1921_正比例函数[1-5]

正比例函数是一种基本的一次函数，其定义和基本概念如下：
1. 定义：
正比例函数是形如y = kx 的数学函数，其中k 是一个非零常数（即k ≠ 0），x 是自变量，y 是因变量。

当自变量x 变化时，因变量y 会按照与x 成固定比例的方式变化。

2. 特性：
- 函数图像：正比例函数的图像是经过原点（0,0）的一条直线，斜率为k。

- 方向与斜率：当k > 0 时，图像从左下方向右上方倾斜，表示随着x 增大，y 也相应增大；当k < 0 时，图像从左上方向右下方倾斜，表示随着x 增大，y 反而减小。

- 比例系数：k 称为比例系数或斜率，它反映了y 随着x 改变的增长速度或者减少速度。

3. 一次函数与正比例函数的关系：
所有一次函数都可以写成y = mx + b 的形式，其中m 是斜率，b 是截距。

如果b = 0，那么该一次函
数就简化为正比例函数的形式，即只含有斜率项没有截距项。

4. 性质：
- 在同一坐标系中，不同的正比例函数，它们的形状都是直线，但斜率不同，因此图像的位置和倾斜程度各不相同。

- 正比例函数具有线性增长或减少的特点，不涉及任何转折点或拐点。

- 当x 的值发生变化时，y 的变化与其成正比，具体比例关系由k 确定。

综上所述，正比例函数是最简单的一类函数之一，它直观地表达了两个变量之间按一定比例相互关联的关系。

正比例函数概念正比例函数是指，当自变量x的值增大或减小时，因变量y的值也相应地增大或减小，并且这个变化的比率保持不变的函数关系。

也就是说，x和y之间的关系是线性的，比例系数是固定的。

一般来说，正比例函数可以用以下公式来表示：y = kx其中，k是一个常数，称为比例系数。

它代表着在x变化一个单位时y所发生的变化量。

当x为0时，y也为0，因此k可以看作是y和x的一个比率，也就是斜率。

斜率在图象上对应着我们常说的坡度，是图象上的一条直线的倾斜程度。

正比例函数在图象上呈现为直线，通过原点，斜率为正数（因为k是正数），没有y截距，比例系数越大，斜率越大，函数变化越快，图象越陡峭。

正比例函数广泛应用于各类实际问题中。

例如，当一项物品的价格与售出数量相乘的结果是固定的时候，我们就可以设置一个正比例函数来描述它们之间的关系。

同样，当时间和路程之间的关系是正比例的时候，我们也可以采用正比例函数来描述出这种变化。

正比例函数在实际问题中的应用非常广泛，比如：1. 温度和热量之间的关系：当一定量的热量传递到一个物体时，它的温度上升的程度与这个物体的质量成正比例。

2. 旅行时间和距离之间的关系：当旅行速度恒定时，旅行时间与距离成正比例。

3. 平均速度和路程之间的关系：当速度恒定时，平均速度与路程成正比例。

4. 面积和边长之间的关系：当一个物体的长和宽比例不变时，面积与边长平方成正比例。

5. 人数和所需物品数量之间的关系：当需要多少物品来满足一定数量的人时，这两者成正比例关系。

正比例函数的概念可以帮助我们更清晰地理解许多实际问题中变量之间的关系。

通过数学上的研究和分析，我们可以更好地找到解决这些问题的方法。

19.2.1正比例函数（1）教学目标：1、理解正比例函数的概念。

2、经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识；经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力。

重难点：正比例函数的概念复习1、什么是单项式？系数？次数？2、什么是函数？有哪几种表示方法3、如果速度一定，路程与时间成什么关系？如果用v 表示速度， s，t分别表路程和时间，你能写出这个关系式吗？你还能举出生活中成正比例关系的例子吗？正比例关系两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系思考： 1、如果用 x 和 y 来表示这两个相关联的量，用k 来表示它们的比值，那么 Y 与 X 成正比例就可以表示为？这个比值k 可以取哪些值？2、两个成正比例关系的量:y/x=k（一定），请问： y 是 x 的函数吗？如果是，用解析式怎样表示？那它又是什么函数呢？活动一：引入概念：2011 年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车平均速度为300km/h.考虑以下问题 :(1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站海虹桥站,约需多少小时 (结果保留小数点后一位)?1318 ÷ 300≈ 4.4(h).(2)京沪高铁列车的行程y(单位 :km)与运行时间 t(单位 :h)之间有何数量关系 ?从函数的观点看，京沪高铁列车的行程y（单位： km）是运行时间 t（单位： h）的函数吗？能写出解析式和自变量的取值范围吗？y=300t. (t≥0)(3)京沪高铁列车从北京南站出发 2.5h 后,是否已经过了距始发站 1100km 的南京南站 ?y=300×2.5=750(km), 故列车尚未到达距始发站1100km 的南京南站思考：1.y=300t 中，变量和常量分别是什么？其对应关系式是函数关系吗？谁是自变量，谁是函数？2、自变量与常量按什么运算符号连接起来的?活动二：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?(1)圆的周长l 随半径 r 的大小变化而变化l= 2πr.3(2)铁的密度为 7.8 g/cm ,铁块的质量 m(单位 :g)随它的体积 V(单位 :3cm )的大小变化而变化 ;m = 7.8V.(3)每个练习本的厚度为0.5 cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随这些练习本的本数n 的变化而变化 ;h=0.5 n.(4)冷冻一个 0 ℃物体 ,使它每分下降 2 ℃ ,物体的温度 T(单位 : ℃)随冷冻时间 t(单位 :分)的变化而变化 .T=- 2t.认真观察以上出现的五个式子（1）以上对应关系都是函数关系吗？其变量和常量分别是什么？进一步指出谁是自变量，谁是函数？（2）认真观察自变量和常量运用什么运算符号连接起来的？这些常量可以取哪些值？（3）这 5 个函数表达式有何共同特征？请你用语言加以描述．形成概念：1.如果我们把这个常数记为 k，你能用数学式子表达吗？ y=kx?2.对这个常数 k 有何要求呢？为什么？ k≠0?3. 请你尝试给这类特殊函数下个定义：形如y=kx(k ≠0) 的函数，叫做正比例函数，其中k 叫比例系数。

正比例函数一般地，•形如y=•kx•（k 是常数，•k ≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional function ），其中k 叫做比例系数．也就是说，形如y=•kx+b ，且b ≠0的函数是正比例函数。

[正比例函数图象和性质]一般地，正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点和（1，k ）的直线．我们称它为直线y=kx.•当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0）(2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴[正比例函数解析式的确定]——待定系数法一次函数[一次函数]一般地，形如y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0)函数，叫做一次函数. 当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以正比例函数是一种特殊的一次函数．[一次函数的图象及性质]一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb ，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） （1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-k b ，0） （3）走向： k>0，图象必经过第一、三象限；k<0，图象必经过第二、四象限b>0，图象必经过第一、二象限；b<0，图象必经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.[直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的位置关系]（1）两直线平行：k 1=k 2且b 1 ≠b 2 （2）两直线相交：k 1≠k 2 （3）两直线重合：k 1=k 2且b 1=b 2[确定一次函数解析式的方法]：待定系数法（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果.[一次函数建模]函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案、最佳策略等问题. 建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题.正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时，其图象大多为线段或射线. 这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义.从图象中获取的信息一般是：（1）从函数图象的形状判定函数的类型；（2）从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义.解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.反比例函数知识梳理知识点l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xk y =或y=kx -1（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

19.2.1 正比例函数(2)一、内容和内容解析1.内容正比例函数的图象及性质.2.内容解析.本节课是在学习了正比例函数概念后，研究其图象及其性质.描点法是画陌生函数图象的通法，研究正比例函数，主要研究其图象的形状、位置及其增减性.在正比例函数的图象及其性质研究中，蕴涵了数形结合、分类讨论的思想和直观观察、想象、归纳等数学认知活动.因此，本课的教学重点是用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括正比例函数的图象特征及性质．二、目标和目标解析1.目标（1）会画正比例函数的图象.（2）能根据正比例函数的图象和表达式y = kx (k≠0)，理解当k＞0和k＜0时，函数的图象特征与增减性．（３）通过观察图象、归纳总结，概括出正比例函数性质的活动，发展数学直观观察和想象、数学概括能力，体会数形结合的思想.2.目标解析目标（1）达成的标志是：会用描点法和两点法画正比例函数的图象；目标（2）达成的标志是：针对具体的正比例函数，能画出（想象出）图象，正确理解函数图象所经过的象限与增减性；理解k的符号变化是怎样影响图象位置及增减性的.目标（3）达成的标志是：能通过观察发现图象的特征并能用坐标描述，用变量解释图象特征，进而概括出正比例数的图象性质．三、教学问题诊断分析，学生通过函数的概念和表示法的学习，初步体会了函数研究方法。

通过函数图象的学习，知道了用描点法可以直观地表示一个函数，据此可以进一步探究变量的变化规律和变化趋势．研究正比例函数的变化规律，需要两次概括：第一次，在k为具体数值时，随着自变量的值的增大，函数值怎样变化;第二次，当k的正负号变化时，对应函数的增减性怎样变化.这两次概括过程需要较强的数学概括能力，学生会遇到较大困难.需要教师引导学生分层次设计活动，从具体到一般地引导学生进行分类归纳.四、教学支持条件分析为了让学生更直观地理解正比例函数的图象及性质与系数k的关系，可以利用几何画板制作动画进行展示：当k固定时，函数值是怎样随着自变量的增大而变化的；当k的值变化时，是怎样影响函数的增减性的。