2015年博雅计划数学试题

博雅计划试题博雅计划试题"博雅计划”是北京大学2015年推出的高考自主招生改革计划，很多人都会需要试题，这是小编找的试题，希望能对你有所帮助。

博雅计划试题选择题共20小题.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.1.直线y=-x+2与曲线y=-ex+a相切，则a的值为（）A.-3B.-2C.-1D.前三个答案都不对2.已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，则下面四个结论中正确的个数为（）（1）以a，b，c为边长的三角形一定存在（2）以a2，b2，c2为边长的三角形一定存在（3）以a+b2，b+c2，c+a2为边长的三角形一定存在（4）以a-b+1，b-c+1，c-a+1为边长的三角形一定存在A.2B.3C.4D.前三个答案都不对3.设AB，CD是⊙O的两条垂直直径，弦DF交AB于点E，DE=24，EF=18，则OE等于（）A.46B.53C.62D.前三个答案都不对4.函数f（x）=1p，若x为有理数qp，p与q互素，0，若x为无理数，则满足x∈（0，1）且f（x）>17的x的个数为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对5.若方程x2-3x-1=0的根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，则a+b-2c的值为（）A.-13B.-9C.-5D.前三个答案都不对6.已知k≠1，则等比数列a+log2k，a+log4k，a+log8k的公比为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对7.cosπ11cos2π11…cos10π11的值为（）A.-116B.-132C.-164D.前三个答案都不对8.设a，b，c为实数，a，c≠0，方程ax2+bx+c=0的'两个虚数根为x1，x2满足x21x2为实数，则∑2015k=0x1x2k等于（）A.1B.0C.3iD.前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为（）A.34650B.5940C.495D.前三个答案都不对10.设A是以BC为直径的圆上的一点，D，E是线段BC上的点，F是CB延长线上的点，已知BF=4，BD=2，BE=5，∠BAD=∠ACD，∠BAF=∠CAE，则BC的长为（）A.11B.12C.13D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K，大圆的弦AB与小圆切于L，已知AK∶BK=2∶5，AL=10，则BL的长为（）A.24B.25C.26D.前三个答案都不对12.f（x）是定义在实数集R上的函数，满足2f（x）+f（x2-1）=1，x∈R，则f（-2）等于（）A.0B.12C.13D.前三个答案都不对13.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法是（）A.30B.36C.42D.前三个答案都不对14.已知正整数a，b，c，d满足ab=cd，则a+b+c+d有可能等于（）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对15.三个不同的实数x，y，z满足x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2，则x+y+z等于（）A.-1B.0C.1D.前三个答案都不对16.已知a+b+c=1，则4a+1+4b+1+4c+1的最大值与最小值的乘积属于区间（）A.[10，11）B. [11，12）C. [12，13）D.前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD中，BD=6，∠ABD=∠CBD=30°，则四边形ABCD的面积等于（）A.83B.93C.123D.前三个答案都不对18.1！+2！+…+2016！除以100所得的余数为（）A.3B. 13C.27D.前三个答案都不对19.方程组x+y2=z3，x2+y3=z4，x3+y4=z5，的实数解组数为（）A.5B.6C.7D.前三个答案都不对20.方程x3+x33+x3+x3=3x的所有实根的平方和等于（）A.0B.2C.4D.前三个答案都不对参考答案1.A.由切点在切线y=-x+2上，可设切点坐标为（x0，2-x0）.又切点（x0，2-x0）在曲线y=-ex+a上，可得2-x0=-ex0+a.再由y=-ex+a，得y′=-ex+a，可得曲线y=-ex+a在切点（x0，2-x0）处切线的斜率为-ex0+a.又切线y=-x+2的斜率为-1，所以-ex0+a=-1.进而可得2-x0=-ex0+a=-1，x0=3，a=-3.2.B.可不妨设0c.结论（1）正确：因为可得a+2ab+b>c，（a+b）2>（c）2，a+b>c.结论（2）错误：2，3，4是一个三角形的三边长，但22，32，42不会是某个三角形的三边长.结论（3）正确：因为可得a+b2≤c+a2≤b+c2，a+b2+c+a2>b+c2.结论（4）正确：因为|a-b|+1=b-a+1，|b-c|+1=c-b+1，|c-a|+1=c-a+1，所以|a-b|+1≤|c-a|+1，|b-c|+1≤|c-a|+1，（|a-b|+1）+（|b-c|+1）≥|（a-b）+（b-c）|+2>|c-a|+1.3.解法1C.如图1所示，设⊙O的半径为r，由相交弦定理和勾股定理，可得24·18=AE·EB=（r+OE）（r-OE）=r2-OE2，242=r2+OE2，把它们相加后，可求得OE=62.4.D.由x∈（0，1）知，在f（x）的解析式中可不妨设p，q∈N，p>q，（p，q）=1.由f（x）>17，可得x=qp，f（x）=1p>17；p=2，3，4，5，6，进而可得x=12，13，23，14，34，15，25，35，45，16，56所以满足题设的x的个数为11.5.A.解法1D.因为x4+ax2+bx+c=（x2-3x-1）（x2+3x+a+10）+（3a+b+33）x+a+c+10，所以由题意，得方程x2-3x-1=0的两个根3+132，3-132均是方程（3a+b+33）x+a+c+10=0的根，所以3a+b+33=a+c+10=0.得a+b-2c=（3a+b+33）-2（a+c+10）-13=-13.解法2D.由题设，可得（x2-3x-1）（x4+ax2+bx+c）.又注意到x4+ax2+bx+c不含x3项，所以x4+ax2+bx+c=（x2-3x-1）（x2+3x-c），x4+ax2+bx+c=x4-（c+10）x2+3（c-1）x+c.8.B.因为实系数一元二次方程的两个虚数根是一对共轭复数，所以可设x1=r（cosθ+isinθ），x2=r[cos（-θ）+isin（-θ）]（r>0）.得x21x2=r（cos3θ+isin3θ），因为x21x2为实数，所以θ=kπ3（k∈Z），再得x1x2=cos2kπ3+isin2kπ3≠1x1x22016=cos2kπ3·2016+isin2kπ3·2016=cos（2kπ·672）+isin（2kπ·672）=1，所以∑2015k=0x1x2k=1-x1x220161-x1x2=0.9.D.这是均匀分组问题，不同的分法种类为C412C48C443！=5775.10.A.如图3所示，由∠BAF=∠CAE，∠BAC=90°，得∠EAF=90°.又因为∠BAD=∠ACD，所以AD⊥BC.得DE·DF=AD2=BD·DC，（5-2）（4+2）=2DC，DC=9，BC=BD+DC=2+9=11.图3图411.B.如图4所示，设BK与小圆交于点M，连结ML，设CD为两圆在公共点K处的公切线.由弦切角定理，得∠BAK=∠DKM=∠KLM.又因为∠KLA=∠KML，所以∠AKL=∠BKL.再由三角形角平分线性质，可得ALBL=AKBK，可求得BL=25.12.C.在题设所给的等式中分别令x=0，1，-1，得2f（0）+f（-1）=1，2f（1）+f（0）=1，2f（-1）+f（0）=1，可解得f（0）=f（1）=f（-1）=13.再在题设所给的等式中令x=-2，得2f（-2）+f（1）=1，所以f （-2）=13.图513.A.在图5所示的正9边形ABCDEFGHI中，以A为顶角的顶点的等腰三角形有且仅有4个（△ABI，△ACH，△ADG，△AEF），其中有且仅有△ADG是正三角形.所以所求答案是3·9+93=30.14.B.考虑a=mn，b=pq，c=mp，d=nq（m，n，p，q∈N*），得a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=（m+q）（n+p），所以只要选a+b+c+d是合数即可.而101，401都是质数，且301=7·43=（1+6）（1+42），所以取m=1，q=6，n=1，p=42，得a=1，b=252，c=42，d=6，所以本题选B.15.D.可设x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2=m，得x，y，z是关于t的一元三次方程t3-3t2-m=0的三个实数根.由韦达定理，得x+y+z=3.16.解法1C.设f（x）=4x+1，得f′（x）=24x+1，f″（x）=-4（4x+1）-32<0，。

北大博雅15.1.已知n为不超过2015的正整数，且1234n n n n+++的个位数字为0，则满足条件的正整数n的个数为（）A.1511B.1512C.1513D.前三个答案都不对清华领军2015.18.已知存在实数r，使得圆周222x y r+=上恰好有n个整点，则n可以等于（）A.4B.6C.8D.12分类存疑北大博雅2016.4.函数1,,(,)1,,(),0,qx p q p q NP pf xQ+⎧==∈⎪=⎨⎪∉⎩则满足(0,1)x∈且1()7f x>的x的个数为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对4.【解答】D满足(0,1)x∈，且1()7f x>的x的个数为11，分别为1121312341523344555566，，，，，，，，，，。

【评析】这个函数是非常有名的黎曼函数的一部分，但是对于学生的要求很低，只需要准确理解题意即可，问题本身并不困难。

北大博雅2016.14.已知正整数,,,a b c d满足ab cd=，则a b c d+++有可能等于（）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对14.【解答】B考虑a=mn，b=pq，c=mp，d=nq则a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=(m+q)(n+p)，于是a+b+c+d不是质数即可。

如301=7×43=(1+6)×(1+42)，于是a=1，b=252，c=42，d=6即得正确答案是B。

【评析】数论不定方程问题，其中的换元方法是数论中的经典。

北大博雅2017.1.若正整数,,a b c满足402a b c++=，则使得10n| abc的最大正整数n是（）A.5B.6C.7D.以上答案均不正确【1】Da=25,b=25,c=352时，n 可取4，下面我们将说明n 不可能大于4：若n ≥5，先考虑5n |abc ：由于a+b+4=402，而402并不是5的倍数，所以abc 不可能均为5的倍数。

北大博雅计划笔试真题篇一：16年北京大学博雅计划数学试题XX年北京大学博雅计划数学试题选择题共20小题，在每小题的选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.1.直线y??x?2与曲线y??ex?a相切，则a的值为：；A.?3B.?2C.?1D.前三个答案都不对2.已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c，则下面4个结论中正确的个数为：；（1（2）以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在；（3）以a?bb?cc?a,,为边长的三角形一定存在；（4）以|a?b|?1,|b?c|?1,|c?a|?1为边长的三222角形一定存在；D.前三个答案都不对3.设AB,CD是?O的两条垂直直径，弦DF交AB于点E，DE?24,EF?18，则OE等于：；ABCD.前三个答案都不对q?1,若x为有理数，p与q互素1?p4.函数f?x???p，则满足x??0,1?且f?x??的x的个数有：； 7?0,若x为无理数?前三个答案都不对5.若方程x?3x?1?0的根也是方程x?ax?bx?c?0的根，则a?b?2c的值为：； 242A.?13B.?9C.?5D.前三个答案都不对6.已知k?1，则等比数列a?log2k,a?log4k,a?log8k的公比为：；111A. B. C. D.前三个答案都不对 234?2?10??的值为：； 111111111A.? B.? C.?D.前三个答案都不对 163264XX?z?z1228.设a,b,c为实数a,c?0，方程ax?bx?c?0的两个虚数根为z1,z2，且满足为实数，则??1?z2k?0?z2?k 等于：；.0 C D.前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为：；D.前三个答案都不对10.设A是以BC为直径的圆上的一点，D,E是线段BC 上的点，F是CB延长线上的点，已知BF?4,BD?2,BE?5,?BAD??ACD，?BAF??CAE，则BC的长为：；D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K，大圆的弦AB与小圆切于L，已知AK:BK?2:5,AL?10，则BL的长为：；D.前三个答案都不对?x?是一个定义在实数R上的函数，满足2f?x??fx?1?1,?x?R，则f； ??? 前三个答案都不对 2313.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数有：；D.前三个答案都不对14.已知正整数a,b,c,d满足ab?cd，则a?b?c?d有可能等于：；D.前三个答案都不对15.三个不同的实数x,y,z满足x3?3x2?y3?3y2?z3?3z2，则x?y?z等于：；A.?1 D.前三个答案都不对16.已知a?b?c?1的最大值与最小值的乘积属于区间：；A.[10,11)B.[11,12)C.[12,13)D.前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD中，BD?6,?ABD??CBD?30?，则四边形ABCD的面积等于：；ABCD.前三个答案都不对!?2!?…+XX!除以100所得余数为：；D.前三个答案都不对19.方程组x?y2?z3，x2?y3?z4，x3?y4?z5的实数解组数为：；D.前三个答案都不对x3?x3x3?x)??3x的所有实根的平方和等于： 20.方程(33D.前三个答案都不对篇二：XX北京大学“博雅人才培养计划”面试题目及对策XX北京大学“博雅人才培养计划”面试题目1.北京申办冬奥会有哪些机遇和挑战2.如何治理雾霾，有何建议3.中国传统文化将如何走出去4.微信在人际交往中的作用5.欧洲历史上的分与合6.如何看待中国申请冬奥会面试分为两个阶段，第二阶段为一对一考察理科生需在45分钟内，尝试解答一道物理题和一道数学题，然后分别接受一名物理考官和一名数学考官的一对一考察。

2015年北京大学博雅计划测试物理学科注意事项：1.本试卷满分100分，和语文、数学、英语、化学共同测试，每个科目100分；2.试卷为考生回忆版本，本回忆版本，暂缺4道填空题，有待补充。

一、不定项选择题（每题4分）（2015博雅）1.如图所示，在水平地面上方h 高处，有一个足够长的水平固定横梁，底部悬挂一个静止的盛水小桶。

某时刻开始，小桶以02ga =的匀加速度水平向右平动，同时桶底小孔向下漏水，单位时间漏水量相同。

当小桶行进路程刚好为2h时，水会全部流尽。

略去漏水相对水桶的初速度，设水达到底面既不反弹也不流动。

将地面上水线长度记为l ，水线上水的质量密度记为λ，则必有 C（A ）54hl =，从水线左端到右端λ递减 （B ）32hl =，从水线左端到右端λ递增 （C ）32hl =，从水线左端到右端λ递减 （D ）74hl =，从水线左端到右端λ递增 （2015博雅）2.系统如图1所示，绳与滑轮间无摩擦，A 与水平桌面间的摩擦系数记为μ，绳的质量可略，开始时A 、B 静止。

右侧水平绳段被剪断后瞬间，相应的运动学量和动力学量已在图2中给出，为求解B a ，列出了下列四个方程，其中正确的方程是 AC （A ）cos A A T N m a φμ-= （B ）sin A N T m g φ+= （C ）B B B m g T m a -= （D ）tan A b a a φ=3.关于热力学第二定律理解正确的是 D （A ）热量不能完全转换为功（B ）热量不能从低温物体转移到高温物体 （C ）摩擦产生的热不能完全转换为功 （D ）以上说法都不对4.A 为一静止且不带电的导体，现将一个带正电的导体B 移近A ，但不接触A ，则有 A （A ）A 的电势增加，B 的电势减少 （B ）A 的电势增加，B 的电势也增加 （C ）A 的电势减少，B 的电势也减少 （D ）A 的电势减少，B 的电势增加 4.答案：A解析：考虑A 球球心电势，A 球不带电，所以它自己对球心电势贡献为零，但是B 球对A 球球心电势有正的贡献，所以A 球电势增加；由于同性相斥异性相吸，A 球靠近B 球的部分带负电，远离B 球的部分带负电，所以A 球对B 球的电势贡献为负的，因此选A三、计算题： 10（14分）：求理想气球经历热力学过程p kV =时对应的摩尔热容C ，其中k 为常数。

辅导2与⾼考题的对比2017年北京⼤学⾃主招⽣数学试题1.保持了近年北⼤⾃招试题的风格．(a)20道单选题，选对得5分，选错扣1分，不选得0分．(b)时间紧张．三个⼩时内要完成语数外三科试题的解答，很少有学⽣能做完．(c)D选项⼀律是“前三个答案都不对”，很有迷惑性，有时候甚⾄⽐较棘⼿．例如第5题，答案数字不怎么整，考场上时间紧张的情况下，是否相信⾃⼰的判断选D，对考⽣来说是个考验；再⽐如第9题，答案明显是个负整数，但由于D选项的存在，在只有A选项为负整数的情况下仍然需要进⾏估算．(d)风格灵巧，强调多想少算．⽐如第1题，看出来配⽅的技巧就可以秒掉，如果硬算的话，考场上可能就悲剧了．(e)不追求知识点的全⾯覆盖．数论、函数、平⾯⼏何、三⾓等⼀向是北⼤各种⾃招相关的考试中的⾼频考点，在2017年的⾃主招⽣考试中也依然是考察重点．⽽概率、统计、导数、⽴体⼏何等考点⼀向被北⼤冷落，这场考试也不例外．(f)经典试题有⼀定的重现率．⽐如第6题就是平⾯⼏何中的经典问题，第9题中⽤到的对数运算公式在⾃招考试中也是屡见不鲜．2.相对于近年北⼤的各场⾃招相关的考试来说，这份试卷的难度不⾼，在平均线以下．3.有较好的区分度，可以达到北⼤⾃主选拔的⽬的．1.有些试题即使放到⾼考中也不是难题，⽐如第19题、第20题．这类题基本每份⾃招试卷中都有，但⼀般来讲数量较少．2.有些试题的考点同时也是⾼考的重要考点，但是综合性较强，考⽣要想短时间内顺利解决的话，得有很好的基本功．⽐如第18题，如果做成四次函数求最值就⿇烦了，代数变形之后换元，处理成⼆次函数才是正道．再⽐如第14题，每⼀步可能都不难，⽤到的知识也都是⾼考要求的，但是步骤⼀多，考⽣可能就会卡壳．3.还有⼀多半的试题，或者考点不是⾼考重点要求的，⽐如数论，恐怕是⾃主招⽣中考察最多的知识点，但⾼考却很少涉及；或者考点也许在⾼考范围内，但考法较为灵活，⽐如第12题，需要将多个变量之间的本质关系想清楚才能顺利解决．光光⼦辅导1.⼀定要有针对性的训练．⽐如⾼考很少考到数论相关的问题，即使考到，最多也就⽤到奇偶性、简单的整除之类常识性的知识，但是⾃主招⽣对于数论的要求却较⾼．事实上，数论相关的问题很容易体现出“多想少算”的特点，⾮常符合⾃招的选拔需求．再⽐如说平⾯⼏何，⾼中⽣很可能还⽐不上初中⽣，毕竟⾼考中的平⾯⼏何问题都⾮常简单．如果平时没有针对性的训练，考场上遇到不熟悉的考点很容易抓瞎；遇到那种考点在⾼考范围内，但风格不太⼀样的试题，也很难顺利解决．2.往年的⾃招真题，还有全国联赛的⼀试题、预赛题，都是很好的准备材料．平时多练习多思考多总结，考场上遇到原题或者改编题的可能性相当⼤，那就赚到了．3.试题难度总体上会保持稳定．今年北⼤⾃主招⽣数学试题相对容易，只是正常波动，明年很可能⽐今年稍难．对此⼤家要有⼼理准备．4.选择题的“考场技巧”平时要多练，毕竟北⼤这两年的⾃招、博雅全是选择题．必要的时候可以猜．事实上，⼀道题即使完全不会，也不能空着．有同学可能会问，选错不是倒扣1分吗？可是我们算算期望，⼀道题随机选择的得分期望是0.5分呀！如果能排除两个错误选项呢？期望只会更⾼．1.已知实数a,b 满⾜(a 2+4)(b 2+1)=5(2ab −1)，则b Åa +1aã的值为（）A.1.5B.2.5C.3.5D.前三个答案都不对解析C ．2.函数f (x )= x 2−2 −12|x |+|x −1|，x ∈[−1,2]上的最⼤值与最⼩值的差所在的区间是（）A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.前三个答案都不对解析B ．3.不等式组y ⩾2|x |−1,y ⩽−3|x |+5所表⽰的平⾯区域的⾯积为（）A.6B.335C.365D.前三个答案都不对解析C ．4.(1+cos π5)Å1+cos 3π5ã的值为（）A.1+1√5 B.1+14C.1+1√3D.前三个答案都不对解析B ．光⼦辅导5.在圆周上逆时针摆放了4个点A,B,C,D ，已知BA =1，BC =2，BD =3，∠ABD =∠DBC ，则该圆的直径为（）A.2√5B.2√6C.2√7D.前三个答案都不对解析D ．6.已知三⾓形三条中线长度分别为9,12,15，则该三⾓形⾯积为（）A.64B.72C.90D.前三个答案都不对解析B ．7.已知x 为实数，使得2,x,x 2互不相同，且其中有⼀个数恰为另⼀个数的2倍，则这样的实数x 的个数为（）A.3B.4C.5D.前三个答案都不对解析B ．8.设整数a,m,n 满⾜√a 2−4√5=√m −√n ，则这样的整数组(a,m,n )的个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析C ．9.设S =1log 12π+1log 13π+1log 15π+1log 17π,则不超过S 且与S 最接近的整数为（）A.−5B.4C.5D.前三个答案都不对解析A ．10.已知复数z 满⾜z +2z 是实数，则|z +i |的最⼩值等于（）A.√33 B.√22C.1 D.前三个答案都不对解析D ．11.已知正⽅形ABCD 的边长为1，P 1,P 2,P 3,P 4是正⽅形内部的4个点使得△ABP 1，△BCP 2，△CDP 3和△DAP 4都是正三⾓形，则四边形P 1P 2P 3P 4的⾯积等于（）A.2−√3 B.√6−√24C.1+√38D.前三个答案都不对解析A ．光⼦辅导12.已知某个三⾓形的两条⾼的长度分别为10和20，则它的第三条⾼的长度的取值区间为（）A.Å103,5ãB.Å5,203ãC.Å203,20ãD.前三个答案都不对解析C ．13.正⽅形ABCD 与点P 在同⼀平⾯内，已知该正⽅形的边长为1，且|P A |2+|P B |2=|P C |2，则|P D |的最⼤值为（）A.2+√2B.2√2C.1+√2 D.前三个答案都不对解析A ．14.⽅程log 4(2x +3x )=log 3(4x −2x )的实根个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析B ．15.使得x +2x 和x 2+2x2都是整数的正实数x 的个数为（）A.1 B.2C.⽆穷多D.前三个答案都不对解析A ．16.满⾜f (f (x ))=f 4(x )的实系数多项式f (x )的个数为（）A.2 B.4C.⽆穷多D.前三个答案都不对解析D ．17.使得p 3+7p 2为平⽅数的不⼤于100的素数p 的个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析C ．18.函数f (x )=x (x +1)(x +2)(x +3)的最⼩值为（）A.−1B.−1.5C.−2D.前三个答案都不对解析A ．19.动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2−6x +7=0都外切，则动圆的圆⼼轨迹是（）A.双曲线B.双曲线的⼀⽀C.抛物线D.前三个答案都不对解析B ．光⼦辅导20.在△ABC 中，sin A =45，cos B =413，则该三⾓形是（）A.锐⾓三⾓形 B.钝⾓三⾓形C.⽆法确定D.前三个答案都不对解析A ．。

h t t p://l a n q i.o r g2015年北京⼤学博雅计划数学试卷兰琦2017年1⽉11⽇⼀、选择题（共5⼩题；在每⼩题的四个选项中，只有⼀项符合题⺫要求，把正确选项的代号填在括号中，选对得10分，选错扣5分，不选得0分．）1.已知n 为不超过2015的正整数且1n +2n +3n +4n 的个位数为0，则满⾜条件的正整数n 的个数为()A.1511B.1512C.1513D.前三个答案都不对解析B ．n 模4余1,2,3均可．2.在内切圆半径为1的直⾓三⾓形ABC 中，∠C =90◦，∠B =30◦，内切圆与BC 切于D ，则A 到D 的距离AD 等于()A.√4+2√3B.√3+3√3 C.√3+4√3D.前三个答案都不对解析D ．利用面积确定三边长，答案为√5+2√3．3.正⽅形ABCD 内部⼀点P 满⾜AP :BP :CP =1:2:3，则∠AP B 等于()A.120◦B.135◦C.150◦D.前三个答案都不对解析 B.4.满⾜1x +1y =12015，x ⩽y 的正整数对(x,y )的个数为()A.12B.15C.18D.前三个答案都不对解析D.(x −2015)(y −2015)=20152=52·132·312，因此(x,y )共有14对．5.已知a,b,c ∈Z ，且(a −b )(b −c )(c −a )=a +b +c ，则a +b +c 可能为()A.126B.144C.162D.前三个答案都不对解析C.⼆、填空题（共5⼩题；请把每⼩题的正确答案填在横线上，每题10分．）6.设α为复数，α表⽰α的共轭，已知|α−α|=2√3且αα2为纯虚数，则|α|的值为．解析2√3或√3．由题意， r sin Åkπ3+π6ã =√3，其中r 为|α|，k ∈Z ，因此r =2√3或r =√3，对应的α=3+√3i 或α=√3i ．1h t t p://l a n q i.o r g27.椭圆x 2+y 2=1的⼀条切线与x,y 轴交于A,B 两点，则三⾓形AOB 的⾯积的最⼩值为．解析ab ．仿射变换．8.已知x 2−y 2+6x +4y +5=0，则x 2+y 2的最⼩值是．解析12．注意题中⽅程为两条互相垂直的直线．9.已知点集M ={(x,y ) √1−x 2·√1−y 2⩾xy }，则平⾯直⾓坐标系中区域M 的⾯积为．解析2+π2．10.现要登上10级台阶，每次可以登1级或2级，则不同的登法共有种．解析89．。

2015年北京大学博雅人才计划笔试一、选择题（共5小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确选项的代号填在括号中，选对得10分，选错扣5分，不选得0分.）1.已知n 为不超过2015的正整数且1234n n n n+++的个位数为0，则满足条件的正整数n 的个数为（A ）1511 （B ）1512 （C ）1513 （D ）前三个答案都不对2.在内切圆半径为1的直角三角形ABC 中，90C ∠=，30B ∠=，内切圆与BC 切于点D ，则A 到D 的距离AD 等于（A （B（C （D ）前三个答案都不对3.正方形ABCD 内部一点P 满足::1:2:3AP BP CP =，则APB ∠等于（A ）120 （B ）135（C ）150 （D ）前三个答案都不对4.满足1112015x y +=，x y ≤的正整数对(,)x y 的个数为 （A ）12 （B ）15（C ）18 （D ）前三个答案都不对5.已知,,a b c Z ∈，且()()()a b b c c a a b c ---=++，则a b c ++可能为（A ）126 （B ）144（C ）162 （D ）前三个答案都不对二、填空题（共5个小题；请把每小题的正确答案填在横线上，每题10分.）6.设α为复数，α表示α的共轭，已知||αα-=，则2αα为纯虚数，则||α的值为_________.7.椭圆22221x y a b +=的一条切线与,x y 轴交于,A B 两点，则三角形AOB 的面积的最小值为_________.8.已知226450x y x y -+++=，则22x y +的最小值是_________.9.已知点集{}(,)M x y xy =≥，则平面直角坐标系中区域M 的面积为_________.10.现要登上10级台阶，每次可以登1级或2级，则不同的登法共有_________种.。

2015年北京大学博雅计划数学试题一、选择题（本题共5小题，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确选项的代号填在括号中，选对得10分，选错扣5分，不选得0分．）1．已知n 为不超过2015的正整数且1n +2n +3n +4n 的个位数为0，,则满足条件的正整数n 的个数为（ ）A ．1511B ．1512C ．1513D ．前三个答案都不对2．在内切圆半径为1的直角三角形ABC 中，∠C =900，∠B =300，内切圆与BC 切于D ，则A 到D 的距离AD 等于（ ）A ． 4+23B ．3+23C ．3+43D ．前三个答案都不对第2题图 第3题图3．正方形ABCD 内部一点P 满足PA: PB: PC=1:2:3，则∠APB 等于（ ）A ．1200B ．1350C ．1500D ．前三个答案都不对4．满足1112015x y +=，x y ≤的正整数对（x,y ）的个数为（） A ．12 B ．15 C ．18 D ．前三个答案都不对5．已知,,a b c Z ∈，且()()()a b b c c a a b c ---=++，则a b c ++可能为（ ）A ．126B ．144C ．162D ．前三个答案都不对二、填空题（本题共5小题，请把每小题的正确答案填在横线上，每题10分．）6．设α为复数，α表示α的共轭，已知-=23αα且2αα为纯虚数，则α的值为_______． 7．椭圆22221x y a b+=的一条切线与x,y 轴交于A 、B 两点，则三角形AOB 的面积的最小值为 _______．8．已知226450x y x y -+++=，则22+x y 的最小值是_______． 9．已知点集22{(x,y)1-x 1-y xy}M =⋅≥，则平面直角坐标系中区域M 的面积为 _______．10．现要登上10级台阶，每次可以登1级或2级，则不同的登法共有_______种．2015年北京大学博雅计划数学试题参考答案一、选择题1、B ．提示：n 模4余1,2,3均可．2、D ．提示：利用面积确定三边长，答案为5+233、B ．提示：如图旋转将△APB 绕B 点顺时针旋转90°并连接PE ，∵将△APB 绕B 点顺时针旋转90°，得△BEC ，∴△BEC ≌△BPA ，∠APB=∠BEC ，∴△BEP 为等腰直角三角形，∴∠BEP=45°，∵PB=2，∴2∵PC=3，CE=PA=1，∴PC 2=PE 2+CE 2，∴∠PEC=90°，∴∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°．4、D ． 提示：2222(2015)(2015)201551331x y --==⋅⋅，因此 (x,y)共有14对．5、C ．提示: 注意()+()+()0a b b c c a ---=二、填空题6、23或3．提示: 根据已知sin()=336k r ππ⋅+，其中r 为α，k Z ∈，因此r=23或3，对应的 =3+3i α或=3i α．7、ab ．提示：仿射变换．8、1/2提示：注意题中方程为两条互相垂直的直线．9、2+2π 提示：如图10、89.提示：递推．登上第1级：1种登上第2级：2种登上第3级：1+2=3种（前一步要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来）登上第4级：2+3=5种（前一步要么从第2级迈上来，要么从第3级迈上来）登上第5级：3+5=8种登上第6级：5+8=13种登上第7级：8+13=21种登上第8级：13+21=34种登上第9级：21+34=55种登上第10级：34+55=89种．故答案为：89．。

【原创】2015届高三数学二轮专题训练卷：不等式选讲（含解析）学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________一、选择题：共6题每题5分共30分1．设且， ,时，那么x的取值范围是A。

x≤1或B.x〈1或C.x<—1或x〉3D.x〈1或2．已知函数,，若恒成立，实数m 的最大值为t。

那么实数t是A.15B。

20 C.9D。

303．已知a+b+c=1，若不等式2a2+3b2+c2≥｜x+1|对a、b、c∈R恒成立,则实数x的取值范围是A。

［-，-]B。

［—，］C。

［—,-］D.［-，—]4．设函数f（x）=|x+1|+|x-4｜—a, 若f （x)≥+1对任意的实数x 恒成立，则实数a的取值范围为A.(—∞,0]∪{2}B.（-∞，0)C。

｛2｝D.(-∞，0）∪{2｝5．对任意x，y∈R，|x—1｜+｜x|+｜y—1|+|y+1|的最小值为A。

1 B.2C。

3D。

46．已知集合M={x}，N=｛x|a〈x<6}，且M∩N=（2,b),则a+b=A.6B.7C.8D.9二、填空题：共4题每题5分共20分7．已知，使不等式恒成立，则实数a的取值范围是__________．8．已知a,b为正实数，且a+4b=1，则+的最大值为。

9．若关于x的不等式|x+2｜+｜x—1|>log2a的解集为R,则实数a的取值范围是.10．已知实数a〉0，b>0，c〉0,a2+4b4+c2=1,则a+2b2+c的最大值是________.三、解答题:共5题每题12分共60分11．已知函数(1）当时，求函数的定义域；（2）若对任意的R,都有成立,求实数的取值范围.12．已知函数。

（1)若 =2，解关于x的不等式;(2)若对任意的都有，求的取值范围.13．设函数（I)解不等式；（Ⅱ）当x∈R，0〈y〈1时，证明：。

14．设函数。

（1）当时,解不等式；(2）若的解集为，,求证：。

2015年北京大学自主招生选拔录取考试数学试题一、选择题（共5小题；每题选对得10分，不选得0分，选错扣5分）1、整数x, y, z 满足1xy yz zx ++=，则2221+)1+)1+)x y z (((可能取到的值为（ ） A ．16900 B ．17900 C ．18900 D ．前三个答案都不对2、在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（ ）A ．3524B ．3624C ．3724D ．前三个答案都不对3、已知[0,]2x π∈，对任意实数a ，函数2cos 2cos 1y x a x =-+的最小值记为g （a ），则当a 取遍所有实数时，g （a ）的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．前三个答案都不对4、已知1020-220是2n 的整数倍，则正整数n 的最大值为（ ）A ．21B ．22C ．23D ．前三个答案都不对5、在凸四边形ABCD 中， BC=4，∠ADC =600，∠BAD =900，四边形ABCD 的面积等于 2AB CD BC AD ⋅+⋅，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（ ） A ．6.9 B ．7.1 C ．7.3 D ．前三个答案都不对二、填空题（共5小题；每小题10分，请把每小题的正确答案填在横线上）6、满足等式+++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 120151111x 2015的整数x 的个数是_______．7、已知a,b,c,d [2,4]∈则22222()()()ab cd a d b c +++的最大值与最小值的和为_______．8、已知对于任意的实数[1,5]x ∈，22x px q ++≤,不超过的最大整数是_______．9、设2222b c a x bc +-=,2222c a b y ca+-=,2222a b c z ab +-=，且+1x y z +=，则 201520152015+x y z +的值为_______．10、设A 1,A 2…..An 都是9元集合{1,2,3….9}的子集，已知i A 为奇数，1i n ≤≤，i j A A 为偶数，1i j n ≤≠≤，则n 的最大值为_______．2015年北京大学自主招生选拔录取考试数学试题参考解答一、选择题1、 A 解析：22221+)1+)1+)=(+)+)+))x y z x y y z z x ((((((，令2513x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得5-38x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩经检验，这组解满足题意，此时2221+)1+)1+)=16900x y z (((2、D解析：考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组：(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意．所以这50个不同的正整数中必有50，而(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中．因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法．经检验，选50,51,52,⋯,98,99满足题意，此时50+51+⋯+98+99=3725，故选D ．3、A解析：令cos [0,1]t x =∈，令2()21h t t at =-+， [0,1]t ∈，则 21(0)()1(01)22(1)a g a a a a a <⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩故g （a ）的最大值为1（0a ≤时等号成立）．4、 D 解析： 1020-220=220（520-1）=220（510+1）（55+1）（5-1）（54+53+52+5+1），而510+1模4余2，55+1模4余2， 54+53+52+5+1为奇数，故正整数n 的最大值为24．5、A解析：设四边形ABCD 的面积为S ，直线AC 、BD 的夹角为θ，则sin sin 222AC BD AB CD BC AD AB CD BC AD S θθ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=≤≤ 由题意， 2AB CD BC AD S ⋅+⋅=，所以A 、B 、C 、D 四点共圆，且AC ⊥BD ． 故43 6.9CD =≈，选A ．二、填空题6、11解析：若x 为正整数，则+++e ⎛⎫⎛⎫>>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 120151111x 2015若x 为负整数，令()*,2x n n N n =-∈≥则+++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 1n-11111x n-1 因为数列+⎛⎫ ⎪⎝⎭n-111n-1()*,2n N n ∈≥关于n 单调递增，故当且仅当x=-2016时，有 +++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 120151111x 20157、25/41 解析：注意到222222()()()()a d b c ab cd ac bd ++=++- 于是222222222()()1=()()()()1()ab cd ab cd ac bd a d b c ab cd ac bd ab cd++=-+++++++ 显然当ac-bd=0时，原式取得最大值为1．接下来考虑ac bd ab cd-+的最大值．由于-=1a b ac bd d c a b ab cd d c-++,令tan a d α=，tan b c β=，则问题等价于当 1arctan ,arctan 22αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，求tan αβ-的最大值，显然为tan 13（arctan2-arctan ）=24. 因此原式的最小值为16/25．注：可以看做向量（a,d ）和（b,c ）夹角余弦的平方．8、9解析：注意到2y x px q =++, [1,5]x ∈满足-22y ≤≤，因此符合题意的二次函数只有两个：2-67y x x =+, 2-+6-7y x x =9、1解析：由+1x y z +=，可得223223223+2ab ac a bc a b b a c b c c abc -++-++--223322322=+)()(2)ab a b a b ac bc c a c b c abc --++-++-（222=-)-)()(-)a b a b c a b c c a b +++-+（（=-))()=0a b c b c a c a b ------（（所以a=b+c 或b=c+a 或c=a+b ，故201520152015+xy z +=1．10、9解析：构造是容易的，取Ai={i},i=1,2,…，9即可．用0,1表示集合中的元素是否在子集中，如A 1={1,3,4,5,9}，则记A 1={1,0,1,1,1,0,0,0,1}那么 i j i j =A A A A ⋅显然，如果当10n ≥时，必然存在m 个向量线性相关，不妨设1122m ...(0,0,...0)m A A A λλλ+++=,其中1(1,1,...,),1i Z i m λλ∈==．此时考虑11122m ...m A A A A λλλ⋅+++（）那么根据题意有11A A ⋅为奇数，而1i A A ⋅(i=2,3,….m)为偶数，这样就推出了矛盾． 因此所求n 的最大值为9．注：用这个方法，可以得出n 元集合至多有n 个包含奇数个元素的子集，使得这些子集中任意两个的交集均包含偶数个元素．。

2015年北京大学博雅计划数学试题一、选择题（本题共5小题，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确选项的代号填在括号中，选对得10分，选错扣5分，不选得0分．）1．已知n 为不超过2015的正整数且1n +2n +3n +4n 的个位数为0，,则满足条件的正整数n 的个数为（ ）A ．1511B ．1512C ．1513D ．前三个答案都不对2．在内切圆半径为1的直角三角形ABC 中，∠C =900，∠B =300，内切圆与BC 切于D ，则A 到D 的距离AD 等于（ ）A ． 4+23B ．3+23C ．3+43D ．前三个答案都不对第2题图 第3题图3．正方形ABCD 内部一点P 满足PA: PB: PC=1:2:3，则∠APB 等于（ ）A ．1200B ．1350C ．1500D ．前三个答案都不对4．满足1112015x y +=，x y ≤的正整数对（x,y ）的个数为（） A ．12 B ．15 C ．18 D ．前三个答案都不对5．已知,,a b c Z ∈，且()()()a b b c c a a b c ---=++，则a b c ++可能为（ ）A ．126B ．144C ．162D ．前三个答案都不对二、填空题（本题共5小题，请把每小题的正确答案填在横线上，每题10分．）6．设α为复数，α表示α的共轭，已知-=23αα且2αα为纯虚数，则α的值为_______． 7．椭圆22221x y a b+=的一条切线与x,y 轴交于A 、B 两点，则三角形AOB 的面积的最小值为 _______．8．已知226450x y x y -+++=，则22+x y 的最小值是_______． 9．已知点集22{(x,y)1-x 1-y xy}M =⋅≥，则平面直角坐标系中区域M 的面积为 _______．10．现要登上10级台阶，每次可以登1级或2级，则不同的登法共有_______种．2015年北京大学博雅计划数学试题参考答案一、选择题1、B ．提示：n 模4余1,2,3均可．2、D ．提示：利用面积确定三边长，答案为5+233、B ．提示：如图旋转将△APB 绕B 点顺时针旋转90°并连接PE ，∵将△APB 绕B 点顺时针旋转90°，得△BEC ，∴△BEC ≌△BPA ，∠APB=∠BEC ，∴△BEP 为等腰直角三角形，∴∠BEP=45°，∵PB=2，∴2∵PC=3，CE=PA=1，∴PC 2=PE 2+CE 2，∴∠PEC=90°，∴∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°．4、D ． 提示：2222(2015)(2015)201551331x y --==⋅⋅，因此 (x,y)共有14对．5、C ．提示: 注意()+()+()0a b b c c a ---=二、填空题6、23或3．提示: 根据已知sin()=336k r ππ⋅+，其中r 为α，k Z ∈，因此r=23或3，对应的 =3+3i α或=3i α．7、ab ．提示：仿射变换．8、1/2提示：注意题中方程为两条互相垂直的直线．9、2+2π 提示：如图10、89.提示：递推．登上第1级：1种登上第2级：2种登上第3级：1+2=3种（前一步要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来）登上第4级：2+3=5种（前一步要么从第2级迈上来，要么从第3级迈上来）登上第5级：3+5=8种登上第6级：5+8=13种登上第7级：8+13=21种登上第8级：13+21=34种登上第9级：21+34=55种登上第10级：34+55=89种．故答案为：89．。

清华领军2015.5.如图，已知直线y kx n =+与曲线()y f x =相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ）A.2个极大值点B.3个极大值点C.2个极小值点D.3个极小值点 同时分入了函数图像与性质类清华领军2015.25.设函数()f x 的定义域是（-1，1），若(0)(0)1f f ='=，则存在实数(0,1)δ∈，使得（ ） A.()0,(,)f x x δδ>∈- B.()f x 在(,)δδ-上单调递增 C.()1,(0,)f x x δ>∈ D.()1,(,0)f x x δ>∈-北大博雅2016.1.直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（ ） A.-3 B.-2 C.-1 D.前三个答案都不对 1.【解答】A由于()x a x a e e ++'-=-，于是切点横坐标为x =-a ，进而有-(-a )+2=a a e -+-解得a =-3. 【评析】非常基础的问题，注意计算速度和准确度。

清华领军2016.17. ∫(x −π)2π−1(1+sin 2πx)dx =2π? 17.【解答】0()()()()()()()()()()()()()()()212121222220021221220021212201sin 1sin 1sin 1sin 21sin 221sin 1sin 0n n n nnnn n nnn n nnx x dx x x dx x x dxx x dx x x d x x x dx x x dx πππππππππππππππππππ--------+=-++-+⎡⎤=-++--+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【评析】考察大学的微积分知识，运用到换元积分法，清华的考试中常出现这类问题。

清华领军2016.22.2()()x f x x a e =+有最小值，则220x x a ++=的解的个数为______22.【解答】2()()()2222x x x f x x a e xe x x a e '=++=++，当220x x a ++=无解或者只有一解时，220x x a ++≥恒成立，从而()0f x '≥，此时()f x 无最小值，故()f x 有最小值时220x x a ++=有两个解。