图像信号二进小波变换及反变换的快速算法

二进小波变换及反变换的快速算法
将一维信号的二进小波变换推广到二维信号（图像）。

此时，小波变换是由两个小波)
,1
y x （ψ和),(2
y x ψ
来定义的。

定义函数
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧
⎝⎛⎪⎪⎭⎫= ⎝⎛⎪⎪⎭⎫=222222,1),(2,1),(2222121
j j j j j j y x y x y x y x j j ψψψψ
相应的重构小波为),(1
y x χ
及),(2y x χ，实际工作中，小波),1y x （ψ、),(2
y x ψ，以及
重构小波
),(1
y x χ
、),(2
y x χ由离散滤波器H 、G 、K 、L 决定。

()R L
y x f 2
2
),(∈∀，f 在尺度2j
和位置),(y x 的小波变换由两个分量来定义，即
⎪⎩⎪⎨⎧==)
,(2*),(2
)
,(2*),(2
2
211y x f y x f y x f y x f j j j
j W W ψψ 称函数集合
{}
z
j y x f y x f Wf W W j
j
∈=
),(2),,(22
1
为),(y x f 的二维二进小波变换。

),(2
1
y x f W j
和
),(2
2
y x f W j
是),(y x f 在2j
尺度上的两个细节信号。

对于一维情况，假定小波函数)(x ψ是某平滑函数)(x θ的一阶导数，比如)(x θ是三次样条函数，并且)(x θ的积分为1，此时，)(x ψ是紧支撑二次样条函数，将一维二次样条小波推广到二维，相应的离散滤波器H 、G 、K 、L 的有限冲激响应如下表所示。

四个滤波器的有限冲激响应
注：表中-为无数据
在实际应用中，假设图像D 具有N ×N 个象素，即
}
{,,1d D m n N
m n =≤≤,为了解决边界问题，
可以采用二维余弦变换中的周期化技术。

假定图像以2N ×2N 个样本作为一个周期，可以对图象进行对称延拓
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤+≤≤+≤≤≤≤≤≤+≤≤≤≤=-+-+-+-+N
m N N n N N m N N n N m N n N N m N n d d d d d m N n N m N n m n N n m n
m 21,2121,11,211,112,1212,,12,,
计算图像f S d 1的二维二进小波变换的算法如下，记
H p
、G p
、K p
分别为滤波器H 、G 、
K 在系数之间插入12-p
个0得到的离散滤波器。

记H
P
~为一离散滤波器，其传递函数)()(2ωωp
p H H =，
记A*B 表示离散信号A 和B 的卷积。

对于每个尺度j 2，算法将f S d
j 2分解为f S d
j 12+,f W d j ,121+,f W d
j ,22
1+.分解算法： j=0
while(j<J)
),(*1
2,121D G f d S f W j
j
d j j j λ=
+
),(*1
2,221j
j
d G D f d S f W j j j λ=
+ ),(*221j j d
d
H H f S f S j j =+
j=j+1
end of while
式中D 为Dirac 滤波器, 其中H 、G 、K 、L 为滤波器系数.
重构算法在每个尺度j 2将f S d
j 12+,f W d j ,121+,f W d j ,221+合成为f S d
j 2
. j=J
while(j>0)
)~
,~(*),(*),(*11211,22111,12
121--------++=-j j d
j j d j j j d j d H H f S K L f W L K f W f S j j j j λλ j=j-1
end of while
二次样条小波函数在不同尺度下的补偿系数λi
的取值
我的问题是这种二维二进小波分解和重构程序怎么写？或者哪里能下载？谢谢。