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§3.3.1二元一次不等式（组1）1．学生了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界，会用二元一次不等式组表示平面区域；2．学生要会从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程教学重点、难点：重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示平面区域难点：如何确定不等式0<++>++cByAxcByAx的哪一侧次不等式的定义_______________二元一次不等式定义________________________二元一次不等式组的定义_____________________二、新课导学※学习探究探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，3040xx+>⎧⎨-<⎩的解集为. 能在数轴上表示吗？探究2：你能研究：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形吗？二元一次不等式6x y-<的解集所表示的图形吗？（怎样分析和定边界？）※典型例题例1画出不等式44x y+<表示的平面区域.分析：先画___________（用线表示），再取_______判断区域，即可画出．归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0C≠时，常把原点作为此特殊点.变式：画出不等式240x y-+-≤表示的平面区域.例2．用平面区域表示不等式组3122y xx y<-+⎧⎨<⎩的解集变式1：画出不等式(21)(4)0x y x y++-+<表示的平面区域.变式2：由直线20x y++=，210x y++=和210x y++=围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为.※动手试试练1. 不等式260x y-+>表示的区域在直线260x y-+=的__练 2. 画出不等式组36020x yx y-+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域.※当堂检测1. 不等式260x y-+>表示的区域在直线260x y-+=的（）.A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方2. 不等式3260x y+-≤表示的区域是（）.3.不等式组36020x yx y-+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域是（）.4. 已知点(3,1--和(4,6)-在直线320x y a-++=的两侧，则a的取值范围是.5. 画出11xy≥⎧⎨<⎩表示的平面区域为：盐66t ，在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域. ※ 动手试试练 1. 不等式组(5)()003x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是什么图形？练2. 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的※ 当堂检测1. 不在326x y +<表示的平面区域内的点是（ ）. A ．（0，0） B ．（1，1） C ．（0，2） Ｄ．（2，0）2. 不等式组5003x y x -+≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域是一个（ ）.A ．三角形 Ｂ．直角梯形 Ｃ．梯形 Ｄ．矩形3. 不等式组13y x x y y <⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域为Ｄ，点1(0,2)P -，点2(0,0)P ，则（ ）.A ．12,P D P D ∉∉B ．12,P D P D ∉∈C ．12,PD P D ∈∉ D ．12,P D P D ∈∈ 为 .4. 不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域内的整点坐标是 .(1) 1．巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；2．能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.教学重点、难点：重点：画可行域；在可行域内，用图解法准确求的线性规划问题的最优解难点：在可行域内，用图解法准确求的线性规在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：（2）画出不等式组所表示的平面区域：（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：（5）获得结果：※典型例题例 1 在探究中若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润？※动手试试练1. 求2z x y=+的最大值，其中x、y满足约束条件11y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩2. 已知x、y满足约束条件503x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y=+的最小值为3. 在如图所示的可行域内，目标函数z x ay=+取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值是（）.5. 已知点（3，1）和（-4，6）在直线320x y a-+=的两侧，则a的取值范围是.1）例3 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t ，硝酸盐18t ；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t ，硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t ，硝酸盐66t ，在此基础上生产这两种混合肥料. 若生1车皮甲种肥料能产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元. 那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？※ 动手试试练1. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元. 甲、乙产品都需要在A 、B 两种设备上加工，在每台A 、B 设备上加工1件甲设备所需工时分别为1h 、2h ，加工1件乙和设备所需工时分别为2h 、1h ，A 、B 两种设备每月有效使用台时数分别为400h 和500h. 如何安排生产可使收入最大？2. 变量,x y 满足约束条件232421229360,0x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩则使得32z x y =+的值的最小的(,)x y 是（ ）.A ．（4，5）B ．（3，6）C ．（9，2）D ．（6，4）3. (2007陕西) 已知实数,x y 满足约束条件240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值为______________4. (2007湖北)设变量,x y 满足约束条件30023x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤≤⎩则目标函数2x y +的最小值为______________。
1.2线性规划的可行域一、教学内容分析这一节重专题1.2线性规划的可行域点介绍了线性规划的可行域和可行解的概念，以及如何用二元一次不等式表示平面区域.例1、例2是用二元一次不等式表示平面区域.二、教学目标设计1、掌握线性规划的可行域和可行解;2、会用二元一次不等式表示平面区域;3、通过观察、操作等活动，具有读图能力.三、教学重点及难点如何用二元一次不等式表示平面区域四、教学过程设计〔一〕引入上节课在解决线性规划问题时，建立了线性约束条件，满足线性约束条件的解有无数个，那么如何形象的表示满足线性约束条件的解？〔二〕学习新课〔1〕定义：在线性规划问题中，满足线性约束条件的解叫做可行解，所有可行解构成的区域叫做可行域.线性约束条件都是二元一次不等式组，那么可行域就是一个平面区域.=++=表示直线l，那么B x y ax by c{(,)|0}{(,)|0},{(,)|0}A x y ax by c C x y ax by c =++>=++<表示怎样的区域？请学生各自取不同的数据，画出平面区域.教师选择有代表性的数据，让学生上黑板画.最后，让学生边讨论，边总结：1.当c>0时，集合A 表示直线l 含原点一侧的区域，集合C 表示直线l 不含原点一侧的区域；当c<0时，集合A 表示直线l 不含原点一侧的区域，集合C 表示直线l 含原点一侧的区域；当c=0时，借助其它点来判断集合A 、C 所表示的区域.2. 如果把A 、C 变成{(,)|},{(,)|}E x y y ax b F x y y ax b =>+=<+，那么集合E 表示直线y ax b =+上方的区域，集合F 表示直线y ax b =+下方的区域.〔2〕实数范围的线性约束条件例1画出以下不等式组的解为坐标的点所表示的平面区域：25200100x y x y x y +-≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩〔3〕整数范围的线性约束条件例2画出以下不等式组的解为坐标的点所表示的平面区域：372240360,x y x y x y x y N+≥⎧⎪+-≤⎪⎨-++≤⎪⎪∈⎩ 分析：对于整点的可行域，可以先画出实数范围的可行域，然后把范围内的整点全标出来.〔三〕课堂练习：P9/1，2〔四〕课堂小结〔五〕布置作业：见练习册五、教学设计说明1.通过让学生各自取不同的数据，画出二元一次不等式的平面区域，然后边讨论，边总结出二元一次不等式的平面区域的画法.2.通过例1，帮助学生掌握实数范围的线性约束条件的平面区域的画法.3.通过例2，帮助学生掌握整数范围的线性约束条件的平面区域的画法.。
简单的线性规划学习内容总析线性规划位于不等式和直线方程的结合点上，是培养学生转化能力和熟练运用数形结合能力的重要内容。
这一节的知识内容形成了一条结构紧密的知识链条：以二元一次不等式（组）表示的平面区域为基础，根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法解决简单的线性规划问题。
学情总析本节内容是在学习了直线方程、二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，强调应用转化思想和数形结合思想来解决线性规划问题。
三维教学目标知识与技能：①了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；③掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。
过程与方法：①培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；②强化数形结合的数学思想方法；③提高学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力。
情感、态度与价值观：①在感受现实生产、生活中的各种优化、决策问题中体验应用数学的快乐；②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；③在探究性练习中，感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。
教学重点及应对策略1、教学重点：根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；2、应对策略：将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题，然后借助直线方程的知识进行解决。
教学难点及应对策略1、教学难点：①借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系；②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。
2、应对策略：在理论解释的同时，可用动画进行演示辅助理解。
教学过程设计。
第三课时 线性规划【学习目标】1、二元一次不等式(组)的几何意义；用平面区域表示二元一次不等式(组)。
2、会从实际情景中抽象出二元一次不等式(组)表示的平面区域及简单的二元线性规划问题。
【学习重点】解线性规划问题的步骤【学习难点】解线性规划问题的步骤[自主学习]1. 二元一次不等式表示的平面区域：在平面直角坐标系中，设有直线0=++C By Ax （B 不为0）及点),(00y x P ，则(1)若B>0，000>++C By Ax ，则点P 在直线的上方，此时不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的上方的区域；(2)若B>0，000<++C By Ax ，则点P 在直线的下方，此时不等式0<++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的下方的区域；(3) 若B<0, 我们都把Ax +By +C ＞0（或＜0）中y 项的系数B 化为正值.2. 线性规划:(1)满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解; 所有可行解组成的集合叫可行域；(2)在数学或实际中,常需要求出满足不等式组的解中,使目标函数z=ax+by 取得最大值或最小值的解(x,y)叫最优解,这里约束条件和目标函数都是x,y 的一次式,所以我们把这类问题叫线性规划.3.解线性规划问题的步骤.（1）设出变量，列出约束条件及目标函数；（2）画出可行域（3）观察平行直线系z=ax+by 的运动，求出目标函数的最值.[课前热身]1.已知点A （1，-1），B （5，-3），C （4，-5），则表示△ABC 的边界及其内部的约束条件是 .2.设变量x ，y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-,12,1,0y x y x y x 则目标函数z=5x+y 的最大值为 .3.若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m 的取值范围是 .4．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为_____________[典型例析]例1 已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，（1） 求y x z 2+=的最大和最小值。
4．2 简单线性规划图3－4－5已知不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ＋1≥0，x ≤3表示的平面区域如图3－4－5所示．1．在平面区域中，点A 、B 、C 的坐标分别是什么？【提示】 由⎩⎨⎧x －y ＋5＝0x ＋y ＋1＝0得B (－3，2)；由⎩⎨⎧x －y ＋5＝0x ＝3得A (3，8)；由⎩⎨⎧x ＝3x ＋y ＋1＝0得C (3，－4)． 2．对于函数z ＝2x －y ，当直线2x －y －z ＝0经过A 、B 、C 三点时，z 的值分别为多少？【提示】 直线经过A (3，8)时，z 的值为2×3－8＝－2；直线经过B (－3，2)时，z 的值为2×(－3)－2＝－8；直线经过C (3，－4)时，z 的值为2×3－(－4)＝10.3．当直线2x －y －z ＝0经过平面区域时，z 的取值范围是什么？变化规律把直线l 0：ax ＋by ＝0向上平移时，所对应的z 随之增大；把直线l 0：ax ＋by ＝0向下平移时，所对应的z 随之减小．(对应学生用书第65页)设z ＝2x ＋y ，式中变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值．【思路探究】 画出可行域―→作出直线2x ＋y ＝0 ―→平行移动直线―→求最值【自主解答】 画出可行域如图所示．令z ＝0，作直线l 0：2x ＋y ＝0，把直线l 0向上平移时，所对应的z ＝2x ＋y 的函数值随之增大；把直线l 0向下平移时，所对应的z ＝2x ＋y 的函数值随之减小．解方程组⎩⎨⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0得A 点坐标为(5，2)，解方程组⎩⎨⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0得B 点坐标为(1，1)，所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3.1．将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解． 2．当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个．在本例的线性约束条件下，求z ＝2x －3y 的最大值和最小值． 【解】 作出可行域，如图由图可知，当直线经过可行域上点A 时，z 最大；当直线经过可行域上点C 时，z 最小．解方程组⎩⎨⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，得C 点坐标为(1，225)．所以z max ＝2×5－3×2＝4，z min ＝2×1－3×225＝－565.已知⎩⎨⎧x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(2)z ＝2y ＋1x ＋1的范围．【思路探究】 (1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的几何意义是什么？如何求z 的最小值？(2)z ＝2y ＋1x ＋1的几何意义是什么？如何求z 的范围？【自主解答】 依约束条件作出可行域为图中阴影部分， A (1，3)，B (3，1)，C (7，9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0，5)的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故z min ＝d 2＝(|0－5＋2|12＋（－1）2)2＝92. (2)z ＝2y ＋1x ＋1＝2×y ＋12x ＋1可以看作可行域内的点(x ，y )与点Q (－1，－12)连线斜率k 的2倍，其范围是k QB ≤k ≤k QA ，而k QB ＝1－（－12）3－（－1）＝324＝38，k QA ＝3－（－12）1－（－1）＝722＝74.故z ＝2k ∈[34，72]．1．解决线性规划问题的一般步骤是：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，准确理解z 的几何意义．2．目标函数常见的类型： (1)截距型：z ＝ax ＋by ＋c .(2)距离型：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，即z 的几何意义为可行域内的动点与定点(a ，b )的距离的平方．(3)斜率型：z ＝y －bx －a，即z 的几何意义为可行域内的点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率．。
课题：二元一次不等式（组）与平面区域课型：新授课一、教材分析：本节所处的地位、特点、作用本节选自北师大教版《普通高中课程标准实验教科书》数学必修5第三章第四节第一课时内容，教学大纲对这部分内容的要求是了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用。
这是《新大纲》中增加的新内容，不仅为传统的高中数学注入了新鲜的血液，而且给学生提供了学数学、用数学的机会，体现了新课程理念。
在此之前，学生已经学习了直线的方程，已掌握二元一次方程与平面直线的对应关系，同时也学习了数形结合的思想方法。
为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。
这一节内容，是介绍直线方程的简单应用（即简单的线性规划）的基础，起到承前启后的作用。
二、学生情况分析：1）学习者的阶段性特征：通过已教过的经验和学生已有知识基础看，对于二元一次不等式（组）与平面区域二元一次不等式（组）与平面区域的学习，关键在于弄清楚和理解掌握口诀“直线定界，取点定域”，“系数化正、左小右大”。
学生前两节学习的基础上，对不等式的理性思维能力已经有了初步形成，但存在个别差异。
2）学习者个性特征：高一（E）班是普通班，而且是高一中数学比较差的一个班级。
全班整体数学基础比较薄弱。
在讲解的过程中要做到细致，耐心。
三、教学目标分析1、知识与技能：了解二元一次不等式（组）的相关概念，能画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解决简单的关于二元一次不等式（组）的实际问题；2、过程与方法：学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知能力；3、情态与价值：通过本节内容的学习，培养学生的数学应用意识，体会数学在实际问题中的重要应用，提高学习数学的兴趣；通过自主探索、合作交流，增强数学的情感体验，提高创新意识。
四、教学重点、难点和关键教学重点：从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），会画二元一次不等式（组）表示的平面区域；教学难点：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域；关键：理解掌握口诀“直线定界，取点定域”，“系数化正、左小右大”。
课题：简单的线性规划编制人： 审核： 下科行政：学习目标:1、会从实际情境中抽象出一元二次不等式组2、了解一元二次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3、会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决【课前预习案】一、基础知识梳理1、二元一次不等式表示平面区域二元一次不等式0Ax By C ++>的几何意义：平面坐标系中，直线0Ax By C ++=的一个侧的区域（1）直线定界：若是“>”或“<”，则直线画成 线若是“≥”或“≤”，则直线化成 线（2）点定域：由于在直线同一侧的所有点的坐标（x,y ）代入Ax By C ++，所得的实际符号 ，故只需在此直线的某一侧取一个特殊点00(,)x y ，由00Ax By C ++的符号即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域。
2、线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为“线性规划问题”满足线性约束条件的解（x,y ）叫做由所有可行解组成的集合叫做分别使目标函数z ax by =+取最大值或最小值的可行解叫做这个问题的二、练一练1、能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是（ ）(A) 01220y x y ≤≤⎧⎨-+≤⎩ (B) 1220y x y ≤⎧⎨-+≥⎩(C) 012200y x y x ≤≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩ (D) 12200y x y x ≤⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩2、已知点（-3，-1）和（4，-6）在直线320x y a --=的两侧，则a 的取值范围是（ ）(A) (24,7)- (B) (7,24)- (C) (,7)(24,)-∞-+∞ (D) (,24)(7,)-∞-+∞3、某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 满足约束条件2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，则该校招聘的教师人数最多是（ ）(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 124、画出不等式组3232639x y x x y y x <⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪<+⎩表示的平面区域【课内探究案】一、讨论、展示、点评、质疑探究一 区域问题题组一：1在平面直角坐标中，A （-1，-1），若点M （x,y ）为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个点，O 为坐标原点，则OA OM ⋅的取值范围是（ ）(A) [1,0]- (B) [0,1] (C) [0,2] （D ）[1,2]-2、已知D 是由不等式组2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为( ) (A) 4π (B)2π (C) 34π （D ）32π 3、已知函数2()54f x x x =-+，则不等式组()()014f x f y x -≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为4、若平面区域02022x y y kx ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤-⎩是一个梯形，则实数k 的取值范围是5、若变量x,y 满足210201x y x y x -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则点P （2x-y,x+y ）表示的平面区域的面积为(A) 12 (B) 11 (C) 3 (D) -1探究二、简单线性规划题组二1、已知变量x,y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）(A) 12 (B) 11 (C) 3 (D) -12、设变量x,y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是（ ） (A) 3[,6]2- (B) 3[,1]2-- (C) [1,6]- （D ）3[6,]2- 3、已知(,3),(2,)a x z b y z =+=-，且a b ⊥，若x,y 满足不等式1x y +≤，则z 的取值范围为（ ）(A) [2,2]- (B) [2,3]- (C) [3,2]-（D ）[3,3]-4、（10广东高考）某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C ，另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C ，如果一个单位的午餐和晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的应用要求，并且花费最少，为该儿童分别预订个多少个单位的午餐和晚餐？探究三、线性规划综合应用题组三、1、设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2,则m 的取值范围是（ ）(A) (1,1+(B) (1)+∞ (C) (1,3) （D ）(3,)+∞2、若变量x,y 满足2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，目标函数2z kx y =+在(1,1)处取最小值，则k 的取值范围是（ ）(A) (1,2)- (B) (4,0]- (C) (4,2)-- （D ）(2,4)-3、设平面区域D 是双曲线2214y x -=的两条渐近线和直线680x y --=所围成三角形的边界和内部，当(,)x y D ∈时，222x y ++的最大值为（ ）(A) 24 (B) 25 (C) 4 (D) 74、一元二次方程220x ax b ++=有两个根，一根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，则点（a,b ）对应的区域的面积为 ， 21b a --的取值范围为总结提升1、 知识方面2、 数学思想方面。
高二数学线性规划应用导学案1、能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。
2、了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值。
3、增强学生的应用意识，培养学生理论联系实际的观点。
学习重点学习应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题学习难点建立目标函数，确定线性约束条件，求出最优解。
学法指导体会数学建模的思想，掌握数学建模的方法。
学习过程学习笔记（教学设计）【自主学习（预习案）】阅读教材105的内容，完成下列问题：1、二元一次不等式组的几何意义是什么？2、解决线性规划问题的基本步骤是什么？【合作学习（探究案）】小组合作完成下列问题探究一：在一定量的人力、物力条件下，如何安排和使用，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小。
例9 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元。
若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？探究二：在定量的人力、物力条件下，怎样运用这些资源能使完成产任务量最大。
学习课本例10：思考：如果从实际问题中体会线性规划的方法的应用？【当堂检测】（1）课本107页练习：（2）咖啡馆配制两种饮料、甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g、已知每天原料的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g 糖3000g,如果甲种饮料每杯能获利0、7元，乙种饮料每杯能获利1、2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？【当堂小结】线性规划主要研究哪几类问题？课后巩固（布置作业）】课本113页B组习题4。
【纠错反思（教学反思）】。
二元一次不等式（组）及其简单的线性规划问题考纲要求1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.考情分析1.求二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积、求目标函数的最值及简单的线性规划实际应用问题是命题的热点．2.题型多为选择、填空题，着重考查平面区域的画法及目标函数最值问题，注重考查等价转化、数形结合思想.教学过程基础梳理一、二元一次不等式表示平面区域1．二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面) 边界直线．2．对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合3．可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的来判断Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的区域．4．由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的．双基自测1．(教材习题改编)已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧x ≥1，y ≤2，x －y ≤0，则此不等式组表示的平面区域的面积是 ( )A.12B.14C ．1 D.182．(教材习题改编)设x 、y 满足条件⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2x －y ≥1.则t ＝2y －x 的最大值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．43．在直角坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧y ≤x ＋2，y ≥0，0≤x ≤t .所表示的平面区域的面积为52，则t 的值为 ( )A ．－3或 3B ．－5或1C ．1 D.34．写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是__________．5．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1.则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值为________．典例分析考点一、二元一次不等式（组）表示平面区域[例1] (2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点.考点二、求目标函数的最值 [例2] (2011·广东高考)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D ，由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝O M ·O A的最大值为 ( )A ．4 2B ．3 2C ．4D ．3变式1.若本例条件不变，试求z ＝2x －y 的最小值．1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. 注意转化的等价性及几何意义.考点三、线性规划中参数的取值范围(2011·湖南高考)设m >1，在约束条件⎩⎨⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为 ( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞) 根据约束条件画出可行域如图所示，将目标函数化为斜截式为y ＝－1m x ＋zm，结合图形可以看出当目标函数过y ＝mx 与x ＋y ＝1的交点时取到最大值．联立⎩⎨⎧y ＝mx ，x ＋y ＝1，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1.将其代入目标函数得z max ＝1＋m 2m ＋1.由题意可得1＋m 2m ＋1<2，又m >1，所以1<m <1＋ 2.变式2. 已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为( )．A ．1B ．－3C ．1或－3D ．0本题考查线性规划最值问题的应用，解题的关键在于用数形结合思想确定何时取得最大值，从而建立不等关系求参数m 的范围．解此题时很多学生因为目标函数中含参数而又无数形结合思想的应用意识感觉无从下手．确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C ＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．一个步骤利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 两个防范(1)画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化． (2)求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．要注意：当b ＞0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b取最小值时，z 也取最小值；当b ＜0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z b取最小值时，z 取最大值．本节检测1．已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤1，2x ＋y ≤5，x ≥1，则Z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．72．(2011·山东高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数Z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.53．若Z ＝mx ＋y在平面区域⎩⎨⎧y －2x ≤0，2y －x ≥0，x ＋y －3≤0上取得最小值时的最优解有无穷多个，则Z 的最小值是( )A ．－1B ．1C ．0D ．0或±14．(2012·海淀模拟)P (2，t )在不等式组⎩⎨⎧x －y －4≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域内，则点P (2，t )到直线3x ＋4y ＋10＝0距离的最大值为( )A ．2B ．4C ．6D ．85. 下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的点是( )．A ．(0,0)B ．(－1,1)C ．(－1,3)D ．(2，－3)6. 完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人的约束条件是________．自我反思。
二元一次不等式组与简单的线性规划一、考试大纲：1.会从实际情景中抽象出二元一次不等式组。
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。
3.会从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
考查形式：一是求给定可行域的面积；二是求给定可行域的最优解；三是给出可行域的最优解，求目标函数中参数的范围。
二、复习内容：1.二元一次不等式(组)表示平面区域2.线性规划的有关概念：线性约束条件，线性目标函数，线性规划问题，可行解，可行域，最优解。
3利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是（1）在平面直角坐标系内作出可行域.（2）作出目标函数的等值线.（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定 .（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.随堂练习1、画出不等式2x +y -6＜0表示的平面区域.2、画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域。
规律揭示(1)直线y=kx+b 把平面分成两个区域：y>kx+b 表示直线_____方的平面区域；y ＜kx+b 表示直线_____方的平面区域．(2)对于Ａx+Ｂy+Ｃ＞０（或＜０）表示的区域：当B>0时，Ａx+Ｂy+Ｃ＞０表示直线Ａx+Ｂy+Ｃ＝０_____方的平面区域； 当B>0时，Ａx+Ｂy+Ｃ＜０表示直线Ａx+Ｂy+Ｃ＝０_____方的平面区域．1.试画出不等式组+5003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域。
（1） 指出x,y 的取值范围。
（2）求平面区域的面积。
2.(2009·福建高考)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 ( )A ．－5B ．1C ．2D ．33.(2009·天津高考)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数 （1）z ＝2x ＋3y 的 最值为 （2） 22y x z += 最值为 （3）xy z =最值为思考并讨论题中的z 分别有什么样的几何意义。
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题材拓展1．二元一次不等式(组)表示平面区域(1)直角坐标平面内的一条直线Ax ＋By ＋C ＝0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧的点集和直线上的点集．(2)若点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的同侧(或异侧)，则Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 同号(或异号)．(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．画二元一次不等式表示的平面区域常 采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点．当C ＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．3．补充判定二元一次不等式表示的区域 的一种方法先证一个结论已知点P (x 1，y 1)不在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (B ≠0)上，证明： (1)P 在l 上方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )>0； (2)P 在l 下方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 证明 (1)∵B ≠0，∴直线方程化为y ＝－A B x －CB，∵P (x 1，y 1)在直线上方，∴对同一个横坐标x 1，直线上点的纵坐标小于y 1，即y 1>－A B x 1－CB.(*)∵B 2>0，∴两端乘以B 2，(*)等价于B 2y 1>(－Ax 1－C )B ， 即B (Ax 1＋By 1＋C )>0.(2)同理，由点P 在l 下方，可得y 1<－A B x 1－CB，从而得B 2y 1<(－Ax 1－C )B ，移项整理为B (Ax 1＋By 1＋C )<0. ∵上述解答过程可逆，∴P 在l 上方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )>0， P 在l 下方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 从而得出下列结论：(1)B >0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)，而Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的平面区域(不包括直线)．(2)B <0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域(不包括直线)，而二元一次不等式Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)．(3)B ＝0且A >0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)．(4)B ＝0且A <0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)．法突破一、二元一次不等式组表示的平面区域方法链接：只要准确找出每个不等式所表示的平面区域，然后取出它们的重叠部分，就可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域．例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14 解析答案 B二、平面区域所表示的二元一次不等式(组)方法链接：由平面区域确定不等式时，我们可以选用特殊点进行判断，把特殊点代入直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，根据代数式Ax ＋By ＋C 的符号写出对应的不等式，根据是否包含边界来调整符号．例2 如图所示，四条直线x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，x ＋2y ＋2＝0,3x －y ＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组____________表示．解析 (0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线x ＋y －2＝0的同侧，把(0,0)代入到x ＋y －2，得0＋0－2<0，所以直线x ＋y －2＝0对应的不等式为x ＋y －2<0，同理可得到其他三个相应的不等式为x ＋2y ＋2>0,3x －y ＋3>0，x －y －1<0， 则可得所求不等式组为三、和平面区域有关的非线性问题方法链接：若目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关．若目标函数为形如z ＝y －bx －a，可考虑(a ，b )与(x ，y )两点连线的斜率．若目标函数为形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，可考虑(x ，y )与(a ，b )两点距离的平方． 例3 (2009·山东济宁模拟)已知点P (x ，y )满足点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的最大值与最小值为( )A ．6,3B ．6,2C ．5,3D ．5,2解析可行域如图阴影部分，设|PQ |＝d ，则由图中圆心C (－2，－2)到直线4x ＋3y －1＝0的距离最小，则到点A 距离最大．由得(－2,3)． ∴d max ＝|CA |＋1＝5＋1＝6，d min ＝|－8－6－1|5－1＝2.答案 B四、简单的线性规划问题方法链接：线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．例4 某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解 依题意设每星期生产x 把椅子，y 张书桌， 那么利润p ＝15x ＋20y .其中x ，y 满足限制条件{ 4x ＋8y ≤x ＋y ≤x ≥0，x ∈N *y ≥0，y ∈N *. 即点(x ，y )的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x ＋8y ＝8 000(即AB )，2x ＋y ＝1 300(即BC )，x ＝0(即OA )和y ＝0(即OC )．对于某一个确定的p ＝p 0满足p 0＝15x ＋20y ，且点(x ，y )属于阴影部分的解x ，y 就是一个能获得p 0元利润的生产方案．对于不同的p ，p ＝15x ＋20y 表示一组斜率为－34的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低．按题意，要求p 的最大值，需把直线p ＝15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值．由{ 4x ＋8y ＝8 00x ＋y ＝1 300，得B (200,900)， 当x ＝200，y ＝900时，p 取最大值， 即p max ＝15×200＋20×900＝21 000，即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元．区突破1．忽略截距与目标函数值的关系而致错 例1 设E 为平面上以A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z ＝4x －3y 的最大值与最小值．[错解]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值．∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[点拨] 直线y ＝43x －13z 的截距是－13z ，当截距－13z 最大即过点C 时，目标函数值z 最小；而当截距－13z 最小即过点B 时，目标函数值z 最大．此处容易出错．[正解] 把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最小值．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.2．最优整数解判断不准而致错 例2 设变量x ，y 满足条件求S ＝5x ＋4y 的最大值．[错解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x ＋4y ＝S 过点A ⎝⎛⎭⎫95，2310时，S ＝5x ＋4y 取最大值，S max ＝18 15.因为x 、y 为整数，所以当直线5x ＋4y ＝t 平行移动时，从点A 起通过的可行域中的整点是C (1,2)，此时S max ＝13.[点拨] 上述错误是把C (1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有一个整点B (2,1)，此时S ＝14才是最大值．[正解] 依据已知条件作出图形如图所示，因为B (2，1)也是可行域内的整点，由此得S B ＝2×5＋1×4＝14，由于14>13，故S max ＝14.温馨点评 求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解.题多解例 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有() A．5种B．6种C．7种D．8种解析方法一由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种选购方式；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种选购方式；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种选购方式，故共有1＋2＋4＝7(种)不同的选购方式．方法二先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘，再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿方法一可知选C.方法三设购买软件x片，磁盘y盒．则，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．答案 C题赏析1．(2011·浙江)设实数x，y满足不等式组{x＋2y－5>0，x＋y－7>0，x≥0，y≥0，且x，y为整数，则3x＋4y的最小值是()A．14 B．16C．17 D．19解析作出可行域，如图中阴影部分所示，点(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故3x＋4y的最小值是3×4＋4×1＝16.答案 B2．(2009·烟台调研)若x，y满足约束条件{x＋y≥x－y≥－x－y≤2，目标函数z ＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)解析作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，即－4<a <2. 答案 B赏析 本题考查线性规划的基本知识，要利用好数形结合．。
平面区域与简单的线性规划问题例1画出不等式组表示的平面区域．分析采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分．解把，代入中得∴不等式表示直线下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示．说明“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法．例2若、满足条件求的最大值和最小值．分析画出可行域，平移直线找最优解．解作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点时，取得最大值，当过点时，取得最小值．∴∴说明解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值．例3某糖果厂生产、两种糖果，种糖果每箱获利润40元，种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12机器小时，烹调的设备至多只能用机器30机器小时，包装的设备只能用机器15机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润．分析找约束条件，建立目标函数．解设生产种糖果箱，种糖果箱，可获得利润元，则此问题的数学模式在约束条件下，求目标函数的最大值，作出可行域，其边界由得，它表示斜率为，截距为的平行直线系，越大，越大，从而可知过点时截距最大，取得了最大值．解方程组∴即生产种糖果1生产种糖果300箱，可得最大利润19800元．说明由于生产种糖果1生产种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为1×300＝7），烹调时间5×1×300＝1800（分），包装时间3×100＝660（分），这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松驰”部分，有待于改进研究．例4甲、乙、丙三种食物的维生素、含量及成本如下表：某食物营养研究所想用千克甲种食物，千克乙种食物，千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素和63000单位维生素．（1）用、表示混合物成本．（2）确定、、的值，使成本最低．分析找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解．解（1）依题意：、、满足∴成本（元）（2）依题意∵∴作出不等式组所对应的可行域，如图所示．联立作直线则易知该直线截距越小，越小，所以该直线过时，直线在轴截距最小，从而最小，此时7×50＋5×00＝＝850元∴千克，千克时成本最低．例5．某工厂的一个车间生产某种产品，其中成本为每公斤27元，售价为每公斤50元．在生产产品的同时，每公斤产品产生出0.3立方米的污水．污水有两种排放方式：其一是输送到污水处理厂，经处理（假设污水处理率为85%）后排入河流；其二是直接排入河流．若污水处理厂每小时最大处理能力是0.9立方米污水，处理成本是每立方米污水5元；环保部门对排入河流的污水收费标准是每立方米污水17.6元．根据环保要求该车间每小时最多允许排入河流中的污水是0.225立方米．试问：该车间应选择怎样的生产与排污方案，使其净收益最大．通过例题的解答学会分析线性规划的实际问题，列出相应的约束条件和目标函数，并画出二元一次不等式表示的平面区域，数形结合，在可行域内找到问题的解答．从而掌握解决线性规问题的方法和步骤．思路与解：设出所需要的变量，由整体到部分分析与由部分到整体综合相结合，列出用变量表示的约束的量及其用不等式表示的约束条件；列出用变量表示的目标函数解析式．这是解决线性规划问题关键，是教学的重点．分析与解决问题的方法和步骤是：（1）设出所需的变量．设该车间生产的产品为每小时x公斤，直接排入河流的污水量为每小时y立方米，净收入为每小时Z 元．（2）分别列出受约束的量，用变量表示，并综合为约束条件．①污水处理厂处理污水量：（0.3x－y）m3/小时；②排入河流水量＝处理厂剩余污水量度＋直接排入的污水量 ＝[（0.3x －y ）×（1－85%）＋y ] m 3/小时．约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+⨯-≥-≤-.0 , 0,0225.0%15)3.0(,03.0,9.03.0y x y y x y x y x 且化简为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≥-≤-.0,0,451709.0103,9103y x y x y x y x 且（3）列出构成目标函数的各量并得到目标函数．净收收入Z ＝销售收入—生产成本—污水处理成本—污水排放费用＝50x －27x －5(0.3x －y )－17.6[0.15(0.3x －y )＋y ] ＝08x －9.96y ．(4)作出约束条件表示的平角区域（如图7－4中四边形OABC ）．即可行域．（5）作出Z ＝0时的直线l ：08x －9.96y ＝0，并向右平秽至过可行域上的点B ，且与原点距离最大，Z ＝08x －9.96y 取最大值． （6）解以B 为交点的两条直线的方程组：⎩⎨⎧=+=-.451709,9103y x y x 得交点坐标B （3.3，0.09） （7）回答问题的解．当该车间每小时生产3.3公斤产品，直接排入河流的污水为0.09m 3时，净收入最大为：Z max ＝08×3.3－9.96×0.09＝67.44（元）．说明：也可以先列目标函数再列约束条件．。
可编辑修改精选全文完整版线性规划教案【线性规划教案】一、教学目标1. 了解线性规划的基本概念和应用领域；2. 掌握线性规划的数学模型的建立方法；3. 学会使用线性规划的求解方法，解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
二、教学内容1. 线性规划的基本概念a. 线性规划的定义和特点；b. 线性规划的应用领域。
2. 线性规划的数学模型a. 决策变量的定义和约束条件的建立；b. 目标函数的确定。
3. 线性规划的求解方法a. 图形法求解；b. 单纯形法求解。
4. 实际问题的线性规划建模和求解a. 生产计划问题；b. 运输问题；c. 投资组合问题。
三、教学过程1. 线性规划的基本概念a. 引入线性规划的背景和定义，让学生了解线性规划的基本概念；b. 通过实例，介绍线性规划在生产、运输、投资等领域的应用。
2. 线性规划的数学模型a. 介绍决策变量的概念和约束条件的建立方法，让学生掌握数学模型的建立过程；b. 解释目标函数的概念和确定方法，让学生理解目标函数在线性规划中的作用。
3. 线性规划的求解方法a. 详细介绍图形法的步骤和求解过程，通过实例演示图形法的应用；b. 详细介绍单纯形法的步骤和求解过程，通过实例演示单纯形法的应用。
4. 实际问题的线性规划建模和求解a. 通过实际生产计划问题，引导学生进行线性规划建模和求解；b. 通过实际运输问题，引导学生进行线性规划建模和求解；c. 通过实际投资组合问题，引导学生进行线性规划建模和求解。
四、教学方法1. 讲授法：通过讲解线性规划的基本概念、数学模型和求解方法，让学生掌握相关知识；2. 实例演示法：通过实际问题的演示，让学生理解线性规划在实际问题中的应用；3. 讨论交流法：引导学生参与讨论，共同解决线性规划问题，培养学生的合作和交流能力；4. 练习和作业：布置练习和作业，巩固学生的知识和能力。
五、教学评价1. 学生课堂表现：观察学生的听讲和参与情况，评价学生的学习态度和积极性；2. 学生作业完成情况：检查学生的练习和作业完成情况，评价学生的掌握程度；3. 学生实际问题求解能力：通过实际问题的求解，评价学生的问题解决能力和应用能力。
人的一生，总是在追求自由的一生，青春的激情会随着岁月的风蚀而消逝殆尽。
下面为您推荐高二数学必修三教案：《线性规划》。
教学目标（1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及解等基本概念；（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；（5）结合教学内容，培养学生学习数学的爱好和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教学建议一、知识结构教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域.再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法-图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用.二、重点、难点分析本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较生疏、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：（1）二元一次不等式表示平面区域.首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念.明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）.其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线.（2）二元一次不等式组表示平面区域.在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分.这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础.难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象碰到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模.所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出解作为突破这个难点的关键.对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题.另外，利用计算机可以较快地帮助学生把握寻找整点解的方法.教法建议（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较生疏的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到忽然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证实、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识把握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.（3）要举几个典型例题，非凡是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的.（4）建议通过本节教学着重培养学生把握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的.（5）对作业、思考题、研究性题的建议：作业主要练习学生规范的解题步骤和作图能力；思考题主要供学有余力的学生课后完成；研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维.（6）若实际问题要求的解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的四周寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解四周寻找.假如可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可.（7）在线性规划的实际问题中，主要把握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量，收到的效益；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.线性规划教学设计方案（一）教学目标使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域.重点难点了解二元一次不等式表示平面区域.教学过程引入新课我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？二元一次不等式表示的平面区域1.先分析一个具体的例子我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合是什么图形呢？在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：①在l上；②在l的右上方的平面区域；③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（-1，-1）等等不属于A，它们满足不等式，这些点却在l的左下方的平面区域.由此我们猜想，对直线l右上方的任意点成立；对直线l左下方的任意点成立，下面我们证实这个事实.在直线上任取一点，过点P作垂直于y轴的直线，在此直线上点P右侧的任意一点，都有∴于是所以因为点，是L上的任意点，所以，对于直线右上方的任意点，都成立同理，对于直线左下方的任意点，都成立所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集点.是直线右上方的平面区域（如图）类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是直线左下方的平面区域.2.二元一次不等式和表示平面域.（1）结论：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域.把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线.（2）判定方法：由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个非凡点，以的正负情况便可判定表示这一直线哪一侧的平面区域，非凡地，当时，常把原点作为此非凡点.应用举例例1 画出不等式表示的平面区域解；先画直线（画线虚线）取原点（0，0），代入，∴ ∴ 原点在不等式表示的平面区域内，不等式表示的平面区域如图阴影部分.例2 画出不等式组表示的平面区域分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.解：不等式表示直线上及右上方的平面区域，表示直线上及右上方的平面区域，上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分.课堂练习作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域.总结提炼1.二元一次不等式表示的平面区域.2.二元一次不等式表示哪个平面区域的判定方法.3.二元一次不等式组表示的平面区域.布置作业1.不等式表示的区域在的（）.A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方2.不等式表示的平面区域是（）.3.不等式组表示的平面区域是（）.4.直线右上方的平面区域可用不等式表示.5.不等式组表示的平面区域内的整点坐标是 .6.画出表示的区域.答案：1.B2.D3.B4.5.（-1，-1）。
四平市第一高级中学 2013级高一年级数学学科学案学案类型： 新课 材料序号： 14 编稿教师： 刘强 审稿教师： 刘 强课题：3.3.2简单的线性规划问题一、学习目标： 1、 是学生了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义及约束条件、 目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
了解相性规划的图解法。
2、经历从实际情景抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力。
二、学习重、难点：教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题。
教学难点：准确求得线性规划问题的最优解。
三、知识导学：1、线性约束条件：不等式组是一组变量y x ,的约束条件，这组约束条件都是关于y x ,的一次不等式，故又称线性约束条件。
2、线性目标函数：关于y x ,的一次式是欲达到最大值或最小值所涉及的变量y x ,的解析式， 叫线性目标函数。
3、线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题， 统称为线性规划问题。
4、可行解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解。
5、可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域。
6、最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。
四、典型例题：1、线性规划的概念【例1】有x 辆6吨的汽车，y 辆4吨的汽车，要运送最多的货物完成这 项运输任务的线性目标函数为 （ ） A. y x z 46+= B. y x z 45+= C. y x z += D. x y z 54+= 2、求目标函数的最值【例2】求y x z +=2的最大值，使式中的y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y 。
3、线性规划的实际应用【例3】某工厂有B A 、两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时h 1,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时h 2，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天h 8计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？五、课堂练习： 1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供kg 075.0的碳水化合物，kg 06.0的蛋白质，kg 06.0的脂肪，kg 1食物A 含有kg 0105.0碳水化合物，kg 07.0蛋白质，kg 14.0脂肪，花费28元；而kg 1食物B 含有kg 105.0碳水化合物，kg 14.0蛋白质，kg 07.0脂肪，花费21元。
§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（1）学习目标1．了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界，会用二元一次不等式组表示平面区域；2．经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力. 学习过程一、课前准备复习1：一元二次不等式的定义_______________二元一次不等式定义________________________二元一次不等式组的定义_____________________ 复习2：解下列不等式：（1）210x -+>； （2）2232041590x x x x ⎧+-≥⎪⎨-+>⎪⎩ .二、新课导学 学习探究探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，3040x x +>⎧⎨-<⎩的解集为 . 那么，在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？探究2：你能研究：二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形吗？（怎样分析和定边界？）先研究具体的二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形.如图：在平面直角坐标系内，x -y =6表示一条直线.平面内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线x -y =6上的点；第二类：在直线x -y =6左上方的区域内的点；第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点.设点1(,)P x y 是直线x-y=6上的点，选取点2(,)A x y ，使它的坐标满足不等式6x y -<，请同学们完成以下的表格，横坐标x -3 -2 -1 0 1 2 3 点P 的纵坐标1y 点A 的纵坐标2y并思考：当点A 与点P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？_______________ 根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式6x y -<有什么关系？______________ 直线x-y=6右下方点的坐标呢？在平面直角坐标系中，以二元一次不等式6x y -<的解为坐标的点都在直线x-y=6的_____；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式6x y -<.因此，在平面直角坐标系中，不等式6x y -<表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图: 类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图: 直线叫做这两个区域的边界结论：1. 二元一次不等式0Ax By c ++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By c ++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2. 不等式中仅>或<不包括 ；但含“≤”“≥”包括 ； 同侧同号，异侧异号. 典型例题例1画出不等式44x y +<表示的平面区域.分析：先画 ___________（用 线表示），再取 _______判断区域，即可画出．归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0C ≠时，常把原点作为此特殊点.变式：画出不等式240x y -+-≤表示的平面区域.例2用平面区域表示不等式组3122y x x y <-+⎧⎨<⎩的解集归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.变式1：画出不等式(21)(4)0x y x y ++-+<表示的平面区域.变式2：由直线20x y ++=，210x y ++=和210x y ++=围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 . 练一练练1. 不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的 __ 练2. 画出不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域.三、总结提升 学习小结1、由于对在直线0Ax By C ++=同一侧的所有点(,x y )，把它的坐标（,x y )代入Ax By C ++，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）2、含绝对值不等式表示的平面区域的作法：（1）去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式． （2）一般采用分象限讨论去绝对值符号． （3）采用对称性可避免绝对值的讨论．（4）在方程()0f x y =或不等式()0f x y >中，若将x y 换成()()x y --，方程或不等式不变，则这个方程或不等式所表示的图形就关于()y x 轴对称．当堂检测：1. 不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的（ ）.A ．右上方B ．右下方C ．左上方D ．左下方 2. 不等式3260x y +-≤表示的区域是（ ）.3.不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域是（ ）.4. 已知点(3,1)--和(4,6)-在直线320x y a -++=的两侧，则的取值范围是 .5. 画出11x y ≥⎧⎨<⎩表示的平面区域为：6. 用平面区域表示不等式组32326x y x x y <⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩的解集.7. 求不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示平面区域的面积.§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（2）学习目标1． 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；2．能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.学习过程一、课前准备复习1：画出不等式2x +y-6＜0表示的平面区域.复习2：画出不等式组23122360x y x y x +≤⎧⎪+>-⎨⎪≥⎩所示平面区域.二、新课导学 典型例题例1 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数今需要三种规格的成品分别为12块、15块、27块，用数学关系式和图形表示上述要求.例2 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t ，硝酸盐18t ；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t ，硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t ，硝酸盐66t ，在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.练一练练1. 不等式组(5)()003x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是什么图形？练2. 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.三、总结提升 学习小结1、根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数. 反复的读题，读懂已知条件和问题，边读边摘要，读懂之后可以列出一个表格表达题意. 然后根据题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，完成实际问题向数学模型的转化.2、求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫. 常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是先确定区域内点的横坐标的范围，确定x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出y 的一元一次不等式组，再确定y 的所有整数值，即先固定x ，再用x 制约y .当堂检测1. 不在326x y +<表示的平面区域内的点是（ ）.A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（0，2） Ｄ．（2，0）2. 不等式组5003x y x -+≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域是一个（ ）.A ．三角形 Ｂ．直角梯形 Ｃ．梯形 Ｄ．矩形 3. 不等式组13y x x y y <⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域为Ｄ，点1(0,2)P -，点2(0,0)P，则（ ）. A ．12,P D P D ∉∉ B ．12,P D P D ∉∈ C ．12,P D P D ∈∉ D ．12,P D P D ∈∈ 4. 由直线20,210x y x y ++=++=和210x y ++=的平围成的三角形区域（不包括边界）用不等式可表示为 .5. 不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域内的整点坐标是 .6. 一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A 和B . 每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序.桌子A 需要10min 打磨，6min 着色，6min 上漆；桌子B 需要5min 打磨，12min 着色，9min 上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min ，着色每天至多480min ，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域.§3.3.2 简单的线性规划问题(1)学习目标① 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；② 能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件. 学习过程一、课前准备找出目标函数，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域的定义．二、新课导学 学习探究在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，由已知条件可得二元一次不等式组：（2）画出不等式组所表示的平面区域：注意：在平面区域内的必须是整数点．（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：（5）获得结果：新知：线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(,)x y叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．典型例题例1 在探究中若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润？例2. 求2z x y=+的最大值，其中x、y满足约束条件11y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩三、总结提升学习小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解寻找整点最优解的方法：1. 平移找解法：先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.2. 调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点最优解.3. 由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可能解逐一检验即可见分晓.当堂检测1. 目标函数32z x y=-，将其看成直线方程时，z的意义是（）.A．该直线的横截距B．该直线的纵截距C．该直线的纵截距的一半的相反数D．该直线的纵截距的两倍的相反数2. 已知x、y满足约束条件503x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y=+的最小值为（）.A．6 B．-6 C．10 D．-103. 在如图所示的可行域内，目标函数z x ay=+取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值是D.14. 有5辆6吨汽车和4辆5吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为.5. 已知点（3，1）和（-4，6）在直线320x y a-+=的两侧，则a的取值范围是6. 在ABC∆中，A（3，-1），B（-1，1），C（1，3），写出ABC∆区域所表示的二元一次不等式组.6. 求35z x y=+的最大值和最小值，其中x、y满足约束条件5315153x yy xx y+≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩.§3.3.2简单的线性规划问题(2)学习目标1. 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；2. 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.学习过程一、课前准备复习：已知变量,x y满足约束条件4335251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，设2z x y=+，取点（3，2）可求得8z=，取点（5，2）可求得max12z=，取点（1，1）可求得min3z=取点（0，0）可求得0z=，取点（3，2）叫做_________点（0，0）叫做_____________，点（5，2）和点（1，1）__________________二、新课导学学习探究线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：典型例题例1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？C（4，A（1，B（5，1）O xy例2要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块今需要三种规格的成品分别为12块、15块、27块，各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C、三种规格成品，且使所用钢板张数最少？变式：第一种钢板为21m，第二种为22m，各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格的成品且所用钢板面积最小？例3 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料. 若生1车皮甲种肥料能产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元. 那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？三、总结提升学习小结1、简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.2、含绝对值不等式所表示的平面区域的作法：（1）去绝对值，转化为不等式组；（2）采用分零点讨论或分象限讨论去绝对值；（3）利用对称性可避免讨论.当堂检测1. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是（）.A．50402000x y+=B．50402000x y+≤C．50402000x y+≥D．40502000x y+≤2. 已知,x y满足约束条件0403280,0xyx yx y≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩，则25z x y=+的最大值为（）.A．19 B．18 C．17 D．163. 变量,x y满足约束条件232421229360,0x yx yx yx y+≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩则使得32z x y=+的值的最小的(,)x y是（）.A．（4，5）B．（3，6）C．（9，2）D．（6，4）4. 已知实数,x y满足约束条件240220330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数2z x y=+的最大值为______________5. 设变量,x y满足约束条件3023x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤≤⎩则目标函数2x y+的最小值为______________ §3.3.2简单的线性规划问题(3)学习目标从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.复习1：已知1260,1536,aa b a bb<<<<-求及的取值范围复习2：已知41,145a b a b-≤-≤--≤-≤，求9a b-的取值范围.二、新课导学学习探究若实数x，y满足1311x yx y≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，求4x+2y的取值范围．错解：由①、②同向相加可求得：024x≤≤即048x≤≤③由②得11y x-≤-≤将上式与①同向相加得024y≤≤④③十④得04212x y≤+≤以上解法正确吗?为什么?上述解法中，确定的0≤4x≤8及0≤2y≤4是对的，但用x的最大(小)值及y的最大(小)值来确定4x十2y的最大(小)值却是不合理的．x取得最大（小）值时，y并不能同时取得最大（小）值.由于忽略了x和y的相互制约关系，故这种解法不正确．此例有没有更好的解法?怎样求解?典型例题例1 若实数x，y满足1311x yx y≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，求4x+2y的取值范围．变式：设2()f x ax bx =+且1(1)2f -≤-≤，2(1)4f ≤≤，求(2)f -的取值范围例2. 设2z x y =+，式中变量x 、y 满足 4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值与最小值.例3. 求z x y =-的最大值、最小值，使x 、y 满足条件200x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩.三、总结提升 学习小结1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.2．线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个． 3、求解线性规划规划问题的基本程序：作可行域，画平行线，解方程组，求最值.目标函数的一般形式为z Ax By C =++，变形为1A C y x z B B B =-+-，所以1Cz B B-可以看作直线1A Cy x z B B B=-+-在y 轴上的截距.当0B >时，1C z B B -最大，z 取得最大值，1Cz B B -最小，z 取得最小值；当0B <时，1C z B B -最大，z 取得最小值，1Cz B B-最小，z 取得最大值.当堂检测1. 若0x ≥，0y ≥且1x y +≤，则z x y =-的最大值为（ ）.A ．-1B ．1C ．2D ．-22. 在ABC ∆中，三顶点分别为A （2，4），B （-1，2），C （1，0），点(,)P x y 在ABC ∆内部及其边界上运动，则的取值范围为（ ）.A ．[1，3]B ．[-1，3]C ．[-3，1]D ．[-3，-1]3.若不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（ ）.A ．5a <B ．7a ≥C ．57a ≤<D ．5a <或7a ≥4. 设x 、y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则32z x y =+的最大值是 .5. 设x 、y 满足约束条件2438x y x y ≤≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则32k x y =-的最大值是 .6. 画出(21)(3)0+--+>表示的平面区域.x y x y。
