人教版数学九年级下课件：27.2.2 相似三角形的性质

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人教版义务教育教科书《数学》九年级下册27.2.2 相似三角形的性质(共18张PPT)

3. 如果两个相似三角形的面积之比为2:7，较大三角形一边上的高为7，则较小三角形对应边上的高为___1_4__ 。
课堂小结 1.知识小结：相似三角形的性质 2.探究过程：发现猜想验证
从特殊到一般
3.思想方法：类比，分类讨论
挑战自我
（1）如果把一个三角形的边长扩大为原来的5倍，那么周长扩大为原来的倍；
分别在BC和B'C'上，且 BF 1
BC m
,
BF
1
（m 1）,求证
AF k AF
BC m
A'
A
B F
C
B'
F'
C'
思考1：任意的对应线段的比值都等于相似比?
思考2：如何画出一般性的对应线段？
图形的相似变换：改变的过程中保持形状不变，
对应线段都扩大（或缩小）相同的倍数，这个数就叫做相似比。在相似三角形中，可以利用对应点（点都在三角形边上）确定对应线段。
C'
∵△ABC∽△A'B'C'
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
相似三角形性质定理：
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比。
∵△ABC∽△A′B′C′
∴
A A/
B F DE
C
B/ F‘ D/ E/
C/
探究：相似三角形对应线段的比——等于相似比
问题：如图，已知△ ABC∽ △ A'B'C' 相似比为k，点F和F'
∵ △ABC∽△A‘B’C‘，
根据以上探究，你能得出什么结论？
相似三角形面积的比等于相似比的平方.

数学：27.2.2相似三角形的应用举例课件(人教新课标九年级下)

（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）； MN 20m，MD 8m ，PN 24m （2）已知：，求（1）中的C点到胜利 M B 街口的距离CM．
步行街 D E
建筑物
光明巷
A
胜利街
P
N
Q
练习
1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?
C
E
请同学们自已解答并进行交流
D
例3：已知左，右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m。一个身高1.6m的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看见右边较高的树的顶端点C？
仰：视线在水平线以角上的夹角。
A B
D
E
C
4、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边 15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米．
5. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网球是直线运动)
B
D
C
E
BD EC 120 50 解得AB 100(米) DC 60 答：两岸间的大致距离为100米．
(方法二) 我们在河对岸选定一目标点A，在河的一边选点 D和 E，使DE⊥AD，然后选点B，作BC∥DE，与视线 EA相交于点C。此时，测得DE , BC, BD, 就可以求两岸间的大致距离AB了。 A 此时如果测得DE＝120米， BC＝60米，BD＝50米，求两岸间的大致距离AB． B

27.2.2 相似三角形的性质课件(共21张PPT)

∵ 四边形 ABCD 是平行四边形
∴ AD//BC，AD = BC，AE：BC=2：5.
∵△AEF∽△CBF， ∴ S△AEF：S△CBF = 4：25.
注意：
②当 AE：ED = 3：2时，AE：AD = 3：5，
AE： ED要分两种
同理可得， S△AEF：S△CBF = 9：25.
情况讨论.
27.2.2 相似三角形的性质
D'
C
C'
27.2.2 相似三角形的性质
（2）玻璃样品的角平分线和图纸上的角平分线相对应吗？如图，△ABC
∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应角平分线的比.
A
解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的角平分线
AD 和 A'D'，则∠BAD =∠B' A' D'
∵△ABC ∽△A′B′C′
∵△CEB的面积为9,∴△FDE的面积为1,∴△ABF的面积为4,
∴▱ABCD的面积＝9－1＋4＝12.
27.2.2 相似三角形的性质
课堂小结
对应角相等
相
似
三
角
形
的
性
质
对应边成比例
对应边的比叫做相似比
对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于
相似比.
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
(5)图纸中图形与三角形玻璃样品面积比也等于相似比吗？为什么？
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？
A
B
A'
C
B'
C'
27.2.2 相似三角形的性质

九年级下册数学(人教)课件：27.2.2 相似三角形的性质

7．已知△ABC∽△A′B′C′，且它们的周长之差为20，对应边上中线的比为2∶1，求△ABC和△A′B′C′的周长．解：依题意，得C△ABC：C△A′B′C′＝2∶1，又它们的周长之差为20， ∴△ABC的周长为40，△A′B′C′的周长为20.
知识点3：相似三角形面积的比等于相似比的平方
17．(2015·柳州)如图，矩形 EFGH 内接于△ABC，且边 FG 落在
BC
上．若
BC＝3，AD＝2，EF＝23EH，那么
EH
3 的长为__2____．
18．如图，在等腰△ABC中，点D，E分别是两腰AC，BC上的点，连接AE，BD相交于点O，∠1＝∠2. (1)求证：OD＝OE； (2)若AB＝3DE，△DCE的面积为2，求四边形ABED的面积．解：(1)∵△ABC是等腰三角形，∴AC＝BC，∴∠BAD＝∠ABE. 又∵AB＝BA，∠2＝∠1，∴△ABD≌△BAE(ASA)，∴BD＝AE. 又∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，∴BD－OB＝AE－OA，即OD＝OE；
3．如图，AB∥CD，AD，BC，EF三条线段相交于点O，且 EF⊥AB，若OOEF＝34，则OOAD＝__43___．
4．如图，已知△ABC∽△DEF，AG，BM分别为△ABC的高和中线，DH，EN分别为△DEF的高和中线，求证：AG·EN＝BM·DH.
解：∵△ABC∽△DEF，且相似三角形对应高、中线的比等于相似比，∴ADGH＝BEMN ，∴AG·EN＝BM·DH.
之比为( B )
A．3∶4 B．9∶16 C．9∶1 D．3∶1
10．(2015·东莞)若两个相似三角形的周长比为2∶3，则它们的面积比是___4_∶__9 __．
11．已知△ABC∽△DEF，ADBE＝23，△ABC的周长是12 cm，面积

九年级数学下册(人教版)课件 27.2.2 相似三角形的性质

◆知识导航 ◆典例导学 ◆反馈演练（ ◎第一阶 ◎第二阶 ◎第三阶）
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27.2.2+相似三角形的性质++课件++-2024-2025学年人教版九年级数学下册

位置情况进行分类. 注意多种情况的存在，利用相似找函
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一
块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边
′′

＝＝k
′′
相似比为k
感悟新知
知1－讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相相似三角
对应
似，得 △ABD ∽ 形对应高
高的
AD ， A′D′ 分别为 △A′B′D′ ，再由相的比等于
比
△ABC 和 △A′B′C′ 的似三角形的性质，相似比
－6
3

2
6
3 2
2
) ×24＝ x －
2
12x
＋24.
3
8
3
2
9
8
∴ y＝S△A1MN－S△A1EF＝ x2－( x2－12x＋24＝－ x2＋12x－
24(4 <x<8).
16
易知当x＝时，y最大＝8.
3
16
3
∵ 8>6，∴当x＝时，y最大，y 最大＝8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的

人教版九年级数学下册课件相似三角形的性质ppt

探究归纳
相似三角为k，问对题应：线如段果的△比A呢BC？∽△A′B′C形什′，的么相周关似长系比有？
对应边的比
对应高的比
对应中线的比
＝相似比k
对应角平分线的比
……
推广：相似三角形对应线段的比等于相似比．结论：相似三角形的周长比等于相似比．
在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
∴△DEF的边 EF 上的高为 1 6 3 ,
面积为 (1)212 53 5.
2
2
在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
应用提高
1．判断
（1）一个三角形的各边长扩大为原来
√ 的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来
在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
情境引入
三角形中有各种各样的几何量．如：三条边的长度三个内角的度数高、中线、角平分线的长度周长、面积等等
如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？
拓展提升
1．两个相似三角形的周长之比是2:3，它们的面积之差是60cm2 ，那么它们的面积之和是多少？
解：∵两个三角形的周长之比是2:3， ∴它们的相似比是2:3， ∴它们的题
意得：9x﹣4x＝60
解得 x＝12，∴9x+4x＝156
答：它们的面积之和是156cm2.
应用提高
例：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB＝2DE， AC＝2DF，∠A＝∠D．若△ABC 的边 BC 上的高是 6，面积为1 2 5 ，求△DEF 的边 EF上的高和面积．

九年级数学下册课件-27.2.2 相似三角形的性质4-人教版

B
CE
F ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F．
追求人品与学问共同进步
探究新知
问题2 全等三角形是相似三角形的特例，在研究全等三角形的性质时，我们除了研究了全等三角形的边和角的性质，还通过研究知道全等三角形对应高相等、对应中线相等、对应角平分线相等，全等三角形的周长相等、面积也相等．今天这节课，我们一起来研究相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的性质，研究相似三角形的周长、面积的性质．
追求人品与学问共同进步
总结提升
我们今天研究了相似三角形的哪些性质？我们是如何来探究新知的，这对我们今后学习有什么帮助？
追求人品与学问共同进步
布置作业
必做题：教材39页第2题，教材42页第6题
选做题：教材43页第12题
追求人品与学问共同进步
追求人品与学问共同进步
性质：相似三角形对应线段的比、周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
追求人品与学问共同进步
巩固提高
如图，在△ABC 和△DEF 中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，
△ABC 的边 BC 上的高是 6，面积是12 5 . A
D
求△DEF 的边 EF 上的高和面积．
如果两个三角形的周长之和为 90，B 求这两个三角形的周长.
D
∴ AB AC BC k ．
DE DF EF
B
CE
F
∴AB=kDE，AC=kDF，BC=kEF．
？ ∴ AB+AC BC kDE kDF kEF k. DE DF EF DE DF EF
追求人品与学问共同进步
探究新知
定理：相似三角形的周长之比等于相似比．
问题5 相似三角形的面积有怎样的性质？

初中九年级数学下册人教版27.2.2相似三角形的应用ppt课件

答:楼高36米.
2. 如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河宽AB．
解： ∵ AB∥CE ∴△ABD∽△ECD
BD AB DC EC
120 AB 60 50
AB=100m. 答：河宽AB为100m.
A
C
B
D
E
课堂小结
本节课我们学习了利用相似三角形来测量高度和宽度的
解:太阳光是平行的光线, 因此:∠BAO=∠EDF. 又 ∠AOB=∠DFE=900.
∴△ABO∽△DEF.
因此金字塔的高为134m.
一题多解
E
┐ F △ABO∽△AEF
还可以有其他方法测量吗？ B
平面镜
A
OB
OA
EF = AF
┐ O
OB =
OA ·EF AF
例4.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.
A
∠ABC＝∠ECD＝90°，所以 △ABD∽△ECD，
那么 AB = BD EC DC
解得AB = ?(米)
B
D
C
E
答：两岸间的大致距离为？米．
例5 、已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝6m和CD＝12m，两树的根部的距离BD ＝5m．一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？
交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。

九年级下册数学课件(人教版)相似三角形的性质

∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.
又∵AM,DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线,
∴∠BAM=∠EDN,
B
∴△AMB∽△DNE
(两角对应相等的两个三角形相似),
A MD C
AM AB k DN DE
(相似三角形对应边成比例). E
F N
你能证明相似三角形对应中线的比等于相似比吗？
相似三角形对应中线的比等于相似比.
′
′
′
′
课堂小结
掌握相似三角形的性质：（1）对应角相等，对应边成比例. （2）相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比. （3）相似三角形的周长比等于相似比. （4）相似三角形的面积比等于相似比的平方.
E
F
N
(相似三角形对应边成比例).
相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
如果△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，那么
AB BC CA k AB BC CA 由等比性质，得
AB BC CA k AB B C C A 定理：相似三角形的周长比等于相似比.
27.2.2 相似三角形的性质
学习目标
1.知道三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
2.知道相似三角形对应线段的比等于相似比. 3.知道相似三角形面积的比等于相似比的平方.
新课导入
1.什么叫做相似三角形？对应边成比例，对应角相等的三角形是相似三角形. 2.你有几种方法判定两个三角形是相似三角形？（1）两角分别相等的两个三角形相似.
随堂练习
1.已知两个三角形相似，请完成下列表格：

人教版数学九年级下册27.2.2相似三角形的性质课件

(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么?
2、如图，要在一块△ABC的纸片上截取正方形DEFG模型．其中点G，F在BC边上，点D，E分别在AB，AC边上，AH⊥BC交DE于点M，若BC＝12 cm，AH＝8 cm，求正方形DEFG的边长．
F
G
当堂检测：（一）
1、两个相似三角形的面积比是3∶4，则它们的对应边长之比是 ______，周长比是______。 2、两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm，则它们的对应角的平分线的比为 ______。 3、在△ABC中，DE∥BC，E、D分别在AC、AB上， EC=2AE，则S△ADE∶S四边形DBCE的比为______。
S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG=__ __。
A
Dபைடு நூலகம்
E
F
G
B
C
强化训练
1、如图所示，在等腰△ABC中，底边BC=60cm，高
AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么? (2)求正方形PQRS的边长. A
S
ER
B
PDQ
C
2、如图，要在一块△ABC的纸片上截取正方形DEFG 模型．其中点G，F在BC边上，点D，E分别在AB，AC 边上，AH⊥BC交DE于点M，若BC＝12 cm，AH＝8
原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.
高效自学，合作探究，探索相似三角形性质的解题方法和规律。高效自学，合作探究，探索相似三角形性质的解题方法和规律。 1、相似三角形的性质的探索过程？

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2、如图，点D、E分别是△ABC边AB、那么△ADE的周长︰△ABC的周长
＝_______ 1︰3 。
三、研读课文
知识点二相似三角形对应高的比、面积的比
知识点一
1、已知，如图，△ABC∽△A′B′C′ AD，A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的高，（1）相似三角形的对应高的比与相似比有什么关系? 写出推导过程。相等
3∶5 ，那么它们的相似比为_______ 3∶ 5 ，
周长的比为________ 3∶ 5 。
五、强化训练
3、在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？解：∵比例是6∶2 = 3∶1 ∴这次复印的放缩比例是300% 又∵面积比是9∶1 ∴这个多边形的面积扩大到9倍
(1)△ABC与△A′B′C′的对应边有什么关系？ AB BC CA k AB BC C A
三、研读课文
(2)若
AB BC CA k AB BC C A
,则
AB BC AC AB BC AC
的比值是否等于k ,为什么？解:∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为 k
A D
B
C E
F
三、研读课文
解：∵AB=2DE，AC=2DF
AB AC ∴ DE DF 2
A D
∵∠A=∠D B C E ∴ΔABC∽ΔDEF 设ΔDEF的周长为x，面积为y。又∵ΔABC的周长是24，面积是12 24 12 2 ∴ 22 x y ∴ x=12 y=3 ∴ΔDEF的周长是12，面积是3。
F
三、研读课文
1、两个相似三角形对应高的长分别是 6cm和18cm，若较大三角形的周长是 2 42cm，面积是12cm ，则较小三角形
4 2 的周长为____cm ，面积为____cm 。 14 3
2、在△ABC中，DE∥BC， EF∥AB，已知△ADE和 △EFC的面积分别为4和9， B 求△ABC的面积。
三、研读课文
（2）相似三角形对应边上的中线，对应角的平分线的比值与相似比有什么关系？相等结论: 相似三角形对应边上的中线，对相似比。应角的平分线的比等于______
S ABC (3)若 = k ，则的 S AB C 2 比值与 k 有什么关系？等于k
AB BC CA AB BC CA
三、研读课文
相似比。归纳相似三角形周长的比等于______ 用类似的方法，还可以得出：相似比。相似多边形周长的比等于_______ 练一练
1、如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的____ 5 倍。
三、研读课文
AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，
2
理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；
能用三角形的性质解决简单的问题．
3
三、研读课文
认真阅读课本本节的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
知识点一
知识点一相似三角形的周长比
1、已知，如图，△ABC∽△A′B′C′， A A' 探究下列问题:
B C B' C'
结论: 相似比的平方。相似三角形面积的比等于___________
三、研读课文
用类似的方法，可以把两个相似多边形分成若干对相似三角形，因此可以得出：相似多边形面积的比等于___________ 相似比的平方。 2、（教材P52例6）如图，在ΔABC 和 ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF， ∠A=∠D，ΔABC的周长是24，面积是 12，求ΔDEF的周长和面积。
第二十七章
相似三角形
第七课时
27.2.2 相似三角形的性质
一、新课引入
1、相似三角形有哪些性质？
2、什么叫做相似比？
答：1、相似三角形的性质有：
①相似三角形的对应角相等；
②相似三角形的对应边的比等于相似比。
2、相似多边形对应边的比叫做相似比。
二、学习目标
1 相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比；
三、研读课文
解:(1)∵△ABC∽△A′B′C′ ∴
AB BC CA k AB BC C A
∠B=∠ B′
又∵AD⊥BC A′D′⊥B′C′ ∴∠ADB=∠ A′D′B′=90° ∴△ABD∽△A′B′D′ AD AB ∴ k AD AB
结论: 相似三角形对应高的比等于相似比 _____。
AB BC CA k ∴ AB BC C A
∴ AB kAB，BC kBC ，CA kC A
∴
kAB kBC kCA AB BC CA k AB BC CA AB BC C A
25 ∴S△ABC= 4 25 4
四、归纳小结
1、相似三角形周长、对应高、对应中线、对应角平分线的比等于______ 相似比。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、相似三角形面积的比等于相似比的平方 __________。
3、学习反思：____________________。
五、强化训练
1、连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的 1 1 周长比等于____ 2 ，面积比等于____ 4 。 2、如果两个相似三角形面积的比为
A D E
F
C
三、研读课文
解：∵DE∥BC，EF∥AB ∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF ∴ △ADE∽△EFC A 而S△ADE=4，S△EFC=9
∴ ∴ ∴
4 AE EC 9
2
D
E
AE 2 EC 3
AE 2 AC 5
2 2
B
F
C
s ADE AE 2 4 s ABC AC 5 25
五、强化训练
4、如图，在正方形网格上有△A1B1C1 和△A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2 的面积比。 (第 3 题)
解：相似（△A1B1C1∽△A2B2C2 ）
A1C1 4 2 A2 C2 2