2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (51)

2020高考模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,2A =，{}1,1,1B a =-+且A B ⊆，则a =（ ） A ．1 B ．0C ．1-D ．2【答案】A【解析】由A B ⊆，则2B ∈,则12a +=，得答案. 【详解】由A B ⊆,{}1,2A =，{}1,1,1B a =-+, 则2B ∈,所以1a +=2. 所以1a = 故选：A. 【点睛】本题考查集合的包含关系，属于基础题.2．在复平面内，复数(1i)(2i)z =+-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A ．【解析】试题分析：(1)(2)3z i i i =+-=+，∴对应的点为(3,1)，位于第一象限． 【考点】复数的乘除和乘方．3．抛物线230x y +=的准线方程为（ ） A ．34x =B ．32x =-C ．34y =D ．32y =-【答案】C【解析】将抛物线230x y +=方程化为标准方程23x y =-，由抛物线的标准方程可得其准线方程. 【详解】由抛物线230x y +=有23x y =-,根据抛物线的标准方程可得32p =. 则其准线方程为：34y =【点睛】本题考查由抛物线的方程求准线方程，属于基础题.4．已知2a b =，()a b a -⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A ．30 B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒【答案】C【解析】由()a b a -⊥有()=0a b a -⋅得2=a b a ⋅，再代入向量的夹角公式可求解. 【详解】由()a b a -⊥有()=0a b a -⋅. 即2=a b a ⋅，又2a b =.则221cos ,22aa b a b a ba⋅〈〉===⋅. 由a 与b 的夹角在[0,]π内. 所以a 与b 的夹角为3π. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的夹角，向量的数量积的运算,属于基础题.5．如图所示的程序框图，若输出值1y =，则输入值x 的集合是（ ）A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}1【答案】C【解析】将输出的值1y =，沿着“是”，“否”两条路线反代回去，即可求出x 的值. 【详解】若输入的1x >，则输出2log 1y x ==，则2x =. 若输入的1x ≤，则输出11()112x y -=-=,则0x =.则输入值x 的集合是: {}0,2 故选：C 【点睛】本题考查程序框图，根据输出的结果计算输入的初始值，属于基础题.6．污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一.凉山州某地区2019年空气质量为“良”的天数共为150天，若要在2021年使空气质量为“良”的天数达到216天，则这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为（ ）（精确到小数点后2位） A ．0.13 B ．0.15 C ．0.20 D ．0.22【答案】C【解析】设空气质量为“良”的天数的年平均增长率为x ，则2021年使空气质量为“良”的天数2216150(1)x =+，然后求解方程得出答案.【详解】设空气质量为“良”的天数的年平均增长率为x ，则2021年使空气质量为“良”的天数2216150(1)x =+即2216(1) 1.44150x +==，解得：0.20x = 故选：C. 【点睛】本题主要考查平均变化率，增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量(1⨯+增长率)n,属于基础题.7．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度【答案】B【解析】根据图像有2A =,724632T πππ=-=,得到函数的最小正周期，根据周期公式可求出ω，然后求出()f x 和()g x 的解析式，再根据相位变换得到答案. 【详解】 根据图像有2A =,724632T πππ=-=, 所以22||T ππω==,则||=1ω. 不妨取=1ω， 又2=03f π⎛⎫ ⎪⎝⎭有2sin =03πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得22,3k k Z πϕππ+=+∈,又2πϕ<.所以=3πϕ，即()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()sin g x x = 所以由()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移3π个单位长度可得()sin g x x =的图像. 故选：B 【点睛】本题考查三角函数的图像性质，根据图像求解析式，三角函数的图像变换，属于中档题. 8．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知3a =cos sin b A B =，则A =（ ） A ．12πB ．6πC ．4π D ．3π【解析】由cos sin b A B =有1sin cos b B A =,再由正弦定理有sin sin a b A B=,即1cos A=,可解出答案. 【详解】由cos sin b A B =有1sin cos b B A=,由正弦定理有sin sin a bA B=, 又a =1cos A=.所以tan A =因为A 为ABC 的内角，则3A π=.故选：D 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于中档题.9．已知平面α，β，γ和直线l ，则“αβ∥”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．l α⊥且l β⊥ C ．γα⊥且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行 【答案】B【解析】选择“αβ∥”的充分不必要条件，是分析哪个选项能推出αβ∥，反之不成立. 【详解】A. α内有无数条直线与β平行,则,αβ可能相交或平行，故不能推出αβ∥.B. l α⊥且l β⊥,则αβ∥. 反之不成立，满足条件.C. γα⊥且γβ⊥,则,αβ 可能相交或平行，故不能推出αβ∥.D. α内的任何直线都与β平行是αβ∥的充要条件.【点睛】本题考查充分条件的判断，面面平行的判断，属于基础题.10．函数()22sin 2x x xf x xπ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=，其图象的对称中心是（ ） A ．()0,1 B ．()1,1-C ．()1,1D ．()0,1-【答案】D【解析】()22sin 2cos 2=1x x x x f x x x xπ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=+-,设2cos g()xx x x=+，则g()x 为奇函数，而()f x 的图像是g()x 的图像向下平移1个单位得到的，从而得到答案. 【详解】由()22sin 2cos 2=1x x xx f x x x xπ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=+-， 设2cos g()xx x x=+，则g()x 为奇函数,其图像关于原点成中心对称. 所以()()1f x g x =-,()f x 的图像是g()x 的图像向下平移1个单位得到的.所以()f x 的图像关于点(0,1)- 成中心对称. 故选：D 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数图像的对称性，属于基础题.11．已知点M 为直线30x y +-=上的动点，过点M 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点()0,1P -到直线AB 的距离的最大值为（ ）A ．32B ．53C．2D．3【答案】D【解析】设00(,)M x y ，先求出直线AB 的方程001x x y y ⋅+⋅=，由M 点在直线30x y +-=上，得出直线AB 过定点,从而求出答案.设00(,)M x y ,过点M 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B .则A ，B 两点在以OM 为直径的圆:22000x x x y y y -⋅+-⋅=上.又A ，B 在圆221x y +=上，所以AB 为两圆的公共弦，将两圆方程联立相减得：001x x y y ⋅+⋅=，即直线AB 的方程001x x y y ⋅+⋅=又点M 在直线30x y +-=上，则003y x =-，代入直线AB 的方程.00(3)1x x y x ⋅+⋅-=,得直线AB 过定点11(,)33N ，所以点()0,1P -到直线AB 的距离：||3d PN ≤==. 故选：D. 【点睛】本题考查圆的切线方程，直线过定点问题，点到直线的距离的最值问题,属于难题. 12．若函数()21ln 2f x x ax b x =-+在区间()1,2上有两个极值点，则b 的可能取值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】函数()f x 的导函数为()2=b x ax bf x x a x x-+'-+=，函数()f x 在区间()1,2上有两个极值点，即方程20x ax b -+=在()1,2内有两个不等实数根，根据二次方程根的分布找出条件，从而达到答案. 【详解】()2=b x ax bf x x a x x-+'-+=, 函数()21ln 2f x x ax b x =-+在区间()1,2上有两个极值点, 即方程20x ax b -+=在()1,2内有两个不等实数根.所以2=4012210420a b a a b a b ⎧->⎪⎪<<⎪⎨⎪-+>⎪-+>⎪⎩ 以为b 纵坐标，a 为横坐标画出不等式满足的平面区域.曲线214b a =与直线1b a =-相切于点(2,1)， 曲线214b a =与直线24b a =-相切于点(4,4).根据选项，则b 的可能取值在选项中只能为3. 故选：A. 【点睛】本题考查极值存在的条件，考查线性规划解决问题，是导数的综合应用，属于难题.二、填空题13．5321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______.（用数字作答） 【答案】10【解析】5321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为3515515521()()r r r r rr T C x C xx --+==,求常数项即令15150r -=，解得3r = ，然后可得答案. 【详解】5321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为3515515521()()r r r r r r T C x C x x --+==.则5321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项，令15150r -=,解得3r =，即常数项为3=10T C =故答案为：10. 【点睛】本题考查二项式定理中的指定项，考查二项式的通项公式，属于基础题. 14．已知02πα<<，4tan 3α=，则sin cos αα+=______. 【答案】75【解析】由4tan 3α=,则4sin cos 3αα=,由同角三角函数的关系可得sin cos αα，的值，从而可得答案. 【详解】 由4tan 3α=，即sin 4cos 3αα=，则4sin cos 3αα=. 由22sin +cos 1αα=有： 2216cos +cos 19αα=. 则29cos 25α=，又02πα<<. 所以3cos 5α=，44sin cos =35αα=.所以7sin cos 5αα+=.故答案为：75【点睛】本题考查同角三角函数的关系，注意角的范围，开方符号的选择，属于基础题.15，，则小球体积的最大值为______.【答案】6π 【解析】设长方体的由共一顶点出发的三条棱的长分别为,,a b c ，由共一顶点的三个面，可得ab bc ac ===，从而可解得,,a b c 的值，可求得小球半径的最大值，从而得到其体积. 【详解】设长方体的由共一顶点出发的三条棱的长分别为,,a b c ，则由条件有ab bc ac ===.解得:=2,=1,=3a b c ，因为小球在长方体内，则小球的直径的最大值为b 边长. 所以半径的最大值为12r =，则小球的体积的最大值为：33441()3326r πππ==. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查长方体的内切球，根据长方体的表面的面积求棱长,考查方程思想，属于中档题.16．如图，直线PT 和AB 分别是函数()33f x x x =-过点()2,2P 的切线（切点为T ）和割线，则切线PT 的方程为______；若()(),A a f a ，()()(),2B b f b b a <<，则a b +=______.【答案】2y = 2-【解析】设切点00(,)T x y ，由2()33f x x '=-，得切线的斜率为2033k x =-，求出在点T 处的切线方程，然后将点()2,2P 代入，解出切点的坐标，从而得到切线方程. 再写出直线AB 的方程与()33f x x x =-联立，则,,2a b 为方程的根，应用因式分解和韦达定理可得+a b 的值. 【详解】设切点00(,)T x y ,又2()33f x x '=-， 则在点T 处的切线的斜率为：2033k x =-.则在点T 处的切线方程为：320000(3)(33)()y x x x x x -+=--， 又点()2,2P 在切线上，则3200002(3)(33)(2)x x x x -+=--， 即3200340x x -+=，解得01x =-或02x =(舍).则(1,2)T -，0k =，所以切线PT 的方程为：2y =.设直线AB 的方程为：(2)2y k x =-+ ，由3(2)23y k x y x x=-+⎧⎨=-⎩ 有332(2)x x k x --=- 所以3(4)(2)(2)x x x k x -+-=-， 即2(2)(21)(2)x x x k x -++=- ()由直线AB 交曲线()33f x x x =-于三点,,A B P所以,,2a b 为方程()的根.即,a b 为方程221x x k ++=的两个实数根； 由韦达定理有：2a b +=-. 故答案为：2y = ；2- . 【点睛】本题考查曲线的切线，导数的几何意义，考查曲线与方程，直线与曲线的关系,属于难题.三、解答题17．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，11a =，39S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设212n n n b a a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-（2）24n T n =【解析】(1)由条件有131133a S a d=⎧⎨=+⎩，可求出1,a d ，即得到答案.(2)由212n n n b a a -=+，由（1）有21284n n n b a a n -=+=-，则{}n b 为等差数列，可求和. 【详解】 解：（1）{}n a 为等差数列，设公差为d由131133a S a d =⎧⎨=+⎩ 即111933a a d =⎧⎨=+⎩得：112a d =⎧⎨=⎩ 21n a n ∴=-（2）由（1）可知()21221143n a n n -=--=-, ()222141n a n n =-=-,21284n n n b a a n -=+=-法一：()()21812348442n n n T n n n n +=+++⋅⋅⋅-=⨯-= {}n b ∴的前n 项和24n T n =法二：14b =，()1848148n n b b n n --=---+=，{}n b ∴是以首项14b =，公差为8的等差数列()248842n n n T n +-∴=={}n b ∴的前n 项和24n T n =【点睛】本题考查等差数列求通项公式，数列求和，属于中档题.18．在某次数学考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班样本成绩的茎叶图如图所示.（1）用样本估计总体，若根据茎叶图计算得甲乙两个班级的平均分相同，求()10,x x n N <∈的值；（2）从样本中任意抽取3名学生的成绩，若至少有两名学生的成绩相同的概率大于15，则该班成绩判断为可疑.试判断甲班的成绩是否可疑？并说明理由. 【答案】（1）7（2）甲班的成绩可疑，见解析【解析】(1)求出甲、乙两班的平均成绩分别为89,x =甲 则89x =乙可求出x 的值.(2)求出甲班至少有两名学生的成绩相同的概率为321213372831021960C C C C C C ++=，然后根据条件作出判断.【详解】解：（1）设样本中甲、乙两班的平均成绩分别为x 甲 、x 乙，则 7038039021002533768910x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯==甲70280390410082321245910x x ⨯+⨯+⨯++⨯+⨯++++++=乙 438410x+=+ x x =甲乙 43848910x+∴+= 7x ∴=（2）甲班的成绩可以，理由如下：甲班成绩相同的有：87分3人、75分2人、97分2人∴ 从样本中任意抽取3名学生的成绩中至少有两名学生成绩相同的概率为：32121337283102191605C C C C C p C ++==> ∴甲班的成绩可疑【点睛】本题考查茎叶图，平均值，等可能事件的概率，属于基础题.19．在ABC 中（图1），5AB =，7AC =，D 为线段AC 上的点，且4BD CD ==.以BD 为折线，把BDC 翻折，得到如图2所示的图形，M 为BC 的中点，且AM BC ⊥，连接AC .（1）求证：AB CD ⊥；（2）求二面角B AC D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2334【解析】(1)根据条件先证明CD ⊥平面ABD ，然后结论可证.(2) 以D 为原点，BD 、AD 、CD 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：在图1中有：7AC =，4BD CD ==，所以3AD =∴在ABD ∆中，5AB =，3AD =，4BD =222AD BD AB ∴+=，所以BD CD ⊥在图2中有：在ABC ∆中，AM BC ⊥，M 为BC 的中点5AB AC ∴==，在ABD ∆中，5AC =，4CD =，3AD =222AC CD AD ∴=+，所以CD AD ⊥翻折后仍有BD CD ⊥又AD 、BD ⊂平面ABD ，ADBD D =，CD 平面ABDAB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥（2）解：由（1）可知CD 、BD 、AD 两两互相垂直.以D 为原点，BD 、AD 、CD 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()4,0,0B ，()0,0,4C()4,3,0AB ∴=-，()0,3,4AC =-设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =，则430340x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则4y =，3z =， ()3,4,3m ∴=平面ACD 的法向量为()1,0,0n =334cos ,34m n m n m n⋅∴==∴二面角B AC D --【点睛】本题考查线面垂直，线线垂直，二面角，立体几何中求角或距离常用向量法，属于中档题.20．已知函数()xae f x x=（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）.（1）若0a ≠，试讨论()f x 的单调性；（2）对任意()0,x ∈+∞均有()23210xx e ax x ax +---≥，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析 （2）1,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】(1)由()()21x ae x f x x-'=，定义域为{}0x x ≠，对参数a 的符号进行分类讨论.(2)由条件分离参数有()223211x x x e x e x a x xx x +-≤=-++，设()()201x e xg x x x x =->+，则()min a g x ≤,即求()g x 的最小值.【详解】解：（1）()f x 的定义域为{}0x x ≠()()221xx x ae x axe ae f x x x--'== 当0a >时，令()0f x '>，则1x >；()0f x '<，1x <且0x ≠ 当0a <时，令()0f x '>，则1x <且0x ≠；()0f x '<时1x >∴当0a >时，()f x 在()1,+∞单调递增，在()(),00,1-∞ 单调递减；当0a <时，()f x 在()1,+∞单调递减，在()(),00,1-∞单调递增. （2）()30,0x x x ∈+∞∴+>()223211x x x e x e x a x xx x +-∴≤=-++在()0,∞+恒成立设()()201x e xg x x x x =->+，则()min a g x ≤法一：()()()()()2222222111111x x e x x e x g x x x x x x ⎡⎤--+⎢⎥'=-=-+⎢⎥++⎣⎦()()01g x x g x '=∴=∴在()0,1为减函数，在()1,+∞为增函数 ()()min 112g x g e ∴==-12a e ∴≤-，即a 的取值范围为1,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦法二：由（1）可知，1a =时，()xe f x x=在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增()f x ∴在1x =处有最小值()1f e =又211112x x x x=<++，当且仅当1x x=，即1x =时，()2max 112x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭ ()g x ∴在1x =处取得最小值12e -12a e ∴≤-，即a 的取值范围为1,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查讨论函数的单调性，不等式恒成立求参数的问题，考查分离参数的方法，函数的最值，属难题.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且与双曲线2212x y -=有相同的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，点M 满足AM MB =，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，若直线MP 斜率为32，求ABP △面积的最大值及此时直线l 的方程. 【答案】（1）22143x y +=（2）()max 92S ∆=，直线的方程为1:12l y x =--【解析】(1)有题意有112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩可求解.(2)先讨论特特殊情况, M 是否为原点，然后当AB 的斜率存在时, 设AB 的斜率为k ,表示出||AB 的长度，进一步表示出ABP △的面积,然后求最值. 【详解】解：（1）由题设知112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩2a ∴=，23b =∴椭圆的方程为：22143x y +=（2）法一：AM MB = M ∴为AB 的中点又32MP PO k k == 1）当M 为坐标原点时1︒当AB 的斜率不存在时，此时A 、B 为短轴的两个端点112122ABP P S b x ∆=⋅=⨯=2︒当AB 的斜率存在时，设AB 的斜率为k设()11,A x y ，()22,B x y ，则3:2AB l y kx k ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程 整理得：()2234120kx+-= 120x x +=，1221234x x k ⋅=-+AB ∴=== P 到AB的距离d =12ABPS AB d ∆=⋅===解一：令()26123432k g k k k -⎛⎫=≠ ⎪+⎝⎭ ()()()212212343k k g k k +-'=+ 令()0g k '=12k ∴=-或32k ∴函数()g k 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递增，13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增32k >时，()102g k k <∴=-为()g k 的极大值点，也是最大值点 ()max 132g k g ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭()max ABP S ∆∴=直线方程为12y x =-解二：设612k t -=，则1212t k =- 226123636144431214412k t k t t t t-∴==+-++-要得ABP S ∆的最大值0t ∴>，14424t t+≥ 26123634312k k -∴≤=+当144t t=，12t =时，即61212k -=，12k =-时等号成立()max ABP S ∆∴=12y x =-2）当M 不为原点时，由32MP OP k k ==，M ∴，O ，P 三点共线32MO k ∴=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ， AB l 的斜率为AB k1202x x x ∴+=，1202y y y +=，0032y x = A ，B 在椭圆上，22112222143143x y x y ⎧+=⋅⋅⋅⎪⎪∴⎨⎪+=⋅⋅⋅⎪⎩①②-①②得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=121212124103y y y y x x y y +-∴+⋅⋅=++00241032AB yk x ∴+⋅⋅=，即431032AB k +⨯⋅=12AB k ∴=-设直线1:2AB l y x m =-+代入椭圆方程，整理得2230x mx m -+-= ()22430m m ∆=-->，22m -<<AB ===P 到直线AB的距离d =12S AB d ∆===令()()()322r m m m =-+，()()()2421r m m m '=--+，22m -<<令()0r m '>，21m -<<-，()0r m '<，12m -<<()r m ∴在()2,1--上单调递增，在()1,2-上单调递减 1m ∴=-，()()max 127r m r =-= ()max 92S ∆∴=>1:12l y x =-- 综上所述：()max 92S ∆=，直线的方程为1:12l y x =--解二：设()11,A x y ，()22,B x y ，M 为AB 的中点，P 在椭圆上1︒当直线AB 的斜率不存在时，设:AB l x m =则(),0M m ，33212MPk m ==-， 所以0m =:0AB l x ∴=，则A ，B 为短轴上的两个端点1122122ABP P S b x ∆=⋅⋅=⨯=2︒当直线AB 的斜率k 存在时，设:AB l y kx t =+，()00,M x y22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2223484120k x ktx t +++-= 122834kt x x k +=-+ , 212241234t x x k -⋅=+ 22430k t ∆=-+>()121226234ty y k x x t k ∴+=++=+12024234x x kt x k +∴==-+ ，12023234y y ty k +==+ 由0033212MPy kx -==-得()210t k += 0t ∴=或12k =-下同解法一 【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积的最值，利用导数讨论单调性求最值的方法，考查运算能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xoy 中，点M 的坐标为()1,0，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为cos sin 10ρθρθ+-=.（1）判断点M 与直线l 的位置关系；（2）设直线l 与曲线2:2x t C t t⎧=⎨=⎩（t 为参数，t R ∈）相交于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.【答案】（1）M 在l 上（2）8【解析】(1)求出直线l 的平面直角坐标系的方程：10x y +-=，将点()1,0M 代入直线方程，可判断.(2)将曲线C 的方程化为直角坐标系方程，24y x =，将直线的方程化为参数方程形式，联立直线方程与曲线C 的方程，则12AB t t =可解.【详解】（1）l 在平面直角坐标系的方程为：10x y +-=将()1,0M 代入得：1010+-=，故M 在l 上（2）曲线C 的直角坐标系方程为：24y x =直线l的参数方程为：122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将直线l的参数方程代入抛物线方程得：280t +-=，则128t t =即M 到AB 两点得距离之积为8.【点睛】本题考查参数方程，普通方程，极坐标方程的互化，直线参数方程中的参数的几何意义的应用，注意直线的参数方程必须为标准的形式，属于中档题.23．已知()f x x a =+（1）若2a =，求不等式()223f x -<的解集；（2）若()()22f x f x m m +-≥+对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）[]2,1m ∈- 【解析】(1) ()223f x -<，则2223x -+<，即|2|3x <，打开绝对值即可得出答案.(2) ()()22f x f x m m +-≥+对任意x ∈R 恒成立,即()()2min [2]f x f x m m +-≥+,然后用绝对值三角不等式可求.【详解】解:（1）()223f x -<即33222322x x -+<⇔-<< 33,22x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（2）()()2222f x f x x a x a x a x a +-=+++-≥+--+=()()22f x f x m m +-≥+对任意x ∈R 恒成立,只需22m m ≥+成立,即21m -≤≤，所以[]2,1m ∈-.所以[]2,1m ∈-.【点睛】本题考查绝对值不等式，不等式恒成立求参数的范围，考查绝对值三角不等式的应用.属于中档题.。

2020⾼考数学（理）必刷试题+参考答案+评分标准（55）2020⾼考数学模拟试题（理科）⼀、单项选择题：本题共8⼩題，每⼩题5分，共40分。

在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合題⽬要求的。

1.⼰知集合A={X|X2-X-2≤0},B={x|y=,则A∪B=A.{x|-l≤x≤2}B. {x|0≤x≤2}C. {x|x≥-l}D. {x|x≥0}2.“x∈R,x2-x+l>0”的否定是A.x∈R, X2-X+1≤0B. x∈R, x2-x+1<0C. x∈R, x2-x+l<0D. x∈R, x2-x+l≤03.若双曲线(a>0,b>0)的离⼼率为，则其渐近线⽅程为A. 2x±3y=0B. 3x±2y=0C. x±2y=0D. 2x±y=04.设a=log0.53,b=0.53,c=,则a,b,c的⼤⼩关系为A.aB. aC. bD. b5.为弘扬我国古代的“六艺⽂化”，某夏令营主办单位计划利⽤暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周⼀门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第⼀周，课程“御”不排在最后⼀周，则所有可能的排法种数为A. 216B. 480C. 504D. 6246.函数y=|x|+sinx的部分图象可能是7.若x=α时，函数f(x)=3sinx+4cosx取得最⼩值，则sinα=A. B. C. D.8.函数,若⽅程f(x)=-2x+m有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A. (-∞,4)B. (-∞,4]C. (-2,4)D. (-2,4]满意不满意⼆、多项选择题：本題共4⼩题，每⼩题5分，共20分。

在每⼩题给出的选项中，有多项符合題⽬要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.某⼤学为了解学⽣对学校⾷堂服务的满意度，随机调査了50名男⽣和50名⼥⽣，每位学⽣对⾷堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所⽰的列联表.经计算K 2的观测值k ≈4.762，则可以推断出A. 该学校男⽣对⾷堂服务满意的概率的估计值为B. 调研结果显⽰，该学校男⽣⽐⼥⽣对⾷堂服务更满意C. 有95%的把握认为男、⼥⽣对该⾷堂服务的评价有差异D. 有99%的把握认为男、⼥⽣对该⾷堂服务的评价有差异10. 已知函数f(x)=sin(3x+)(-＜＜)的图象关于直线x=对称，则 A. 函数f(x+)为奇函数B. 函数f(x)在[，]上单调递増C. 若|f(x 1)-f(x 2)|=2,则|x 1-x 2\的最⼩值为D. 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=-cos3x 的图象11. 如图,在正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则A. 直线BD 1丄平⾯A 1C 1DB. 三棱锥P-A 1C 1D 的体积为定值C. 异⾯直线AP 与A 1D 所成⾓的取值范⽤是[45°,90°]D. 直线C 1P 与平⾯A 1C 1D 所成⾓的正弦值的最⼤值为12. 已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点P(x 1,y 1),G(x 2,y 2)，点P 在l 上的射影为P 1，则 A. 若X 1+X 2=6.则|PQ|=8B. 以PQ 为直径的圆与准线l 相切C. 设M （O,1）,则|PM|+|PP 1|≥D. 过点M （0,1）与抛物线C 有且只有⼀个公共点的直线⾄多有2条三、填空題：本題共4⼩題，每⼩题5分，共20分。

C2020高考数学模拟试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.参考公式：球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 1. 已知复数z 满足i z i -=⋅+3)1(,则=|z | A. 5 B. 3 C. 5 D. 3 2. 设U ＝R ，A ＝}|{042<-x x x ，B ＝}|{1≤x x ，则()U A C B I ＝ A ．{}40≤<x x B ．{}41<≤x x C ．{}40<<x x D ．{}41<<x x 3. 已知0.32a =，20.3b =，0.3log 2c =，则A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<4. 函数cos sin 2xxy =的大致图象为契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列｝｛n a 满足：121==a a ，12+++=n n n a a a ，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是A.41B. 31C. 21D. 32 6．将向量(1,1)OA =u u u r 绕原点O 顺时针方向旋转75°得到OB uuu r ，则OB uuu r ＝A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2226,B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2622,C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2226,D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2622, 7. 已知数列{}n a 满足2*1222...2()n n a a a n n N +++=∈，数列2211log log n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n S ，则2019S =A ．20202019B ．20191C ．20201D ．201920188. 已知函数()f x 在R 上满足()()x x x f x f 52242+-=-，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是 A ．y x =-B ．4y x =-C ．38y x =-D ．512y x =-MDC 1BA B 119. 函数()06sin >⎪⎭⎫⎝⎛+=ωπωx y 在⎪⎭⎫⎝⎛-22ππ,内单调递增，且图象关于直线π-=x 对称，则ω的值为 A.14B. 35C. 32D. 3110.如图，半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥高之差的绝对值 为 A ．2B ．4C ．6D ．811.已知函数3()ln 2f x x a x =-+有4个零点，则实数a 的取值范围是 A ．()20e ,B ．()2e,∞-C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛210e ,D ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21e 12.如图，1(,0)F c -,2(,0)F c 分别为双曲线2222:1(,0)x y a b a bΓ-=>的左、右焦点，过点1F 作直线l ，使直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ,设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A 、B 两点（A 、B 位于线段1F P 上），若1||:||:||2:2:1F A AB BP =,则双曲线Γ的离心率为A. 5265C. 2623D. 263第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 13. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,ln 20,1212x x x x x f x则()()=-1f f .14. 已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-1040y y x y x ，则y x z +-=22的最大值为 .15. 函数112+-=x y 与函数)2(-=x k y 的图象有两个不同的公共点,则实数k 的取值范围是 .16. 如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若1//B P 平面1A BM ，则1C P 长度的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请．在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．.） 17.（本小题满分12分）已知在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且ca bA B A C +=--sin sin sin sin , （1）求角C 的大小; （2）若3=c ,求b a +的取值范围.田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等。

2020高考数学模拟试题（理科）第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设m ＝（﹣2，2，t ），n ＝（6，﹣4，5）分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则实数t 的值是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．32.若两个向量)1,2,3(),3,2,1(==AC AB ，则平面ABC 的一个法向量为（ ） A ．（﹣1，2，﹣1） B ．（﹣1，2，1）C ．（1，2，﹣1）D ．（1，2，1）3.如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形统计图的部分结果，根据扇形统计图可以知道丙、丁两组人数之和为（ ）A.150B.250C. 300D. 4004.盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出2个球都是红球的概率为328，从盒中取出2个球都是黄球的概率是514，则从盒中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是（ ）A. 1328B. 57C. 1528D. 375.若向量))(3,0,(R x x a ∈=，则“x =4”5=a 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.把12人平均分成两组，再从每组里任意指定正、副组长各一人，其中甲被指定为正组长的概率是( )A ．112B ．16C ．14D ．137.下列命题中正确的是（ ）A ．对于任意两个事件A 和B ，都有P (A +B )= P (A )+ P (B ) B ．若随机事件A 发生的概率为P (A )，则0≤ P (A ) ≤1C ．命题“若平面向量b a ,共线，则b a ,方向相同”的逆否命题为真命题D ．命题“若a +b ≥4，则a 、b 中至少有一个大于2”的逆命题是真命题．8.设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α B ．若α⊥β，a ∥α，则a ⊥β C ．若α⊥β，a ⊥β，则a ∥α D ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β9.一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，则它飞入几何体F AMCD -内的概率为（ ）A.34 B. 23 C. 12D. 1310.如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果， 则图中空白框内应填入（ ）A ．1000MP = B ．10004MP =C ．1000NP =D ．10004NP =11.已知A 、B 、C 、D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD ＝2AB ＝2，则该球的表面积为（ ） A ．348π B ．332π C ．324π D ．316π12.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M ，N 分别是棱A 1D 1，CD 的中点，若P 在平面ABCD 内，点Q 在线段BN 上，若5=PM ，则PQ 长度的最小值为（ ）A ．12- B．2 C ．5553- D ．553第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知向量n m ,分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈n m ,〉＝－12，则l与α所成的角为 ．14. 已知5个正整数，它们的平均数是4，众数是3，5，则这5个数的方差为 ． 15.如图，在棱长为1的正四面体PABC 中，点A 在侧面PBC 内的投影为O ，则O 到底面ABC 的距离为_________．16.如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，他们所在的平面互相垂直， 动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cosθ的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设命题p ：实数x 满足（x ﹣a ）（x ﹣2a ）＜0，其中a ＞0； 命题q ：实数x 满足（2x ﹣16）（2x ﹣2）≤0．（1）若a ＝1，p ，q 都是真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18. （本小题满分12分）题图第15题图第16一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c．（1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b＝c”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率．19.（本小题满分12分）某班20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（1）求频率分布直方图中实数a的值；（2）估计20名学生成绩的平均数；（3）从成绩在[50，70）的学生中任选2人，求此2人的成绩不都在[60，70）中的概率．20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC=AD，点E是PC的中点．（1）求证：P A∥平面BDE；（2）求直线BD与平面PBC所成角的大小．21. （本小题满分12分）2015年12月，华中地区多个城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为2015年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与 2.5PM 的浓度是否相关，现采集到华中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与 2.5PM 的数据如表：（1）由散点图知y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；（提示数据：711372i ii x y==∑）（2）（I ）利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为12万辆时 2.5PM 的浓度； （II ）规定：当一天内 2.5PM 的浓度平均值在(]0,50内，空气质量等级为优；当一天内2.5PM 的浓度平均值在(]50,100内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量不超过多少万辆？（结果以万辆为单位，保留整数）参考公式：回归直线的方程是ˆˆˆybx a =+，其中()()()1122211ˆ•n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xnx x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-.22. （本小题满分12分）已知正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是四边形11BB D D 内（含边界）任意一点，Q 是11B C 中点.（1）求证：AC ⊥BP ；（2）当CQ ⊥AP 且AP 与平面ABCD 所成角的正弦值为73时， 求二面角P -AD -C 的余弦值．答案1-12:C A B A A B B D C B D C13．30° 14．5415．96 16．52 12解：如图，取AD 中点O ，则MO ⊥面ABCD ，即MO ⊥OP ， ∵PM ＝，∴OP ＝＝1，∴点P 在以O 为圆心，1以半径的位于平面ABCD 内的半圆上．可得O 到BN 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值，作OH ⊥BN 于H ，△BON 的面积为：S △BON ＝2×2﹣＝， ∴＝＝，解得OH ＝，∴PQ 长度的最小值为：OH ﹣OP ＝＝．故选：C ．17.解：（1）当a ＝1时，（x ﹣1）（x ﹣2）＜0解得1＜x ＜2，………………1分 （2x ﹣16）（2x ﹣2）≤0解得2≤2x ≤16，即1≤x ≤4，………………2分 所以当p ，q 都是真命题时，解得1＜x ＜2，………………4分 故实数x 的取值范围为（1，2）；………………5分（2）命题p ：a ＜x ＜2a ，因为p 是q 的充分不必要条件，所以（a ，2a ）⫋[1，4]，………………7分，解得1≤a ≤2，………………9分故实数a 的取值范围为[1，2]．………………10分18.【解答】解：（Ⅰ）所有的可能结果（a ，b ，c ）共有27种，而满足a +b ＝c 的（a ，b ，c ）有（1，1，2）、（1，2，3）、（2，1，3），共计3个， 故“抽取的卡片上的数字满足a +b ＝c ”的概率为＝．………………6分（Ⅱ）满足“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 完全相同”的（a ，b ，c ）有： （1，1，1）、（2，2，2）、（3，3，3），共计三个，故“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率为＝，∴“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为1﹣＝．………………12分19.解：（1）由（0.2a+0.3a+0.7a+0.6a+0.2a）×10＝1，解得a＝；………………2分（2）20名学生的平均成绩估计为：（0.2×55+0.3×65+0.7×75+0.6×85+0.2×95）×10×＝76.5分；………………………………………………………………………………………………………………6分（3）成绩在[50，70]内的学生共有（0.2+0.3）×10××20＝5人，设为a、b、C、D、E,其中成绩在[60，70]内的有3人，即C、D、E，………………………………8分从这5人中任选2人，共有（a,b）、（a,C）、（a,D）、（a,E）、（b,C）、（b,D）、（b,E）、（C,D）、（C,E）、（D,E）10种，其中都在[60，70]内的有3种，不都在[60，70]内的有10﹣3＝7种，……………………10分根据古典概型概率公式得：………………………………12分20.解：（1）证明：连结AC，BD，交于点O，连结OE，∵底面ABCD是矩形，∴O是AC的中点，∵点E是PC的中点，∴OE∥P A，……………………………2分∵OE⊂平面BDE，P A⊄平面BDE，∴P A∥平面BDE．……………………………4分（2）解：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，∴以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝AD＝2，则B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），C（0，2，0），＝（﹣2，﹣2，0），＝（2，2，﹣2），＝（0，2，﹣2）， (7)分设平面PBC的法向量＝（x，y，z），由0{0n PB n PC ⋅=⋅=u u ur r u u u rr 有2220{220x y z y z +-=-=取()0,1,1n =r ……………………………9分 设直线BD 与平面PBC 所成角为θ，∴·1sin cos ,2BD n BD n BD nθ=〈〉===⋅u u u r r u u u r r u u u r r ，……………………………11分 所以直线BD 与平面PBC 所成角为30° ……………………………12分 21.解(1)由数据可得： ()1123456747x =++++++=……………………………1分 ()128303541495662437y =++++++= ……………………………2分 772111372,140i ii i i x yx ====∑∑，1221137212041ˆ614012ni i i n i i x y nx y b x nx==-⋅-===--∑∑……………………………4分 4ˆˆ34619ay bx =-=-⨯=，（注:用另一个公式求运算量小些）……………………………5分故y 关于的线性回归方程为ˆ619yx =+. ……………………………6分 (2)(ⅰ)当车流量为12万辆时，即12x =时，612199ˆ1y=⨯+=.……………………………8分 故车流量为12万辆时， 2.5PM 的浓度为91微克/立方米.……………………………9分 (ⅱ)根据题意信息得： 619100x +≤，即13.5x ≤， …………………………11分故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13万辆以内.…………………12分22. （1）证明：在正方体中，AC ⊥BD ，DD 1⊥平面ABCD ，则DD 1⊥AC 又BD ∩DD 1=D ，则AC ⊥平面11BB D DBP ⫋11BB D D∴AC ⊥BP ……………………………4分（2）如图以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系 设AB=2，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，Q （1,2,2）()2,0,1=设P （x,y,z ），显然x 、y 、z>0则()z y x ,,2-=∵CQ ⊥AP ∴022=+-z x ∴x=2z-2………………5分易知，平面ABCD 的法向量为()0,0,1n =r………………6分 222·3cos ,7(2)z n AP n AP n x y z AP 〈〉===-++⋅u u u r r u u u r r u u u r r化简得z y 32=，故⎪⎭⎫ ⎝⎛=z z z AP ,32,2………………8分 设平面PAD 的法向量为(),,m a b c =u r由0{0m AP m DA ⋅=⋅=u u u r u r u u u r u r 有220{320za zb zc x ++==取()0,3,2m =-u r ………………10分 ·13cos ,213n m n nm m 〈〉===⋅u r r u r r u r r 11分∵二面角P-AD-C为锐二面角，∴二面角P-AD-C．………………12分。