中考一轮复习导学案：九年级数学学案导学案

九年级数学导学案全册一、整体介绍九年级数学导学案全册是为了帮助九年级学生系统地学习和掌握数学知识而设计的教学辅助材料。

本导学案旨在以清晰的结构和详细的内容，帮助学生理解和掌握每个知识点，并培养学生的问题解决能力和数学思维。

二、导学目标本导学案的目标是帮助学生在九年级学习阶段掌握以下内容：1. 复习和巩固七、八年级学到的数学知识；2. 学习并理解九年级新引入的数学概念和方法；3. 培养学生的问题解决能力和逻辑思维。

三、具体内容1. 单元一：代数运算本单元将复习和巩固整数、有理数的加减乘除运算，并引入一次、二次方程的解法。

通过练习提高学生的计算能力和代数运算技巧。

2. 单元二：平面几何本单元将复习和巩固平面图形的性质和计算方法，包括三角形、四边形和圆的周长、面积计算。

同时引入椭圆、双曲线等二次曲线的基本性质和计算方法。

3. 单元三：立体几何本单元将复习和巩固立体图形的性质和计算方法，包括球体、圆柱体、圆锥体和棱柱、棱锥的体积和表面积计算。

同时引入三角锥、圆锥、三角棱柱等复杂立体图形的计算方法。

4. 单元四：数据统计与概率本单元将复习和巩固数据统计中的表格、图表的制作和分析方法，同时引入概率的基本概念和计算方法。

通过实际案例和练习，培养学生的数据分析和概率计算能力。

四、学习方法和建议1. 在学习过程中，学生应注意理解每个知识点的定义、性质和计算方法。

2. 学生可以通过课堂讲解、课后习题练习以及自主学习的方式来巩固所学内容。

3. 遇到困难和疑惑时，学生可以寻求老师和同学的帮助，或参考相关的数学学习资料。

五、总结九年级数学导学案全册是九年级学生学习数学的重要辅助材料。

通过学习和掌握本导学案中的知识，学生将能够提高数学思维能力，解决实际问题，并为高中数学的学习打下坚实的基础。

希望本导学案能够帮助九年级学生在数学学习中取得优秀的成绩，为未来的学习和发展打下坚实的基础。

人教版九年级数学导学案全册九年级数学导学案-全册第一章：有理数导学目标：了解有理数的定义，会对有理数进行加减法运算1. 有理数的定义有理数是指可以表示为两个整数比例的数，包括正整数、负整数、零以及可以表示为分数形式的小数。

2. 有理数的表示有理数可以通过分数、小数和负号表示。

例如：32/5，-1.2，-3。

3. 有理数的比较有理数的大小可以通过数轴进行比较，数轴的左边表示负数，右边表示正数。

例如：-5 < -1 < 0 < 2 < 4。

4. 有理数的加法运算有理数的加法运算遵循以下规则：- 两个正数相加，结果为正数；- 两个负数相加，结果为负数；- 正数加负数时，找到两个数的绝对值中较大的数，并用它的符号作为结果的符号。

5. 有理数的减法运算有理数的减法运算可以转化为加法运算，即求减数的相反数后再进行加法运算。

例如：7-3可以转化为7+(-3)。

第二章：代数基础导学目标：掌握代数基础概念，灵活运用代数式进行计算1. 代数式的定义代数式是由数或运算符号组成的表达式，可以包括数字、字母和运算符号。

2. 代数式的计算代数式可以通过代数运算进行计算，其中常用的运算符号包括加减乘除和指数符号。

3. 代数式的展开和因式分解代数式的展开指的是将括号中的内容按照规则进行计算，例如：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。

代数式的因式分解指的是将代数式分解成乘积的形式，例如：4x^2 + 12x = 4x(x + 3) 。

4. 代数式的简化代数式可以通过合并同类项进行简化，合并同类项是将相同字母的项合并在一起，例如：2x + 3x = 5x。

第三章：图形的认识导学目标：了解几何图形的基本概念和性质，能够进行图形的分类和判断1. 平面图形的分类平面图形包括点、线段、射线、直线和曲线，可以通过形状和大小进行分类，例如：三角形、四边形、圆等。

2. 几何图形的性质几何图形有不同的性质，例如：矩形的对边相等、正方形的对角线相等。

最值问题解决几何最值问题的理论依据（读一读，背一背）①两点之间，线段最短②垂线段最短（直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短）③三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边）●轴对称最值模型●巩固练习1.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A．(0，0) B．(0，1) C．(0，2) D．(0，3)4. 已知：如图，∠ABC =30°，P 为∠ABC 内部一点，BP =4，如果点M ，N 分别为边AB ，BC 上的两个动点，请画图说明当M ，N 在什么位置时使得△PMN 的周长最小，并求出△PMN 周长的最小值．● 折叠之最值模型特征1：折痕过定点，折叠前后线段相等（线段BA ′长度不变，A ′的路径为圆弧） 思路：求A ′C 最小，转化为BA ′+A ′C 最小，利用三角形三边关系求解特征2：折痕折痕经过两条线的动点，折叠前后线段相等（A′N +NC 为定值）思路：求BA′的最小值，转化为求BA′+A′N +NC 的最小值，利用两点之间线段最短求解． ● 巩固练习5. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AB =5，BC=3．P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP ，连接B′A ，则B′A 长度的最小值是_____．a b A'M C B AA'M C BAA MA'NBC7. 如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的对应点记为P ． （1）当点P 落在线段CD 上时，PD 的取值范围是_______．（2）当点P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 长度的最小值为_____________．8. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C ，则A′C 长度的最小值是_______．C'Q PCBAP F ED CB APFE DCBA9. 如图，菱形ABCD 的边AB =8，∠B =60°，P 是AB 上一点，BP =3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ 的长为________．10. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使 点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在AB ，AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为________________．A'D CBNMAQE PABDCBP D ACQPA'D CB A D CBA直角之最值模型特征：直角不变，斜边长不变思路：取斜边中点，结合斜边中线等于斜边一半，利用三角形三边关系求解 示例：如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，在△ABC 内部以AC 为斜边任意作Rt △ACD ，连接BD ，则线段BD 的最小值是________．思路：求BA′的最小值，利用三角形三边关系求解，BD OB OD ≥-． 巩固练习：11. 如图，∠MON=90°，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别在OM ，ON 上，当点B在ON 上运动时，点A 随之在OM 上运动，且长方形ABCD的形状和大小保持不变．若AB =2，BC =1，则在运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ） AB ．C D ．52D A CBDCABONM12. 如图，菱形ABCD 边长为2，∠C =60°．当点A 在x 轴上运动时，点D 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大距离为_______ 13. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，BC =3，在△ABC 内部以AC 为斜边任意作Rt △ACD ，连接BD ，则BD 长度的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．1解决几何最值问题的通常思路：1.分析定点、动点，寻找不变特征．2.若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题． 转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．14. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为BC 边上一动点，PE ⊥AB于点E ，PF ⊥AC 于点F ．若M 为EF 的中点，则AM 长度的最小值为____________．15. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，点D 在BC 边上，则以AC为对角线的所有□ADCE 中，DE 长度的最小值为_____________．DCBA M FE PCBAOED CBA17. 如图，在等边△ABC 中，D 是AC 边上一个动点，连接BD ，将线段BD 绕点B 逆时针旋转60°得到BE ，连接ED ，若BC =2，则△AED 的周长的最小值是_______．18. 如图，△ABC ，△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC ，EF 的中点，直线AG ，FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是__________．DGFECB A E DC BA19. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，且满足AE =DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，连接DH ．若正方形的边长为2，则DH 长度的最小值是_______．实战模式20. 如图，钝角三角形ABC 的面积为15，最长边AB =10，BD 平分∠ABC ，点M ，N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值为_____．21. 如图，在菱形ABCD 中，AB =4，∠ABC =60°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为_____．22. 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C ，F 两点之间的距离的最大值为____________，连接BD ，则△BDF 面积的最大值为__________，最小值为_____．DMBKQPDCBAG FE DCB AGFE DCB AP CDAPBOAQ①当∠EAC=90°时，求PB的长；②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值。

九年级数学学科导学案学案编号： 51 编写人：李琳、吴晓梅 审核人 ： 王安民 授课人：李琳、吴晓梅 班级 ：九（1、2、3）班 课题：弧长和扇形面积（2） 一、学习目标：1．了解圆锥的基本概念，理解圆锥各要素与其侧面展开图之间的对应关系； 2．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，会计算圆锥的侧面积。

二、学习重、难点重 点：圆锥侧面积和全面积的计算公式． 难 点：探索两个公式的由来． 三、学习过程 （一）、知识网络弧长l= 圆锥的侧面积S 侧= 扇形面积S= =（二）、自学指导在现实生活中你见过哪些锥形物体？你想了解圆锥更多的知识吗？请同学们通过阅读课本第112页，去了解圆锥的基本知识吧！试一试，完成下面的填空。

（1）．如图1，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，其底面是一个 。

我们把连接圆锥 和底面 的线段叫做圆锥的母线，图中的 就是圆锥的母线。

圆锥的母线有 条，它们都 。

连接圆锥顶点与底面 的线段叫圆锥的高，如图中的 就是圆锥的高。

（2）．如图2，沿圆锥的一条母线将它剪开并展平，可以看到，圆锥的侧面展开图是一个 ，这个扇形的半径是圆锥的 ，扇形的弧长是圆锥底面圆的 。

若设圆锥底面圆的半径是r ，圆锥母线长是l ，则扇形的半径是 ，扇形的弧长是 ，所以扇形的面积= = ，即圆锥的侧面积= ，所以圆锥的全面积= 。

（利用你手中的扇形纸片体会一下吧。

）（三）、当堂训练1．如图2，圆锥的底面周长为32米，母线长7米，则圆锥的侧面积为 平方米。

2．若圆锥底面半径为3cm ，母线长5，则它的侧面展开图面积是 cm 2。

3．用一个圆心角为1200，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 。

4．圆锥的母线长为13 cm ，底面半径为5 cm ，则此圆锥的高是（ ） A 6cm B 8cm C 10cm D 12cm 5．圆锥的底面直径是80cm ，母线长90cm ，求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积。

课时32．中考选择压轴题1.平面直角坐标系中，已知A （2，2）、B （4，0）．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、82.如图，在正方形ABCD 中，点P 从点A 出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则 △APC 的面积y 与点P 运动的路程x 之间形成的函数关系图象大致是（ ）3.如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A′O′B ．若反比例函数xky 的图象恰好经过斜边A′B 的中点C ，S △ABO ＝4，tan ∠BAO ＝2，则k 的值为（ ） A 、3 B 、4 C 、6 D 、84.如图，矩形ABCD 的顶点D 在反比例函数y ＝xk（x ＜0）的图象上，顶点B ，C 在x 轴上，对角线AC 的延长线交y 轴于点E ，连接BE ，若△BCE 的面积是6，则k 的值为（ ） A 、−6 B 、−8 C 、−9 D 、−125.某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B 处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度（或坡比）i ＝1:2.4，那么大树CD 的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（ ）A 、8.1米B 、17.2米C 、19.7米D 、25.5米第3题 第4题6.如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S 1，另两张直角三角形纸片的面积都为S 2，中间一张正方形纸片的面积为S 3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（ ） A 、4S 1 B 、4S 2 C 、4S 2＋S 3 D 、3S 1＋4S 3第6题 第7题7.如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数xy 6=在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC −S △BAD 为（ ） A 、36 B 、12 C 、6 D 、38.如图，O 为坐标原点，四边形OACB 是菱形，OB 在x 轴的正半轴上，sin ∠AOB ＝54，反比例函数y ＝x48在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ，则△AOF 的面积等于（ ）A 、60B 、80C 、30D 、40第8题 第9题 第10题 9.如图，菱形ABCD 的边AB ＝8，∠B ＝60°，P 是AB 上一点，BP ＝3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ 的长为（ ） A 、5 B 、7 C 、8 D 、21310.如图，已知点A （−8，0），B （2，0），点C 在直线y ＝−43x +4上，则使△ABC 是直角三角形的点C 的个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、411.二次函数5)1(2+--=x y ，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m ＋n 的值为（ ）A 、25 B 、2 C 、23 D 、21 12.如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ） A 、6B 、1132C 、9D 、232 13.如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ） A 、23B 、2C 、 13138D 、131312第12题 第13题 第14题14.如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED ＝3BE ，点P 、Q 分别在BD ，AD 上，则AP ＋PQ 的最小值为（ ）A 、22B 、2C 、32D 、3315.如图1，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝7．如图2，在底边BC 上取一点D ，连结AD ，使得∠DAC ＝∠ACD ．如图3，将△ACD 沿着AD 所在直线折叠，使得点C 落在点E 处，连结BE ，得到四边形ABED ．则BE 的长是（ ）A 、4B 、417C 、23D 、52。

B D 80BE O 第题 ．如图所示，分别以n 边形的顶点为圆心，以单位为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 个平方单位．．(怀化市）如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指钝角）是 度． ．如图，在Δ中，，∠＝°，是的中点，且它关于的对称点是′，则′．．如图，在ABC △中，点D 是BC 上一点，80BAD ∠=°，AB AD DC ==，则C ∠= 度．．（自贡市）如图,在△中，作出边上的高及∠的平分线.（不写作法，保留作图痕迹）．如图，已知AOB OA OB ∠=，，点E 在OB 边上，四边形AEBF 是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出AOB ∠的平分线（请保留画图痕迹）．．填空：点、、在同一直线上，点、在直线的同侧，＝，＝，∠＝∠，直线、交于点．(1) 如图①，若∠＝°，则∠＝；如图②，若∠＝°，则∠＝；()如图③，若∠＝α，则∠＝(用含α的式子表示)；()将图③中的△绕点旋转(点不及点、重合)，得图④或图⑤．在图④中，∠及∠α的数量关系是；在图⑤中，∠及∠α的数量关系是．图① 图② 图③图④ 第题图 图⑤D′第题图 第题图 第题图第课时全等三角形一、选择.（临沂中考）如图，平分∠，⊥⊥，垂足分别为，．下列结论中不一定成立的是（）．．平分∠．．垂直平分.如图是×的正方形网络，以点、为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形及△全等，这样的格点三角形最多可以画出（）．个个个个．（牡丹江）尺规作图作∠的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得△≌△的根据是（）．．．．．（江西）如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC△≌△的是（）．CB CD=．BAC DAC=∠∠．BCA DCA=∠∠．90B D==︒∠∠二、填空．怀化）如图，已知，∠∠，要使△≌△,可补充的条件是（写出一个即可）．．（清远）如图，若△≌△, 且∠°, ∠°，则∠．.（年丽水市）已知命题：如图，点，，，在同一条直线上，且，∠∠，则△≌△.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个．．适当条件使它成为真命题,并证明.．操作：如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ及MN相交于点O，请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形．根据上述操作得到的经验完成下列探究活动．探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB DC∥，E为BC边的中点，BAE EAF∠=∠，AF及DCＰＯＭＮＱ图①E（第7题图）DCBA第题图第题图第题图第题图第题图第题图FEABCD第题图的延长线相交于点F ．试探究线段AB 及AF CF ，之间的等量关系，并证明你的结论；探究二：如图③，DE BC ，相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且:1:2BE EC =，BAE EDF ∠=∠，CF AB ∥．若51AB CF ==，， 求DF 的长度．第课时 等腰三角形一、选择题 . 正三角形的内切圆半径为，那么三角形的边长为( ) .32 .3 .如图，点的坐标是()，若点在轴上，且△ 是等腰三角形，则点的坐标不可能．．．是（ ） ．(，) ．（．） ．（2，） ．（，） .⊙是等边ABC △的外接圆，⊙的半径为，则ABC △的边长为（ ）． ．.等腰三角形的顶角为o120，腰长为,则它的底边长为（ ） .cm 3. . cm 2. cm 32. 如图，ABC △中，∠o100，,则∠的度数为（ ） . o 20 . o 25 . o 30 . o40 二、填空题. 等腰ABC △两边的长分别是一元二次方程2560x x -+=是 ．Ｄ ＡＢ ＥＦＣ 图③B A 第题图第题图. （襄樊市）在ABC △中，12cm 6cm AB AC BC D ===，，为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒cm 的速度沿B A C →→的方向运动．设运动时间为t ，那么当t = 秒时，过D 、P 两点的直线将ABC △的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的倍．. 在ABC △中，5AB AC ==，．如果圆O 的半径为10，且经过点B C ，，那么线段AO 的长等于 ．. 如图，将边长为的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转次，点P 依次落在点1232008P P P P ，，，，的位置，则点2008P 的横坐标为 ．. 如图，是边上的中点，将ABC ∆沿过的直线折叠，使点落在上处，若50B ∠=︒，则BDF ∠= 度． 三、解答题. 如图，在ABC △中，点E 在AB 上，D 在BC 上，BD BE =，BAD BCE =∠∠，AD 及CE 相交点F ，试判断AFC △的形状，并说明理由．. 在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，并写下了四个等式： ①AB DC =，②BE CE =，③B C ∠=∠，④BAE CDE ∠=∠．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AED △是等腰三角形． 请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）已知： 求证：AED △是等腰三角形．. 如图，在△中，>， 点在上，且＝,∠的平分线交于，点是的中点，连结.（）求证：∥.（）若四边形的面积为，求△的面积.第课时 直角三角形一、选择题. 在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，已知2CD =，3AC =， 则sin B 的值是（ ）1P AOy xEDB A第题图第题第题图 第题图 第题图．23．32．34．43．如图，已知ABC △中，45ABC ∠=，4AC =，H 是高AD 和BE 的 交点，则线段BH 的长度为（ ） ．6． ．23． 第题图．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）．， ， ．， ， ．， ， ．， ，. 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图的三角形空地上移植某种 草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少 需要（ ）．元 ．元．元 ．元 第题图 . 如图，将等腰直角三角形绕点逆时针旋转°后得到△′′， 若，则图中阴影部分的面积为（ ） ．3 ．3 ．3 ．3 第题图 二、填空题. 如图，在△内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足 的关系式是..如图，已知△为直角三角形，∠ °，若沿图中虚线剪去∠，则 ∠＋∠等于.第题图 第题图 三、解答题 . 已知：如图，△中，∠°，点、分别是、的中点，点在的延长线上，且∠∠．求证：四边形是平行四边形．第题图 . 如图，在Rt ABC △中，90B ∠=，BC AB >．（）在BC 边上找一点P ，使BP BA =，分别过点B P ，作AC 的垂线 BD PE ，，垂足为D E ，．（）在四条线段AD BD DE PE ，，，中，某些线段之间存在一定的数量 关系．请你写出一个等式表示这个数量关系（等式中含有其中的条或 条线段），并说明等式成立的理由．第题图. 含30角的直角三角板ABC （30B ∠=）绕直角顶点C 沿逆时针方向 旋转角α（90α∠<），再沿A ∠的对边翻折得到A B C ''△，AB 及B C ' 交于点M ，A B ''及BC 交于点N ，A B ''及AB 相交于点E ． （）求证：ACM A CN '△≌△．（）当30α∠=时，找出ME 及MB '的数量关系，并加以说明．.拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分 别记为、、，如图①.（）拼图一：分别用张直角三角形纸片，拼 成如图②③的形状，观察图②③可发现，图②中两个小正方形的面积之 和 （填“大于”、“小于”或“等于”）图③中小正方形的面 积，用关系式表示为 .（）拼图二：用张直角三角形纸片 拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有个正方形，它 们的面积之间的关系是 ，用关系式表示为 .（）拼图三：用个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中个正方形的面 积之间的关系是 ，用关系式表示 .（分）① ②第课时 尺规作图. 已知：△（如图），求作：△的外接圆和内切圆（要求：用尺 规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明）．BC第题图.用等分圆周的方法画下面的图形．A 'B 'a c第题图.下图是由一个圆，一个半圆和一个三角形组成的图形，请你以直线为对称轴，把原图形补成轴对称图形．（用尺规作图，不要求写作法和证明，但要保留作图痕迹）第题图.已知：△为等边三角形，为上任意一点，连结（１）在右上方，以为一边作等边三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（２）连结，求证：＝第题图.在ABC中，，，用尺规作图作边上的中线（保留作图痕迹，不要求写做法、证明），并求的长．第题图. 已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为40．（）请你借助图画出一个满足题设条件的三角形；（）你是否还能画出既满足题设条件，又及（）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．()如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为40”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有个．友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．北. 设点是的中点，点是的中点. （）请你在图中作出点和点；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写 作法及证明）（）连接、.若∠∠，请你证明△≌△.第题图. 客轮在海上以的速度由向航行，在处测得灯塔的方位角为北偏东°，测得处的方位角为南偏东°，航行小时后到达处，在处测得的方位角为北偏东°，则到的距离是（）.如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进米到C 点， 又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为（ ）Ａ．米Ｂ．米Ｃ．米Ｄ．米第题图 第题图 第题图 二、填空题. 如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC 米，∠，则梯子AB 的长度为 米． . 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为°，如果拖把的总长为，则小明拓宽了行路通道．（结果保留三个有效数字，参考数据：°≈，°≈） 三、解答题.如图，在直角坐标平面内，O 为原点，点A 第一象限内，5BO ， ，求：（）点B 的坐标；（）cos BAO ∠的值．第题图.“村村通路工程”加快了淮安市建设社会主义新农村的步伐． 村村民们欲修建一条水泥公路将村及县级公路相连．在公路处测得村在北偏东°方向，前进米，在处测得村在北偏东°方向． （）为节约资源，要求所修公路长度最短．试求符合条件的公路长度．（结果保留整数）（）经预算，修建米这样的水泥公路约需人民币万元．按国家的相关政策，政府对修建该条水泥公路拨款人民币万元，其余部分由村民自发筹集．试求修建该条水泥公路村民需自筹资金多少万元．第课时 多边形及其内角和、梯形一、选择题 .一个多边形内角和是1080，则这个多边形是（ ）．六边形 ．七边形 ．八边形 ．九边形.在边长均为a 的正多边形中，能及边长为a 的正三角形作平面镶嵌的正多边形有（ ）①正方形 ②正五边形 ③正六边形 ④正八边形 ．种 ．种 ．种 ．种 ．下列说法中正确的是( ).平行四边形是正多边形 . 矩形是正四边形 . 菱形是正四边形 . 正方形是正四边形3045x OB y60°30°ABC县级公路北第题图. 下列命题中,真命题的个数是( )①各边都相等的多边形是正多边形; ②各角都相等的多边形是正多边形;③正多边形一定是中心对称图形; ④边数相同的正多边形一定相似.. .．已知正边形的一个外角及一个内角的比为﹕,则等于( ) . . . ..一个正多边形绕它中心旋转°就和原来图形重合,这个正多边形是( ) .正三角形.正方形.正五边形.正六边形．下列正多边形中，中心角等于内角的是（）．正六边形．正五边形．正四边形．正三边形．如图，四边形中，，∠∠°，⊥于点，且四边形的面积为，则（）．．．22．23．内角和等于外角和倍的多边形是（）．五边形．六边形．七边形．八边形第题图.右图背景中的点均为大小相同的小正方形的顶点，其中画有两个四边形，下列叙述中正确的是( ) ．这两个四边形面积和周长都不相同．这两个四边形面积和周长都相同．这两个四边形有相同的面积，但的周长大于Ⅱ的周长．这两个四边形有相同的面积，但的周长小于Ⅱ的周长.边长为a的正六边形的面积等于（）第题图．．2a．．233a.如图是对称中心为点的正八边形．如果用一个含°角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处）把这个正八边形的面积n等分．那么n的所有可能的值有（）．个．个．个．个二、填空题.正多边形外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．若正六边形的边长为，那么正六边形的中心角是度，半径是，它的每一个内角是．. 正方形的外接圆圆心叫做正方形的．．正多边形一定是对称图形,一个正边形共有条对称轴,每条对称轴都通过;如果一个正边形是中心对称图形一定是 ..将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转度,才能及原来的图形位置重合..两个正三角形的内切圆的半径分别为和,则它们的周长之比为,面积之比为正十边形的每一个内角的度数等于，每一个外角的度数等于．三、解答题：．求下列图形中的值：第题图．四边形的四个内角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？可以都是直角吗？•为什么？第题图.如图，以五边形的每个顶点为圆心，以为半径 画圆，求圆及五边形重合的面积．第题图.（）四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？ 六边形有几条对角线？…… 猜想并探索：边形有几条对角线？（）一个边形的边数增加，对角线增加多少条？．如果一个多边形的边数增加，•那么这个多边形的内角和增加多少度？若将边形的边数增加倍，则它的内角和增加多少度？.面积为个平方单位的正三角形，称为单位正三角形．下面图中的每一个小三角形都是单位正三角形，三角形的顶点称为格点．在图、、中分别画出一个平行四边形、梯形和对边都不平行的凸四边形，要求这三个图形的顶点在格点、面积都为个平方单位．第课时 平行四边形一、选择题 ．（ 江西南昌）如图，在平行四边形中，是的中点，且∠∠，则下列结论不正确．．．的是（ ） ．2AFD EFB S S =△△ ．．四边形是等腰梯形 ．AEB ADC ∠=∠２.（南京）如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可以是下列图形中的（ ）.三角形 .平行四边形 .矩形 .正方形．在周长为的平行四边形中，≠，、相交于点，⊥交于，则△的周长为( )．．以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有（ ） ．个 ．个 ．个 ．个 ．（山东潍坊）在平行四边形中，点、、、和、、、分别和的五等分点,点、和、分别是和的三等分点,已知四边形 的积为,则平行四边形面积为（ ）第３题图.35.53．下面几组条件中，能判断一个四边形是平行四边形的是（）．一组对边相等．两条对角线互相平分．一组对边平行．两条对角线互相垂直二、填空题．（济南）如图，在∆中，为∆的中位线，Ｄ为边上一点(不及、重合)，及交于点Ｏ，连接、，要使四边形为平行四边形，需要添加条件．(只添加一个条件)．（宜宾）如图，在平行四边形中，、分别是边、的中点，分别交、于点、.给出下列结论：①△≌△；②31；③；④△21△.中正确的结论是（只填序号）.三、解答题．（永州市）如图△及△都是等边三角形，点、分别在、上，且∥（）求证：四边形是菱形；（）设＝，求、两点间的距离．．（山西省）如图，已知△是等边三角形，、分别在边、上，且，连结并延长至点，使，连结、和．（）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明．（）判断四边形是怎样的四边形，并说明理由．（）若，，求四边形的面积．（分）．(长春)如图，在平行四边形中，∠°.分别以、为边向外作△和△，使，，∠∠，延长交边于点，点在、两点之间，连结、.（）求证：△≌△.（）当⊥时，求∠的度数.NMFEDBA第７题图第８题图第课时 矩形、菱形、正方形（一）一、选择题. 如图，在△中，点，，分别在边，，上，且， ．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） . 四边形是平行四边形 . 如果∠＝°，那么四边形是矩形. 如果平分∠，那么四边形是菱形. 如果⊥是＝，那么四边形是正方形 ．下列命题正确的是（ ）．对角线互相平分的四边形是菱形；．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形； ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. ．如图，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部分是（ ） ．平行四边形 ．菱形 ．矩形 ．正方形 ．如图，在菱形中，∠°，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连，∠等于（ ）．° ．° ．° ．°．如图，矩形中，过对角线交点作⊥交于则的长是（ ）． ． ． ． .如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 落在C '处，BC '交AD 于E ，则下列结论不一定成立的是（ ） ．AD BC '= ．EBD EDB ∠=∠ ．ABE CBD △∽△ ．.顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ）．矩形 ．直角梯形 ．菱形 ．正方形二、填空题. 如图，l m ∥，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则α∠= 度．. 如图．边长为的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．．将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、、分别是正方形的中心，则途中四块阴影部分的面积和为.C '第题图 第题图 第题图 第题图 第题图.如图，将两张长为，宽为的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是． .如图，正方形的边长为，、分别是、的中点，连接、，则图中阴影部分的面积是 ．三、解答题．如图，平行四边形 中，是对角线的中点，⊥交于，交于，问四边形是菱形吗？请说明理由．.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图放置，AB BF ． 求证：四边形BNDM 为菱形．.学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加，如图所示．已知每个菱形图案的边长103，其一个内角为°．（）若＝，则该纹饰要个菱形图案，求纹饰的长度；（）当＝时，若保持（）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？° ……第题图 第题图 第题图第题图 第题图 第题图 第题图第题图第课时 矩形、菱形、正方形（二）一、选择题. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( ).对角线相等 .对角线互相垂直平分 .对角线平分一组对角 .四条边相等 .菱形的一个内角为°，一边长为，则它的面积为：（ ） ．3 .233 3.由菱形两条对角线交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是（ ） .平行四边形 .矩形 .菱形 .正方形.如图,正方形中,点在的延长线上，平分∠,则下列结论: （）∠° () ∠°() ∠° （）．() ∶∶2.其中正确的有（ ）个 个 个 个 .如图，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） ．210cm ．220cm ．240cm．280cm二、填空题 . 在菱形中，已知＝＝,那么菱形的面积为.. 如图,正方形的边长为，将长为的线段的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，沿图中所示方向按→→→→滑动到止，同时点从点出发，沿图中所示方向按→→→→滑动到止，在这个过程中，线段的中点所经过的路线围成的图形的面积为 ．．如图（），把一个长为m 、宽为n 的长方形（m n >）沿虚线剪开，拼接成图（），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ） ． ．m n - ．2m．2n ．如图所示，正方形ABCD 的面积为，ABE△是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为 ．三、解答题．已知：如图，在菱形中，是上的一点，交于，求证： ∠∠．EB C FA BCQ RMD（） （）第题图第题图第题图第题图 第题图.已知：如图，在矩形中，对角线、相交于点，为矩 外一点，且⊥，求证：⊥OABCD.已知正方形中，对角线、相交于. ①若是上的点，过 作⊥于，、交于，求证②若点在的延长线上，⊥交的延长线于，延长线交 延长线于点，其它条件不变，还成立吗？FGOACDB E F GOACDBE．如图，边长为的正方形被两条及边平行的线段、分割为四个小矩形，及交于点． （）若，证明：； （）若∠°，证明：；（）若Δ的周长为，求矩形的面积．第课时 四边形综合一、选择题.下列说法不正确的是（ ）．有一个角是直角的菱形是正方形 ．两条对角线相等的菱形是正方形 ．对角线互相垂直的矩形是正方形 ．四条边都相等的四边形是正方形 ．在同一平面内，用两个边长为的等边三角形纸片(纸片不能裁剪)可以拼成的四边形是（ ） ．矩形 ．菱形 ．正方形 ．梯形．把矩形纸条ABCD 沿EF GH ，同时折叠，B C ，两点恰好落在第题图 第题图第题图 AD 边的P 点处，若90FPH =∠，8PF =，6PH =，则矩形ABCD 的边BC 长为（ ）．20 ．22 ．24 ．30. 如图，将矩形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于E ，若22.5DBC ∠=°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（ ）．个 ．个 ．个 ．个 二、填空题.如图，在菱形中，⊥，垂足为，㎝，53，则菱形的面积是㎝． .在如图所示的四边形中，若去掉一个°的角得到一个五边形，则12+=∠∠ 度． ．将边长分别为、、的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为 ．.如图，两个全等菱形的边长为厘米，一只蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点．.如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是和，那么矩形内阴影部分的面积是．（结果可用根号表示）.如图，将矩形纸的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，若＝厘米，＝厘米，则边的长是厘米.三、解答题.如图，正方形ABCD 中，E 及F 分别是AD 、BC 上一点．在①AE CF =、②BE ∥DF 、③12∠=∠中，请选择其中一个条件，证明BE DF =． （）你选择的条件是（只需填写序号）； （）证明：.如图，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度． ()请在所给的网格内画出以线段、为边的菱形；()填空：菱形的面积等于．.已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的° 第题图 A BCE C 'D 22.5第题图D C BA EC AF D E BG 第题图 第题图 第题图第题图 第题图两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，． 当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图），易证BM DN MN +=． （）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（）当MAN ∠绕点A 旋转到如图的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．第课时 相似形一、选择题..以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ），，， ，，，，，， .2，5，52，25.两地的距离是 米，地图上的距离为 厘米，则这张地图的比例尺为（ ）∶∶ ∶ ∶.下列各组图形不一定相似的是（ ）.两个等边三角形 .各有一个角是°的两个等腰三角形 .两个正方形 .各有一个角是°的两个等腰三角形.△ 的三边之比为 ∶∶，若 △∽△''' ，且△''' 的最短边长为 ，则△'''的周长为 （ ）.如图，是上的点，∠＝∠，则下列结论正确 的是（ ） .△∽△ .△∽△ .△∽△.以上都不对图图图第题.如图，△中，、边上的高、相交于点， 图中所有的相似三角形共有（ ） 个 个 个 个二、填空题..若＝，则ab＝ ..若线段、、、成比例且＝，＝，＝，则＝ ． .已知，线段＝，点Ｃ在上，且∶＝∶，则＝ ．.甲、乙两地的实际距离千米，则在比例尺为 ∶ 的地图上两地间的距离应为 厘米． .已知△∽△'''，＝，''＝，则△及△'''的相似比 ＝ ． .如图，△中，∠＝°，⊥于，则图中有 对相似三角形． .如图，△中，∥，已知＝25，则＝ ．.两个相似三角形对应高的比为 ∶，且已知较小的三角形的面积为，则较大的三角形的面积为 ． .如图，□ 中，为边的中点，交于，若＝， ＝ ．.在同一时刻物高及影长成比例，小华量得综合楼的影长为 米，同一时刻她量得身高 米的同学的影长为 米，则可知综合楼高为 ． 三、解答题：.如图，∥，∥，求证：△∽△．.如图，∠＝∠，＝，＝，＝，＝．证明：△∽△．.如图，以点为位似中心，把四边形放大 倍（不写画法）．第题第题第题.已知：＝，＝，＝，＝，求的长．.为了测量水塘边、两点之间的距离，在可以看到、的处，取、延长线上的、两点，使∥，如果测量得＝米，＝米，＝米，你能求出两点之间的距离吗？第课时 相似形的应用一、选择题..如图，身高为的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影由到走去，走到点时，她的影子顶端正好及树的影子顶端重合，测得 ,则树的高度为（ ）． ． ． ．．如图，△中，∠°，，，将△沿折叠，使点落在•边上的′处，并且′∥，则的长是（ ） ．40501525...9944B C D 二、填空题..已知△∽△，：：，则△及△之比为．.如图，△及△是位似图形，相似比为，已知，则的长等于 ．.已知图中的每个小正方形的边长都是个单位，在图中画出一个及格点△相似但相似比不等于的格点三角形..雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为，该生的眼部高度是，那么旗杆的高度是.OEFDC B A第题第题第题第题。

初中数学中考第一轮复习导学案第二单元：代数式与运算考点一： 单项式与多项式1、下列式子：x 2+1，+4，，，﹣5x ，0中，整式的个数是（ ）A 、6B 、5C 、4D 、3 2、下列各式中，次数为5的单项式是（ ） A 、5ab B 、a 5b C 、a 5+b 5 D 、6a 2b 3 3、多项式xy 2+xy +1是（ ） A 、二次二项式 B 、二次三项式 C 、三次二项式 D 、三次三项式 4、只含有x ，y ，z 的三次多项式中，不可能含有的项是（ ） A 、2x 3 B 、5xyz C 、﹣7y 3D 、2xy 31、单项式：数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式。

（1）①单独一个数或一个字母也是单项式；②分母中含有字母的一定不是单项式；③ π是数字，不是字母。

（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.（3）单项式的次数：一个单项式中的所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

2、多项式的次数：多项式中次数最高的单项式的次数是多项式的次数。

3、单项式和多项式统称整式1、下列整式中，（ ）是多项式 A 、100tB 、v +2.5C 、πr 2D 、11-x2、下列结论正确的是（ ）A 、0不是单项式B 、52abc 是五次单项式C 、﹣x 是单项式D 、是单项式3、单项式-3πxy 2z 3的系数和次数分别是（ ） A 、﹣π，5 B 、﹣1，6 C 、﹣3π，6 D 、﹣3，7 A 、五次三项式 B 、三次五项式 C 、三次二项式 D 、二次三项式4、下列说法正确的是（ ）A 、2π是一次单项式B 、多项式1+x ﹣x 2按x 作降幂排列是x 2+x ﹣1C 、是多项式 D 、5a ﹣3是由5a 和﹣3组成的一次二项式5、单项式-的系数是 ，次数是 6、多项式414x -的最高次项的系数是7、多项式8xy ﹣5x 2+4x 3y +1是 次 项式；按字母x 的降幂排列是 8、多项式2x n y +x 是三次二项式，那么n 的值是9、要使关于x ，y 的多项式my 3+3nx 2y +2y 3﹣x 2y +y 不含三次项，求2m +3n 的值是 、考点二：同类项与合并同类项1、下列选项中，两个单项式属于同类项的是（）A、a3与b3B、3x2y与﹣4x2yzC、x2y与﹣xy2D、﹣2a2b与ba22、下列各组整式中，是同类项的一组是（）A、2t与t2B、2t与t+2C、t2与t+2D、2t与t3、下列运算结果正确的是（）A、5x﹣x＝5B、2x2+2x3＝4x5C、﹣n2﹣n2＝﹣2n2D、a2b﹣ab2＝04、若﹣x m y4与x3y n是同类项，则（m﹣n）9＝、1、同类项与合并同类项（1）同类项的判断标准：①所有的字母相同②相同的字母的指数分别相同。

第19课时三角形的有关概念、全等三角形一【基础知识梳理】（课前完成）（一）三角形的定义：三条____________________连接所得到的图形叫三角形.（二）三角形的分类：1．按角分：将三角形按角分类可分为________三角形、________三角形和________三角形. 2．按边分：按边分类可分为________三角形、________三角形；等腰三角形分为底与腰________的三角形和底与腰________的三角形.（三）三角形的性质：1．三角形三边关系：三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边2．三角形内角和、外角与内角关系：三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：一个外角和它________的一个内角，________不相邻的两个内角的和.（四）三角形中的重要线段：1．三角形的中位线：___________________________________叫三角形的中位线．性质：三角形的中位线________第三边，且等于第三条边的________2．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线)（五）全等三角形1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.3. 全等三角形的性质：全等三角形的对应角______，对应边______；对应高、______、_______相等.4. 全等三角形的面积_______、周长_____、二【基础诊断】1. （2013山东省滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2. ( 2013年四川省巴中市)三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A.中线B.角平分线C.高D.中位线3. （2014?湖北宜昌,第6题3分）已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A． 5 B．10 C．11 D．124.（2014?湖南怀化）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延长BC到D，则∠ACD=°5． (2014·深圳)如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无F ＝∠ACB．∠DF D＝AC．D C＝∠A．∠DF B∥AC．DEF( ) A≌△ABC法证明△．AD=AE．在AC上，AB=AC，6.（2014?十堰）如图，点D在AB上，点E C．求证：∠B=∠三【精典例题】o角的三角形纸片，剪去这个（2013深圳市）如图所示，一个60例160021 的度数为【】60角后，得到一个四边形，则21O300. C. 240 B. 180 A. 120上的两点，如果添加一是对角线BD中，E，F（例2：OO D.2014?益阳）如图，平行四边形ABCD个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件是（）B．BE=FD C．BF=DE D． A. AE=CF ∠1=∠2四【达标检测题】（一）基础检测1．（2013?宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A.1，2，6B.2，2，4C.1，2，3D.2，3，42.（2013?内江）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（）A．125°B．120°C．140°D．130°3.（2014?广东）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或174.（2013鞍山）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A的度数为（）A．100°B．90°C．80°D．70°5．(2014·赤峰)如图，把一块含有30°角(∠A＝30°)的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝40°，那么∠AFE＝( )A．50° B．40° C．20° D．10°6.（2013?铁岭）如图，在△ABC和△DEB中，已知AB=DE，还需添加两个条），不能添加的一组条件是（DEC≌△ABC△件才能使，AC=DC ∠E B． BC=ECA． BC=EC，∠B=DA=∠B=∠E，∠∠ BC=DC，∠A=∠D D． C．ABCBCADBACBCD，，，交中，∠平分∠=46°，∠于=54如图，在△7（2014?湖南邵阳分）°DEABACEADE的大小是（于）∥，则∠，交A． 45° B． 54° C． 40° D． 50°8. （2013?德州）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为9．（2014?江苏盐城）如图，A、B两地间有一池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB的中点D、E．若DE的长度为30m，则A、B两地的距离为m．10题11题9题．10.（2014?威海）直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1=85°，则∠2= ．11. （2013?柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=．12．（2013?莆田）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF．AFDCEBAEFC在同一直线上，、13、（2014?四川宜宾）如图，已知：在△和△、中，点、AECFBDADBCADBC．=．求证：∥，=∠，∠=DCABEADABCDCBACBD嘉兴）如图，△，且∠与△＝中，＝∠与．交于点， 14.（2013?AD EBCAEBABEDCE＝50（1）求证：△o，求∠≌的度数？；（2）当∠ECA（二）能力提升ACABDABCABAC（2013?武汉）如图，△36中，°，＝边上的高，，∠是＝1.DBC则∠）的度数是（D D．36°°° B．24 C．30°A．18CB分别是其角平分线和中，AE，＝4，AC＝3AD20142.（·枣庄）如图17－2，△ABC中，AB题图6第) (EF，连接EF，则线段的长为作线，过点CCG⊥AD于点F，交AB于点G717 1 C . D．A . B．22xoy CAB，动点，，2)，3.（2013?龙岩）如图，在平面直角坐标系6)中，(0(0C、CyxA、B＝上．若以三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点在直线）的个数是（5D．3C．4A．2B．4.（2013?宁夏）如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（）44°60°67°77°A．B．C．D．5. (2014·威海)如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是() A．∠BAC＝70°B．∠DOC＝90°°55＝DAC．∠D °35＝BDC∠．C．6. （2014?四川南充，第5题，3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是，），则点C的坐标为（的坐标为（1）原点，A1）﹣，﹣（，1）D．），1 A．（﹣B．（﹣1，）C．（ABEDACBRtABC，（7.2014?福建福州分别是边点△∠中，，=90°，415,第题分）如图，在1EFFABACBC BCCF ．的长是..若的中点，延长到点=10，使，则2°角的4530°角的三角板的直角边和含（2014?随州）将一副直角三角板如图放置，使含8.度．的度数为三角板的一条直角边重合，则∠1若，钢架钢根条来加固长，图绍9. （2013?兴）如钢架中焊上等的13数度∠则A的，A=PP=…=PP=PP=PAP14321314211是．10. （2014?广东梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？11．（2014?江苏苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．12.（2014?湖南怀化，第19题，10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=∠AFE，EA是∠BEF的角平分线．求证：（1）△ABE≌△AFE；（2）∠FAD=∠CDE．ABCBACABACm经过点，已知：在△=中，∠，直线＝90°，如图.13. （2013东营）(1)(1)ABDmCEmDEDEBDCE.证明, :⊥直线+,垂足分别为点、=，⊥直线.ABCABACDAEm上,，、三点都在直线(1)(2) 如图(2)，将中的条件改为：在△、中，=并且BDAAECBACDEBDCE是否成立?+如成立,.为任意锐角或钝角,∠有∠=∠==其中请问结论=aa.请说明理由,若不成立;请你给出证明EmDADEDAE三点互上的两动点（(3) 拓展与应用：如图(3)，、、三点所在直线是、、、CEACFBDBACFABF,均为等边三角形，连接且△、不重合）,点为∠和△平分线上的一点,DEFAECBACBDA. =∠的形状，试判断△若∠∠=FCCCB BBmAAA mD E DEDm E）（图3）（图2）（图1课后反馈五.BE=CF.DF，AC1，AB∥DE，∥1．已知：如图AB=DE.求证：DEFBFBDABCDE是对角线=．2. 中，已知：如图①，在上的两点，且、CFAE =求证：ADFEB C19题图①第ADMADABDCBCABCD是，中，，点∥=（3.1）如图所示，在梯形C B的中点．CMBM求证：=．DA M题图第18CABCBDEF=79°，=31°，∠若∠如图所示，（2）△是△沿水平方向向右平移后的对应图形，D 度．的度数是则∠BABCACB.中，∠=60°，∠，求∠∶∠的度数=1∶5 4. （1）如图，△ACB题图第11CMMABCDBDAM.为正方形上一点，分别连接2，点对角线、(2)如图CMAM.= 求证：A DMC B 2题图第23ABBCABACCAB为一腰在、、两点重合如图，点（3） )为线段，分别以上任意一点(不与BCEACDCEACDBCEACDBCECACDCB，和等腰△，∠，与∠的同侧作等腰△==∠，都是锐角且∠= PCBDPMBDCENAEAECD.，连接交于点交于点于点与，连接交，连接DCBACE；(1)求证：△≌△DMPAMC (2)请你判断△的形状有何关系并说明理由；与△DBPCAPC. (3)求证：∠=∠EPM NBA CDE=BF．．求证：AB，CD上，AE=CF，15.（）如图1，在?ABCD中，点EF分别在ABCBDAABCABAC 40. ＝∠,,是∠＝,在△（2）如图,的平分线中BDC.求∠的度数ECEBCBCABABABCDCEDCDC，且点在一条直线上．＝，，）如图，在△（6.1和△中，∥，＝，DA. ：∠求证＝∠A DBECABCDECEB?ADE是7.如图，在四边形．是矩形，点的中点，求证：EDACB图题（1）第23答案提示：】【基础诊断6. 5.C 3. B 4 .80 1. D 2. A】【自测训练基础训练A—一、选择题（答12. AB=AC 10. 40°11.20 8. 32°9. 60 5 D 1. D 2. D 3. A 4. C 6C 7 C案不唯一）二、填空题三、解答题—提升训练B一、选择题 6 A 5 B D 2 3 B 4 1. A 2二、填空题O12 758 . 9 °7. AB=DE10. 3+1三、解答题）证明：在正方形ABCD中，9.解答：（1 CDFB=∠，BE=DF，BC=CD∵，∠．（SAS）CDF∴△CBE ≌△3分）．∴CE=CF（分）GE=BE+GD（2）解：成立．（4 理由是：∵由（1CDF≌△，）得：△CBE （DCF，5分）BCE=∴∠∠°，即∠∠∴∠BCE+∠ECD=DCF+∠ECDECF=∠BCD=90，（6分）°．GCE=45°又∠GCE=45，∴∠GCF=∠，GCF，GC=GC∠∵CE=CF，∠GCE= （≌△∴△ECGFCGSAS．）（GE=GF∴．7分）8．∴GE=DF+GD=BE+GD（分）m ⊥直线BD∵(1)m⊥直线,CE证明：10.BDA∴∠CEA=90°＝∠CBAED m90°BAC＝∵∠90°∠CAE=∴∠BAD+ 90°∠ABD=∵∠BAD+分………………1∴∠CAE=∠ABD=AC又AB 分………………2∴△ADB≌△CEACE=，AD∴AE=BD C3分+CE………………DE∴=AE+AD= BD B?=BDA =∠BAC(2)∵∠，AmDE ? BAD=∠BAD +∠CAE=180°—∴∠DBA+∠）（图2分………………4∴∠DBA=∠CAE?=AEC=∵∠BDA=∠ACAB，5分∴△ADB≌△CEA………………CE AE∴=BD，AD=+DE=AE+AD=BDCE………………6分∴（3）由（2）知，△ADB≌△CEA，CAE，∠DBA =∠BD=AE均为等边三角形和△ACF∵△ABF CAF=60°ABF∴∠=∠∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF F分FAE………………8∴∠DBF=∠CB =AF∵BF OmDBF≌△EAF………………9分∴△ADE∠AFE∴DF=EF，∠BFD=）3（图A+=60°∠BFD∠+=∴∠DFE∠DFA∠AFE=DF10分为等边三角形.………………∴△DEF课后反馈1.701分F=∠ACB，……，∴∠，∵，∴∠证明：∵2.AB∥DEB=∠DEFAC∥DF 2分，即EC=CF＋ECBC=EF，……＋，∴∵BE=CFBE 分3……AB=DE.，∴DEF≌△ABC∴△．3. 证△ABC≌△DFEAD 是平行四边形，4.证明：∵四边形ABCDF，AD∥BC∴AD＝BC ∴∠ADE＝∠FBC 和△CBF中在△ADEE BF ＝∵AD＝BC，∠ADE＝∠FBC，DECB∴△ADE≌△CB∴AE＝CFDCABBCAD=5.证明：∵，∥， BAMCDM，∴∠=∠ADM的中点，是∵点DMAM =，∴DCMABM≌△∴△，CMBM.= ∴ABCA+ +∠=60°=180°6⑴解：∵∠，∠∠，CB∴∠+∠，=180°－60°=120°CB∶∠，=1∶∵∠5BB =120°+5∠∴∠，B =20°. ∴∠ABCD是正方形，⑵证明：∵四边形CBMABMABCB =∠，∠，∴=BM∵是公共边，CBMABM∴△，≌△CMAM∴=.7.ABCD（1是平行四边形）证明：∵四边形CFCBACAEAD =∠==，∠∴又∵BFCBFDEADE∴∴△=≌△ACAB=（2）解：∵AABCACB=∠=40°∴∠又∵∠1ABC（180°－40°）=70°=∴∠2ABCBD∵的平分线是∠1ABCABD∠=∴∠=35°2ABDBDCA =∠+∠∴∠=40°+35°=75°BDABCDAC是菱形，=2，=2）∵四边形解：（8. 13ODBDACOCAOBO =⊥∴，=1=，=3．AOB中∴在Rt△2222AB BO?AO=2==3)?1(AEF是等边三角形 2）①△（ABCDABAC=2 是菱形，且理由：∵四边形=ABCACD是等边三角形和△∴△ABCBACACD =60°=∠ =∠∴∠EAF=60°又∵∠EACBAEEACCAF=60°+∠=∠∴∠ +∠BAECAFABAC又∵=∴∠=∠BAECAFAEAF∴∴△=≌△EAF=60°又∵∠AEF是等边三角形∴△AEFABC是等边三角形和△②∵△AEFABCACB=60°=∠∴∠=∠AEBBAE=AEBGEC=120°+∠∠∴∠+∠BEAB EGCBAEGECAEB =∠∽△∴∠∴△∴?CGEC11EC =又∵ABBC?44133BEBCCG== ∴=4168。

第22课时 矩形、菱形一、基础知识梳理（课前完成）1. （一）定义:（1） 矩形的定义：__________________________的平行四边形叫矩形． (2）菱形的定义：有一组_________________________相等的平行四边形叫菱形． 2. 矩形、菱形的性质与判定：矩形的性质： 矩形的常用判定方法：① 矩形的四个角都是_______； ①有______角是直角的四边形是矩形； ② 矩形的对角线_________； ②对角线相等的_____________是矩形； 推论：直角三角形斜边上的中线等于 ； 推论：如果一个三角形一边上的____ 那么这个三角形是_______________.菱形的性质： 菱形的常用判定方法： ①菱形的四条边________； ①四条边相等的四边形是______；②菱形的对角线互相_______，并且___ ②________互相垂直的平行四边形是菱形3. 矩形、菱形的对称性与面积：①矩形既是 对称图形,又是 图形,它有 条对称轴.S=②菱形既是 对称图形,又是 图形,它有 条对称轴.S= =二、基础诊断题1．如图．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误．．的是（ ） A ．AB ∥DC B ．AC=BD C ．AC ⊥BD D ．OA=OC2．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为（ ） A ．3 B ．3.5 C ．2.5 D ．2.83. 如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ．BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是（ ） A ．B ．C ．D ．三、典型例题2题图3题图1题图图1例题1（2014年浙江嘉兴）已知：如图，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．（1）求证：△DOE≌△BOF．（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFED为菱形？请说明理由．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF （ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．例题2（2014•湘潭）如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；（2）求∠EBC．将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．四、达标检测题 （一）基础检测一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）1．已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ） A ．12cm2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 22．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，3cos 5A =，BE=2，则tan ∠DBE 的值是（ ） A ．12B ．2C 4．下列命题中的真命题是（ ）A ．三个角相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 D ．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形５．如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA ′B ′C ′的位置，则点B ′的坐标为（） A ．，）B ．（） C ．（） D ．2题图ECBA3题图 5题图二、填空题6．在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)7．如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH ＝ ．8. 如图：矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______． 9．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .10．如图，已知菱形ABCD 的一个内角︒=∠80BAD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在AB 上，且BO BE =，则EOA ∠= 度．三、解答题11. 如图，已知E 是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F ．（1）求证：△ABE ≌△FCE ．（2）连接AC ．BF ，若∠AEC=2∠ABC ，求证：四边形ABFC 为矩形．10题图D7题图8题图9题图12.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．（二）能力提升1、（2014•丽水）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B 为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形2、（2014年山东烟台）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28° B．52° C．62°D．72°3、（2014•呼和浩特）已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE5、（2014•德州）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2．以上结论中，你认为正确的有（）个．和AD的延长线于点E、F，AE=3，则四边形AECF的周长为（）7、（2014•毕节地区）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）8、（2014•十堰）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）9、（2014年浙江嘉兴）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好经过点D，则CD的长为（）10（2014•苏州）如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若AE•ED=，则矩形ABCD的面积为．11、（2014年江苏南京）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形？为什么？12、（2014•白银）D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O 是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G 、F 、E ．（1）如图，当点O 在△ABC 的内部时，求证：四边形DGFE 是平行四边形；（2）若四边形DGFE 是菱形，则OA 与BC 应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）五、课后反馈1. 如图：矩形纸片ABCD ，AB=2，点E 在BC 上，且AE=EC ，若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是__________.2．如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =5．过对角线交点Ｏ作OE AC 交AD 于E ，则AE 的长是( ) A ．1.6B ．2.5C ．3D ．3.43 .如图所示，矩形ABCD 中，AB =4，BC=E 是折线段A －D －C 上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，使△PCB 为等腰三角形的点E 的位置共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个A BCDPE3题图BAD4题图C1题图2题图4 .如图，菱形ABCD 的周长是16，∠A =60°，则对角线BD 的长度为（ ） A ．2 B． C ． 4 D．5.下列命题是真命题的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．一组邻边相等的四边形是菱形C ．四个角是直角的四边形是正方形D ．对角线相等的梯形是等腰梯形 6. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ） A1 BCD ．527. 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH 的各边分别与半圆相切且平行于AB 或BC ，则矩形EFGH 的周长是 ．8 .如图1，在菱形ABCD 中，AC=2，BD=2 3 ，AC ，BD 相交于点O ． （1）求边AB 的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD 的顶点A 处，绕点A 左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC ，CD 相交于点E ，F ，连接EF 与AC 相交于点G ．①判断△AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由；③ 转过程中，当点E 为边BC 的四等分点时（BE ＞CE ），求CG 的长．6题图7题图A B C D 第9题图 l 1 l 2 l 3 l 4α9. .已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻的两条平行直线间的距离均 为h ，矩形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB ＝4，BC ＝6，则tan α的值等于A ．23B ．34C ．43D ．3210.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝4，∠AOD ＝120°， 求AC 的长.11. 如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠ABC ＝67.5°，△ABD 和△ABC 关于AB 所在的直线对称，点M 为边AC 上的一个动点（不与点A ，C 重合），点M 关于AB 所在直线的对称点为N ，△CMN 的面积为S ．（1）求∠CAD 的度数；（2）设CM ＝x ，求S 与x 的函数表达式，并求x 为何值时S 的值最大？（3）S 的值最大时，过点C 作EC ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，连接EN （如图2）．P 为线段EN 上一点，Q 为平面内一点，当以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出．．．．所有满足条件的NP 的长．12.如图，O ⊙的半径为1，ABC ∆是O ⊙的内接等边三角形， 点D ，E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是A ．2 B．3 C ．23D ．2313、（1）如图，在四边形ABCD 是矩形，点E 是AD 的中点，求证：EC EB =（2）如图，AB 与O ⊙相切于C ，B A ∠=∠，O ⊙的半径为6，AB ＝16，求OA 的长.ADC 第10题图N第11题图1 AN第11题图2ADEAB CDE．O第12题图。

2020年中考总复习专题新定义一．选择题（共2小题）1．已知点A在函数y1＝﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2＝kx+1+k（k为常数，且k ≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对2．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1二．填空题（共5小题）3．定义一种新运算：新定义运算a*b＝a×（a﹣b）3，则3*4的结果是．4．已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为．5．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为．6．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣2，﹣3}＝﹣3，若min{（x+1）2，x2}＝1，则x＝．7．已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是三．解答题（共8小题）8．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）＝，求满足D（m）是完全平方数的所有m．9．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．10．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展：如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．11．阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）＝（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）＝+2x（x＜0），f（﹣1）＝+（﹣2）＝﹣1，f（﹣2）＝+（﹣4）＝﹣（1）计算：f（﹣3）＝，f（﹣4）＝；（2）猜想：函数f（x）＝+2x（x＜0）是函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．12．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）求d（点D，△ABC）＝；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；（2）若d（L，△ABC）＝0．直接写出k的取值范围；（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．13．在平面直角坐标系中，将一个点（横坐标与纵坐标不相等，且均不为0）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”（填“都能”或“都不能”）在一个反比例函数的图象上；（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（2，﹣5），求直线MN的表达式；（3）在抛物线y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y ＝﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“X 矩形”．下图为点P，Q的“X矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点B，C的“X矩形”的面积为．（2）点M，N的“X矩形”是正方形，①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围．15．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．专题新定义参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．已知点A在函数y1＝﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2＝kx+1+k（k为常数，且k ≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对【解答】解：设A（a，﹣），由题意知，点A关于原点的对称点B（﹣a，）在直线y2＝kx+1+k上，则＝﹣ak+1+k，整理，得：ka2﹣（k+1）a+1＝0 ①，即（a﹣1）（ka﹣1）＝0，∴a﹣1＝0或ka﹣1＝0，则a＝1或ka﹣1＝0，若k＝0，则a＝1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k≠0，则a＝1或a＝，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选：A．2．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c ＝x的两个不相等实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：则，解得c＜﹣2，故选：B．二．填空题（共5小题）3．定义一种新运算：新定义运算a*b＝a×（a﹣b）3，则3*4的结果是﹣3．【解答】解：∵a*b＝a×（a﹣b）3，∴3*4＝3×（3﹣4）3＝3×（﹣1）3＝3×（﹣1）＝﹣3，故答案为：﹣3．4．已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为2．【解答】解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，所以这两条平行线之间的距离为2．故答案为2．5．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为x＝3．【解答】解：根据题意可得：y＝x+m﹣2，∵“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，∴m﹣2＝0，解得：m＝2，则关于x的方程变为+＝1，解得：x＝3，检验：把x＝3代入最简公分母2（x﹣1）＝4≠0，故x＝3是原分式方程的解，故答案为：x＝3．6．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣2，﹣3}＝﹣3，若min{（x+1）2，x2}＝1，则x＝1或﹣2．【解答】解：当（x+1）2＜x2，即x＜﹣时，方程为（x+1）2＝1，开方得：x+1＝1或x+1＝﹣1，解得：x＝0（舍去）或x＝﹣2；当（x+1）2＞x2，即x＞﹣时，方程为x2＝1，开方得：x＝1或x＝﹣1（舍去），综上，x＝1或﹣2，故答案为：1或﹣27．已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是﹣7.5【解答】解：∵a1＝﹣2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，∴这个数列以﹣2，，，依次循环，且﹣2+＝﹣，∵100÷3＝33…1，∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣））﹣2＝﹣＝﹣7.5，故答案为﹣7.5．三．解答题（共8小题）8．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）＝，求满足D（m）是完全平方数的所有m．【解答】解：（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，任意一个“极数”都是99的倍数，理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴百位数字为（9﹣x），千位数字为（9﹣y），∴四位数n为：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x＝9900﹣990y﹣99x＝99（100﹣10y﹣x），∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，∴100﹣10y﹣x是整数，∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍数，即：任意一个“极数”都是99的倍数；（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴m＝99（100﹣10y﹣x），∵m是四位数，∴m＝99（100﹣10y﹣x）是四位数，即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，∵D（m）＝＝3（100﹣10y﹣x），∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303∵D（m）完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能，∴D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．9．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．【解答】解：∵y＝x2﹣4，∴其顶点坐标为（0，﹣4），∵y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，∴（0，﹣4）在一次函数y＝﹣x+p的图象上，∴﹣4＝0+p．∴p＝﹣4，∴一次函数为：y＝﹣x﹣4，∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0），∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|＝4，∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为：．（2）设函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝n，∴，∵函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，∴，解得，n＝﹣3，∴函数y＝x2+2x+n为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），∵y＝x2+2x+n是y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数，∴﹣4＝﹣m﹣3，∴m＝1．10．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展：如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．【解答】解：（1）矩形或正方形；（2）AC＝BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴P A＝PD，PC＝PB，∴∠P AD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，∴∠DPB＝2∠P AD，∠APC＝2∠PBC，即∠P AD＝∠PBC，∴∠APC＝∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC＝BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B＝∠EBD′，∴EB＝ED′，设EB＝ED′＝x，由勾股定理得：42+（3+x）2＝（4+x）2，解得：x＝4.5，过点D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴＝，即＝，解得：D′F＝，∴S△ACE＝AC×EC＝×4×（3+4.5）＝15；S△BED′＝BE×D′F＝×4.5×＝，则S四边形ACBD′＝S△ACE﹣S△BED′＝15﹣＝10；（ii）当∠D′BC＝∠ACB＝90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，∴四边形ECBD′是矩形，∴ED′＝BC＝3，在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE＝＝，∴S△AED′＝AE×ED′＝××3＝，S矩形ECBD′＝CE×CB＝（4﹣）×3＝12﹣3，则S四边形ACBD′＝S△AED′+S矩形ECBD′＝+12﹣3＝12﹣．11．阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）＝（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）＝+2x（x＜0），f（﹣1）＝+（﹣2）＝﹣1，f（﹣2）＝+（﹣4）＝﹣（1）计算：f（﹣3）＝﹣，f（﹣4）＝﹣；（2）猜想：函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．【解答】解：（1）∵f（x）＝+2x（x＜0），∴f（﹣3）＝+2×（﹣3）＝﹣，f（﹣4）＝+2×（﹣4）＝﹣故答案为：﹣，﹣；（2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＜f（﹣3）∴函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数，故答案为：增；（3）设x1＜x2＜0，∵f（x1）﹣f（x2）＝+2x1﹣﹣2x2＝（x1﹣x2）（2﹣）∵x1＜x2＜0，∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数．12．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）求d（点D，△ABC）＝1；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；（2）若d（L，△ABC）＝0．直接写出k的取值范围；（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．【解答】解：（1）一次函数y＝kx+2的图象与y轴交点D（0，2），d（点D，△ABC）表示点D到△ABC的最小距离，就是点D到点A的距离，即：AD＝2﹣1＝1，∴d（点D，△ABC）＝1当k＝1时，直线y＝x+2，此时直线L与AB所在的直线平行，且△ABC和△DOE均是等腰直角三角形，d（L，△ABC）表示直线L到△ABC的最小距离，就是图中的AF，在等腰直角三角形ADF中，AD＝1，AF＝1×＝d（L，△ABC）＝故答案为：1，；（2）若d（L，△ABC）＝0．说明直线L：y＝kx+2与△ABC有公共点，因此有两种情况，即：k＞0或k＜0，仅有一个公共点时如图所示，即直线L 过B点，或过C点，此时可求出k＝2或k＝﹣2，根据直线L与△ABC有公共点，∴k≥2或k≤﹣2，答：若d（L，△ABC）＝0时．k的取值范围为：k≥2或k≤﹣2．（3）函数y＝x+b的图象W与x轴、y轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函数y＝x+b的图象与AB平行，当d（W，△ABC）＝1时，如图所示：在△AGM中，AG＝GM＝1，则AM＝，OM＝1+，M（0，1+）；即：b＝1+；同理：OQ＝OP＝1+，Q（0，﹣1﹣），即：b＝﹣1﹣，若d（W，△ABC）≤1，即b的值在M、N之间∴﹣1﹣≤b≤1+答：若d（W，△ABC）≤1，b的取值范围为﹣1﹣≤b≤1+．13．在平面直角坐标系中，将一个点（横坐标与纵坐标不相等，且均不为0）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”都能（填“都能”或“都不能”）在一个反比例函数的图象上；（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（2，﹣5），求直线MN的表达式；（3）在抛物线y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y ＝﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【解答】解：（1）任意一对“互换点”都能在一个反比例函数的图象上．理由如下：设A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则k＝ab．根据“互换点”的意义，可知A（a，b）的“互换点”是（b，a）．∵ba＝ab＝k，∴（b，a）也在反比例函数y＝的图象上．故答案为：都能；（2）∵M、N是一对“互换点”，点M的坐标为（2，﹣5），∴N（﹣5，2）．设直线MN的表达式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线MN的表达式为y＝﹣x﹣3；（3）∵点A在反比例函数y＝﹣的图象上，∴设A（k，﹣），∵A，B是一对“互换点”，∴B（﹣，k），设直线AB的解析式为y＝mx+n，∵直线AB经过点P（，），∴，解得，∴A（2，﹣1），B（﹣1，2），或A（﹣1，2），B（2，﹣1）．将A、B两点的坐标代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴此抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“X 矩形”．下图为点P，Q的“X矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点B，C的“X矩形”的面积为6．（2）点M，N的“X矩形”是正方形，①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围0＜r＜3﹣或r＞．【解答】解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将A（0，6）、B（4，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6．当x＝2时，y＝﹣x+6＝3，∴点C的坐标为（2，3），∴点B，C的“X矩形”的面积＝（4﹣2）×（3﹣0）＝6．故答案为：6．（2）①∵点M，N的“X矩形”是正方形，∴∠ABO＝45°，∴点B的坐标为（6，0），直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6．∵点M到y轴的距离为3，∴点M的坐标为（3，3）．∵点M，N的“X矩形”的面积为4，∴点N的横坐标为3﹣2＝1或3+2＝5，∴点N的坐标为（1，5）或（5，1）．∴经过点N的反比例函数的表达式为y＝．②如图1，取AB的中点E，当点E为MN的中点时，⊙O与点M，N的“X矩形”相交有最小值，此时r＝OE﹣MN＝3﹣，∴0＜r＜3﹣；如图2，当点N与点B重合（或点M与点A重合）时，⊙O与点M，N的“X矩形”相交有最大值，∵MN＝3，∴BF＝MN＝．在Rt△OBF中，OB＝6，BF＝，∴OF＝＝，∴r＞．故答案为：0＜r＜3﹣或r＞．15．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∠F AB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴，∵QB＝3，∴NC＝5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10．第21页（共21页）。