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8_2_4 斯托克斯公式 环流量与旋度 高等数学 微积分 考研数学

8_2_4 斯托克斯公式 环流量与旋度 高等数学 微积分 考研数学


轴正向看为顺时针, 计算 I y2 d x xy d y xz d z .
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
cos 0 , cos
1, 2
cos
1 2
z
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
o x
2y
I
x y
y2 xy
z
dS 1 (y z)dS 0 2
内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
x
P
dzdx
y
Q
dxd y
z
R
cos
x
P
cos
y
Q
cos
z
dS
R
Page 10
2. 场论中的三个重要概念
设 u u (x, y, z),
A
(P,
Q,
R),
x
,
y
,
z
,
则
梯度:
grad u
u x
d ydz dzdx P d x Q d y R d z
R
或用第一类曲面积分表示:
cos cos cos
x
y
z
d S P d x Q d y R d z
PQR
Page 3
例1. 利用斯托克斯公式计算积分
zdx xd y ydz
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之 为纳维 – 斯托克斯方程 ), 1847年先于
柯西提出了一致收敛的概念. 他提出的斯托克斯公式
一、斯托克斯(stokes)公式

一、斯托克斯(stokes)公式


斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式的物理意义
1 1 1 3 3 3 ∂ ∂ ∂ ds ∂x ∂y ∂z y2 − z2 z2 − x2 x2 − y2
Dxy
x+ y= 1 2
x+ y= 3 2
∴ I = ∫∫
Σ
4 =− ( x + y + z )ds ∫∫ 3 Σ
3 ( 在Σ上x + y + z = ) 2
4 3 9 =− ⋅ ∫∫ ds = −2 3 ∫∫ 3dxdy = − . 3 2Σ 2 D
x
f ( x, y)
o
y
Dxy
C
思路 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分
∂P ∂P ∂P ∂P ∫∫ dzdx − dxdy = ∫∫ ( cos β − cos γ )ds ∂y ∂z ∂y Σ ∂z Σ
又 cos β = − f y cos γ , 代入上式得
∂P ∂P ∂P ∂P + dzdx − dxdy = − ∫∫ ( f y ) cos γds ∫∫ ∂y ∂y ∂z Σ ∂z Σ
定理设为分段光滑的空间有向闭曲线是以为边界的分片光滑的有向曲面的正向与的侧符合右手规则函数在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数则有公式dxdyrdzqdypdx斯托克斯公式证明设与平行于z轴的直线相交不多于一点如图思路曲面积分二重积分曲线积分coscoscoscos根椐格林公式平面有向曲线rdzqdypdxrdzqdypdxdxdydzdxdydzrdzqdypdxdscoscoscos另一种形式其中便于记忆形式stokes公式的实质
xy
1
根椐格林公式
− ∫∫
D xy
∂ P[ x , y , f ( x , y )]dxdy = ∫ P[ x , y , f ( x , y )]dx c ∂y
87斯托克斯公式与旋度汇总

87斯托克斯公式与旋度汇总


Pdx Qdy Rdz
R Q P R Q P rotF ( )i ( ) j ( )k y z z x x y
旋度
设 r x2 y2 z 2 , 则 2 div (grad r ) r ; rot(grad r ) 0 . x y z 提示: grad r , , r r r x 2 2 x r x ( y) r y ( ) r r 2 x2 , 3 3 2 y x r r r r r ( z ) r2 z2 三式相加即得 div (grad r ) z r r3 i j k
3 2 A ( x z ) i ( x yz ) j 3 xy k 沿闭曲 五、求向量场
2 2 z 2 x y ,z0 为圆 线 周 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
六、 设
u u( x , y , z )
具有二阶连续偏导数,求
rot ( gradu )
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
三、空间定向曲线积分与路径无关的充要条件
定理 设 G 是空间的一个一维单连通区域, F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k C ( 则 F ( x , y , z ) 沿 G 内定向曲线的积分与路径无关的 rot F 0 充分且必要条件是
9_8斯托克斯公式

9_8斯托克斯公式

r2
∂ ∂z
(
z r
)
=
r2−z2 r3
i
=
r 2 −x2 r3
,
∂ ∂y
(
y) r
=
r2 − y2 r3
三式相加即得div (grad r)
jk
rot (grad r) =
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
= (0, 0, 0)
xyz
rrr 22
作业
P223 2, 3
补充题:
u和
JG A
有连续的二阶连续偏导数，证明
方向向外的任一闭曲面 , 记Σ 所围域为Ω,
在③式两边同除以Ω 的体积 V, 并令Ω 以
M
任意方式缩小至点 M (记作Ω → M ),则有
∫∫∫ lim Φ = lim 1 ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞ d x d y d z
Ω→M V Ω→M V Ω⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
= lim ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞
cosα
Байду номын сангаас
= ∫∫
∂ ∂x
∑P
cos β
∂ ∂y
Q
cosγ
∂ ∂z
dS
R
20
3. 场论中的三个重要概念
G
设 u = u (x, y, z),
A
=
(P,
Q,
R),
∇
=
(
∂ ∂x
,
∂ ∂y
,
∂ ∂z
),
则
梯度:
grad u
=(
∂u ∂x
,
∂ ∂
u y
,
Stocks公式

Stocks公式

2 2 2 ( x yz ) dx ( y zx ) dy ( z xy )dz
。
i j k 解 0 x y z 2 2 2 x yz y zx z xy
第八节 斯托克斯(stokes)公式
高等数学（下）
河海大学理学院
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内
高等数学（下）
i j 环流量 A ds C x y P Q
利用stokes公式, 有
k ds z R
3 2 A ( x z ) i ( x yz ) j 3 xy k 例 3 求向量场 2 2 沿闭曲线 为圆周 z 2 x y , z 0 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
Hale Waihona Puke Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边 界曲线上的曲线积分之间的关系.
注：当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时
斯托克斯公式 特殊情形 格林公式
高等数学（下）
二、简单的应用 例 计算曲线积分 3 ydx 3 xdy dz ,

2 2 x y 1 与平面 z 其中 是圆柱面 它的方向是逆时针.
具有一阶连续偏导数, 则有公式
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz --------- 斯托克斯公式
斯托克斯公式

斯托克斯公式

Q Q P ( R )dydz + ( P R)dzdx + ( )dxdy ∫∫ y z z x x y Σ
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
---- 斯托克斯公式
证明思路
曲面积分 便于记忆形式 二重积分 曲线积分
∫∫
Σ
dydz dzdx dxdy = Pdx + Qdy + Rdz ∫Γ x y z P Q R cosα cos β cosγ ds = Pdx + Qdy + Rdz ∫Γ x y z P Q R
二、简单的应用
例1 计 曲 积 算 线 分
∫Γ zdx + xdy + ydz ,
中 其 Γ 是 面x + y + z = 1被 坐 面 截 的 平 三 标 所 成 角 的 个 界, 的 向 这 三 形 侧 三 形 整 边 ,它 正 与 个 角 上 界 z 则. 的 向 之 符 右 规 . 法 量 间 合 手 则
cosα = cos β = cosγ = 1 , 即 3 由斯托克斯公式
1 1 1 3 3 3 dS x y z y2 z2 z2 x2 x2 y2
1 2
y
x+ y = 3 2
I = ∫∫
Σ
o
x+ y = 1 2
一投： 一投： Σ 投影 得Dxy; , 二换： 二换： dS = 3 dxdy; 三代： 三代：x + y + z = 3 .
斯托克斯公式成立的条件
z
1
n = 1 {1, 1, 1}. 3
1
o
1
y
x
z
解 取 为 面x + y + z = 3 Σ 平 2
斯托克斯公式

斯托克斯公式


∫ ( y2 − z2 )dx + (z2 − x2 )dy + ( x2 − y2 )dz 其中Γ是平面 Γ
x + y + z = 3截立方体:0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1的 2
表面所得的截痕,若从 ox 轴的正向看去,取逆时针方向.
【解】取Σ为平面 x + y + z = 3 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
旋度的力学意义:
【例 3】设一刚体绕过原点 O 的某个 轴转动,其角速度ω = (ω1,ω2 ,ω3 ),刚 体上每一点处的线速度构成一个线速 场,则向量r = OM
= {x, y, z}在点 M 处的线速度
L ω
o
v
M
【解】 由力学知道点 M 的线速度为 由此可看出旋度
∫ 轴正向看为顺时针, 计算 I = y2 d x + xy d y + xz d z . Γ
【解】 设∑为平面 z = y 上被 Γ 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
cosα = 0 ,
cosβ =
1, 2
利用斯托克斯公式得
cos γ = − 1 2
cosα cosβ cos γ
zΓ
Σ o x
−
∂Q ) cosα
∂z
+
(∂P ∂z
−
∂R)cos ∂x
β
+
(∂Q ∂x
−
∂P ∂y
)cosγ
]dS
= ∫ (P cosλ + Q cos μ + Rcosν )ds Γ
其中
Σ的单位法向量为 n = cosα i + cosβ j + cos γ k ,
斯托克斯公式

斯托克斯公式

R Q P R Q P )dydz ( )dzdx ( )dxdy ( z z x x y y
Pdx Qdy Rdz
例1 利用斯托克斯公式计算 zdx xdy ydz

其中 为平面 x y z 1 被三个坐标平面
§7 斯托克斯公式
一、斯托克斯公式 设 为分段光滑的有向闭曲线， 为分片光滑的且以 为边界的有向曲面， 定理 的方向与 的侧符合右手螺旋法则. P ( x , y , z ),
Q( x, y, z )、R( x, y, z ) 在包含 在内的一个空间 则有 区域内具有一阶连续偏导数，
1 1 1 6 (1 1 2 ) 2 2 2 6 3 4 9 2 x
3 2
z
D xy

y
y
Dxy
x 1
x y
1 1 2
y 1
3 2
2 1 2
x
3 x y 2
练习题： 利用斯托克斯公式计算

x yzdx ( x y )dy ( x y z )dz
2
2
取上侧 cos 0

1 n （ 1， 1） 1， z 3 1 1 1 1 n ( , , ) 3 3 3 y
0
1
(cos , cos , cos )
x
1
1 1 1 cos , cos , cos 3 3 3
cos zdx xdy ydz x P cos x z

1 ( 1) ( 1)
2
2
取上侧 cos 0
n
0
斯托克斯公式

斯托克斯公式


解:按斯托克斯公式：
Γ
zdx xdy ydz dydz dzdx dxdy

由于 的 法向量的三个方向余弦都为正, 又由于对称性，上式右端为: 3 d 其中Dxy为xOy面上由直线x y 1及
Dxy
两条坐标轴围成的三角形闭区域.
故
3 zdx xdy ydz 2 Γ
( P cos Q cos R cos )dS .
Γ
设有向量场 A( x,y,z ) P( x,y,z )i Q( x,y,z ) j R( x,y,z )k 在坐标轴上的投影分别为
R Q P R Q P , , y z z x x y
曲面Σ的通量，这里Γ的正向与曲面Σ的侧应 符合右手规则.
rot A 的表达式可利用行列式记号形式地表示为
i rot A x P j y Q k . z R
P P 即 : dzdx dxdy P( x, y, z )dx 成立 y Γ z (此时, Px, y, f ( x, y )在C上点( x, y )处的值与P( x, y, z ) 在Γ上对应点( x, y, z )处的值是一样的，且两曲线上的 对应小弧段在x轴上的投影也一样.)
第七节 斯托克斯公式
一、斯托克斯公式 二、环流量与旋度
一、斯托克斯公式
定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以Γ为
边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与 的侧符合 右手规则，函数P( x, y, z )、Q( x, y, z )、R( x, y, z )在曲面
(连同边界Γ )上具有在一阶连续偏导数，则有：
注意：
斯托克斯公式 若 是xoy面上的一平面闭区域，
斯托克斯公式及题目

斯托克斯公式及题目


i 旋度 rotF x P
j y Q
k z R
R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k . y z z x x y
Stokes公式的物理解释:
向量场 F 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 F 的旋度场通过 所张的曲面的通量.( 的正 向与 的侧符合右手法则)
xyxycx思路曲面积分二重积分曲线积分12?p?p?p?p?dzdxdxdy?cos?cosds????????z?y??z?y又?cos??fycos?代入上式得?p?p?p?pdzdx?dxdy?f?dscos????z?y???y?zy??????pppp即dzdx?dxdy??fdxdy????y??z?y??y?z??p?ppxyfxy??fy?y??zy?p?p???zdzdx??ydxdy???1pxyfxydxdy??d?yxy根椐格林公式?????ypxyfxydxdy??pxyfxydxdcxy?p?p即??dzdx?dxdy??pxyfxydx2??z?yc平面有向曲线?p?pdzdx?dxdypxyzdx???z?y????空间有向曲线同理可证?q?q???xdxdy??zdydz??qxyzdy???r?rdydz?dzdxrxyzdz???y?x?????r?p?r??p?qq???dydz??dzdx??dxdyzxy??y?z??x????pdx??qdy?rdz
解法１ 将曲线 C 化成参数方程
令x cos , y sin , z 2 x y 2 cos sin : 2 0
( z y )dx ( x z )dy ( x y )dz
C
[2(cos sin ) 3cos 2 sin 2 ] d 2
斯托克斯(stokes)公式

斯托克斯(stokes)公式




Q x

P y

cos
dS
Pdx Qdy Rdz
其中 cos ,cos ,cos 是Σ指定一侧的法向量
方向余弦.
斯托克斯公式常用形式
Pdx Qdy Rdz




R y

Q z
dydz


P z

(的法向量
n

(1,1,1). cos

cos

cos

1
)
3
的法向量的三个方向余 弦都为正.
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy 对称性


3
dxdy

3
1 2

3 2
.
Dxy
y
1
x y1
Dxy
O
1x
法二 按斯托克斯公式,有
1 3


(1
y

1

1)
dS
1
x y1
Dxy
O
1x
第七节 斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为 边界的分片光滑的有向闭曲面, 的正向与
的侧符合右手规则，函数P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)在包含曲面在内的一个空间区域内 具有一阶连续偏导数, 则有公式



R y

Q z
dydz


P z

R x
dzdx


Q x

斯托克斯公式

斯托克斯公式一、气体流态判断Ar=/（μg）2Ar-阿基米得准数d0 －液滴直径m.0.0001ρL-液滴密度kg/m3870ρg-沉降条件下气体密度kg/m3 2.550046394μg－气体的动力粘度Pa.s0.00001 g-重力加速度9.81m/s29.81 wo-液滴沉速m/s 217.0008911二、液滴沉降速度1、层流区w0=〖d0 2（ρL-ρg）*0.545〗/μg0.4727602252、过渡区w0=〖0.153g0.714*d0 1.143（ρL-ρg）0.714〗/(μg0.428*ρg0.286)0.2769343793、紊流区w0=1.74*【g*d0(ρL-ρg）/ρg】^0.51.005152426四、分离器直径（气体停留时间核算）假定：1、L/D=3 2、液面位于中间1、水平流速W水平=0.7*L/(D/2)*W0=0.7*6*W01.163124392、分离器直径D=(8Q/（3.142*W水平）)^0.50.562304238Q气体-标态气体流量m3/d1000000 P操作-操作压力Mpa (a)9.9013 T操作-操作温度℃60 Q操作-操作状态下气量 m3/d12479.54675流态雷诺数范围Ar范围Ar-Re关系层流区Re<2Ar<36过渡区2<re<50036<ar<83000< p="">紊流区Re>500Ar>83000三、分离器直径(液体停留时间核算)根据液体停留时间决定分离器直径一般轻质油停留时间1－3分钟，中质原油停留时间5－10分钟，发泡原油停留时间5－20分钟T=(1/2 * 1/4 * ∏d2 * L0)/(Q0/60)T-有效停留时间分钟1d-分离器直径 mLo-分离器有效长度 m4Q0-来液流量 m3/h83.333333d=【( t/60)*Q/(1/2 * 1/4 *∏ * L)】0.50.940255017</re<50036<ar<83000<>。

斯托克斯公式简析

斯托克斯公式简析斯托克斯公式是微积分中的一个重要定理，它在数学分析及其应用中扮演着不可或缺的角色。

该公式不仅在数学理论中占有核心地位，还在物理学、工程学等多种科学领域中广泛应用。

在深入了解斯托克斯公式之前，我们需要回顾一些相关的基本概念。

一、背景知识向量场与标量场在微积分中，我们讨论两类重要的场：向量场和标量场。

向量场是指在空间中的每一个点都对应一个向量，常用于描述物理现象如速度场、电场等。

而标量场则是每个点对应一个数值，例如温度、压力等。

曲线积分与曲面积分曲线积分是一种沿着曲线计算的积分，常用于求某一方向的总量。

而曲面积分则是在一个曲面上计算的积分，通常用来计算流过某个曲面的总量。

这两者是斯托克斯公式建立的基础。

常见的微分形式在理解斯托克斯公式之前，了解微分形式尤为重要。

简而言之，微分形式可以视为一种推广的函数，用于描述更复杂的流动和饱和度。

二、斯托克斯公式的内容斯托克斯公式提供了一种连接曲线积分与曲面积分之间关系的重要工具。

其数学表达式如下：[ _C d = _S () d ]其中：(C) 是一条光滑的封闭曲线；(S) 是被曲线 (C) 所围成的一片光滑表面；() 是定义在某个区域内的光滑向量场；(d) 是沿着曲线 (C) 的微小位移；(d) 是沿着表面 (S) 的微小面积元素；() 表示向量场 () 的旋度。

这个公式表明，一个向量场沿着曲线的环路积分等于该向量场在被曲线围成的表面上的旋度的面积积分。

三、公式推导为了更深入理解斯托克斯公式，我们可以从基本概念出发进行推导。

首先来看两个重要的概念：旋度和散度。

旋度是描述一个向量场局部旋转趋势的量，而散度则反映了一个点源或汇聚程度。

我们可以通过以下步骤来推导斯托克斯公式：选择适当的小区域将封闭曲线 (C) 划分为许多个小段，并将相应的小面积 (S) 划分成多个微小部分。

这样我们就可以利用局部性来看待问题。

应用格林定理在平面上，格林定理给出了平面区域和它外围边界之间的关系。

斯托克斯公式

斯托克斯公式斯托克斯公式是电磁场理论中的一个重要公式，由英国物理学家George Gabriel Stokes于1852年首次提出。

该公式描述了一个封闭曲面上的矢量场的环路积分与该曲面内部的曲面积分的关系，是电磁学中的基本公式之一。

斯托克斯公式的数学表达如下：∮_C (F · ds) = ∫∫_S (curl F · dS)其中，∮_C表示沿着封闭曲线C的环路积分，F为矢量场，ds表示曲线元素，∫∫_S表示曲面S上的面积分，curl F表示矢量场F的旋度，dS表示曲面元素。

斯托克斯公式的物理意义是将一个封闭曲面上的环路积分与该曲面内部的面积分建立了联系。

这种联系可以反映出某个矢量场的环路积分与该场在封闭曲面内部的变化情况。

斯托克斯公式的应用非常广泛，在电磁学、流体力学、数学物理等领域都有重要的作用。

在电磁学中，斯托克斯公式与麦克斯韦方程组密切相关。

根据麦克斯韦方程组，电场E和磁场B在自由空间内满足以下关系：∇ × E = - (∂B/∂t)∇ × B = μ0ε0 (∂E/∂t) + μ0J其中，∇为向量微分算子，∇ × E和∇ × B分别表示电场和磁场的旋度，μ0为真空中的磁导率，ε0为真空中的电介质常数，J为电流密度。

根据这两个方程，可以推导出斯托克斯公式的具体形式。

由于电场E和磁场B都是矢量场，可以将斯托克斯公式应用于这两个矢量场。

斯托克斯公式在电磁学中的应用非常广泛。

例如，可以使用斯托克斯公式来计算闭合导线上的电流。

根据安培定理，闭合导线上的电流可以通过磁场的环路积分来求得。

通过斯托克斯公式，可以将环路积分转化为面积分，从而简化计算过程。

此外，斯托克斯公式还可以用于推导电磁感应定律。

根据法拉第定律，磁场的变化产生感应电场。

通过斯托克斯公式，可以将感应电场与磁场的变化率建立联系，进而推导出电磁感应定律。

斯托克斯公式不仅在电磁学中有重要应用，还在流体力学中发挥着重要的作用。

【教学课件】第七节 斯托克斯公式及其应用


n
O
y
x
斯托克斯公式
特殊情形
精选课件ppt
格林公式
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与平行 z 轴的直线只交于 一点 z n
证 :z z ( x ,y )( x ,,y ) D x ,y
取上,侧 可 得 的正向边,界曲线
在xO面 y 上的投影曲 Dx线 y的是 O 正向边界C曲. 线
设法将 PzdzdxPydxdy
斯托克斯公式的实质 表达了定向曲面上的第二类曲面积分与曲面的
定向边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系. 是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广;是格 林公式的推广.
若 R (x,y,z)0 , 位 x于 O 面 y取 ,则 上侧
Q x P y d xd yP d xQ d y.
格林公式
z
y x
dxdy
z
(12y)dxdy
z2
(12y)dxdy
Dxy
2πd1(12sin )rdr
0
0
π.
精选课件ppt
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例2. 利用斯托克斯公式计算积分
zdxxdyydz
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
边界, 方向如图所示.
z
1
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
zdxxdyydz
dydz dzdx dxdy
o
1y
1
x
Dxy
x
y
z
zxy
d y d z d zd x d x d y3Dxydxdy
利用对称性
3 2
精选课件ppt
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例3 计算(y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz,

8-习题课斯托克斯公式

曲线积分与曲面积分习题课
一、主要内容 二、典型例题
一、主要内容
（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
（一）曲线积分与曲面积分 对弧长的 曲线积分
对面积的 曲面积分 联 计 系 算 对坐标的 曲面积分
曲 线 积 分
联 计 系 算
对坐标的 曲线积分
曲 面 积 分
曲线积分
二、典型例题
例 1 计算 I
L
( x 2 2 xy )dx ( x 2 y 4 )dy ,
其中 L 为由点O ( 0,0) 到点 A(1,1) 的曲线 y sin x . 2
思路:
I
( x, y) ( x0 , y0 )
I Pdx Qdy
L
P Q P Q D y x y x 非闭 补充曲线或用公式 I Pdx Qdy 0 L 闭合
如图曲顶柱体，
z
z f ( x, y)
S (1 1 f x2 f y2 )d
D
f ( x , y )ds
L
o
x
DБайду номын сангаас
L
y
例 3
求柱面 x y 1在球面 x y z 1内
2 2 2
2 3
2 3
的侧面积.
解
由对称性
L
S 8 zds 1 x 2 y 2 ds
2
24
3 3 . 24 3 sin t cos tdt 0 2
2 2
例４

计算
I [ f ( x , y , z ) x ]dydz [2 f ( x , y , z ) y ]dzdx [ f ( x , y , z ) z ]dxdy, 其中 f ( x , y , z ) 为连续函数, 为平面 x y z 1在第一卦限部分的上侧．

斯托克斯公式范文

斯托克斯公式范文斯托克斯公式是电磁学中的重要公式之一，它是麦克斯韦方程组的一个推论，描述了磁场随时间变化的变化率与磁场沿着曲线闭合线积分之间的关系。

斯托克斯公式可以用于求解各种问题，如计算电路中的电感、电动势环路以及传感器中的磁场等。

下面将详细介绍斯托克斯公式的推导及应用。

首先，我们考虑一个闭合曲面S和其边界曲线C，曲线C的方向通过右手定则确定，即顺时针方向。

设闭合曲面S内部有一个磁场B，磁场的旋度在空间中的其中一点上的投影为B·n，其中n是曲面S在该点的法向量。

那么沿着曲线C的积分可以表示为：∮C B·dl = ∬S (rotB)·dS其中，C表示曲线，B表示磁场，dl表示曲线元素，S表示闭合曲面，dS表示曲面元素，rotB表示旋度。

接下来，我们将上式右边的积分用格林公式进行变换。

根据格林公式，可以将曲面的双重积分转换为曲线上的单重积分。

应用格林公式，上式可以变为：∮C B·dl = ∬S (∇×B)·dS其中，∇×B表示矢量B的旋度。

然后，我们利用斯托克斯公式的两个基本定理之一，即磁场的旋度与电流密度之间的关系。

根据麦克斯韦方程组中的安培环路定理，可以得到：∇×B=μ₀J其中，μ₀是真空中的磁导率，J是电流密度。

将上式代入前一个等式中，我们可以得到：∮C B·dl = μ₀∬S J·dS这个公式就是斯托克斯公式，它连接了磁场的线积分与电流分布之间的关系。

斯托克斯公式在电磁学中有广泛的应用。

首先，它可以用来计算电路中的电感。

电感是电流变化导致的磁场变化所产生的反电动势，在电路中起到了阻碍电流变化的作用。

通过斯托克斯公式，我们可以将电感的电动势表示为磁场的线积分形式，从而可以计算电感的数值。

其次，斯托克斯公式还可以用于计算电动势环路。

电动势环路是由于磁场变化导致的电场的环路电动势，存在于通过磁场变化的区域中。

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x x
o
即 P Q, y x
x
1
故 原 0 1x 2 d式 x 0 1 (1 y4)dy1253 .
思路:
ILPdxQdy
(x,y)
非闭
I PdxQdy (x0,y0)
P
Q
P
Q
闭合
I (QP)dxdy D x y
ILPdQ x d 0y闭合 y x y x 非闭 补充曲线或用公式
16
解 由 I (x 2 2 x)d y x (x 2 y 4 )dy
知P(x22x)y2x y
y y
1
A
Q(x2y4)2x
价 (2 ) C P d Q x d 0 ,闭 y C 曲 D线
命 ( 3 )在 D 内 U ( x , 存 y ) 使 d P u 在 Q dx d 题 (4) 在D内,PQ
y x
5
曲面积分
对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
定 义
n
n
f(x,y,z)d sl i0 im 1f(i,i,i) si R (x ,y,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i,i)( S i)xy
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
计算 重积分
7
积分概念的联系
n
f(M )dl i0m f(M )i,f(M )点函数 i 1
定积分 当 R1上区 [a,b间 ]时 ,
f(M)d
b
f(x)d.x
a
二重积分 当R2上区D时 域,
f(M)df(x,y)d. D
8
曲线积分 当R2上平面L时 曲 , 线
曲线积分与曲面积分习题课
一、主要内容 二、典型例题
1
一、主要内容
（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
2
（一）曲线积分与曲面积分
对弧长的 曲线积分
对面积的 曲面积分
曲
曲
线 定联计 定联计 面
积 义系算 义系算 积
分
分
对坐标的 曲线积分
对坐标的 曲面积分
3
曲线积分
对弧长的曲线积分
(yz)dyd(zzx)dzdx (xy)dxd
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
13
Green公式,Guass公式,Stokes公式 之间的关系
LPdQ x d y D( Q x P y)dx或dyLQd P xd y D( P x Q y)dxdy
F(M )为平面向量场
L F 推dr 广D(ro F k t)F d (M x)为 dy空间 L F d向 rDd 量 推F i广d v场 xdy
2.二重积分与曲线积分的联系
D( Q x P y)dx d L Py dQ xd (沿 y L 的)正向
格林公式
12
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系R Q源自P RQ PD
a y1(x)
f(x ,y ,z )d V b dy 2 x (x ) dz 2 y (x ,y )f(x ,y ,z )d,(d z体 V)元
a y 1 (x ) z 1 (x ,y )
f(x ,y )d sb f[x ,y (x )1 ] y 2 d,(d x 线 s ( 曲 元 )) 素
f[,]
2 2dt
算
()
LPdxQdy
[P(,)Q(,)]dt
(与方向有关)
4
与路径无关的四个等价命题
条 在 单 连 通 开 区 域 D上 P(x,y)Q ,(x,y)具 有 件 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ,则 以 下 四 个 命 题 成 立 .
等 (1) 在 D 内 LPd Q x 与 dy路径无
联 系
PdydQzdzdRxdxd (yP c oQ sco s R co)dsS
计
f(x, y,z)ds
R(x,y,z)dxdy
算
f[x,y,z(x,y)]1zx 2z2 ydxdyR[x,y,z(x,y)d] xdy
D xy
Dxy
(与侧无关)
(与侧有关)
6
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
定积分
环流量 PdQ x d R y dz
旋度 rF o ( R t Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k
y z z x x y
15
二、典型例题
例 1 计 算 I (x22x)ydx (x2y4)d, y L
其 中 L为 由 点 O(0,0)到 点 A(1,1)的 曲 线 ysi nx. 2
对坐标的曲线积分
定
n
P(x,y)d xQ (x,y)dy
义
Lf(x,y)d sl i0m i1f(i,i)si
Ln
l i0im 1[P (i, i) xi Q (i, i) yi]
联 系
L P Q d L x ( d P cy o Q c s) o ds s
计 L f(x, y)ds
F d rr o F d tS
F d sdF id vv
Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
PdydzQdzdx Rdxdy
x
y
z
PQ R
(Px
Q y
R)dv z
14
（三）场论初步
梯度
gra duiu ujuk x y z
通量 散度
PdyQ dzdzd Rxdxdy
diF vPQR x y z
其中 L P d Q x d (P c y o Q s c o )dss
PdydQ z dzdxRdxdy
(PcosQcos Rcos)ds
11
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
a f ( x ) d F x ( b ) F ( a )( F ( x ) f ( x ))
牛顿--莱布尼茨公式
L
a
(ab)
f(x ,y )d x bf[x ,y (x )d ],(d x 线 x (投 元 ))影 素
L
a
10
f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)] 1zx2 zy2dxdy
Dxy
(ds面元(曲 素 ))
R (x,y,z)dxd yf[x,y,z(x,y)d ] xdy
D xy
(dx面 dy元 (投 素 )影 )
f(M)dLf(x,y)d.s
三重积分 当R3上区时 域 ,
f(M)df(x,y,z)dV
曲线积分 当R3上空间时 曲 , 线
f(M)df(x,y,z)d.s
曲面积分 当R3上曲S时 面 ,
f(M)df(x,y,z)dS. S 9
计算上的联系
f(x ,y)d b[y2(x)f(x ,y)d]d y,(x d 面)元