2017年北京大学博雅计划数学试题分析
选择题共20小题（51题至70题）；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.
51.已知实数,a b 满足：22(4)(1)5(21)a b ab ，则1(b a a 的值为（ ） A.32 B.52 C.72
D.前三个答案都不对 51.解：由22(4)(1)5(21)a b ab ，展开，得222241090.a b b a ab 配方，
得22(3)(2)0ab a b ，从而3ab ，
12b a ，从而117(3.22b b a ab a a 故选C.
52.函数21()|2||||1|2
f x x x x
，[1,2]x 上的最大值与最小值的差所在的区间是（ ）
A.(2,3)
B.(3,4)
C.(4,5)
D.前三个答案都不对
52.B 53.不等式组2||1,3||5,y x y x
所表示的平面区域的面积为（ ） A.6 B.
335 C.365 D.前三个答案都不对 53.C 54.π3π(1cos cos
55 的值为（ ）
A.1
B.114
C.1
D.前三个答案都不对 54.解：π
3ππ2ππ2ππ2π(1cos cos
)(1cos cos 1cos cos cos cos .55555555
令π2πcos cos 55x ，π2πcos cos 55
y ， 则222π4πcos 1cos 1π2π12ππ155cos cos (cos cos )55222552
xy y ，从而12x ，即π2π1cos cos .552 又因为2π4πsin sin π2π155cos cos π2π554
2sin sin 55
，从而 原式11111.244
故选B. 55.在圆周上逆时针摆放了4个点A 、B 、C 、D .已知1BA ，2BC ，3BD ，
ABD DBC ，则该圆的直径为（ ）
A.
B.
C. D.前三个答案都不对
55.D
56.已知三角形中线长度分别为9、12、15，则该三角形的面积为（ ）
57.已知x 为实数，使得2、x 、2x 互不相同，且其是有一个数恰为别一个数的2倍，则这样的x 的个数为（ ）
A.3
B.4
C.5
D.前三个答案都不对 57.B 58.设整数a 、m 、n 满足 则这样的整数组(,,)a m n 的个数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.前三个答案都不对
58.C
59.设11112357
111
1log πlog πlog πlog π
S ，则不超过S ，且与
S 最接近的整数为（ ）
A.5
B.4
C.5
D.前三个答案都不对
59.A
60.已知复数z 满足2z z
是实数，则|i |z 的最小值等于（ ） A.3 B.2
C.1
D.前三个答案都不对 60.解：设复数i z a b ，从而 222222
22
2(i)22i i ((i a b a b z a b a b a b z a b a b a b a b ， 由题意得222a b ，即在复平面内，复数z 对应的点在圆222a b 上运动，而
|i |z 的几何意义是动点(,)P a b 到定点(0,1) 1.从而选
D.
61.已知正方形ABCD 的边长为1，1P 、2P 、3P 、4P 是正方形内部的4个点，使得1ABP 、2BCP 、3CDP 、4DAP 都是正三角形，则四边形1234PP P P 的面积等于（ ）
A.2
B.4
C.18
D.前三个答案都不对 61.解：以C 为坐标原点，CD ，CB 所在直线分别
为x 、y 轴建立平面直角坐标系.由题意
知
11(,122
P
、21,22P
、31(,)22P
、41(1,)22
P ，易知四边形1234PP P P
为正方形，从而12342132411||||1)222
P P P S PP P P 四边形P 选A.
62.已知某个三角形的两条高线的长度分别为10和20，则它的第三条高线长度的取值区间为（ ） A.10(
,5)3 B.20(5,3 C.20(,20)3
D.前三个答案都不对 62.解：设ABC 的面积为S ，所求的第三条高线为长为h ，则三边长分别为210S ，220S ，2S h .则22.1020S S 由三角形的三边关系，得222,20102222010.
S S S h S S S
h 解得20203h ，从而选C. 63.正方形ABCD 与点P 在同一个平面内，已知该正方形的边长为1，且222||||||PA PB PC ，则||PD 的最大值为（ ）
A.2
B.
C.1
D.前三个答案都不对
63.解：以A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A 、(0,1)B 、(1,1)C 、(0,1)D ，设(,)P x y ，由题意得
2221x y y ，即22(1)2x y ，即动点P 在圆22(1)2x y 上运动.||PD 的长即为圆上动点P 到定点(0,1)D 的距离，易知D 距离圆心的距离为2
，从而最大值为2选A.
64. 方程43log (23)log (42)x x x x
的实根个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.前三个答案都不对
