t ，则B′D =BD =9-t ，在Rt △B′AD 中利用勾股定理可求出t =4，故D (15，4)；3. 由C (0，9)，D (15，4)，可通过k ，b 的几何意义得到直线CD 的表达式：193y x =-+．例2：如图，点A 的坐标为(-2，0)，点B 在直线122y x =-+上运动，则当线段AB 最短时，点B 的坐标为_____________．【思路分析】1. 如图，当AB ⊥l 时，线段AB 最短；2. 因为AB ⊥l ，所以1()12AB k ⋅-=-，故k AB =2，设l AB ：y =2x +b ，把A (-2，0)代入，得b =4； 3. 联立可求得点B 的坐标为(-一、知识点睛1. 一次函数表达式：y =kx +b （k ，b 为常数，k ≠0）①k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM即为____________，BM 即为____________，则=AM k BM．②b 是截距，表示直线与y 轴交点的纵坐标．MAB2. 设直线l 1：y 1=k 1x +b 1，直线l 2：y 2=k 2x +b 2，其中k 1，k 2≠0．①若k 1=k 2，且b 1≠b 2，则直线l 1_____l 2； ②若k 1·k 2=_________，则直线l 1_____l 2．3. 一次函数与几何综合解题思路①要求坐标，______________________________________； ②要求函数表达式，________________________________； ③要研究几何图形，________________________________．二、精讲精练1. 如图，点B ，C 分别在直线y =2x 和y =kx 上，A ，D 是x轴上的两点，若四边形ABCD 是正方形，则k 的值为________．第1题图 第2题图 第3题图2. 如图，已知直线l：y x =x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 沿直线l 折叠，点O 落在点C 处，则直线AC 的表达式为__________________．3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中放入一张长方形纸片ABCO ，点D 在AB 边上，将纸片沿CD4. 如图，直线l 1交x 轴、y 轴于A ，B 两点，OA =m ，OB =n ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△COD ．CD 所在直线l 2与直线l 1交于点E ，则l 1____l 2；若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2=_______．5. 如图，直线483y x =-+分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，线段AB的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点D ，则点C 的坐标为____________．坐标几何图形一次函数6. 如图，在平面直角坐标系中，函数y =x 的图象l 是第一、三象限的角平分线．探索：若点A 的坐标为(3，1)，则它关于直线l 的对称点A'的坐标为____________；猜想：若坐标平面内任一点P 的坐标为(m ，n )，则它关于直线l 的对称点P ′的坐标为____________；应用：若已知两点B (-2，-5)，C (-1，-3)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到B ，C 两点的距离之和最小，则此时点Q 的坐标为____________．7. 如图，已知直线l 1：2833y x =+与直线l 2：y =-2x +16相交于点C ，直线l 1，l 2分别交x 轴于A ，B 两点，矩形DEFG 的顶点DE 分别在l 1，l 2上，顶点F ，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG :S △ABC =_________．8. 如图，已知点A 的坐标为(2，0)，点B 在直线y =-x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（ ） A ．(-1，1)B ． ，C ．(1，-1)D ．( 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A (4，0)B (0，-4)，P 为y 轴上B 点下方的一点，且PB =m （m >0），以点P 为直角顶点，AP 为腰在第四象限内作等腰Rt △APM ． （1）求直线AB 的解析式；（2）用含m 的代数式表示点M 的坐标；（3）若直线MB 与x 轴交于点Q ，求点Q 的坐标．1. 点B ，C 分别在直线y =2x 和直线y =kx 上，A ，D 是x 轴上的两点．若四边形ABCD 是长方形，且AB :AD =1:2，则k 的值为____________．2. 如图，一次函数y =-2x +4的图象与坐标轴分别交于A ，B 两点，把线段AB绕着点A 沿逆时针方向旋转90°，点B 落在点B ′处，则直线AB ′的表达式为______________________．3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是正方形，点A 的坐标是(4，0)，P 为AB 边上一点，沿CP 折叠正方形，折叠后的点B 落在平面_____________，直线CP 的表达式为___________________．第3题图 第4题图4. 如图，点A 的坐标是(-2，0)，点B 的坐标是(6，0)，点C 在第一象限内，且△OBC 为等边三角形，直线BC 交y 轴于点D ，过点A 作直线AE ⊥BD ，垂足为点E ，交OC 于点F ，则点C 的坐标为_______，直线AE 的表达式为______________．5. 如图，在平面直角坐标系中，函数y =-x 的图象l 是第二、四象限的角平分线．实验与探究：由图观察易知A (0，2)关于直线l 的对称点A ′的坐标为(-2，0)，请在图中分别标出B (-5，-3)，C (-2，5)关于直线l 的对称点B ′，C ′的位置，并写出它们的坐标：B ′_________，C ′_________． 归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P (m ，n )关于第二、四象限的角平分线l 的对称点P ′的坐标为______________． 运用与拓广：已知两点D (0，-3)，E (1，-4)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D ，E 两点的距离之和最小，并求出点Q 的坐标．。

一次函数与几何图形综合题(含答案)近日，举行了一次关于一次函数与几何图形综合的专题讲座。

在思想方法方面，介绍了函数方法和数形结合法。

函数方法是通过观察运动和变化来分析数量关系，并将其抽象升华为函数模型，从而解决问题的方法。

数形结合法则是将数与形结合起来，分析研究并解决问题的一种思想方法，对于与函数有关的问题，使用数形结合法能够事半功倍。

在知识规律方面，讲座介绍了常数k和b对直线y=kx+b(k≠0)位置的影响。

当b大于0时，直线与y轴的正半轴相交；当b等于0时，直线经过原点；当b小于0时，直线与y轴的负半轴相交。

当k和b异号时，即b大于0时，直线与x轴正半轴相交；当k和b同号时，即k和b的乘积小于0时，直线与x轴负半轴相交。

当k大于0且b大于0时，图象经过第一、二、三象限；当k大于0且b等于0时，图象经过第一、三象限；当b大于0且b小于0时，图象经过第一、三、四象限；当k小于0且b大于0时，图象经过第一、二、四象限；当k小于0且b等于0时，图象经过第二、四象限；当b小于0且b小于0时，图象经过第二、三、四象限。

讲座还介绍了直线y=kx+b(k≠0)与直线y=kx(k≠0)的位置关系。

当b大于0时，将直线y=kx向上平移b个单位，即可得到直线y=kx+b；当b小于0时，将直线y=kx向下平移|b|个单位，即可得到直线y=kx+b。

另外，当k1不等于k2时，y1与y2相交；当k1等于k2且b1不等于b2时，y1与y2平行但不重合；当k1等于k2且b1等于b2时，y1与y2重合。

最后，讲座还通过一个例题对知识规律进行了精讲。

题目是直线y=－2x+2与x轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC=OB。

要求求出AC的解析式。

的性质，需要灵活运用几何知识和代数知识。

在解答过程中，要注意清晰的逻辑思路和准确的计算，避免出现错误。

2) 在OA的延长线上任取一点P，作PQ⊥BP，交直线AC于Q。

我们来探究一下BP与PQ的数量关系，并证明结论。

1．如图1，直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC〔1〕求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．〔2〕如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，假如AD=AC，求证：BE=DE．〔3〕如图3，在〔1〕的条件下，直线AC交x轴于M，P〔，k〕是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？假如存在，请求出点N的坐标；假如不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。

分析：〔1〕如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；〔2〕同〔1〕的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；〔3〕依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON．解答：解：〔1〕如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，∴∠OAB=∠QBC，又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，∴△ABO≌△BCQ，∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，∴C〔﹣3，1〕，由A〔0，2〕，C〔﹣3，1〕可知，直线AC：y=x+2；〔2〕如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC=AD，AB⊥CB，∴BC=BD，∴△BCH≌△BDF，∴BF=BH=2，∴OF=OB=1，∴DG=OB，∴△BOE≌△DGE，∴BE=DE；〔3〕如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P〔，k〕是线段BC上一点，∴P〔﹣，〕，由y=x+2知M〔﹣6，0〕，∴BM=5，如此S△BCM=．假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，如此BN•=×，∴BN=，ON=，∵BN＜BM，∴点N在线段BM上，∴N〔﹣，0〕．点评：此题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．2．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是〔﹣8，0〕，点A的坐标为〔﹣6，0〕〔1〕求k的值．〔2〕假如P〔x，y〕是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围．〔3〕当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。

学生做题前请先回答以下问题问题1：若一次函数表达式为y=kx+b（k，b为常数，k≠0），k是______，表示___________，可以用几何中的坡度来解释.坡面的____________与____________的比叫坡度或坡比.问题2：b表示____________________________.问题3：一次函数与几何综合解题思路中，求直线表达式的思路有哪些？一次函数与几何综合（一）（K，b的几何意义）（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，点B，C分别在直线y=3x和直线y=kx上，A，D是x轴上两点，若四边形ABCD是长方形，且，则k的值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：k的几何意义2.如图，已知点A的坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点B，C，连接AC，，则点B的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：k的几何意义3.如图，直线AP的解析式为，且点P的坐标为（4，2），PA=PB，则点B的坐标是( )A.（5，0）B.（6，0）C.（7，0）D.（8，0）答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：k的几何意义4.如图，已知一条直线经过A（0，2），B（1，0）两点，将这条直线向左平移，与x轴、y 轴分别交于点C，点D．若DB=DC，则直线CD的函数解析式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数、坐标、几何三角通道互转5.已知点，B（0，0），，AE平分∠BAC，交BC于点E，则直线AE的函数表达式是( )A. B.y=x-2C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数、坐标、几何三角通道互转6.如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 是线段AB的中点，连接OC，然后将直线OC绕点C逆时针旋转30°交x轴于点D，则直线CD的表达式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数、坐标、几何三角通道互转7.如图，已知长方形纸片OABC，D是OA上的一点，且OD：AD=5：3，CD=，把△OCD 沿折痕CD向上翻折，若点O恰好与AB边上的点E重合，则CD所在直线的表达式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数、坐标、几何三角通道互转8.如图，在平面直角坐标系中放入一张长方形纸片ABCO，OC=9，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知，则折痕B′E所在直线的解析式为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：做完本套试题，在求解一次函数表达式的时候你有什么感触？简单列举一下！。

（培优特训）专项19.3 一一次函数与几何综合高分必刷1．（2023春•普兰店区期中）已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CD＝4，BD＝AD．点F从点A出发，沿AC﹣CD运动，速度为1cm/s，同时点E从点B出发，沿BD﹣DA运动，运动速度为1cm/s，一个点到达终点，另一点也停止运动．（1）求BD的长；（2）设△AEF的面积为S，点P、Q运动时间为t，求S与的函数关系式，并写出的取值范围．【答案】（1）5cm；（2）S＝．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∠C＝90°，AC＝3cm，CD＝4cm，∴AD＝＝＝5（cm），又∵BD＝AD，∴BD＝5cm；（2）3÷1＝3（s），5÷1＝5（s），（3+4）÷1＝7（s），（5+5）÷1＝10（s）．当0≤t≤3时，如图1所示，AF＝tcm，BE＝tcm，∴CE＝BC﹣BE＝4+5﹣t＝（9﹣t）cm，∴S＝AF•CE＝t（9﹣t）＝（﹣t2+t）cm2；当3＜t≤5时，如图2所示，CF＝（t﹣3）cm，BE＝tcm，∴EF＝BC﹣CF﹣BE＝4+5﹣（t﹣3）﹣t＝（12﹣2t）cm，∴S＝AC•EF＝×3（12﹣2t）＝（﹣3t+18）cm2；当5＜t＜7时，如图3所示，过点E作EM⊥BC于点M，则△DEM∽△DAC．∵CQ＝（t﹣3）cm，BD＝5cm，DP＝（t﹣5）cm，＝，∴DQ＝BC﹣CQ﹣BD＝4+5﹣（t﹣3）﹣5＝（7﹣t）cm，PM＝＝cm，∴S＝DQ•AC﹣DQ•PM＝×3（7﹣t）﹣（7﹣t）＝（t2﹣t+21）cm2．综上所述，S与t的函数关系式为S＝．2．（2023春•鼓楼区期中）如图1，已知直线l1：y＝ax﹣6a交x轴于点A，交轴y于点B，直线l2：y＝bx﹣18a交x轴于点C，交y轴于点D，交直线l1于点E．（1）求点A的坐标；（2）若点B为线段AE的中点，求证：EC＝EA；（3）如图2，已知P（0，m），将线段PA绕点P逆时针方向旋转90°至PF，连接OF，求证：点F在某条直线上运动，并求OF的最小值．【答案】（1）点A（6，0）；（2）证明见解答；（3）证明见解答，OF的最小值为：3．【解答】（1）解：令y＝ax﹣6a＝0，解得：x＝6，则点A（6，0）；（2）证明：对于y＝ax﹣6a，令x＝0，则y＝﹣6a，则点B（0，﹣6a），∵点B为线段AE的中点，则点E（﹣6，﹣12a），将点E的坐标代入y＝bx﹣18a得：﹣12a＝﹣6b﹣18a，解得：b＝﹣a，则直线l2：y＝﹣ax﹣18a，则点C（0，﹣18），由点A、C的坐标知，其中点坐标为（﹣6，0），改点和点E的横坐标相同，即点E在AC的中垂线上，∴EC＝EA；（3）证明：过点F作FT⊥y轴于点T，∵线段PA绕点P逆时针方向旋转90°至PF，则PA＝PF，∠FPA＝90°，∴∠TPF+∠TFP＝90°，∠TPF+∠APO＝90°，∴∠TFP＝∠APO，∵∠AOP＝∠PTF＝90°，PA＝PF，∴△AOP≌△PTF（AAS），∴PT＝OA＝6，FT＝OP＝m，则点F的坐标为：（m，m+6），则点F在直线y＝x+6上，则OF2＝m2+（m+6）2＝2（m+3）2+18≥18，∴OF的最小值为：3．3．（2023春•苍南县期中）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A落在x轴上，点B的坐标为（7，4），AB＝2，点D是OC的中点，点E是线段AD 上一动点，EF⊥BC于点F，连结DF．（1）求点A、C的坐标．（2）求直线AD的函数表达式．（3）若△DEF是等腰三角形，求CF的长．【答案】（1）点A、C的坐标分别为：（5，0）、（2，4）；（2）y＝﹣x+；（3）CF＝或或3．【解答】解：（1）过点B作BT⊥x轴于点T，则BT＝4，则AT＝＝＝2，则OA＝OT﹣AT＝7﹣2＝5＝BC，则点A的坐标为：（5，0），则x C＝x B﹣BC＝7﹣5＝2，点C的坐标为：（2，4），即点A、C的坐标分别为：（5，0）、（2，4）；（2）直线AD的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线AD的表达式为：y＝﹣x+；（3）当DE＝DF时，则点E在A处，则CF＝5﹣2＝3；当DE＝EF时，延长FE交x轴于点H，过点D作DM⊥x轴于点M，作EN⊥DM于点N，设点E（a，﹣a+），则N（1，﹣a+），则DN＝a﹣，NE＝a﹣1，EF＝a+，则（a﹣1）2+（a﹣）2＝（a+）2，解得：a＝2+（负值已舍去）；则CF＝；当DF＝EF时，过点D作DK⊥EF于点K，则FK＝2，DF2＝（a﹣1）2+22，则（a﹣1）2+（a﹣）2＝（a﹣1）2+22，解得：a＝1（舍去）或，则CF＝﹣2＝，综上，CF＝或或3．4．（2023•佳木斯一模）如图，将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴上，点C在x轴上，OA，OB的长是x2﹣16x+60＝0的两个根，P是边AB上的一点，将△OAP沿OP折叠，使点A落在OB上的点Q处．（1）求点B的坐标；（2）求直线PQ的解析式；（3）点M在直线OP上，点N在直线PQ上，是否存在点M，N，使以A，C．M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）B（8，6）；（2）直线PQ解析式为y＝﹣x+10；（3）存在点M，N，使以A，C．M，N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为（6，2）或（﹣，）或（，﹣）．【解答】解：（1）由x2﹣16x+60＝0得x＝6或x＝10，∵OA＜OB，∵四边形OABC是矩形，∴∠OAB＝90°，在Rt△AOB中，AB＝＝＝8，∴B（8，6）；（2）过Q作QG⊥AB于G，交OC于H，如图：∵将△OAP沿OP折叠，使点A落在OB上的点Q处，∴∠OQP＝∠OAP＝90°＝∠BQP，AP＝QP，OQ＝OA＝6，∴BQ＝OB﹣OQ＝10﹣6＝4，设AP＝QP＝x，则BP＝AB﹣AP＝8﹣x，在Rt△BPQ中，PQ2+BQ2＝BP2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴AP＝PQ＝3，BP＝8﹣x＝5，∴P（3，6），∵2S△BPQ＝BP•QG＝PQ•BQ，∴QG＝＝＝，∴PG＝＝＝，∴AG＝AP+PG＝，∵∠HGB＝∠ABC＝∠BCO＝90°，∴四边形GBCH是矩形，∴GH＝BC＝OA＝6，∠GHC＝90°，∴QH＝GH﹣QG＝6﹣＝，设直线PQ解析式为y＝kx+b，把P（3，6），Q（，）代入得：，解得，∴直线PQ解析式为y＝﹣x+10；（3）存在点M，N，使以A，C．M，N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由（2）得P（3，6），直线PQ解析式为y＝﹣x+10，∴直线OP解析式为y＝2x，设M（m，2m），N（n，﹣n+10），又A（0，6），C（8，0），①若MN，AC为对角线，则MN，AC的中点重合，∴，解得，∴N（6，2）；②若MA，NC为对角线，则MA，NC的中点重合，∴，解得；∴N（﹣，）；③若MC，NA为对角线，则MC，NA的中点重合，∴，解得，∴N（，﹣）；综上所述，N的坐标为（6，2）或（﹣，）或（，﹣）．5．（2023春•顺德区校级月考）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）当x 时，kx+b≥mx﹣n；（2）不等式kx+b＜0的解集是 ；（3）求两个一次函数表达式；（4）若直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积．【答案】（1）x≤1；（2）x＞3；（3）直线l1的解析式为y＝2x﹣1，直线l2的解析式为；（4）M点的坐标为；四边形OMPN的面积＝1．【解答】解：（1）当x≤1时，kx﹣b≥mx﹣n；故填：x≤1；（2）由图象可知：不等式kx+b＜0的解集为x＞3；故填：x＞3；（3）把A（0，﹣1），P（1，1）分别代入y＝mx﹣n，得，解得，所以直线l1的解析式为y＝2x﹣1，把P（1，1）、B（3，0）分别代入y＝kx+b，得，解得，所以直线l2的解析式为，（4）当y＝2x﹣1＝0时，解得，所以M点的坐标为；当x＝0时，，则N点坐标为，所以四边形OMPN的面积＝S△ONB﹣S△PMB＝＝1．6．（2023春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣2与x 轴、y轴分别交于点A、点B，与直线CD：y＝kx+b（k≠0）交于点P，OC＝OD＝4OA．（1）求直线CD的解析式；（2）连接OP、BC，若直线AB上存在一点Q，使得S△PQC＝S四边形OBCP，求点Q的坐标；（3）将直线CD向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x+4；（2）或；（3）（3，3）或．【解答】解：（1）∵直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，∴令y＝0，则x＝1，∴点A为（1，0），∴OA＝1，∵OC＝OD＝4OA＝4，∴点C为（4，0），点D为（0，4），设直线CD的解析式为y＝kx+b；∴，∴，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4；（2）解：在y＝2x﹣2中，令x＝0，则y＝﹣2，∴点B为（0，﹣2），∵，解得，∴点P的坐标为（2，2）；∴；∵点Q在直线AB上，则设点Q为（x，2x﹣2），则当点Q在点B的下方时，如图：∵AC＝3，点P的坐标为（2，2），∴，∵S△PQC＝S四边形OBCP，∴，∴，解得：，∴，∴点Q的坐标为；当点Q在点P的上方时，如图：，∴，∴解得：，∴，∴点Q的坐标为；综合上述，点Q的坐标为或；（3）解：∵直线CD向下平移1个单位长度得到直线l，∴直线l为y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3，∴点E的坐标为（3，0），即OE＝3；当OE＝3作为矩形OEMN的边时，如图：∴点N的坐标为（0，3），∴点M的坐标为（3，3）；当OE＝3作为矩形OEMN的对角线时，如图：∴点F的坐标为，∵tan∠OEN＝|﹣1|＝1，∴∠OEN＝45°，∵ON⊥NE，∴△ONE是等腰直角三角形，∴ON＝NE，∴四边形ONEM是正方形，∴MN⊥OE，MN＝OE，∴，∴点M的坐标为；综合上述，则点M的坐标为（3，3）或；7．（2023春•宜兴市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），点B、C都在x轴上，BC＝12，AD∥BC，CD所在直线的函数表达式为y＝﹣x+9，E是BC的中点，点P是BC边上一个动点．（1）当PB＝ 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（2）点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．【答案】（1）1或11；（2）以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形，理由见解析．【解答】解：（1）∵AD∥BC，点A坐标是（0，4），CD所在直线的函数关系式为y＝﹣x+9，∴D点的纵坐标为4，y＝4时，4＝﹣x+9，x＝5，∴D点的横坐标为5，∴D（5，4），∵CD所在直线的函数关系式为y＝﹣x+9，y＝0时，0＝﹣x+9，x＝9，∴C（9，0），∴OC＝9，作DN⊥BC交于N，如图1所示，则四边形OADN为矩形，∴CN＝OC﹣ON＝OC﹣AD＝9﹣5＝4，DN＝4，∴△DNC为等腰直角三角形，∴CD＝＝4，若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则AD＝PE＝5，有两种情况：①当P在E的左边，∵E是BC的中点，∴BE＝6，∴PB＝BE﹣PE＝6﹣5＝1；②当P在E的右边，PB＝BE+PE＝6+5＝11；故当PB＝1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，故答案为：1或11；（2）点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形，理由如下：①当BP＝1时，此时CN＝DN＝4，NE＝6﹣4＝2，∴DE＝＝＝2≠AD，故不能构成菱形．②当BP＝11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴EP＝AD＝5，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：由（1）得：DN＝CN＝4，∴NP＝BP﹣BN＝BP﹣（BC﹣CN）＝11﹣（12﹣4）＝3．∴DP＝＝＝5，∴EP＝DP＝AD＝5，故此时平行四边形PDAE是菱形，即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．8．（2023春•工业园区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x轴与y轴上，直线AB的解析式为，以线段AB、BC为边作平行四边形ABCD．（1）如图1，若点C的坐标为（3，7），判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，P为CD边上的动点，点C关于直线BP的对称点是Q，连接PQ，BQ．①当∠CBP＝ °时，点Q位于线段AD的垂直平分线上；②连接AQ，DQ，设CP＝x，设PQ的延长线交AD边于点E，当∠AQD＝90°时，求证：QE＝DE，并求出此时x的值．【答案】（1）四边形ABCD是正方形，理由见解答过程；（2）①30；②证明QE＝DE见解答过程，x的值是．【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，理由如下：过C作CH⊥y轴于H，如图：在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝4，∴A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，AB＝＝5，。