双曲线练习题_(文科)

《双曲线》练习题一、选择题：1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是(A)A.17B.15C.174 D.1542．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（B）A．x2﹣y2=1 B．x2﹣y2=2 C．x2﹣y2=D．x2﹣y2=3．在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（B）A．B．C．或D．4.1（a＞b＞01有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ）A B C D5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（A）A．2 B．C．D．7．已知双曲线22219y xa-=的两条渐近线与以椭圆221259yx+=的左焦点为圆心、半径为165的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ）A．54B．53C．43D．658．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为(B)A.3B.62 C.63 D.339．已知双曲线221(0,0)x ym nm n-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐近线的，则m等于( D )A ．9B ．4C ．2D ．,310．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( A )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1 11．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( C )A ．4 2B ．83C ．24D ．4812．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C ) A ．28 B ．14－82 C ．14＋8 2D ．8 213．已知双曲线﹣=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ D ） A ．﹣=1B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=114．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若3|F 1B |=|F 2A |，则该双曲线的离心率是（ C ） A ． B ．C ．D ．215．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ C ）条。

高二〔文科〕双曲线练习题一、选择题1．a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，那么双曲线的标准程是〔 〕A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，那么双曲线的标准方程是〔 〕A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，那么P 到右焦点的距离是〔 〕 A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是 〔 〕 A. 〔5，0〕、〔-5，0〕B. 〔0，5〕、〔0，-5〕 C. 〔0，5〕、〔5，0〕 D.〔0，-5〕、〔-5，0〕5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是〔 〕A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C. 191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A 〔1，0〕和B 〔)1,2的双曲线标准方程〔 〕A ．1222=-y xB ．122=+-y xC ．122=-y x D. 1222=+-y x8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，那么三角形PAB 的面积为〔 〕 A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是 〔 〕 A ．〔4，0〕、〔-4，0〕 B ．〔0，-4〕、〔0，4〕C ．〔0，3〕、〔0，-3〕 D ．〔3，0〕、〔-3，0〕10．双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，那么双曲线的标准方程是〔 〕A ．1222=-y xB ．122=-y xC ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是〔 〕 A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x12．双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，那么双曲线标准方程是〔 〕A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 13．方程11122=-++ky k x 表示双曲线，那么k 的取值范围是〔 〕 A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k14．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，那么2ABF ∆〔F 2为右焦点〕的周长〔 〕 A ．28 B ．22 C ．14 D ．1215．方程x k y k22941--+=的曲线是双曲线，那么它的焦点坐标是 ( ) (A)(±13，0) (B)(0，±13) (C)(±13，0) (D)(0，±13)16．设双曲线2218y x -=的两个焦点为12,F F ，P 是双曲线上的一点，且12||:||=3:4PF PF ,那么△PF 1 F 2的面积等于( )二、填空题17．双曲线虚轴长10，焦距是16，那么双曲线的标准方程是________________.18．双曲线焦距是12，离心率等于2，那么双曲线的标准方程是___________________.19．16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________. 20.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，那么椭圆的标准方程是___________________三、解答题21.求满足以下条件的标准方程(1)求以椭圆18522=+y x 的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。

第4节双曲线课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( B )(A)1 (B)17(C)1或17 (D)以上答案均不对解析:由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,∴|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1,∴|PF2|=17.故选B.2.(2013年高考湖北卷)已知0<θ<,则双曲线C 1:-=1与C2:-=1的( D )(A)实轴长相等(B)虚轴长相等(C)离心率相等(D)焦距相等解析:双曲线Cc1==1,双曲线C2的半焦距=1,故选D.c2=3.(2012年高考湖南卷)已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( A )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:由焦距为10,知2c=10,c=5.将P(2,1)代入y=x得a=2b.a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20,所以方程为-=1.故选A.4.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:∵c2=2+2=4,∴c=2,2c=|F1F2|=4,由题可知|PF 1|-|PF2|=2a=2,|PF1|=2|PF2|,∴|PF 2|=2,|PF1|=4,由余弦定理可知cos∠F1PF2==.故选C.5.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为( A )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:在椭圆C1中,因为e=,2a=26,即a=13,所以椭圆的焦距2c=10,则椭圆两焦点为(-5,0),(5,0),根据题意,可知曲线C2为双曲线,根据双曲线的定义可知,双曲线C2中的2a2=8,焦距与椭圆的焦距相同,即2c2=10,可知b2=3,所以双曲线的标准方程为-=1.故选A.二、填空题6.(2013年高考辽宁卷)已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C 上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF 的周长为.解析:由题知,双曲线中a=3,b=4,c=5,则|PQ|=16,又因为|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6,所以|PF|+|QF|-|PQ|=12,|PF|+|QF|=28,则△PQF的周长为44.答案:447.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线C的方程为.解析:双曲线中,顶点与较近焦点距离为c-a=1,又e==2,两式联立得a=1,c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,∴方程为x2-=1.答案:x2-=18.(2013韶关模拟)设点P是双曲线-=1(a>0,b>0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点,其中F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若tan ∠PF2F1=3,则双曲线的离心率为.解析:依题意得PF1⊥PF2,tan ∠PF2F1==3,|PF1|=3|PF2|,设|PF1|=k,则|PF2|=3k,|PF1|2+|PF2|2=10k2=|F1F2|2=4c2,又∵2a=|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2k,即a=k,∴e==,即双曲线的离心率为.答案:9.(2013年高考湖南卷)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为.解析:设点P在双曲线右支上,由题意,在Rt△F1PF2中,|F1F2|=2c,∠PF1F2=30°,得|PF 2|=c,|PF1|=c,|PF 1|-|PF2|=2a,(-1)c=2a,e===+1.答案:+110.设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为.解析:如图,由题意得|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=2a.在△PF2M中,|PF2|2=|F2M|2+|PM|2,而|PM|=|PF1|,又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=2a+2c,即|PM|=a+c.∴|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.又c2=a2+b2,∴=,渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.答案:4x±3y=0三、解答题11.已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A、B两点,且点P是线段AB的中点?解:法一设点A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段AB的中点为(x0,y0),若直线l的斜率不存在,显然不符合题意.设经过点P的直线l的方程为y-1=k(x-1),即y=kx+1-k.由得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).①∴x0==.由题意,得=1,解得k=2.当k=2时,方程①成为2x2-4x+3=0.Δ=16-24=-8<0,方程①没有实数解.∴不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P(1,1)是线段AB 的中点.法二设A(x1,y1),B(x2,y2),若直线l的斜率不存在,即x1=x2不符合题意,所以由题得-=1,-=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-=0,即2-=0,即直线l斜率k=2,得直线l方程y-1=2(x-1),即y=2x-1,联立得2x2-4x+3=0,Δ=16-24=-8<0,即直线y=2x-1与双曲线无交点,即所求直线不合题意,所以过点P(1,1)的直线l不存在.12.(2013南京质检)中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程;(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.解:(1)由已知c=,设椭圆长、短半轴长分别为a、b,双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n,则解得a=7,m=3.∴b=6,n=2.∴椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,∴|PF1|=10,|PF2|=4.|=2,又|F∴cos∠F1PF2===.13.已知双曲线-=1(b>a>0),O为坐标原点,离心率e=2,点M(,)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且²=0.求+的值.解:(1)∵e=2,∴c=2a,b2=c2-a2=3a2,双曲线方程为-=1,即3x2-y2=3a2.∵点M(,)在双曲线上,∴15-3=3a2.∴a2=4.∴所求双曲线的方程为-=1.(2)设直线OP的方程为y=kx(k≠0),联立-=1,得∴|OP|2=x2+y2=.则OQ的方程为y=-x,有|OQ|2==,∴+===.B组14.已知点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R 在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( C )(A)6 (B)8 (C)10 (D)12解析:依题意知P在曲线C1的左支上时|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最大值为|PC2|+1,|PR|的最小值为|PC3|-1,则|PQ|-|PR|的最大值是|PC2|+1-(|PC3|-1)=|PC2|-|PC3|+2=8+2=10.故选C.15.从双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的大小关系为( B )(A)|MO|-|MT|>b-a (B) |MO|-|MT|=b-a(C)|MO|-|MT|<b-a (D)不确定解析:如图所示,取双曲线的右焦点为F',∵M为PF的中点,∴|MF|=|PF|.Rt△OFT中,|OT|=a,|OF|=c,∴|FT|=b,连接OM,PF',则|OM|=|PF'|,∴|MO|-|MT|=|PF'|-(|MF|-|FT|)=|PF'|-|PF|+b=-a+b=b-a.故选B.16.设点P在双曲线-=1(a,b>0)的右支上,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=4|PF2|,则双曲线离心率的取值范围是. 解析:由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=4|PF2|,所以4|PF2|-|PF2|=2a,所以|PF2|=a,|PF1|=a,所以整理得a≥c,所以≤,即e≤,又e>1,所以1<e≤. 答案:1<e≤。

高二数学【文科】双曲线周练卷一．选择题1.(2021·长春高二检测)双曲线-=1的焦距为( )A. B.22.“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线〞的( )3.假设方程-=1表示双曲线,那么实数m的取值范围是( )≠1且m≠-3 B.m>1C.m<-3或m>1D.-3<m<14.(2021·南昌高二检测)设双曲线-=1上的点P到点(4,0)的距离为10,那么点P到点(-4,0)的距离为( )A.16B.16+2C.10+2或10-25.(2021·济宁高二检测)F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P 在C上,∠F1PF2=60°,那么P到x轴的距离为( )A. B. C. D.6.以下曲线中离心率为的是( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=17.双曲线-=1的右焦点为(3,0),那么该双曲线的离心率等于A. B. C. D.8.(2021·兰州高二检测)对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x+2y-3=0,那么该双曲线的离心率为( )A. 5或B.或C.或D. 5或9.(2021·温州高二检测)双曲线x2-y2=1的渐近线方程是( )A.x=±1B.y=±xC.y=±xD.y=±x10.(2021·太原高二检测)双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),那么双曲线方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=111.(2021·福建高考)双曲线-y2=1的顶点到渐近线的距离等于( )A. B. C. D.12.(2021·兰州高二检测)直线y=kx+2与双曲线x2-y2=2有且只有一个交点,那么k的值是( )A.k=±1B.k=±C.k=±1或k=±D.k=±13.过点A(4,3)作直线l,如果它与双曲线-=1只有一个公共点,那么直线l的条数为( )A.1B.2C.314.(2021·重庆高二检测)双曲线x2-y2=2,过定点P(2,0)作直线l与双曲线有且只有一个交点,那么这样的直线l的条数为( )A.1B.215.过双曲线x2-=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点,假设|AB|=16,这样的直线有( )16.(2021·长春高二检测)双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB中点为N(-12,-15),那么E 的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=117.(2021·郑州高二检测)双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,假设MF2⊥x轴,那么双曲线的离心率为( )A. B. C. D.18.F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,过右焦点F2作倾斜角为的弦AB,那么△F1AB的面积为( )A. B.2 C. D.二、填空题19.点F1,F2分别是双曲线-=1(a>0)的左、右焦点,P是该双曲线上的一点,且|PF1|=2|PF2|=16,那么△PF1F2的周长是.20.(2021·唐山高二检测)P是双曲线-=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,假设|PF1|=17,那么|PF2|的值为.21.(2021·双鸭山高二检测)双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,)在双曲线上,那么双曲线方程为______________.22.(2021·黄石高二检测)F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),点P 是双曲线右支上的动点,那么|PF|+|PA|的最小值是.23.(2021·白山高二检测)设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,那么该双曲线的离心率为.24.过点A(6,1)作直线与双曲线x2-4y2=16相交于两点B,C,且A为线段BC的中点,那么直线的方程为.三、解答题25.如图,双曲线中c=2a,F1,F2为左、右焦点,P是双曲线上的点,∠F1PF2=60°,=12.求双曲线的标准方程.26.焦点在x轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为,焦距为12,求此双曲线的方程及离心率.高二数学【文科】双曲线周练卷答案1.【解析】-=1,得a2=9,b2=7,所以c2=a2+b2=16,即c=4,所以焦距2c=8.2.【解析】2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线,那么有m>0,n<0,故mn<0,假设m·n<0,那么m>0,n<0或m<0,n>0.应选B.3.【解析】选C.由(m-1)(m+3)>0,得m>1或m<-3.4.【解析】-=1,得a2=7,b2=9,所以c2=a2+b2=16,c=4,a=,所以F2(4,0)和F1(-4,0)为双曲线的焦点.由||PF1|-|PF2||=2a=2,故|PF1|=10+2或10-2.5.【解析】选B.因为||PF1|-|PF2||=2,所以|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4,所以|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|·|PF2|,由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=2|PF1|·|PF2|cos 60°,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|·|PF2|,又a=1,b=1,所以c==,所以|F1F2|=2c=2,所以4+2|PF1||PF2|=|PF1|·|PF2|+8,所以|PF1|·|PF2|=4.设P到x轴的距离为|y0|,=|PF1||PF2|sin 60°=|F1F2|·|y0|,所以×4×=×2|y0|,所以y0==.6.【解析】选B.选项B中,a2=4,b2=2,所以c2=a2+b2=6,所以a=2,c=,故e==.7.【解析】2+5=32,得a=2,所以e==.8.【解析】选B.因为双曲线的一条渐近线平行于直线x+2y-3=0,所以=-或=-,所以e==或.9.【解析】2-y2=1,得a2=1,b2=1,即a=1,b=1,所以渐近线方程为y=±x=±x.10.【解析】-=1(a>0,b>0),由所以a=2,又b2=c2-a2=12,所以双曲线的标准方程为-=1.11.【解析】选C.双曲线的右顶点为(2,0),渐近线方程为x-2y=0,那么顶点到渐近线的距离为=.12.【解析】选 C.联立直线y=kx+2与双曲线x2-y2=2,消元,得:(1-k2)x2-4kx-6=0,当1-k2=0时,k=±1,此时方程只有一解;当1-k2≠0时,要满足题意,Δ=16k2+24(1-k2)=0,即k=±.综上知:k的值是k=±1或k=±.13.【解析】l的条数为3.14.【解析】选B.因为点P(2,0)在双曲线含焦点的区域内,故只有当直线l与渐近线平行时才会与双曲线只有一个交点,故这样的直线只有两条.15.【解析】选C.过右焦点且垂直于x轴的弦长为16,因为|AB|=16,所以当l与双曲线的两交点都在右支上时只有一条.又因为实轴长为2,16>2,所以当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条.16.【解析】l的斜率k==1,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),那么-=1,-=1,两式相减并结合x1+x2=-24,y1+y2=-30得=,从而=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,所以E的方程为-=1.17.【解析】选B.将x=c代入双曲线的方程得y=,即M,在△MF1F2中,tan30°=,即=,解得e==.18.【解析】-y2=1,得a2=3,b2=1,c2=a2+b2=4,所以c=2,F1(-2,0),F2(2,0),直线AB:y=x-2.由得2x2-12x+15=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),那么x1+x2=6,x1·x2=,所以|AB|=|x1-x2|=·=2.又F1到直线AB:x-y-2=0的距离为:d==2,所以=×d×|AB|=×2×2=2.19.【解析】因为|PF1|=2|PF2|=16,所以|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a,所以a=4.又因为b2=9,所以c2=25,所以2c=10.所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.答案:3420.【解析】由条件知a2=64,即a=8,c2=b2+a2=100,c=10,所以双曲线右支上的点到左焦点F1的最短距离a+c=18>17,故点P在双曲线左支上.所以|PF2|-|PF1|=2a=16,即|PF2|=16+|PF1|=33.答案:3321.【解析】|PF1|==4,|PF2|==2,|PF1|-|PF2|=2=2a,所以a=,又c=2,故b2=c2-a2=2,所以双曲线的方程为-=1.答案:-=122.【解析】由双曲线-=1,得c=4,所以左焦点F(-4,0),右焦点F′(4,0),由双曲线的定义得:|PF|-|PF′|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|≥4+|AF′|=4+=9,此时P为AF′与双曲线的交点,即|PF|+|PA|的最小值为9.答案:923.【解析】因为双曲线的焦点在x轴上,且渐近线方程为3x±2y=0,所以=,所以该双曲线的离心率e==.答案:24.【解析】依题意可得直线的斜率存在,设为k(k≠0),那么直线的方程为y-1=k(x-6).设B(x1,y1),C(x2,y2),因为点A(6,1)为线段BC的中点,所以x1+x2=12,y1+y2=2.因为点B,C在双曲线x2-4y2=16上,所以由②-①得:(x2-x1)(x2+x1)-4(y2-y1)(y2+y1)=0,所以k====,所以经检验,直线的方程为y-1=(x-6),即3x-2y-16=0.答案:3x-2y-16=025.【解析】由题意可知双曲线的标准方程为-=1.由于||PF1|-|PF2||=2a,在△F1PF2中,由余弦定理得cos60°==,所以|PF1|·|PF2|=4(c2-a2)=4b2,所以=|PF1|·|PF2|·sin60°=2b2·=b2,从而有b2=12,所以b2=12,c=2a,结合c2=a2+b2,得a2=4.所以双曲线的标准方程为-=1.26.【解析】由可设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),所以两条渐近线为y=±x.因为两条渐近线的夹角为,故分两种情况,即y=x的倾斜角为或.当y=x的倾斜角为时,所以=tan=,所以=,即a2=3b2.又2c=12,所以c=6.由c2=a2+b2,得b2=9,a2=27.所以双曲线方程为-=1,e===.当y=x的倾斜角为时,所以=tan=,所以b2=3a2.又2c=12,所以c=6.由c2=a2+b2,得a2=9,b2=27.所以双曲线方程为-=1,e===2.。

福建高考数学双曲线专项练习题附答案1.已知M-2,0,N2,0,|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是A.双曲线B.双曲线左边一支C.双曲线右边一支D.一条射线2.若双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为A. B. C. D.,03.2021大纲全国,文11双曲线C:=1a>0,b>0的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于A.2B.2C.4D.44.过双曲线=1a>0,b>0的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM切点为M,交y轴于点P.若M为线段FP的中点,则双曲线的离心率是A. B. C.2 D.5.已知双曲线的两个焦点为F1-,0,F2,0,M是此双曲线上的一点,且满足=0,||||=2,则该双曲线的方程是A.-y2=1B.x2-=1C.=1D.=16.已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cosAF2F1=A. B. C. D.7.2021福建莆田模拟已知双曲线=1的右焦点的坐标为,0,则该双曲线的渐近线方程为.8.A,B是双曲线C的两个顶点,直线l与双曲线C交于不同的两点P,Q,且与实轴所在直线垂直.若=0,则双曲线C的离心率e= .9.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点4,-.1求双曲线方程;2若点M3,m在双曲线上,求证:=0;3在2的条件下求△F1MF2的面积.10.2021福建厦门模拟双曲线=1a>0,b>0的一条渐近线方程是y=x,坐标原点到直线AB 的距离为,其中Aa,0,B0,-b.1求双曲线的方程;2若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点,过点B作直线交双曲线于点M,N求时,直线MN的方程.11.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为A. B.2 C.4 D.812.已知点P是双曲线=1a>0,b>0右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点I 为PF1F2的内心,若+λ成立,则λ的值为A. B. C. D.13.若点O和点F-2,0分别为双曲线-y2=1a>0的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为A.[3-2,+∞B.[3+2,+∞C. D.14.2021浙江,文17设直线x-3y+m=0m≠0与双曲线=1a>0,b>0的两条渐近线分别交于点A,B.若点Pm,0满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.15.2021湖南,文20如图,O为坐标原点,双曲线C1:=1a1>0,b1>0和椭圆C2:=1a2>b2>0均过点P,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.1求C1,C2的方程;2是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且||=||?证明你的结论.16.已知双曲线E:=1a>0,b>0的两条渐近线分别为.1求双曲线E的离心率;2如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点A,B分别在第一、四象限,且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.1.C 解析:|PM|-|PN|=3<4,∴由双曲线定义知,其轨迹为双曲线的一支又|PM|>|PN|,∴点P的轨迹为双曲线的右支.2.C 解析:双曲线的标准方程为x2-=1,a2=1,b2=.∴c2=a2+b2=.∴c=,故右焦点坐标为.3.C 解析:e=2,∴=2.设焦点F2c,0到渐近线y=x的距离为,渐近线方程为bx-ay=0,.∵c2=a2+b2,∴b=.由=2,得=2,=4,解得c=2.焦距2c=4,故选C.4.A 解析:如图所示,在Rt△OPF中,OMPF,且M为PF的中点,则△POF为等腰直角三角形.所以△OMF也是等腰直角三角形.所以有|OF|=|OM|,即c=a.故e=.5.A 解析:由=0,可知.可设||=t1,||=t2,则t1t2=2.在△MF1F2中,=40,则|t1-t2|===6=2a.解得a=3.故所求双曲线方程为-y2=1.6.A 解析:双曲线的离心率为2,=2,∴a∶b∶c=1∶∶2.又∴|AF1|=4a,|AF2|=2a,∴|F1F2|=2c=4a,∴cos∠AF2F1==,选A.7.2x±3y=0解析:因为右焦点坐标是,0,所以9+a=13,即a=4.所以双曲线方程为=1.所以渐近线方程为=0,即2x±3y=0.8. 解析:如图所示,设双曲线方程为=1,取其上一点Pm,n,则Qm,-n,由=0可得a-m,-n·m+a,-n=0,化简得a2-m2+n2=0.又=1可得b=a,故双曲线的离心率为e=.9.1解:因为e=,所以可设双曲线方程为x2-y2=λ.因为双曲线过点4,-,所以16-10=λ,即λ=6.所以双曲线方程为=1.2证明:由1可知,在双曲线中a=b=,所以c=2.所以F1-2,0,F22,0.所以=-2-3,-m,=2-3,-m,则=9-12+m2=m2-3.因为点3,m在双曲线上,所以9-m2=6,即m2=3.所以=m2-3=0.3解:由2知△F1MF2的高h=|m|=,由△F1MF2的底边|F1F2|=4,则=6.10.解:1设直线AB:=1,由题意,所以所以双曲线方程为=1.2由1得B0,-3,B10,3,设Mx1,y1,Nx2,y2,易知直线MN的斜率存在.设直线,所以所以3x2-kx-32=9.整理得3-k2x2+6kx-18=0,①所以x1+x2=,y1+y2=kx1+x2-6=,x1x2=,y1y2=k2x1x2-3k·x1+x2+9=9.因为=x1,y1-3,=x2,y2-3, ·=0,所以x1x2+y1y2-3y1+y2+9=0,即+9-+9=0,解得k2=5,所以k=±,代入①有解,所以.11.C 解析:设等轴双曲线方程为x2-y2=mm>0,因为抛物线的准线为x=-4,且|AB|=4,所以|yA|=2.把坐标-4,2代入双曲线方程得m=x2-y2=16-12=4,所以双曲线方程为x2-y2=4,即=1.所以a2=4,所以实轴长2a=4.12.B 解析:设△PF1F2内切圆半径为r,根据已知可得×|PF1|×r=×|PF2|×r+×2c×r,整理可得|PF1|=|PF2|+2λc.由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,则2λc=2a,故λ=.13.B 解析:由a2+1=4,得a=,则双曲线方程为-y2=1.设点Px0,y0,则=1,即-1.=x0x0+2+=+2x0+-1=,x0≥,∴当x0=时,取最小值3+2.故的取值范围是[3+2,+∞.14. 解析:双曲线=1的两条渐近线方程分别是y=x和y=-x.由解得A,由解得B.设AB中点为E,则E.由于|PA|=|PB|,所以PE与直线x-3y+m=0垂直,而kPE=,于是=-1.所以a2=4b2=4c2-a2.所以4c2=5a2,解得e=.15.解:1设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.因为点P在双曲线x2-=1上,所以=1.故=3.由椭圆的定义知2a2==2.于是a2==2.故C1,C2的方程分别为x2-=1,=1.2不存在符合题设条件的直线.①若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=或x=-.当x=时,易知A,B,-,所以||=2,||=2.此时,||≠||.当x=-时,同理可知,||≠||.②若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.由得3-k2x2-2kmx-m2-3=0.当l与C1相交于A,B两点时,设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1,x2是上述方程的两个实根,于是y1y2=k2x1x2+kmx1+x2+m2=.由得2k2+3x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-82k2+3m2-3=0.化简,得2k2=m2-3,因此=x1x2+y1y2=≠0,于是+2-2,即||≠||,故||≠||.综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线.16.解法一:1因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a,从而双曲线E的离心率e=.2由1知,双曲线E的方程为=1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a,又因为△OAB的面积为8,所以|OC|·|AB|=8,因此a·4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为=1.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为=1.以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,则C.由得y1=,同理得y2=,由S△OAB=|OC|·|y1-y2|得,=8,即m2=4|4-k2|=4k2-4.由得,4-k2x2-2kmx-m2-16=0.因为4-k2<0,Δ=4k2m2+44-k2m2+16=-164k2-m2-16,又m2=4k2-4,所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.解法二:1同解法一.2由1知,双曲线E的方程为=1.设直线l的方程为x=my+t,Ax1,y1,Bx2,y2.依题意得-2或k<-2.由得,4-k2x2-2kmx-m2=0,因为4-k2<0,Δ>0,所以x1x2=,又因为△OAB的面积为8,所以|OA|·|OB|·sinAOB=8,由已知sinAOB=,所以=8,化简得x1x2=4.所以=4,即m2=4k2-4.由1得双曲线E的方程为=1,由得,4-k2x2-2kmx-m2-4a2=0,因为4-k2<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+44-k2m2+4a2=0,即k2-4a2-4=0,所以a2=4,所以双曲线E的方程为=1.当lx轴时,由△OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:=1有且只有一个公共点.综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高二(文科)双曲线周测试题姓名____________学号_____ 班别_______一.选择题:每小题5分,共50分1、双曲线221102x y -=的焦距为2. 双曲线2214x y k-=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 A .(0, 6) B . (3, 12) C . (1, 3) D . (0, 12) 3．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 4. “ab<0”是“方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.双曲线221169x y -=上的点P 到点(5, 0)的距离是15则点P 到点(－5, 0)的距离是 A.7 B.23 C.5或25 D.7或236.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D. [3，+∞]7 .椭圆222212x y m n +=与双曲线222212x y m n-=有公共焦点，则椭圆的离心率是AB C D8.已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e ,则双曲线方程为（A ）22x a －224y a=1(B)222215x y a a -= (C)222214x y b b -= (D)222215x y b b-=9.设椭圆C 1的离心率为135，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（A ）1342222=-y x (B)15132222=-y x (C)1432222=-y x (D)112132222=-y x10、已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为F 1、F 2 ，P 为C 的右支上一点，且||||212PF F F =，则△PF 1F 2 的面积等于 （A ）24 （B ）36 （C ）48 （D ）96二填空题: 每小题5分,共25分11.若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是 。

第四节 双曲线[考纲要求]1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．知道双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 3．了解双曲线的简单应用． 4．理解数形结合思想．突破点一 双曲线的定义和标准方程[基本知识]1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. (1)当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若P Q 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段P Q 上，则△P Q F 的周长为________．答案：442．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________．答案：y225－x275＝13．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．答案：7 2[全析考法]考法一双曲线的定义及应用(1)在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双曲线的定义解题；(2)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的“差的绝对值”，弄清是整个双曲线还是双曲线的某一支．[例1](1)(2019·宁夏育才中学月考)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于() A．1B．17C．1或17 D．以上均不对(2)已知点P在曲线C1：x216－y29＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|P Q|－|PR|的最大值是()A．6 B．8C．10 D．12[解析](1)根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒PF2＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故选B.(2)由题意可知C3，C2的圆心分别是双曲线C1：x216－y29＝1的左、右焦点，点P在双曲线的左支上，则|PC2|－|PC3|＝8.|P Q|max＝|PC2|＋1，|PR|min＝|PC3|－1，所以|P Q|－|PR|的最大值为(|PC2|＋1)－(|PC3|－1)＝|PC2|－|PC3|＋2＝8＋2＝10.故选C.[答案](1)B(2)C[方法技巧]双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．考法二双曲线的标准方程待定系数法求双曲线方程的5种类型 类型一与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)类型二若已知双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x 或y ＝－b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)类型三与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2＜k ＜a 2)类型四过两个已知点的双曲线的标准方程可设为x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)或者x 2m ＋y 2n ＝1(mn ＜0)类型五与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2λ－b 2＝1(b 2＜λ＜a 2) [例2] (2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 [解析] 法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0， 则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bcc ＝2b＝6，所以b ＝3.又由e ＝ca ＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3. 所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.[答案] C[方法技巧]求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．[集训冲关]1.[考法一]虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，则△ABF 2的周长为( )A ．3B ．16＋ 2C ．12＋ 2D ．24解析：选B ∵2b ＝2，e ＝ca ＝3，∴b ＝1，c ＝3a ，∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝24. 由双曲线的定义知：|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝22， ① |BF 2|－|BF 1|＝22，②①＋②得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2， 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|＝8＋2，则△ABF 2的周长为16＋2，故选B.2.[考法二]设k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．长轴在x 轴上的椭圆 B ．长轴在y 轴上的椭圆 C ．实轴在x 轴上的双曲线D ．实轴在y 轴上的双曲线解析：选D ∵k ＞1，∴1－k ＜0，k 2－1＞0，∴方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是实轴在y 轴上的双曲线，故选D.3.[考法二]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x 223＝1 解析：选C 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a2－9b2＝1，ba＝3，解得⎩⎨⎧a＝1，b＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，由题意得⎩⎨⎧9a2－4b2＝1，ab＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，选C.法二：当其中的一条渐近线方程y＝3x中的x＝2时，y＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a2－9b2＝1，ba＝3，解得⎩⎨⎧a＝1，b＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为y＝±3x，即y3＝±x，所以可设双曲线的方程是x2－y23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，故选C.突破点二双曲线的几何性质[基本知识]标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0) 图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( )(2)等轴双曲线的离心率等于2，且渐近线互相垂直．( ) 答案：(1)√ (2)√ 二、填空题1．双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为________．答案：3x ±4y ＝02．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k ＝________. 答案：13．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为________．答案：54或53[全析考法]考法一 渐近线问题[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x(2)(2019·郑州一中入学测试)已知抛物线x 2＝8y与双曲线y 2a2－x 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[解析] (1)∵e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a .∴渐近线方程为y ＝±2x .(2)设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，所以y 0＝3，x 20＝24， 由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2＝1上，得y 20a 2－x 20＝1， 即9a 2－24＝1，解得a 2＝925， 所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a 2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B.[答案] (1)A (2)B [方法技巧]求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(a ＞0，b ＞0)．考法二 离心率问题[例2] (1)(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2(2)(2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤53，2B.⎝⎛⎦⎤1，53 C ．(1,2]D.⎣⎡⎭⎫53，＋∞[解析] (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝ba x ，则F 2到y ＝ba x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b . 在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－(6a )22ac＝－cos ∠POF 2＝－ac ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.(2)由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53，即e ≤53，又双曲线的离心率e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，53，故选B. [答案] (1)C (2)B [方法技巧]求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．[集训冲关]1.[考法一]已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由于双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x ＋y ＝5与y 轴的交点为(0,5)，所以c ＝5，m ＋9＝25，则m ＝16，则双曲线的方程为y 216－x 29＝1，则双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.2.[考法二]若a ＞1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a 2＜2，∴1＜e ＜ 2. 3.[考法一、二](2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝ 1＋b 2a 2＝2，∴ba ＝1.∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0.∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 4.[考法一、二]已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1，F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选A 如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立得⎩⎨⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－a b x ，解得⎝ ⎛x ＝－bc 2a，y ＝c2，即M ⎝⎛⎭⎫－bc 2a ，c 2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝⎛⎭⎫－bc 2a 2＋⎝⎛⎭⎫c 22＜c 2，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得c a ＜2，又双曲线的离心率e ＝c a＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A .[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2018·浙江高考)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)解析：选B ∵双曲线方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上， ∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．2．(2019·南宁摸底联考)双曲线x 225－y 220＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±45xB ．y ＝±54xC ．y ＝±15xD ．y ＝±255x解析：选D 在双曲线x 225－y 220＝1中，a ＝5，b ＝25，∴其渐近线方程为y ＝±255x ，故选D.3．(2019·合肥调研)下列双曲线中，渐近线方程不是y ＝±34x 的是( )A.x 2144－y 281＝1 B.y 218－x 232＝1 C.y 29－x 216＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选D 对于A ，渐近线方程为y ＝±912x ＝±34x ；对于B ，渐近线方程为y ＝±1832x＝±34x ；对于C ，渐近线方程为y ＝±34x ；对于D ，渐近线方程为y ＝±32x ．故选D.4．(2019·铜陵模拟)已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为( )A ．4(1＋2)B ．4＋ 2C ．2(2＋6) D.6＋3 2解析：选A 设双曲线的左焦点为F ′，易得点F (6，0)，△APF 的周长l ＝|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋2a ＋|PF ′|＋|AP |，要使△APF 的周长最小，只需|AP |＋|PF ′|最小，易知当A ，P ，F ′三点共线时取到，故l ＝2|AF |＋2a ＝4(1＋2)．故选A.5．(2019·合肥一模)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝－2x ，则该双曲线的离心率是( )A ．52B ． 3C ． 5D ．2 3 解析：选C 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，且双曲线的一条渐近线方程为y ＝－2x ，得b a ＝2，则b ＝2a ，则双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝a 2＋4a 2a ＝5aa ＝ 5.故选C.6．(2019·德州一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝16x 的准线上，且双曲线的一条渐近线过点(3，3)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 220＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 24－y 212＝1 D.x 220－y 24＝1 解析：选C 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，由双曲线的一条渐近线过点(3，3)，可得ba＝3，①由双曲线的一个焦点(－c,0)在抛物线y 2＝16x 的准线x ＝－4上，可得c ＝4， 即有a 2＋b 2＝16，②由①②解得a ＝2，b ＝23， 则双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选C.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13 B.12 C.23D.32解析：选D 法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ―→＝(1,0)，PF ―→＝(0，－3)，所以AP ―→·PF ―→＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.2．(2019·黄冈质检)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选A 连接OM .由题意知OM ⊥PF ，且|FM |＝|PM |，∴|OP |＝|OF |， ∴∠OFP ＝45°，∴|OM |＝|OF |·sin 45°，即a ＝c ·22，∴e ＝ca＝ 2.故选A.3．(2019·银川模拟)已知双曲线x 2a 2－y 21－a 2＝1(0＜a ＜1)的离心率为2，则a 的值为( )A.12B.22C.13D.33解析：选B ∵c 2＝a 2＋1－a 2＝1，∴c ＝1，又c a ＝2，∴a ＝22，故选B.4．(2019·辽宁五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b＞0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A ．x 22－y 28＝1B ．x 24－y 2＝1C ．x 24－y 216＝1D ．x 2－y 24＝1 解析：选D 因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|FA |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.5．(2019·黄山一诊)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，F 1，F 2为C 的焦点，A 为双曲线上一点，若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1等于( )A.32 B.54C.55D.14解析：选C 因为双曲线的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以b ＝2a .又|F 1A |＝2|F 2A |，且|F 1A |－|F 2A |＝2a ，所以|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a ，而c 2＝5a 2，得2c ＝25a ，所以cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|F 2A |2－|F 1A |22|F 1F 2||F 2A |＝20a 2＋4a 2－16a 22×25a ×2a＝55，故选C.6．(2019·天津和平一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为32，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M .若△FOM 的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( )A ．x 2－4y 25＝1 B.x 22－2y 25＝1C.x 24－y 25＝1 D.x 216－y 220＝1 解析：选C 由题意可知e ＝c a ＝32，可得b a ＝52，取一条渐近线为y ＝ba x ，可得F 到渐近线y ＝ba x 的距离d ＝bca 2＋b2＝b ， 在Rt △FOM 中，由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ，由题意可得12ab ＝5，联立⎩⎨⎧b a ＝52，12ab ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5，所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1.故选C.7．(2019·湘中名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线离心率的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫53，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫54，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤1，53 D.⎝⎛⎦⎤1，54 解析：选B 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2a ，不妨取A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a . 将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±bca ， 不妨取C ⎝⎛⎭⎫c ，bc a ，D ⎝⎛⎭⎫c ，－bc a ，所以|CD |＝2bca . 因为|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54. 8．(2019·桂林模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤1，52 B.⎝⎛⎦⎤1，72 C.⎣⎡⎭⎫52，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫72，＋∞解析：选C 由条件得|OP |2＝2ab .又∵P 为双曲线上一点，∴|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a .又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.∴双曲线离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫52，＋∞.9．(2019·惠州调研)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D ．12解析：选A 如图，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，可知|PF 1|＝|P Q |，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，从而|Q F 2|＝2，在△F 1Q F 2中，易知OH 为中位线，故|OH |＝1.故选A.10．(2019·郑州模拟)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析：选B 假设点P 在双曲线的右支上，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .∵|F 1F 2|＝2c ＞2a ，∴△PF 1F 2最短的边是PF 2， ∴△PF 1F 2的最小内角为∠PF 1F 2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得4a 2＝16a 2＋4c 2－2×4a ×2c ×cos 30°， ∴c 2－23ac ＋3a 2＝0，∴e 2－23e ＋3＝0，∴e ＝3，∴ca ＝3， ∴c 2＝3a 2，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b 2＝2a 2，∴ba ＝2，∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0，故选B.11．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.解析：∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.答案：512．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py 消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .答案：y ＝±22x13．(2019·成都毕业班摸底测试)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a ＞0)和抛物线y 2＝8x 有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．解析：易知抛物线y 2＝8x的焦点为(2,0)，所以双曲线x 2a 2－y 22＝1的焦点为(2,0)，则a 2＋2＝22，即a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝22＝ 2.答案： 214．(2019·南昌调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意可知该切线方程为y ＝－ab (x－c )，即ax ＋by －ac ＝0.又圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a,0)，半径为c4，则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |a 2＋b2＝ac －a 2c ＝c 4，又e ＝ca ，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2. 答案：215．(2019·西安铁一中模拟)已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2＝30°.(1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求PP 1―→·PP 2―→的值．解：(1)由题易知F 2(1＋b 2，0)，可设M (1＋b 2，y 1)． 因为点M 在双曲线C 上且在x 轴上方，所以1＋b 2－y 21b2＝1，得y 1＝b 2，所以|F 2M |＝b 2.在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2，所以|MF 1|＝2b 2.由双曲线的定义可知，|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)易知两条渐近线方程分别为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0. 设双曲线C 上的点P (x 0，y 0)，两条渐近线的夹角为θ， 不妨设P 1在l 1上，P 2在l 2上，则点P 到两条渐近线的距离分别为|PP 1|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2|＝|2x 0＋y 0|3. 因为P (x 0，y 0)在双曲线x 2－y 22＝1上， 所以2x 20－y 20＝2，又易知cos θ＝13，所以PP 1―→·PP 2―→＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3cos θ＝|2x 20－y 20|3·13＝29.16．(2019·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以a ＝b ，所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，所以a 2＝b 2＝2， 所以双曲线的方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，所以x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ， 所以x 0＝32c ，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，所以3⎝⎛⎭⎫c a 4－8⎝⎛⎭⎫c a 2＋4＝0， 所以(3e 2－2)(e 2－2)＝0， 因为e ＞1，所以e ＝2， 所以双曲线的离心率为 2.。

双曲线基础训练题（一）1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的 曲线可能是 （ C ）5．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ B ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x6．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有 （ D ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点7．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ）A ．28B ．22C ．14D ．128．双曲线方程为152||22=-+-ky k x ，那么k 的取值范围是 （ D ）A ．k ＞5B ．2＜k ＜5C ．－2＜k ＜2D ．－2＜k ＜2或k ＞59．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是（ D ）A ．x 2－4y 2=1 B ．x 2－4y 2＝1 C ．4x 2－y 2=－1 D ．4x 2－y 2=110．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF（C ）A ．1或5B ． 6C ． 7D ． 911．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为 （ B ）A ．43B ．53C ．2D ．7312．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线12222=-by a x (a>0, b>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是 （ D ）A ．caB ．c bC ．ea D ．eb 13．双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为 （ B ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．414．二次曲线1422=+my x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ C ）A ．]23,22[B ．]25,23[C ．]26,25[D ．]26,23[15．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____6416．设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F17．双曲线122=-by ax 的离心率为5，则a :b= 4或4118．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．19．(本题12分)已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； [解析]∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x双曲线基础练习题（二）一. 选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0),(4,0)-，则双曲线的方程是A. 221412x y -=B. 221124x y -= C. 221106x y -= D. 221610x y -=2.设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 上，长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点距离差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程是A. 2222143x y -=B. 22221135x y -=C. 2222134x y -= D. 222211312x y -=3. 已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率等于A ．53B ．43C ．54D ．324. 已知双曲线22112x y n n+=-，则n = A.2- B .4 C.6 D.8-5.设1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=的两个焦点,若1F 、2F 、(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，那么其离心率是A.32 B. 52C. 2D. 3 6．已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线距离之比等于A C. 2 D.4 7．如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 的距离是A.B. C. D. 8.设12F F ，是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,若其右支上存在一点P 使得1290F PF ∠=o,且12PF =,则e =A.B. 1C.D . 19. 若双曲线22221x y a b-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是A ．3B ．5C D10. 设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=o ，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为A ．221+ B ．231+ C ．21+D ．31+11. 双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ABCD ．312. 设1,a >则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是A ．B ．C ．(25)，D ．(213．已知双曲线()222102x y b b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，它的一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在该双曲线上，则12PF PF =u u u r u u u u rgA ．12-B ．2-C ．0D ．414．双曲线22221x y a b-=的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则离心率e 的取值范围是A ．(1)，3B ．(1，3]C ．(3)∞，+D ．)+[3，∞15．设P 为双曲线22112y x -=上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，若1PF ：2PF =3：2，则12PF F ∆的面积为A ．B ．12C ．D ．2416．设1F 、2F 是双曲线2219y x -=的左、右焦点，P 为该双曲线上一点，且120PF PF =u u u r u u u u r g ，则12PF PF +=u u u r u u u u rA ．B ．CD ．二．填空题17．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程是y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为18．以1(60)F -，，2(60)F ，为焦点,离心率2e =的双曲线的方程是19．中心在原点,一个焦点是1(30)F -，20y ±=的双曲线的方程为20．过点(20)N ，且与圆2240x y x ++=外切的动圆圆心的轨迹方程是21．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 22． 已知双曲线22291(0)ym x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =23．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近的夹角为3π，则双曲线的离心率为24．已知双曲线22221x y a b -=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAF ∆的面积为22a ，（O 为坐标原点），则该双曲线的两条渐近线的夹角为25．过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交双曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN+-=26． 若双曲线22221x y a b-=的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则e 取值范围是27．.P是曲线22221x y a b-=的右支上一点,F为其右焦点,M 是右准线:x l 与x 轴的交点,若60,PMF ∠=o 45PFM ∠=o ,则双曲线方程是28．过双曲线221916x y -=的右焦点F 且平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B, A 为右顶点，则FAB ∆的面积等于 三．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是x=，离心率e =（2）中心在原点，离心率e =30.已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的两个焦点为1(20)F -，，2(20)F ，，点(3P 在双曲线C 上．⑴求双曲线C 的方程； ⑵记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若OEF =△S l 方程．双曲线练习题答案（二）一．选择题1．A 2. A3.A4. B 5. C6．C7．A8D9. D10. B11. B12. B13．C14．B15．B16B 二．填空题17．223144x y-=18．221927x y-=19．22145x y-=20．()22113yx x-=≥21．322．423．324．2π25．826．(11⎤⎦27．2211260x y-=28．3215二．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是5x=，离心率e=2214yx-=（2）中心在原点，离心率2e=顶点到渐近线的距离为5；2214xy-=30. 已知双曲线22221(00)x yC a ba b-=>>：，的两个焦点为1(20)F-，，2(20)F，，点(3P在双曲线C上．⑴求双曲线C的方程；⑵记O为坐标原点，过点(02)Q，的直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，若OEF=△S l方程．⑴解略：双曲线方程为22122x y-=．⑵解：直线:l2y kx=+，代入双曲线C的方程并整理，得22(1)460k x kx---=. ①Q直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，222110(4)46(1)0kkkk k≠±⎧⎧-≠⎪⎪∴⇔⎨⎨<<∆=-+⨯->⎪⎪⎩⎩，，，,(1)(11)(1k∴∈--U U，.②设1122()()E x yF x y，，，，则由①式得12241kx xk+=-，12261x xk=--，EF ∴21k -而原点O 到直线l 的距离d =1122OEFS d EF ∴=⋅==△．若OEFS =△，即422201k k k=⇔--=-，解得k =此满足②故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+双曲线基础练习题（三）一、选择题（每题5分）1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是 （ ） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0） 5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C.191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）A ．1222=-y x B ．122=+-y x C ．122=-y x D. 1222=+-y x8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是 （ ） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x 12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题（每题5分共20分）13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________. 14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________.16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题17．（本小题（10分）已知双曲线C ：191622=+-y x ，写出双曲线的实轴顶点坐标，虚轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程，渐近线方程。

课时规范练 A 组 基础对点练1．双曲线y 29－x 24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±94xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±23x解析：双曲线y 29－x 24＝1中a ＝3，b ＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±32x .答案：C2．(2019·石家庄模拟)若双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 为双曲线M 上一点，且|PF 1|＝15，|PF 2|＝7，|F 1F 2|＝10，则双曲线M 的离心率为( ) A ．3 B ．2C.53D.54解析：P 为双曲线M 上一点，且|PF 1|＝15，|PF 2|＝7，|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，|F 1F 2|＝2c ＝10，则双曲线的离心率为：e ＝c a ＝54. 答案：D3．(2019·彭州模拟)设F 为双曲线C ：x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点P ，Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B ．1＋ 3 C ．2＋ 3D ．4＋2 3解析：∠PQF ＝60°，因为|PQ |＝2|QF |，所以∠PFQ ＝90°，设双曲线的左焦点为F1，连接F 1P ，F 1Q ，由对称性可知，四边形F 1PFQ 为矩形，且|F 1F |＝2|QF |，|QF 1|＝3|QF |，故e ＝2c 2a ＝|F 1F ||QF1|－|QF |＝23－1＝3＋1. 答案：B4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A.3 B ．3 C.3mD ．3m解析：双曲线方程为x 23m －y 23＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.故选A.答案：A5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52 ①，又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9 ②，根据①②可知a 2＝4， b 2＝5，所以选B. 答案：B6．若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：依题意得，双曲线的离心率e ＝ 1＋1a2，因为a >1，所以e ∈(1，2)，故选C. 答案：C7．双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以a ＝5.答案：58．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C的方程为________．解析：因为e ＝c a ＝54，F 2(5,0)，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1.答案：x 216－y 29＝1 9．已知双曲线经过点(22，1)，其一条渐近线方程为y ＝12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线方程为：mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， 由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧ 8m ＋n ＝1，－m n ＝12，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝－1.则双曲线的标准方程为：x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝110．双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝a b x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b 2＝5b c ＝b＝3，所以a ＝4,2a ＝8. 答案：8B 组 能力提升练11．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A.2B ．2 2C ．4D ．8解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.答案：C12．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( ) A ．(1，5) B ．(1，5] C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ， 则由题意得b a>2，∴e ＝c a ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>1＋4＝ 5. 答案：C13．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等．离心率相等B ．虚半轴长相等．虚半轴长相等C ．实半轴长相等．实半轴长相等D ．焦距相等．焦距相等解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等． 答案：D14．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a2－y 2b 2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( ) A.52 B.102C.152D. 5解析：因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝a ，则10a 2＝4c 2，即c 2a 2＝52，故e＝c a ＝102(负值舍去)． 答案：B15．(2019·开封模拟)F 1(－4,0)，F 2(4,0)是双曲线C ：x 2m －y 24＝1(m ＞0)的两个焦点，点M 是双曲线C 上一点，且∠F 1MF 2＝60°，则△F 1MF 2的面积为________．解析：因为F 1(－4,0)，F 2(4,0)是双曲线C ：x 2m －y24＝1(m ＞0)的两个焦点，所以m ＋4＝16，所以m ＝12，设|MF 1|＝m ′，|MF 2|＝n ，因为点M 是双曲线上一点，且∠F 1MF 2＝60°，所以|m ′－n |＝43①，m ′2＋n 2－2m ′n cos 60°＝64②，由②－①2得m ′n ＝16，所以△F 1MF 2的面积S ＝12m ′n sin 60°＝4 3. 答案：4 316．(2019·唐山模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标是________． 解析：如图所示，内切圆圆心M 到各边的距离分别为|MA |，|MB |，|MC |，切点分别为A ，B ，C ，由三角形的内切圆的性质则有：|CF 1|＝|AF 1|，|AF 2|＝|BF 2|，|PC |＝|PB |，所以|PF 1|－|PF 2|＝|CF 1|－|BF 2|＝|AF 1|－|AF 2|＝2a ，又|AF 1|＋|AF 2|＝2c ，所以|AF 1|＝a ＋c ，则|OA |＝|AF 1|－|OF 1|＝a .因为M 的横坐标和A 的横坐标相同，所以M 的横坐标为a . 答案：a。

衡水万卷作业卷二十四文数 圆锥曲线双曲线作业专练姓名： __________班级： __________ 考号： __________ 题号 一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，每题5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是切合题目要求的）221.（ 2015 天津高考真题）已知双曲线x 2 - y2 = 1(a > 0, b > 0) 的一个焦点为 F (2,0) ,且双曲线的渐近ab线与圆(x - 22) + y 2 = 3 相切 ,则双曲线的方程为（）Ax2y2= 1Bx2y2= 19 -13-139Cx2- y2 = 1D x2y2= 13-32.若双曲线x 2 y 2 1(a 0, b 0) 的渐近线与抛物线yx 2 2 相切，则此双曲线的离心率等于a 2b 2（）A ． 2B ．3C ． 6D ． 9x 2 y 2 5 x ，则它的离心率为 ()3.已知双曲线2－ 2＝ 1(a>0 ， b>0) 的一条渐近线为y2ab53 A. 2 B.23 5 2 C. 5D. 34.已知双曲线x 2y 2 1(b 0) ，过其右焦点 F 作圆 x 2y 29 的两条切线，切点记作C ，D,9b 2双曲线的右极点为E , CED 1500，其双曲线的离心率为()A.23B.3C. 3D.23923x 2y 2 1 (a 0, b0) 的右极点 A 作斜率为 1的直线， 该直线与双曲线的两条渐近线的5.过双曲线b 2a 21BC ，则双曲线的离心率是（交点分别为 B,C ．若 AB）2A ． 2B ． 3C ． 5D ． 10x 2y 2 1 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）6.以双曲线916A ． x 2 y 2 10 x 9 0B ． x 2 y 2 10 x 16 0C ． x 2y 2 10x16 0D ． x 2y 2 10 x 9 0227.已知双曲线 x 2 -y2= 1(a > 0,b > 0) 的一条渐近线平行于直线l ： y = 2x + 10 ，双曲线的一个焦a b点在直线 l 上，则双曲线的方程为（）x 2 y 2x 2 y 2（ A ）-= 1（B ）-=15202053x 2- 3y 2= 1 3x 23y 2 = 1（ C ）100（D ）-2510025x 2 y 21与双曲线x 2 y 2 a 的值是（）8.椭圆a 2a1 有同样的焦点，则实数641B ．1或 21A ． 2C ．1或 2D ． 19.已知双曲线 x2y 21(a 0, b 0) 的离心率为 6，则此双曲线的渐近线方程为a 2b 22A.y= ±2xB. y= ±2xC. y=21± xD. y= ±x2210.设 P 为双曲线 C : x 2y 21 的一点， F 1, F2 分别为双曲线C 的左、右焦点，若 cosF 1PF 21 , 则3△ PF 1F 2 的内切圆的半径为A ．21B ．21C ．31D ．3111.点 P 是双曲线x 2y 21(a 0, b0) 左支上的一点， 其右焦点为 F (c,0) ，若 M 为线段 FP 的中a2b2点 , 且 M 到坐标原点的距离为c，则双曲线的离心率 e 的取值范围是()B ． 1,48A ．1,8C ．(4,5)D ． 2,333 312.已知 F1、F2 是双曲线x 2 y 2 1(a0, b 0) 的左、 右焦点， 若双曲线左支上存在一点P 与点 F2a2b2对于直线 ybx对称，则该双曲线的离心率为()aA ．5B. 5C ．2D ． 22二、填空题（本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分）13.若中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是F 1（ 0，﹣ 2），一条渐近线的方程是 x ﹣ y=0，则双曲线 C的方程为 ．14. 已知双曲线x 2 y 2 1 a0, b 0 的一条渐近线方程是 y3x ，它的一个焦点在抛物线a2b2y 28x 的准线上，则该双曲线的方程为____________.15.（ 2015?泰州一模）双曲线﹣=1 的右焦点到渐近线的距离是其到左极点距离的一半，则双曲线的离心率 e=．16.点 F 是抛物线: x22 py( p0) 的焦点， F 1 是双曲线 C :x 2y 2 1(a 0, b 0) 的右焦点，若a 2b 2线段 FF 1 的中点 P 恰为抛物线 与双曲线 C 的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线 C 的离心率e．三、解答题（本大题共 2 小题，共 24 分）17.已知圆锥曲线 E 的两个焦点坐标是F 1(2,0), F 2 (2,0) ，且离心率为 e2 ；（ 1）求曲线 E 的方程；与曲线 E 订交于 A, B 两点，求 k（ 2）设曲线 E 表示曲线 E 的 y 轴左侧部分，若直线ykx 1 的取值范围；（ 3）在条件（ 2）下，假如 AB 63 ，且曲线 E 上存在点 C ，使 OA OBmOC ，求 m 的值．18.已知双曲线 G 的中心在原点， 它的渐近线与圆 x 2＋ yx ＋ 20＝0 相切 .过点 P(－ 4,0)作斜率为 1的直线l ，4使得 l 和 G 交于 A， B 两点，和y 轴交于点C，而且点 P 在线段 AB 上，又知足 |PA| ·|PB|＝ |PC|2.(1)求双曲线 G 的渐近线的方程；(2)求双曲线 G 的方程；(3) 椭圆 S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴 .假如 S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰巧是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程 .0.衡水万卷作业卷二十四文数答案分析ì?b = 2a一、选择题??，因此 a 2= 5 ， b 2= 20，选 A.解：依题意得?c = 5í1.D?22? 2分析?= a + b?c试 题 剖析 ： 由 双 曲线 的 渐 近 线 bx-ay=0 与 圆 （ x-2 ） 2 +y 2 =32b8.答案 : D相切 得= 3，由a 2b 26 a 2a 4(a 0) ，解得 a 1 ．【分析】：由椭圆与双曲线相关知识易得c= a 2b 2 =2，解得 a=1，b= 3，应选 D9.C考点：圆与双曲线的性质 .2.B3.B4.【答案】 D分析：因为CED 1500，因此∠ COE=30 ° ,则c1 2 3 ，因此选 Dacos30310.A11.B12.【答案】 Bb【分析】过焦点F 且垂直渐近线的直线方程为：y-0=- a （x-c ），bxba 2ab联立渐近线方程y= a 与 y-0=- a （ x-c ），解之可得 x= c， y= c.a 2ab2a 22ab【思路点拨】抓住离心率为c，联合图中OC=a,OF=c ，再由直角三角形边角关系求比值.故对称中心的点坐标为（c ， c ），由中点坐标公式可得对称点的坐标为（ c-c,c ），5.【答案】 Ca(2 a 2 c 2 )2 4a 2b 2将其代入双曲线的方程可得a 2c2b 2 c2=1，联合 a 2+b 2=c 2，a2ab分析：因为 A 的坐标为（ a,0）,则直线方程为 x+y-a=0, 直线与两渐近线的交点B，,a bcab5 ．a2ab2a2b 2a 2babab化简可得 c 2=5a 2，故可得 e= a =BC2 ，AB,BC ,F 且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心C,，则有22,2b ,因 2AB【思路点拨】求出过焦点a b a ba baa b a b的点的坐标，代入方程联合222，解出 e 即得．a +b =c 得 4a2b 2，解得 e5，故答案为 C.二、填空题13.【考点】： 双曲线的简单性质．【思路点拨】由已知条件获得 a,b,c 关系，再求离心率即可 .【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．6.A7.A【剖析】：双曲的方程=1（ a， b＞0） c=2，由近方程y=± x，可得 a=b，再由 a， b， c 的关系，解得a， b，而获得双曲方程．【分析】：解：双曲的方程=1（ a， b＞ 0）c=2，由近方程y=± x，由意可得a=b，又c2=a2+b 2，解得 a=b=2，双曲的方程=1．故答案：=1 ．【点】：本考双曲的方程和性，主要考双曲的焦点和近方程，属于基．14.【答案】x2y21分析：因抛物y28x 的准方程x 2 ，3由意知，点 F2,0是双曲的左焦点，因此a2b2c24，又双曲的一条近方程是y3x ，因此b3，解得 a21,b2 3 ，a因此双曲的方程x2y21，故答案 x2y21 。