选修常考大题知识点总结

一、选择题1．下列属于合金材料的是A．硬铝B．陶瓷C．橡胶D．棉麻答案：A解析：A．硬铝指铝合金中以Cu为主要合金元素的，故A正确；B．陶瓷主要成分硅酸盐，不属于合金材料，故B错误；C．橡胶属于高分子有机化合物，故C错误；D．棉麻主要是天然纤维素，故D错误；故选A。

2．下列关于①苯②乙醇③乙酸④葡萄糖等有机物的叙述中，不正确的是A．可以用新制的氢氧化铜悬浊液鉴别③与④B．只有②③能与金属钠反应C．①、②、③、④均能发生取代反应D．一定条件下，④可以转化为②答案：B解析：A．新制的氢氧化铜悬浊液与乙酸反应，沉淀溶解，与葡萄糖加热反应，生成砖红色沉淀，故可以鉴别，故A项正确；B．葡萄糖里也存在羟基，也可以和金属钠反应，故B项错误；C．苯、乙醇、乙酸、葡萄糖均可以发生取代反应，故C项正确；D．葡萄糖可用于酿酒，即葡萄糖转化为乙醇，故D项正确；故答案为B。

3．下列说法正确的是（）A．棉花、花生油、蛋白质都属于高分子化合物B．向淀粉溶液中加入硫酸溶液，加热后滴入几滴新制氢氧化铜悬浊液，再加热至沸腾，未出现红色物质，说明淀粉未水解C．将无机盐硫酸铜溶液加入到蛋白质溶液中会出现沉淀，这种现象叫做盐析D．油脂在热NaOH溶液中完全水解后加入饱和食盐水，可观察到液面上有固体析出答案：D解析：A．棉花为纤维素、蛋白质都属于高分子化合物，花生油是高级脂肪酸甘油酯，不是高分子化合物，故A错误；B．在加入新制氢氧化铜悬浊液之前需要加入NaOH溶液中和未反应的稀硫酸，否则不产生砖红色沉淀，故B错误；C．硫酸铜是重金属盐，加入到蛋白质溶液中，是蛋白质发生变性，故C错误；D．油脂在热NaOH溶液中完全水解后产生高级脂肪酸盐和甘油，加入饱和食盐水,能够降低高级脂肪酸盐的溶解度，而高级脂肪酸盐的密度比水小，在常温下为固体物质，因此可观察到液面.上有固体析出，故D正确；故选D。

4．下列说法不正确的是A．异戊烷的沸点比新戊烷的高，乙醇的沸点比二甲醚的高B．甲烷、苯、硬脂酸甘油酯均不能使溴水或酸性高锰酸溶液褪色C．油脂与酸作用生成高级脂肪酸盐和甘油的反应称为皂化反应，产物高级脂肪酸盐可用制造肥皂D．75％酒精、“84“消毒液、甲醛溶液等可使蛋白质变性答案：C解析：A．碳原子数相同的烷烃，支链越多熔沸点越低，所以异戊烷的沸点比新戊烷的高；乙醇分子之间能形成氢键，分子间作用力强于二甲醚，所以沸点高于二甲醚，故A正确；B．甲烷、苯、硬脂酸甘油酯均不含碳碳双键或碳碳三键，不能与溴发生加成反应使溴水褪色，也不能被酸性高锰酸钾氧化使高锰酸钾溶液褪色，故B正确；C．油脂与碱作用生成高级脂肪酸盐和甘油的反应称为皂化反应，故C错误；D．酒精、甲醛均会破坏蛋白质的结构，“84“消毒液可以氧化蛋白质，三者都可以使蛋白质变性，故D正确；综上所述答案为C。

物理选修3—3知识点总结习题总汇一、分子动理论1、物质是由大量分子组成的 （1）单分子油膜法测量分子直径（2）1m o l 任何物质含有的微粒数相同2316.0210AN m o l -=⨯ （3）对微观量的估算①分子的两种模型：球形和立方体（固体液体通常看成球形，空气分子占据的空间看成立方体） ②利用阿伏伽德罗常数联系宏观量与微观量 a.分子质量：m olA M m N =b.分子体积：m o lAV v N =c.分子数量：A A A Am o l m o l m o l m o lM v M vn N N N N M M V V ρρ==== 2、分子永不停息的做无规则的热运动（布朗运动 扩散现象）（1）扩散现象：不同物质能够彼此进入对方的现象，说明了物质分子在不停地运动，同时还说明分子间有间隙，温度越高扩散越快（2）布朗运动：它是悬浮在液体中的固体微粒的无规则运动，是在显微镜下观察到的。

①布朗运动的三个主要特点：永不停息地无规则运动；颗粒越小，布朗运动越明显；温度越高，布朗运动越明显。

②产生布朗运动的原因：它是由于液体分子无规则运动对固体微小颗粒各个方向撞击的不均匀性造成的。

③布朗运动间接地反映了液体分子的无规则运动，布朗运动、扩散现象都有力地说明物体内大量的分子都在永不停息地做无规则运动。

（3）热运动：分子的无规则运动与温度有关，简称热运动，温度越高，运动越剧烈 3、分子间的相互作用力分子之间的引力和斥力都随分子间距离增大而减小。

但是分子间斥力随分子间距离加大而减小得更快些，如图1中两条虚线所示。

分子间同时存在引力和斥力，两种力的合力又叫做分子力。

在图1图象中实线曲线表示引力和斥力的合力(即分子力)随距离变化的情况。

当两个分子间距在图象横坐标r 距离时，分子间的引力与斥力平衡，分子间作用力为零，r 的数量级为1010-m ，相当于r 位置叫做平衡位置。

当分子距离的数量级大于m 时，分子间的作用力变得十分微弱，可以忽略不计了 4、温度宏观上的温度表示物体的冷热程度，微观上的温度是物体大量分子热运动平均动能的标志。

一、选择题1．在一密闭容器中，用等物质的量的A 和B 发生如下反应：A(g)+2B(g)⇌2C(g)，反应达到平衡时，若混合气体A 和B 的物质的量之和与C 的物质的量相等，则这时A 的转化率为： A ．40%B ．50%C ．60%D ．70%答案：A解析：根据题中A(g)+2B(g)⇌2C(g)可知，本题考查化学平衡时转化率，运用转化率等于变化量除以投入量分析。

【详解】设起始时A 和B 的物质的量分别为nmol ，反应达到平衡时A 转化了n 1mol ：111111起始（mol ）n n 0转化（mo A(g)+l ）n 2n 2n 平衡（mol ）n-n 2B(g)2C n-2n (g)2n ，n －n 1＋n －2n 1＝2n 1，n 1＝2n 5，X 的转化率为2n 5×100%=40%n ，A 项正确，故选A 。

2．下列叙述不正确的是A ．Zn(s)+CuSO 4(aq)=ZnSO 4(aq)+Cu(s)△H =-216kJ•mol -1，则反应总能量＞生成物总能量B ．常温下反应2Na 2SO 3(s)+O 2(g)=2Na 2SO 4(s)能自发进行，则△H ＜0C ．CaCO 3(s)=CaO(s)+CO 2(g)△H ＞0，△S ＞0，则不论在何种条件下都不可能自发D ．已知C(s)+O 2(g)=CO 2(g)△H 1；C(s)+12O 2(g)=CO(g)△H 2；则△H 1＜△H 2 答案：C 【详解】A ．反应Zn(s)+CuSO 4(aq)=ZnSO 4(aq)+Cu(s)△H =-216kJ•mol -1、是放热反应，则反应物总能量大于生成物总能量，故A 正确；B ．反应2Na 2SO 3(s)+O 2(g)=2Na 2SO 4(s)的熵变△S ＜0，常温下反应2Na 2SO 3(s)+O 2(g)=2Na 2SO 4(s)能自发进行，则△H -T △S ＜0，即△H ＜T △S ＜0，故B 正确；C ．CaCO 3(s)=CaO(s)+CO 2(g) △H ＞0，△S ＞0，则该反应在高温下能自发进行，故C 错误；D ．C(s)+O 2(g)=CO 2(g)△H 1，C(s)+12O 2(g)=CO(g)△H 2，则|△H 1|＞|△H 1|，但燃烧反应的焓变为负，所以△H 1＜△H 2，故D 正确；3．在恒容密闭容器中发生反应2SiHCl 3（g ）SiH 2Cl 2（g ）＋SiCl 4（g ）。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一知识点归纳总结(精华版)单选题1、已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点与抛物线y 2=2px(p >0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD|=√2|AB|．则双曲线的离心率为（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．3答案：A分析：设公共焦点为(c,0)，进而可得准线为x =−c ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得a 2=12c 2，再由双曲线离心率公式即可得解. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与抛物线y 2=2px(p >0)的公共焦点为(c,0)，则抛物线y 2=2px(p >0)的准线为x =−c ，令x =−c ，则c 2a 2−y 2b 2=1，解得y =±b 2a ，所以|AB|=2b 2a , 又因为双曲线的渐近线方程为y =±b a x ，所以|CD|=2bc a ， 所以2bc a =2√2b 2a ，即c =√2b ，所以a 2=c 2−b 2=12c 2，所以双曲线的离心率e =c a =√2.故选：A. 2、已知四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，CM CB =13，PN =ND ，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，则向量MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 用{a ,b ⃑ ,c }为基底表示为（ ）A ．a +13b ⃑ +12cB ．−a +16b ⃑ +12c C ．a −13b ⃑ +12c D ．−a −16b ⃑ +12c 答案：D分析：由图形可得MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +CD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，根据比例关系可得MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12DP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，再根据向量减法DP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，代入整理并代换为基底向量．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +CD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12DP ⃑⃑⃑⃑⃑ =13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(AP ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )=−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −16AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AP ⃑⃑⃑⃑⃑ 即MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−a −16b ⃑ +12c 故选：D ．3、已知直线l 的倾斜角为60∘，且经过点(0,1)，则直线l 的方程为（ ）A ．y =√3xB ．y =√3x −2C ．y =√3x +1D ．y =√3x +3答案：C分析：先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.由题意知：直线l 的斜率为√3，则直线l 的方程为y =√3x +1.故选：C.4、在矩形ABCD 中，O 为BD 中点且AD =2AB ，将平面ABD 沿对角线BD 翻折至二面角A −BD −C 为90°，则直线AO 与CD 所成角余弦值为（ ）A ．√55B ．√54C ．3√525D ．4√225 答案：C分析：建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AO 与CD 所成角余弦值.在平面ABD 中过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ；在平面CBD 中过C 作CF ⊥BD ，垂足为F .由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ，所以AE ⊥平面BCD ，CF ⊥平面ABD ，设AB =1,AD =2，12×BD ×AE =12×AB ×AD ⇒AE =√5OE =√OA 2−AE 2=2√5， 同理可得CF =√5OF =2√5， 以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2√5√5),√52√50),D(−√52,0,0)， CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√510,2√50)，设AO 与CD 所成角为θ，则cosθ=|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CD ⃑⃑⃑⃑⃑ |OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|CD ⃑⃑⃑⃑⃑ ||=320√52×12=3√525.故选：C5、如果AB >0且BC <0，那么直线Ax +By +C =0不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C分析：通过直线经过的点来判断象限.由AB >0且BC <0，可得A,B 同号，B,C 异号，所以A,C 也是异号；令x =0，得y =−C B >0；令y =0，得x =−C A >0；所以直线Ax +By +C =0不经过第三象限.故选：C.6、在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ,AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，则a ⋅(b ⃑ +c )的值为（）A ．1B ．0C ．-1D ．-2答案：B分析：由正方体的性质可知AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 两两垂直，从而对a ⋅(b ⃑ +c )化简可得答案由题意可得AB ⊥AD,AB ⊥AA 1,所以a ⊥b ⃑ ,a ⊥c ，所以a ⋅b ⃑ =0,a ⋅c =0，所以a ⋅(b ⃑ +c )=a ⋅b ⃑ +a ⋅c =0，故选：B7、动点P 在抛物线x 2=4y 上，则点P 到点C (0,4)的距离的最小值为（ ）A ．√3B ．2√3C ．12√3D ．12答案：B分析：设出点P 坐标，用两点间距离公式表达出点P 到点C (0,4)的距离，配方后求出最小值.设P (x,x 24)，则|PC |=√x 2+(x 24−4)2=√116(x 2−8)2+12，当x 2=8时，|PC |取得最小值，最小值为2√3 故选：B8、如图，在直三棱柱ABC −AB 1C 1中，AC =3,BC =4,CC 1=3,∠ACB =90∘ ，则BC 1与A 1C 所成的角的余弦值为（ ）A ． 3√210B ． √33C ． √24D ． √55答案：A分析：建立空间直角坐标系，写出CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，由夹角公式可得结果.如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A 1(3,0,3)，B (0,4,0)，C 1(0,0,3)，所以CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,0,3)，BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−4,3)，所以cos⟨CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=3√2×5=3√210， 所以直线BC 1与A 1C 所成角的余弦值为3√210．故选：A.9、如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝a ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ,OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，点M 在OA 上，且OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，N 为BC 中点，则MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ （ ）A ．12a −23b ⃑ +12cB ．−23a +12b ⃑ +12c C ．12a +12b ⃑ −12c D ．−23a +23b ⃑ −12c 答案：B分析：由向量的加法和减法运算法则计算即可．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +OC ⃑⃑⃑⃑⃑ )−23OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =−23a +12b ⃑ +12c 故选：B10、若圆x 2+y 2=1上总存在两个点到点(a,1)的距离为2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−2√2,0)∪(0,2√2)B ．(−2√2,2√2)C ．(−1,0)∪(0,1)D ．(−1,1)答案：A分析：将问题转化为圆(x−a)2+(y−1)2=4与x2+y2=1相交，从而可得2−1<√a2+12<2+1，进而可求出实数a的取值范围.到点(a,1)的距离为2的点在圆(x−a)2+(y−1)2=4上，所以问题等价于圆(x−a)2+(y−1)2=4上总存在两个点也在圆x2+y2=1上，即两圆相交，故2−1<√a2+12<2+1，解得−2√2<a<0或0<a<2√2，所以实数a的取值范围为(−2√2,0)∪(0,2√2)，故选：A．填空题11、过圆C:(x−1)2+y2=1外一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.若△PAB为等边三角形，则过D(2，1)的直线l被P点轨迹所截得的最短弦长为________.答案：2√2分析：先根据∠APC＝30°，可得P点轨迹方程为圆，再数形结合可知当l与CD垂直时，l被圆所截得的弦长最短，结合垂径定理计算即可=2，所以P点轨迹的由题意知C(1,0)，连接PC，因为△PAB为等边三角形，所以∠APC＝30°，所以|CP|=1sin30∘方程为(x−1)2+y2=4.因为(2−1)2+12=2<4，所以点D(2，1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部.连接CD，结合图形可知，当l与CD垂直时，l被圆(x−1)2+y2=4所截得的弦长最短，最短弦长为2√4−CD2=2√4−2=2√2所以答案是：2√212、已知集合A={(x,y)|2x−(a+1)y−1=0}，B={(x,y)|ax−y+1=0}，且A∩B=∅，则实数a的值为___________.答案：1分析：利用已知条件可得直线2x−(a+1)y−1=0与直线ax−y+1=0平行，利用线线平行的结论，代入求解即可.∵集合A={(x,y)|2x−(a+1)y−1=0}，B={(x,y)|ax−y+1=0}，且A∩B=∅，∴直线2x−(a+1)y−1=0与直线ax−y+1=0平行，即−2=−a(a+1)，且2≠−a，解得a=1.所以答案是：1.13、点P为直线3x−4y+2=0上任意一个动点，则P到点(3,−1)的距离的最小值为___________.答案：3分析：先判断出当点P和点(3,−1)的连线和直线3x−4y+2=0垂直时距离最小，再由点(3,−1)到直线的距离求解即可.由题意得当点P和点(3,−1)的连线和直线3x−4y+2=0垂直时距离最小，此时距离等于点(3,−1)到直线3x−4y+2=0的=3，故P到点(3,−1)的距离的最小值为3.距离√32+(−4)2所以答案是：3.14、如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点Р到直线CC1的距离的最小值为_______.答案：4√55##45√5 分析：建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点Р到直线CC 1距离的函数关系，再求其最小值作答. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,4,0),D 1(0,0,4),E(2,4,0),C 1(0,4,4)，CE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0),CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,4),ED 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,−4,4)，因点P 在线段D 1E 上，则λ∈[0,1]，EP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λED 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2λ,−4λ,4λ)，CP ⃑⃑⃑⃑⃑ =CE ⃑⃑⃑⃑⃑ +EP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2−2λ,−4λ,4λ)，向量CP ⃑⃑⃑⃑⃑ 在向量CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 上投影长为d =|CP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=4λ， 而|CP⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(2−2λ)2+(−4λ)2+(4λ)2，则点Р到直线CC 1的距离 ℎ=√|CP ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−d 2=2√5λ2−2λ+1=2√5(λ−15)2+45≥4√55，当且仅当λ=15时取“=”， 所以点Р到直线CC 1的距离的最小值为4√55. 所以答案是：4√55 15、在直角坐标系中，若A (2,1)、B (1,2)、C (0,y )(y ∈R )，则|AC |+|BC |的最小值是______．答案：√10分析：作点A 关于y 轴的对称点M (−2,1)，由对称性可得|AC |=|MC |，再利用当点C 为线段BM 与y 轴的交点时，|AC |+|BC |取最小值可得结果.由题意可知，点C 在y 轴上，点A 关于y 轴的对称点为M (−2,1)，由对称性可得|AC |=|MC |，所以，|AC |+|BC |=|MC |+|BC |≥|MB |=√(1+2)2+(2−1)2=√10，当且仅当点C 为线段BM 与y 轴的交点时，等号成立，故|AC |+|BC |的最小值为√10.所以答案是：√10.解答题16、如图，已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是AD 1，BD ，B 1C 的中点，利用向量法证明：（1）MN ∥平面CC 1D 1D ；（2）平面MNP ∥平面CC 1D 1D ．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.分析：（1）建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用直线的方向向量和平面的法向量的数量积为0进行证明；（2）证明两个平面有相同的一个法向量即可..（1）证明：以D 为坐标原点，DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，DC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，DD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A (2，0，0)，C (0，2，0)，D (0，0，0)，M (1，0，1)，N (1，1，0)，P (1，2，1).由正方体的性质，知AD ⊥平面CC 1D 1D ，所以DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(2，0，0)为平面CC 1D 1D 的一个法向量.由于MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(0，1，－1)， 则MN →·DA →＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥DA ⃑⃑⃑⃑⃑ . 又MN ⊄平面CC 1D 1D ，所以MN ∥平面CC 1D 1D.（2）证明：因为DA⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(2，0，0)为平面CC 1D 1D 的一个法向量， 由于MP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(0，2，0)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(0，1，－1)， 则{MP →·DA →=0MN →·DA →=0，即DA⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(2，0，0)也是平面MNP 的一个法向量， 所以平面MNP ∥平面CC 1D 1D.17、已知x 21−k −y 2|k|−3=−1，当k 为何值时：(1)方程表示双曲线；(2)表示焦点在x 轴上的双曲线；(3)表示焦点在y 轴上的双曲线．答案：(1)k ＜－3或1＜k ＜3；(2)1＜k ＜3；(3)k ＜－3.分析：利用双曲线标准方程中的分母的正负，即可得出结论．（1）∵x 21−k −y 2|k|−3=−1，即x 2k−1+y 2|k |−3=1，方程表示双曲线，∴(k －1)(|k |－3)＜0，可得k ＜－3或1＜k ＜3；（2）∵x 21−k −y 2|k|−3=−1，即x 2k−1+y 2|k |−3=1，焦点在x 轴上的双曲线，则{k −1＞03−|k|＞0， ∴1＜k ＜3；（3）∵x 21−k −y 2|k|−3=−1，即x 2k−1+y 2|k |−3=1，焦点在y 轴上的双曲线，则{|k|−3＞01−k ＞0， ∴k ＜－3．18、已知圆C 过点A (3,1),B (5,3)，圆心在直线y =x 上.（1）求圆C 的方程.（2）判断点P (2，4)与圆C 的关系答案：（1）(x −3)2+(y −3)2=4；（2）P 在圆C 内部.分析：(1)由给定条件设出圆心C (a,a )、半径r ，进而写出圆的标准方程，再列出关于a ，r 的方程组即可得解(2)求出点P 与点C 的距离，再将它与r 比较即可得解.（1）由题意设圆心为C (a,a )，半径为r ，则圆的标准方程为(x −a)2+(y −a )2=r 2，由题意得{(3−a)2+(1−a )2=r 2(5−a)2+(3−a )2=r2 ，解得{a =3r =2 ， 所以圆C 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=4；（2）由(1)知|PC |=√(3−2)2+(3−4)2=√2<rP (2，4)在圆C 内.19、如图，四边形ABCD 中，满足AB //CD ，∠ABC =90°，AB =1，BC =√3，CD =2，将△BAC 沿AC 翻折至△PAC ，使得PD =2.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PAD 所成角的正弦值.答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）√155. 分析：（Ⅰ）过B 作BO ⊥AC ，垂足为O ，连PO ，DO ，作DE ⊥AC ，垂足为E ，易得PO ⊥AC ，通过勾股定理可得PO ⊥OD ，即可得PO ⊥平面ACD ，进而可得结果；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，平面PAD 的法向量，利用向量法即可得结果.（Ⅰ）过B 作BO ⊥AC ，垂足为O ，连PO ，DO ，则PO ⊥AC ，作DE ⊥AC ，垂足为E ，则DE =√3，OE =12，DO =√132所以PO 2+DO 2=PD 2，即PO ⊥OD又AC ∩DO =O ，所以PO ⊥平面ACD ，又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）以O 为坐标原点，OC ，BO 所在的直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系 则A (−12,0,0)，C (32,0,0)，D (12,√3,0)，P (0,0,√32)， AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,√3,0)，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,0,√32) 设平面PAD 的法向量为n ⃑ =(a,b,c)，则{AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =12a +√32c =0AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =a +√3b =0 取法向量n ⃑ =(√3,−1,−1)，CD⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,√3,0) 设直线CD 与平面PAD 所成角为θ，则sinθ=|cos <CD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >|=√155.。

高二选修必背知识点总结高二是学生学习生涯中非常重要的一年，对于选修科目的学习更是需要下大功夫。

为了帮助同学们更好地掌握选修科目的知识点，以下是高二选修必背的知识点总结。

一、数学1. 三角函数- 基本概念与性质- 三角函数的图像与性质- 三角函数的基本关系式- 三角函数的恒等变换2. 函数与导数- 函数的定义与性质- 函数图像的绘制与性质分析- 导数的定义与性质- 函数的极值与最值- 函数的单调性与凹凸性3. 三角恒等式与向量- 常见的三角恒等式及证明- 向量的基本概念与运算法则- 向量的数量积与向量积- 向量与直线的关系4. 概率与统计- 随机事件与概率的基本概念- 组合与排列的计算- 事件的相互独立与互斥- 离散型与连续型随机变量的概念与性质 - 统计图表的制作与分析二、物理1. 力学- 牛顿定律与力的合成- 加速度与运动方程- 弹力与重力的计算- 动量与动能的转化- 物体在斜面上的运动2. 热学- 温度、热量与热平衡- 定压与定容的热容- 热量传递的方式与速率- 理想气体状态方程及其应用 - 热力学第一、第二定律的应用3. 光学- 光的反射与折射定律- 凸透镜与凹透镜的成像规律 - 光的波动性与光的粒子性- 光的干涉、衍射与偏振4. 电学- 电荷、电场与电势- 平行板电容器与电容的计算- 欧姆定律与电路中的功率- 频率与周期的关系- 电磁感应与电动势三、化学1. 元素周期表- 元素周期表的构成与特点- 周期表的分组及元素的周期性变化规律 - 元素周期性与元素化学性质的关系2. 化学反应- 反应平衡与化学平衡常数- 反应速率与反应机理- 化学反应的能量变化与热力学定律- 酸碱中的氢离子浓度与pH值的计算3. 有机化学- 有机化合物的命名与结构- 各类有机反应的机理及实际应用- 烃类、醇类、酮类等有机物的性质与应用 - 聚合反应及聚合物的制备与应用4. 物质的分子结构- 分子的立体构型与键的性质- 分子式与结构式的转化与计算- 分析化学中的定量分析方法- 离子反应与溶液的溶解度四、生物1. 生物基础知识- 细胞的结构与功能- 遗传与基因的传递- 动物进化与植物生长发育 - 生物圈与物种多样性2. 植物学- 植物的组织结构与生长发育 - 植物的光合作用与呼吸作用 - 植物的种子繁殖与无性繁殖 - 植物与环境的关系3. 动物学- 动物的组织结构与生理功能 - 动物的运动与行为特征- 动物的生殖与发育过程- 动物与环境的相互关系综上所述，以上是高二选修科目中必须要掌握的知识点总结。

高中物理选修3-3大题知识点及经典例题气体压强的产生与计算1．产生的原因：由于大量分子无规则运动而碰撞器壁，形成对器壁各处均匀、持续的压力，作用在器壁单位面积上的压力叫做气体的压强。

2．决定因素(1)宏观上：决定于气体的温度和体积。

(2)微观上：决定于分子的平均动能和分子的密集程度。

3．平衡状态下气体压强的求法(1)液片法：选取假想的液体薄片(自身重力不计)为研究对象，分析液片两侧受力情况，建立平衡方程，消去面积，得到液片两侧压强相等方程，求得气体的压强。

(2)力平衡法：选取与气体接触的液柱(或活塞)为研究对象进行受力分析，得到液柱(或活塞)的受力平衡方程，求得气体的压强。

(3)等压面法：在连通器中，同一种液体(中间不间断)同一深度处压强相等。

液体内深h处的总压强p＝p0＋ρgh，p0为液面上方的压强。

4．加速运动系统中封闭气体压强的求法选取与气体接触的液柱(或活塞)为研究对象，进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解。

考向1 液体封闭气体压强的计算若已知大气压强为p0，在图2－2中各装置均处于静止状态，图中液体密度均为ρ，求被封闭气体的压强。

图2－2[解析]在甲图中，以高为h的液柱为研究对象，由二力平衡知p甲S＝－ρghS＋p0S所以p甲＝p0－ρgh在图乙中，以B液面为研究对象，由平衡方程F上＝F下有：p A S＋ρghS＝p0Sp乙＝p A＝p0－ρgh在图丙中，仍以B液面为研究对象，有p A′＋ρgh sin 60°＝p B′＝p0所以p丙＝p A′＝p0－32ρgh在图丁中，以液面A为研究对象，由二力平衡得p丁S＝(p0＋ρgh1)S所以p丁＝p0＋ρgh1。

[答案]甲：p0－ρgh乙：p0－ρgh丙：p0－32ρgh1丁：p0＋ρgh1考向2 活塞封闭气体压强的求解如图2－3中两个汽缸质量均为M，内部横截面积均为S，两个活塞的质量均为m，左边的汽缸静止在水平面上，右边的活塞和汽缸竖直悬挂在天花板下。

一、选择题1．为了使(NH 4)2SO 4溶液中()()+-442NH SOc c 接近2:1，可采取的措施是A ．加热B ．加适量NaOH(s)C ．加水D ．通HCl答案：D解析：使(NH 4)2SO 4溶液中()()+-442NH SO c c 接近2:1，则4NH +基本上不发生水解。

【详解】A ．水解过程为吸热过程，所以加热将导致4NH +的水解程度增大，使()()+-442NH SOc c 小于2:1，A 不符合题意；B ．加适量NaOH(s)，会与4NH +反应，从而消耗c (4NH +)，使()()+-442NH SOc c 小于2:1，B 不符合题意；C ．加水稀释，4NH +的水解程度增大，浓度减小，物质的量减小，所以()()+-442NH SOc c 小于2:1，C 不符合题意；D ．通HCl ，增大溶液中的c (H +)，从而抑制4NH +水解，使溶液中()()+-442NH SOc c 接近2:1，D 正确； 故选D 。

2．以酚酞为指示剂，用0.1000mol/L 的NaOH 溶液滴定20.00mL 未知浓度的二元酸H 2A 溶液。

溶液中，pH 、分布系数δ随滴加NaOH 溶液体积V(NaOH)的变化关系如图所示。

[比如A 2-的分布系数：δ(A 2-)=2--2-2c(A )c(H A)+c(HA )+c(A )]下列叙述不正确的是A ．曲线①代表δ(HA -)，曲线②代表δ(A 2-)B ．HA -的电离常数K=1.0×10-5C ．H 2A 溶液的浓度为0.1000mol/LD ．滴定终点时，溶液中c(Na +)=2c(A 2-)+2c(HA -) 答案：B 【详解】A ．在未加NaOH 溶液时，曲线①的分布系数与曲线②的分布系数之和等于1，且δ曲线①一直在减小，曲线②在一直增加；说明H 2A 第一步完全电离，第二步存在电离平衡，即H 2A=HA -+H +，HA -⇌A 2-+H +，曲线①代表δ(HA -)；当加入用0.1000 mol•L -1的NaOH 溶液40.00 mL 滴定后，发生NaHA+NaOH=Na 2A+H 2O ，HA -的分布系数减小，A 2-的分布系数在增大，且曲线②在一直在增加，在滴定终点后与③重合，所以曲线②代表δ(A 2-)，故A 正确；B ．由于H 2A 第一步完全电离，则HA -的起始浓度为0.1000 mol/L ，根据图象，当V(NaOH)=0时，HA -的分布系数为0.9，溶液的pH=1，A 2-的分布系数为0.1，则HA -的电离平衡常数K a=()()()2c A c H c HA -+-⋅=0.1000mol /L 0.10.1000mol /L 0.1000mol /L 0.9⨯⨯⨯≈1×10-2，故B 错误；C ．当加入40.00 mLNaOH 溶液时，溶液的pH 发生突变，到达滴定终点，说明NaOH 和H 2A 恰好完全反应，根据反应2NaOH+H 2A=Na 2A+2H 2O ，n (NaOH)=2n (H 2A)，c (H 2A)=0.1000mol /L 40mL220mL⨯⨯=0.1000 mol/L ，故C 正确；D ．用酚酞作指示剂，酚酞变色的pH 范围为8.2～10，终点时溶液呈碱性，c (OH -)＞c (H +)，溶液中的电荷守恒，c (H +)+c (Na +)=2c (A 2-)+c (OH -) +c (HA -)，则c (Na +)＞2c (A 2-)+c (HA -)，故D 错误； 故选B 。

高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题一、2-2数列的概念、数列的通项公式及递推公式1. 数列的概念数列是按照一定规律排列的一系列数，一般用字母 an 表示第n 个数。

2. 数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的位置 n，直接求出该位置上的数 an 的公式。

通项公式可以是一个数学式子，也可以是一个算法。

3. 数列的递推公式数列的递推公式是指通过数列前一项或前几项的值，推导出数列下一项的公式。

递推公式是数列中相邻两项之间的关系式。

4. 常见数列的通项公式和递推公式- 等差数列：an = a1 + (n-1)d （通项公式），an = an-1 + d （递推公式）- 等比数列：an = a1 * q^(n-1) （通项公式），an = an-1 * q （递推公式）- 斐波那契数列：an = an-1 + an-2 （递推公式）二、2-3数列的求和、数列的性质及应用1. 数列的求和- 等差数列的前 n 项和：Sn = (a1 + an) * n / 2- 等比数列的前 n 项和（q ≠ 1）：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) - 斐波那契数列的前 n 项和：Sn = Fn+2 - 12. 数列的性质- 常数列：数列中的每一项都是一个常数。

- 奇数列：数列中的每一项都是奇数。

- 偶数列：数列中的每一项都是偶数。

- 单调递增数列：数列中的每一项都比前一项大。

- 单调递减数列：数列中的每一项都比前一项小。

- 正项数列：数列中的每一项都是正数。

- 负项数列：数列中的每一项都是负数。

3. 数列的应用- 利用数列的递推关系，求解实际问题中的特定数值。

- 利用数列的性质，进行数学推理和证明。

- 利用数列的规律，设计算法解决问题。

典型例题：1. 已知等差数列的前三项分别为 1，5，9，求数列的通项公式和第 n 项的值。

解：设数列的首项为 a，公差为 d，则有以下等差数列的递推公式：a2 = a1 + d = 1 + da3 = a2 + d = (1 + d) + d = 1 + 2d将 a1，a2，a3 分别代入等差数列的通项公式，可得：a1 = a = 1a2 = a + d = 1 + d = 5 --> d = 4a3 = a1 + 2d = 1 + 2(4) = 9所以该等差数列的通项公式为 an = a + (n-1)d = 1 + 4(n-1) = 4n - 3第 n 项的值为：an = 4n - 32. 求等差数列 3，6，9，...，101 的前 n 项和。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一知识点归纳超级精简版单选题1、已知直线l 过定点A (2,3,1)，且方向向量为s ⃑=(0,1,1)，则点P (4,3,2)到l 的距离为（ ）A ．3√22B ．√22C ．√102D ．√2 答案：A分析：本题首先可根据题意得出AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，然后求出|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|与|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅s ⃑|s ⃑||，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果. 因为A (2,3,1)，P (4,3,2)，所以AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(2,0,1)， 则|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√5，|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅s ⃑|s ⃑||=√22， 由点到直线的距离公式得d =√|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅s ⃑|s ⃑||2=3√22， 故选：A.2、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案：D分析：平移直线AD 1至BC 1，将直线PB 与AD 1所成的角转化为PB 与BC 1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC 1,PC 1,PB ，因为AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1或其补角为直线PB 与AD 1所成的角，因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥PC 1，又PC 1⊥B 1D 1，BB 1∩B 1D 1=B 1，所以PC 1⊥平面PBB 1，所以PC 1⊥PB ，设正方体棱长为2，则BC 1=2√2,PC 1=12D 1B 1=√2，sin∠PBC 1=PC 1BC 1=12，所以∠PBC 1=π6.故选：D3、已知F 1,F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2=60°,|PF 1|=3|PF 2|，则C 的离心率为（）A ．√72B ．√132C ．√7D ．√13答案：A分析：根据双曲线的定义及条件，表示出|PF 1|,|PF 2|，结合余弦定理可得答案.因为|PF 1|=3|PF 2|，由双曲线的定义可得|PF 1|−|PF 2|=2|PF 2|=2a ，所以|PF 2|=a ，|PF 1|=3a ；因为∠F 1PF 2=60°,由余弦定理可得4c 2=9a 2+a 2−2×3a ⋅a ⋅cos60°，整理可得4c 2=7a 2，所以e 2=c 2a 2=74，即e =√72.故选：A小提示：关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c 间的等量关系是求解的关键.4、如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑＝a ⃑,OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑,OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=c ⃑，点M 在OA 上，且OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，N 为BC 中点，则MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑（ ）A ．12a ⃑−23b ⃑⃑+12c ⃑B ．−23a ⃑+12b ⃑⃑+12c ⃑ C ．12a ⃑+12b ⃑⃑−12c ⃑D ．−23a ⃑+23b ⃑⃑−12c ⃑ 答案：B分析：由向量的加法和减法运算法则计算即可．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)−23OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−23a ⃑+12b ⃑⃑+12c ⃑ 故选：B5、已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，其中F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．(0,14]B ．(14,1)C ．(12,1)D ．[12,1)答案：D分析：先由椭圆的定义结合已知求得|PF 1|,|PF 2|，再由|PF 1|−|PF 2|≤|F 1F 2|求得a,c 的不等关系，即可求得离心率的取值范围.由椭圆的定义得|PF 1|+|PF 2|=2a ，又∵|PF 1|=3|PF 2|，∴|PF 1|=32a ，|PF 2|=12a ，而|PF 1|−|PF 2|≤|F 1F 2|=2c ，当且仅当点P 在椭圆右顶点时等号成立，即32a −12a ≤2c ，即a ≤2c ，则e =c a ≥12，即12≤e <1.故选：D ．6、如图，下列各正方体中，O 为下底面的中心，M ，N 为顶点，P 为所在棱的中点，则满足MN ⊥OP 的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A 分析：根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点O (1,1,0)，对于A ，M (0,0,2),N (2,0,0),P (2,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,-1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，MN ⊥OP ，A 是；对于B ，M (2,0,2),N (0,2,2),P (0,2,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,2,0),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(-1,1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =4≠0，MN 与OP 不垂直，B 不是；对于C ，M (0,2,2),N (0,0,0),P (2,1,2)，MN →=(0,-2,-2),OP →=(1,0,2)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，C 不是；对于D ，M (2,2,2),N (0,2,0),P (0,0,1)，MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，D 不是.故选：A7、已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB:DC =2:1，则三角形ABD 面积的最小值是（ ）A ．43(√3−1)B ．43(√3+1)C ．4√33D ．√33 答案：A分析：建立直角坐标系，设D(x,y)，写出A,B,C 的坐标，利用DB:DC =2:1列式得关于x,y 的等式，可得点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB 的方程，计算|AB |和点D 距离直线AB 的最小距离d −r ，代入三角形面积公式计算.以BC 的中点O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,√3)，B (−1,0)，C (1,0)，设D (x,y )，因为DB:DC =2:1，所以(x +1)2+y 2=4(x −1)2+4y 2，得(x −53)2+y 2=169， 所以点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大，已知直线AB 的方程为：√3x −y +√3=0，|AB |=2，点D 距离直线AB 的最小距离为：d −r =|5√33+√3|2−43=4√33−43，所以△ABD面积的最小值为S△ABD=12×2×(4√33−43)=43(√3−1).故选：A8、已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2−4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A．1B．2C．√3D．√5答案：C分析：由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=√|PD|2−1，所以当|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果如图，连接PD，圆D：(x−2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=√|PD|2−1，所以当四边形PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=−2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．故(S四边形PADB )min=(√|PD|2−1)min=√3．故选：C9、如果复数z满足|z+1−i|=2，那么|z−2+i|的最大值是（）A．√13+2B．2+√3C．√13+√2D．√13+4答案：A分析：复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离．∵|CM|=√32+22=√13．∴|z−2+i|的最大值是√13+2．故选：A．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z+1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2．10、动点P，Q分别在抛物线x2=4y和圆x2+y2−8y+13=0上，则|PQ|的最小值为（）A．2√3B．√3C．12√3D．32√3答案：B分析：设P(x0,14x02)，根据两点间距离公式，先求得P到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.设P(x0,14x02)，圆化简为x2+(y−4)2=3，即圆心为（0,4），半径为√3，所以点P到圆心的距离d=√(x0−0)2+(14x02−4)2=√116(x02)2−x02+16，令t=x02，则t≥0，令f(t)=116t2−t+16，t≥0，为开口向上，对称轴为t=8的抛物线，所以f(t)的最小值为f(8)=12，所以d min=√12=2√3，所以|PQ|的最小值为d min−√3=2√3−√3=√3.故选：B填空题11、已知圆x2+y2+2x−4y−5=0与x2+y2+2x−1=0相交于A､B两点，则公共弦AB的长是___________. 答案：2分析：两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.解：由题意AB所在的直线方程为：(x2+y2+2x−4y−5)−(x2+y2+2x−1)=0，即y=−1，因为圆x2+y2+2x−1=0的圆心O(−1,0)，半径为r=√2，所以，圆心O(−1,0)到直线y=−1的距离为1，所以|AB|=2√2−12=2.所以答案是：212、与双曲线x29−y216=1有共同渐近线，且经过点A(−3,2√3)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为___________.答案：2分析：由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.解：根据题意，设双曲线方程为x 29−y216=λ，将点(−3,2√3)代入双曲线方程，解得λ=14.所以，经过点A(−3,2√3)的双曲线方程为：4x 29−y24=1，故4x 29−y24=1的一个焦点坐标为(52,0),一条渐近线方程为y=43x，即4x−3y=0，所以，焦点到一条渐近线的距离是√9+16=2，所以答案是：213、设点M在直线2x+y−1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为______________．答案：(x−1)2+(y+1)2=5分析：设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在⊙M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.[方法一]：三点共圆∵点M在直线2x+y−1=0上，∴设点M为(a,1−2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴√(a−3)2+(1−2a)2=√a2+(−2a)2=R，a2−6a+9+4a2−4a+1=5a2，解得a=1，∴M(1,−1)，R=√5，⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.所以答案是：(x−1)2+(y+1)2=5[方法二]：圆的几何性质由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线2x+y−1=0的交点(1,-1).R=√5, ⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.所以答案是：(x−1)2+(y+1)2=514、已知椭圆C:x24+y23=1的左､右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点，则|MN|−|MF1|的最小值为___________.答案：2√2−5分析：首先根据椭圆的定义将|MN|−|MF1|的最小值转化为|MN|+|MF2|−4，再根据|MN|≥|ME|−1（当且仅当M、N、E共线时取等号），最后根据|ME|+|MF2|≥|EF2|求得|MN|−|MF1|的最小值.如图，由M为椭圆C上任意一点，则|MF1|+|MF2|=4又N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点，则|MN|≥|ME|−1（当且仅当M、N、E共线时取等号），∴|MN|−|MF1|=|MN|−(4−|MF2|)=|MN|+|MF2|−4≥|ME|+|MF2|−5≥|EF2|−5，当且仅当M、N、E、F2共线时等号成立.∵F2(1,0)，E(3,2)，则|EF2|=√(3−1)2+(2−0)2=2√2，∴|MN|−|MF1|的最小值为2√2−5．所以答案是：2√2−5．小提示：思路点睛；本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据椭圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结合解题的类型，考查学生的转化与化归思想，属于较难题.15、如图，已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l 与x轴的交点，则△DAB的面积S的取值范围为______．答案：(4,+∞)分析：设A, B 坐标和直线AB 的方程，让直线AB 方程与抛物线进行联立可得x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2=1，接着利用弦长公式求出|AB |，再求出点D 到直线AB 的距离，最后利用三角形的面积公式即可求出答案由抛物线C:y 2=4x 可得焦点F (1,0)，准线方程为x =−1，D (−1,0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，直线AB 的方程为y =k (x −1)(k ≠0)，由{y =k (x −1)y 2=4x，可得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，则x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2=1， 所以|AB |=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(2+4k 2)2−4=4(1+k 2)k 2， 直线AB 的一般方程为kx −y −k =0，点D (−1,0)到直线AB 的距离d =√k 2+1，所以S =12d ⋅|AB |=√1+k 2⋅4(1+k 2)k 2=4√1k 2+1>4， 所以△DAB 的面积S 的取值范围为(4,+∞)，所以答案是：(4,+∞)解答题16、已知△ABC 的三个顶点分别为A(−2，0)，B(2，0)，C(0，2)．（1）若过P(1，2)的直线y =ax +b 将△ABC 分割为面积相等的两部分，求b 的值；（2）一束光线从E(1，0)点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射到x 轴上的F 点，最后再经x 轴反射，反射光线所在直线为l ，证明直线l 经过一定点，并求出此定点的坐标．答案：（1）b =2−23√3；（2）证明见解析，(−1，−4)． 分析：（1）结合图形分析可得直线y =ax +b 的斜率大于直线PA 的斜率，由此可得直线y =ax +b 只能与BC 、AB 相交，设其与BC 的交点为Q 点，与x 轴的交点为R ，根据题设条件得到比例关系，列方程求b ；（2）设F(m ，0)，结合光线反射的性质求出直线ED 的斜率，由此可得直线l 的方程，进而可得定点坐标.（1）直线BC 的方程为：x +y―2=0，直线y =ax +b 只能与BC 、AB 相交，其与BC 的交点为Q 点，由{y =ax +b x +y =2得y Q =b+2a 1+a ，y Q >0， 直线y =ax +b 与x 轴交点为R (−b a ，0)，−2<b a <2，由|BR ||BQ ||BA ||CB |=12，即√2|2+b a ||b+2a 1+a |4×2√2=12， 化简得：(b +2a)2=4a (a +1)，又b +a =2， ∴3b 2−12b +8=0，解得：b =2±23√3， 而a =2−b >0，∴b =2−23√3．（2）设F(m ，0)，直线AC 的方程为：x −y +2=0，直线BC 的方程为：x +y −2=0，设F(m ，0)关于直线AC 的对称点为F 1(x 1，y 1)，则{m+x 12−y 12+2=0y 1x 1−m =−1 ，解得F 1(−2，m +2)，同理可得F 1关于直线BC 的对称点为F 2(−m ，4)，则F 2在直线ED 上，所以直线ED 的斜率为4−m−1，∴l 的斜率为4m+1，l 方程为y =4m+1(x −m )，即m (y +4)=4x −y ，∴l 过定点(−1，−4)．17、如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC =BC =BB 1，D 为AB 的中点．试用向量的方法证明：(1)BC 1⊥AB 1；(2)BC 1//平面A 1CD ．答案：(1)证明见解析(2)证明见解析分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量的方法证得结论成立.（2）利用向量的方法证得结论成立.（1）建立如图所示空间直角坐标系，设AC =BC =BB 1=2，则B (0,2,2),C 1(0,0,0),A (2,0,2),B 1(0,2,0)，BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(0,−2,−2),AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−2,2,−2),BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0，所以BC 1⊥AB 1.（2）BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(0,−2,−2)，D (1,1,2),A 1(2,0,0),C (0,0,2),DA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(1,−1,−2),A 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−2,0,2)，设平面A 1CD 的法向量为n ⃑⃑=(x,y,z )，则{n ⃑⃑⋅DA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=x −y −2z =0n ⃑⃑⋅A 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−2x +2z =0，故可令n ⃑⃑=(1,−1,1)， BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅n⃑⃑=0，所以BC 1//平面A 1CD .18、已知抛物线T ：y 2=2px （p ∈N +）和椭圆C ：x 25+y 2=1，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点.(1)若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；(2)若MN 恰好被AB 平分，求△OAB 面积的最大值答案：(1)4(2)3√22．分析：（1）求出椭圆焦点，得抛物线焦点，从而得p 的值；（2）设直线l 方程为x =my +p 2，代入抛物线方程，结合韦达定理得中点坐标，根据椭圆的弦中点性质得出一个参数值，由中点在椭圆内部得出另一个参数的范围，然后求出三角形面积，得出最大值．（1）在椭圆中，c =√a 2−b 2=2， 所以p 2=2，p =4； （2）设直线l 方程为x =my +p 2，代入抛物线方程得y 2−2mpy −p 2=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，AB 中点为G(x 0,y 0)，则y 1+y 2=2mp ，y 1y 2=−p 2，y 0=y 1+y 22=mp ，x 0=m 2p +p 2，设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4)，则{x 325+y 32=1x 425+y 42=1 ，两式相减得(x 3+x 4)(x 3−x 4)5+(y 3+y 4)(y 3−y 4)=0， 所以2x 0(x 3−x 4)5+2y 0(y 3−y 4)=0，k MN =y 3−y 4x 3−x 4=−x 05y 0，k MN =−1m ， 所以−15×m 2p+p 2mp =−1m ，解得m 2=18，点G 在椭圆内部，所以(m 2p+p 2)25+(mp)2<1，得p 2<6413， 因为p ∈N +，所以p =1或p =2，S △OAB =12×p 2|y 1−y 2|=p 4√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=p 4√4m 2p 2+4p 2=3√28p 2， p =1时，S △OAB =3√28，p =2时，S △OAB =3√22， 所以△OAB 面积的最大值为3√22． 小提示：本题考查求抛物线的方程，考查直线民椭圆、抛物线相交问题，考查圆锥曲线中的面积问题．解题方法采用设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，代入曲线方程后应用韦达定理，求得弦中点坐标，弦长等，把这个结论代入其他条件可求得参数关系，参数值，参数范围等．即设参数，利用韦达定理把目标用参数表示，进而求最值，证明一些结论．本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，对学生的要求较高，属于难题．19、已知直线l 1与直线l 2:3x +4y −5=0平行，直线l 1与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线l 1的方程. 答案：3x +4y ±12√2=0分析：设直线的方程为3x +4y +c =0，求出截距后可求面积，从而可求直线的方程.设直线l 1的方程为3x +4y +c =0.令y =0，得x =−c 3；令x =0，得y =−c 4.由题设得12|−c 3|⋅|−c 4|=12.解得c =±12√2，因此直线l 1的方程为3x +4y ±12√2=0.。

高中数学选修一综合测试题知识点总结归纳单选题1、动点P 在抛物线x 2=4y 上，则点P 到点C (0,4)的距离的最小值为（ ） A ．√3B ．2√3C ．12√3D ．12 答案：B分析：设出点P 坐标，用两点间距离公式表达出点P 到点C (0,4)的距离，配方后求出最小值.设P (x,x 24)，则|PC |=√x 2+(x 24−4)2=√116(x 2−8)2+12，当x 2=8时，|PC |取得最小值，最小值为2√3 故选：B2、在平面直角坐标系中，四点坐标分别为A (2,0),B(3,2−√3),C(1,2+√3), D (4,a )，若它们都在同一个圆周上，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．√3 答案：C分析：设出圆的一般式x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，根据A (2,0),B(3,2−√3),C(1,2+√3),求出{D =−4E =−4F =4，然后将点D (4,a )带入圆的方程即可求得结果. 设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，由题意得{22+02+2D +F =032+(2−√3)2+3D +(2−√3)E +F =012+(2+√3)2+D +(2+√3)E +F =0，解得{D =−4E =−4F =4 ，所以x 2+y 2−4x −4y +4=0，又因为点D (4,a )在圆上，所以42+a 2−4×4−4a +4=0，即a =2. 故选：C.3、“a =1”是“直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A分析：直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直得到a∈R，再利用充分必要条件的定义判断得解. 因为直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直，所以1×(a)+a×(−1)=0，所以a∈R.所以a=1时，直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直，所以“a=1”是“直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直”的充分条件；当直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直时，a=1不一定成立，所以“a=1”是“直线x+ay−1= 0与直线ax−y+1=0相互垂直”的非必要条件.所以“a=1”是“直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直”的充分非必要条件.故选：A小提示：方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.4、已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，则AB的中点M到C的准线l的距离的最小值为（）A．2B．4C．5D．6答案：B分析：设出直线AB的方程x=my+2，联立后利用弦长公式表达出AB，求出AB长度的最小值，再利用抛物线的定义来进行转化，得到AB的中点M到C的准线l的距离为AB的一半，进而求出点M到C的准线l的距离的最小值.如图，分别过点A ，M ，B 作准线的垂线，垂足分别为C ，D ，E ， 则|MD |=|AC |+|BE |2=|AF |+|BF |2=|AB |2设直线AB 的方程为x =my +2，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2). 联立{x =my +2y 2=8x ，整理得y 2−8my −16=0，则y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−16.|AB |=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=8(1+m 2)⩾8∴|MD |⩾4. 故选：B.5、平面α的一个法向量是n ⃗ =(12,−1,13)，平面β的一个法向量是m ⃗⃗ =(−3,6,−2)，则平面α与平面β的关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直 答案：C分析：由题设知m ⃗⃗ =−6n ⃗ ，根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面β的位置关系. ∵平面α的一个法向量是n ⃗ =(12,−1,13)，平面β的一个法向量是m ⃗⃗ =(−3,6,−2)， ∴ m ⃗⃗ =−6n ⃗ ，∴平面α与平面β的关系是平行或重合． 故选：C ．6、已知四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，CM CB=13，PN =ND ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用{a ,b ⃗ ,c }为基底表示为（ ）A ．a +13b ⃗ +12c B ．−a +16b ⃗ +12c C ．a −13b ⃗ +12c D ．−a −16b ⃗ +12c 答案：D分析：由图形可得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据比例关系可得MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据向量减法DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入整理并代换为基底向量．MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AP⃗⃗⃗⃗⃗ 即MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −16b ⃗ +12c故选：D ．7、已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程（ ）A ．x 2－y 28＝1(x ≤－1)B ．x 2－y 28＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≥1)D ．y 28－x 2＝1答案：A分析：根据双曲线定义求解|MC 1|=r +1,|MC 2|=r +3,则|MC 2|−|MC 1|=2 根据双曲线定义知M 的轨迹为x 2−y 28=1的左半支故选：A8、如图所示，在空间直角坐标系中，BC =2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC =90∘，∠DCB =30∘，则点D 的坐标为（ ）．A ．(0，−12，−√32) B ．(0，−12，√32) C ．(0，12，−√32) D ．(0，12，√32) 答案：B分析：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，然后在Rt △BDC 中求解. 过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，∠BDC =90∘，∠DCB =30∘，BC =2， 得|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1、|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3， 所以|DE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sin30∘=√32， 所以|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60∘=1−12=12， 所以点D 的坐标为(0，−12，√32)， 故选：B ． 多选题9、如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（）A．k1<k3<k2B．k3<k2<k1C．α1<α3<α2D．α3<α2<α1答案：AD分析：根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论.解：如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则k2>k3>0，k1<0，故π2>α2>α3>0，且α1为钝角，故选：AD.小提示：本题考查直线的倾斜角与斜率，考查数形结合思想，是基础题.10、三棱锥A−BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n⃗1,n⃗2，若<n⃗1,n⃗2>=π3，则二面角A−BD−C 的大小可能为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6答案：BC分析：由二面角的大小与法向量夹角相等或互补即可求得结果. ∵二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，∴二面角A−BD−C的大小可能为π3或π−π3=2π3.故选：BC.11、已知点A是直线l:x+y−√2=0上一定点，点P、Q是圆x2+y2=1上的动点，若∠PAQ的最大值为90∘，则点A的坐标可以是A ．(0,√2)B ．(1,√2−1)C ．(√2,0)D ．(√2−1,1) 答案：AC解析：设点A 的坐标为(t,√2−t)，可得知当AP 、AQ 均为圆x 2+y 2=1的切线时，∠PAQ 取得最大值90∘，可得出四边形APOQ 为正方形，可得出|OA |=√2，进而可求出点A 的坐标. 如下图所示：原点到直线l 的距离为d =√2√12+12=1，则直线l 与圆x 2+y 2=1相切，由图可知，当AP 、AQ 均为圆x 2+y 2=1的切线时，∠PAQ 取得最大值，连接OP 、OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90∘，且∠APO =∠AQO =90∘，|OP |=|OQ |=1， 则四边形APOQ 为正方形，所以|OA |=√2|OP |=√2， 由两点间的距离公式得|OA |=√t 2+(√2−t)2=√2，整理得2t 2−2√2t =0，解得t =0或√2，因此，点A 的坐标为(0,√2)或(√2,0). 故选：AC.小提示：本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，考查利用角的最值来求点的坐标，解题时要找出直线与圆相切这一临界位置来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 填空题12、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间任一点，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则向量OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用a ，b ⃗ ，c 表示为________．答案：OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a −12b ⃗ +c .分析：根据向量的线性运算可得答案.解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴b ⃗ −a =−2(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −c )，∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a −12b ⃗ +c . 所以答案是：OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a −12b ⃗ +c . 13、在三棱锥O-ABC 中，OA ､OB ､OC 两两垂直，OA =3，OB =4，OC =5，D 是AB 的中点，则CD 与平面OAB 所成的角的正切值为___________. 答案：2分析：由已知建立空间直角坐标系，求出CD⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标和平面OAB 的法向量，由数量积公式可得CD 与平面OAB 所成的角的正弦值，再由三角函数平方关系和商数关系可得答案.因为OC 、OA 、OB 两两垂直， 所以以O 为原点，OA 、OB 、OC 分别为x 、y 、z 轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，连接CD ，所以A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,5)，D (32,2,0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,2,−5)，由于CO ⊥底面OAB ，所以CO ⃗⃗⃗⃗⃗ 是底面OAB 的法向量， 且CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−5)，设CD 与平面OAB 所成的角为θ(θ∈[0,π2])， 所以sinθ=|cos⟨CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩|=|CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗|CO ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=5×√4+25+4=√5，所以cosθ=√1−sin 2θ=√5，所以tanθ=sinθcosθ=2. 即CD 与平面OAB 所成的角正切值为2. 所以答案是：2.小提示：本题考查了线面角的求法，解题关键点是建立空间直角坐标系利用向量的数量积公式求解，考查了学生的空间想象力和计算能力.14、已知椭圆x24+y2=1，过P(1,12)点作直线l交椭圆C于A，B两点，且点P是AB的中点，则直线l的方程是__________.答案：x+2y−2=0分析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12+4y12=4，x22+4y22=4，∴(x1+x2)(x1−x2)+4(y1+y2)(y1−y2)=0．∵P(1,12)恰为线段AB的中点，即有x1+x2=2，y1+y2=1，∴(x1−x2)+2(y1−y2)=0，∴直线AB的斜率为k=y1−y2x1−x2=−12，∴直线AB的方程为y−12=−12(x−1)，即x+2y−2=0．由于P在椭圆内，故成立．所以答案是：x+2y−2=0．解答题15、在平面直角坐标系xOy中，已知四点A(0,1)，B(3,0)，C(1,4)，D(0,3).（1）这四点是否在同一个圆上?如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由；（2）求出到点A，B，C，D的距离之和最小的点P的坐标.答案：（1）四点A(0,1)，B(3,0)，C(1,4)，D(0,3)都在圆(x−2)2+(y−2)2=5上；（2）(12,5 2 ).分析：（1）设经过A，B，C三点的圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，代入点A，B，C的坐标可解得圆的方程，再判断点D是否在圆上即可；（2）由|PA|+|PC|≥|AC|，当且仅当点P在线段AC上时取等号，同理|PB|+|PD|≥|BD|，当且仅当点P在线段BD上时取等号，进而可得当点P为AC，BD交点时距离之和最小，故求AC，BD交点坐标即可.（1）设经过A，B，C三点的圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，{(0−a)2+(1−b)2=r2(3−a)2+(0−b)2=r2,(1−a)2+(4−b)2=r2解得a=2，b=2，r2=5因此，经过A，B，C三点的圆的方程为(x−2)2+(y−2)2=5.由于(0−2)2+(3−2)2=5，故点D也在这个圆上.因此，四点A(0,1)，B(3,0)，C(1,4)，D(0,3)都在圆(x−2)2+(y−2)2=5上. （2）因为|PA|+|PC|≥|AC|，当且仅当点P在线段AC上时取等号.同理，|PB|+|PD|≥|BD|，当且仅当点P在线段BD上时取等号.因此，当点P是AC和BD的交点时，它到A，B，C，D的距离之和最小.因为直线AC的方程为y=3x+1，直线BD的方程为y=−x+3，联立{y=3x+1y=−x+3,解得点P的坐标为(12,52).。