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因式分解配方法因式分解是代数中的一个重要概念，它在解决多项式的因式分解、化简、求根等问题中起着至关重要的作用。
因式分解配方法是一种常用的因式分解方法，通过合理的配方法，可以将复杂的多项式进行简化，从而更容易进行后续的计算和分析。
本文将介绍因式分解配方法的基本原理和具体步骤，希望能够帮助读者更好地掌握这一方法。
一、基本原理。
因式分解配方法的基本原理是利用代数式的加法性质和乘法性质，通过巧妙的配方法，将一个复杂的多项式分解成若干个简单的因式相乘的形式。
在进行因式分解配方法时，通常需要根据多项式的特点选择合适的配方法，以便达到最简化的效果。
二、具体步骤。
1. 提取公因式。
在进行因式分解配方法时，首先需要对多项式进行分解，看是否可以提取出公因式。
如果多项式中存在公因式，就可以先将公因式提取出来，然后再进行后续的配方法。
2. 利用配方法。
如果多项式中不存在明显的公因式，就需要利用配方法进行因式分解。
配方法的选择通常取决于多项式的形式和特点，常见的配方法包括，分组配方法、换元配方法、加减逆配方法等。
在选择配方法时，需要根据多项式的具体情况进行灵活应用，以达到最佳的分解效果。
3. 整理因式。
在完成配方法后，通常需要对得到的因式进行整理，以便得到最简化的形式。
整理因式的方法包括合并同类项、提取公因式、化简分式等，通过这些方法可以使因式的形式更加简洁明了。
三、举例说明。
下面通过一个具体的例子来说明因式分解配方法的应用：例如，对多项式x^2+5x+6进行因式分解，首先可以尝试提取公因式，发现无法提取出公因式，因此需要利用配方法进行分解。
通过观察多项式的形式，可以发现它可以通过分解成两个一次因式相乘的形式，即(x+2)(x+3)。
这就是利用配方法成功进行因式分解的一个例子。
四、总结。
因式分解配方法是解决多项式因式分解问题的重要方法，通过合理的配方法，可以将复杂的多项式分解成简单的因式相乘的形式，从而更容易进行后续的计算和分析。
函数的最大值与最小值常见方法1、配方法利用平方数恒大于或等于0，将所给的函数配成若干个平方以及一些常数的代数和的形式，然后再求最值例如：配成(x±m)2±n的形式（m，n为常数）对于三角函数，可以配成类似sinα±k的形式（k为常数）2、判别式法利用实系数一元二次方程有实根，则它的判别式∆≥0，从而可以确定系数中参数的范围，进而求得最值。
例如：求y=x 2−2x−32x2+2x+1的最大值和最小值去分母并整理得：(2y−1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0（注意判断2y-1是否为0）根据判别式∆解关于x的二次方程求最值。
3、不等式法利用不等式取等号，可得到一个最值问题的解例如：已知x、y是实数，且满足x2+xy+y2=3，求u=x2−xy+y2的最大值与最小值。
将两个式子相减再除以2，得xy=3−u2，带入条件得(x+y)2=9−u2、(x−y)2=3u−32可以得到1≤u≤9三角函数不等式法例如：|cos x|≤1，|sin x|≤14、换元法把复杂的目标函数变形为较简单的函数形式，或将不易求得最值的函数形式化成容求得的最值的形式。
例如：已知α∈[0，π2]，求y=√5−4sinα+sinα的最小值和最大值。
通过变量代换，把y表示成二次函数的形式：设x=√5−4sinα，因0≤sinα≤1，所以1≤x≤√5，且sinα=5−x24，于是可以配成y=x+5−x24=−14(x−2)2+94（1≤x≤√5）5、构造法根据欲求最值的函数的特征，构造反映函数关系的几何图形，然后借助于图形可较容易地求得最大值和最小值。
例如：求函数f(x)=√x4−3x2−6x+13−√x4−x2+1的最大值，及此时x的值。
将原式整理成：f(x)=√(x−3)2+(x2−2)2−√x2+(x2−1)2后，可以发现√(x−3)2+(x2−2)2表示点P（x，x2）到点A（3,2）的距离，√x2+(x2−1)2表示点P（x，x2）到点B（0,1）的距离，再用图像法来解题。
“配方法”及其应用把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．例1．解方程2210x x +-=．解：方程两边都除以2，得21022x x +-=，移项，得2122x x +=， 配方，得2111216216x x ++=+，即219416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．开方，得12112x x ==-，． 通过本例可以归纳出用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式；4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解．“配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．一、用于比较大小例2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数解：（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．说明：本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.二、用于因式分解例3．分解因式：42221x x ax a +++-．解：42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++-4222212x x x ax a =++--+（）（）2221x x a =+--（）（）22(1)(1)x x a x x a =++-+-+．说明：这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．三、用于求待定字母的值例4．若实数x y ，满足224250x y x y +--+=的值是（ ）Ａ．1Ｂ．32+Ｃ．3+Ｄ．3-解：对已知等式配方，得2210x y -+-=2（）（），∴21x y ==，．3====+ 说明：本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．四、用于求最值例5．多项式21x x -+的最小值是（ ）Ａ．1 Ｂ．54 Ｃ．12 Ｄ．34解：21x x -+21324x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．故选Ｄ． 说明：此例是“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．五、用于证明例6．证明方程85210x x x x -+++=没有实数根．证明：85210x x x x -+++=85221344244393x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 224132202433x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即对所有实数x ，方程左边的代数式的值均不等于0，因此，原方程没有实数根．说明：这是“配方法”在代数证明中的应用，要证明方程85210x x x x -+++=没有实数根.似乎无从下手，而用“配方法”将其变成完全平方式后，便“柳暗花明”了．以后，我们学习了函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．。
初中数学知识归纳平方差公式与配方法初中数学知识归纳——平方差公式与配方法通过数学的学习，我们可以发现在解决一些特定的问题时，存在一些常见而有用的方法和公式。
在初中数学中，平方差公式与配方法就是其中的两个重要内容。
下面将对这两个内容进行详细的归纳和讲解。
一、平方差公式平方差公式是指将一个二次式乘开，然后进行合并同类项的方法，它的公式如下：(a+b)(a-b) = a² - b²平方差公式的应用非常广泛，可以用来化简和计算各种数学表达式和算式。
下面通过一些具体的例子来说明平方差公式的使用方法。
例1：计算 (5 + 3)(5 - 3)解：根据平方差公式，(5 + 3)(5 - 3) = 5² - 3² = 25 - 9 = 16例2：计算 (2x + 3)(2x - 3)解：将 (2x + 3)(2x - 3) 展开，得到 4x² - 9通过这些例子我们可以发现，利用平方差公式可以将一个二次式乘开，并且合并同类项，从而得到一个简化的表达式。
二、配方法配方法是一种常用的解决一元二次方程的方法。
当我们遇到无法直接因式分解的二次方程时，可以尝试使用配方法进行求解。
下面来详细讲解一下配方法的步骤和原理。
步骤一：将一元二次方程写成标准形式，即形如 ax² + bx + c = 0 的形式。
步骤二：计算二次项系数 a，并记为 a。
步骤三：计算常数项 c，并记为 c。
步骤四：计算常数项 c 的负数，并记为 -c。
步骤五：找到一个数 m，使得 m * a = -c。
步骤六：将一元二次方程重新组合成 (x + m)²的形式。
步骤七：展开 (x + m)²，并合并同类项。
步骤八：得到一个一次方程，解出方程，即可得到一元二次方程的解。
通过一个具体的例子来说明配方法的应用。
例：解方程 x² + 4x + 4 = 0解：根据步骤一，方程已经是标准形式。
配方法知识点总结一、配方法的基本概念1.1 选择偏差选择偏差是指在观察数据中，因变量和自变量之间存在系统性的选择关系，从而导致因果推论的偏差和不确定性。
选择偏差的存在是实证研究中常见的问题，尤其是在非实验研究中，观察数据通常会受到不同程度的选择偏差的影响。
1.2 混杂变量混杂变量是指在因果推论中，除了被研究的自变量和因变量之外，还存在其他与因果关系有关的变量，从而干扰了因果推断的准确性和可靠性。
处理混杂变量是实证研究中的重要问题，因为混杂变量的存在会导致因果推论的偏差和不确定性。
1.3 配方法的基本思想配方法的基本思想是通过匹配观察对象，使得处理组（接受处理）和对照组（未接受处理）在混杂变量上具有相似的特征，以此来消除选择偏差和混杂变量的影响，从而实现有效的因果推断。
1.4 配方法的设计原则（1）随机化原则：配方法设计应该尽量模拟实验设计的随机化分配，即通过匹配观察对象，使得处理组和对照组在混杂变量上具有类似的分布特征。
（2）平衡原则：配方法设计应该追求处理组和对照组在混杂变量上的平衡，即在匹配过程中使得处理组和对照组的混杂变量的均值和分布相近。
（3）适当性原则：配方法设计应该根据研究问题和数据特点选择合适的匹配算法和模型，以达到最佳的配对效果。
二、常见的配方法模型2.1 最近邻匹配最近邻匹配是一种简单直观的配方法，它的基本思想是通过计算处理组和对照组观察对象之间的距离，然后选择最近的几个观察对象作为配对。
最近邻匹配的优点是易于理解和实现，但其缺点是容易受到极端观察对象的影响，从而导致配对效果不稳定。
2.2 次近邻匹配次近邻匹配是对最近邻匹配的改进，它的基本思想是通过计算处理组和对照组观察对象之间的距离，然后选择次近的几个观察对象作为配对。
次近邻匹配相比最近邻匹配能够更稳定地实现处理组和对照组的平衡，从而得到更加可靠的配对效果。
2.3 核密度匹配核密度匹配是一种基于概率密度估计的配方法，它的基本思想是通过估计处理组和对照组观察对象的概率密度分布，然后根据密度函数的相似度来选择配对。
初中数学配方法公式及其应用一、常规配方法公式常规配方法是指将一个数平方根分解成两个数的平方根，即: a2 = b2 + c2其中，a、b、c 分别为不等式两侧的数值。
常规配方法的公式如下:若 a > b > c，则 a2 = b2 + c2 = (b + c)2 - 2bc若 a < b < c，则 a2 = b2 + c2 = (b - c)2 + 2bc若 a = b = c，则 a2 = b2 + c2 = 2bc二、逆配方法公式逆配方法是指将一个数开方分解成两个数的开方，即:x = √c2 + √d2其中，x 为不等式两侧的数值，c、d 分别为不等式两侧的数值。
逆配方法的公式如下:若 c > d，则 x = √(c2 + d2) = √cd + √cd = 2√cd若 c < d，则 x = √(c2 + d2) = √cd - √cd = -2√cd若 c = d，则 x = √(c2 + d2) = √cd = 0三、配方法的应用配方法在初中数学中是非常重要的一部分，可以用于解决求平方根和开方的问题。
以下是一些配方法的应用案例:1. 求解方程√x2 + √y2 = 2。
解：将方程两边同时平方，得到 x2 + y2 = 4。
此时，可以将 x、y 的值代入方程，解出 x、y 的值。
2. 求解方程 (√x + √y)2 = 4x + 4y。
解：将方程两边同时平方，得到 (x + y)2 = 16x + 16y。
此时，可以将 x、y 的值代入方程，解出 x、y 的值。
3. 求解方程 (√x - √y)2 = 4x - 4y。
解：将方程两边同时平方，得到 (x - y)2 = 16x - 16y。
此时，可以将 x、y 的值代入方程，解出 x、y 的值。
配方法是初中数学中非常重要的一个知识点，可以用于解决很多数学问题。
通过本文的介绍，我们可以了解到常规配方法和逆配方法两种公式，以及它们的应用。
配方法及其应用(题目)配方法及其应用一、配方法配方法是恒等变形的重要手段，也是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。
它是对数学式子进行一种定向变形的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时需要使用配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
二、基本配方配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²。
将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab；a+ab+b=(a+b)-ab=(a-b)+3ab=(a+3b)/2+(b+3a)/2；a²+b²+c²+ab+bc+ca=[(a+b)²+(b+c)²+(c+a)²]。
三、应用实例1.求字母的值已知a，b满足a+2b-2ab-2b+1=0，求a+2b的值。
分析：可将含a,b的方程化为两个非负数和为0的形式，从而求出两个未知数的值。
解：a+2b-2ab-2b+1=0，整理得到(a-b)+(b-1)=0.因为(a-b)≥0，(b-1)≥0，所以a-b=0，b-1=0.解得a=1，b=1，因此a+2b=3.变式练：1.已知x²y²+x²+4xy+13=6x，求x和y的值。
解：将方程变形为(x²+4x+4)(y²+1)=25，整理得到(x+2)²(y²+1)=25.因为x，y为实数，所以(x+2)²和(y²+1)都是非负数，所以(x+2)²=1或25，(y²+1)=1或25.当(x+2)²=1时，解得x=-3或-1；当(x+2)²=25时，解得x=-7或3.将x的四个解代入原方程，可得y的四个解为-3，-1，1/2，3/2.因此，方程的解为(-3,-3)，(-1,-1)，(3/2,-1/2)，(1/2,3/2)。
配方法及其应用归纳总结资料编号：20190729一、配方法对一个多项式进行恒等变形，使之出现完全平方式，并化成平方的形式，叫做配方，它是完 全平方公式的逆用•配方时主要用到下面两个公式 ： 2 2 2(1) a 2ab b = a b ； (2) a 2 —2ab+b 2 =(a —b f . 重要结论：2221 T 22 21(2) a+b +c +ab+bc+ca=q (a+b )+(b +c ) +(c + a )」；(3)a 2 +b 2 +c 2 _ab _bc _ca =1 fa _b f +(b _c f +(c _a )2 】.例1.证明结论（2）证明:a 2 b 2 c 2 ab bc c^ =- 2a 2 2b 2 2c 2 2ab 2bc 2ca 1 2=1〔a 2 2ab b 2 ］亠〔b 2 2bc c 2 ］亠〔c 2 2ca a 2 】1 I222a b ］亠［b c ］亠［c a、配方法的应用配方法是一种很重要的数学方法，有着广泛的应用.常用于： （1） 求字母的值； （2） 证明字母相等； （3 ）解一元二次方程； （4） 证明代数式的值非负； （5） 比较大小； （6） 求函数的最值. 三、配方法用于求字母的值例 2.已知 a 2 +b 2 +4a —2b +5 =0，则 a = __________ , b= ________ 解:T a 2 亠b 2 亠4a -2b 亠5 =0(1)x 2 _2 丄xa2 4a - 4 y-[b2 - 2b 1 =0亠2 “2c.(a +2 j +(b —1) =0T但+2 j > 0, (b _1 j > 0a 川'2=0,b -1 =0…a 二-2,b 二1.说明：配方法常和非负数的性质结合用于求字母的值，注意过程书写的规范.例 3.已知a2 b2• 1 =ab a b ,求3a -4b 的值.解：T a2 - b2 1 =ab a b2 2.a b 1 -ab -a -b =0.2a2 2b2 2 _2ab —2a —2b =0.a2 -2ab b2广ia2 -2a 1 j亠ib2 -2b 1 =02 2 2.a - b j 亠ia -1 j 亠ib -1 0j 2 2 2T a -b > 0, a -1 > 0, b -1 > 0.a -b =0,a -1 = 0,b -1=0.• a =b =13a -4b =3 -4 = -1.习题 1.已知x2y2 +x2 +4xy+13 =6x,贝y x= __________ , y = ________ .习题 2.已知x2+ y2+ z2 -2x +4y -6z +14 =0 ,贝x+ y + z = ______________ .习题 3.已知a、b、c 满足a2• 2b = 7, b2-2c = -1, c2 -6a = -17 ,求a b c 的值.x第3页四、配方法用于证明字母相等 例4.已知a 、b 、c 是厶ABC 的三边，且满足a 2亠b 2亠c 2 _ ab _ be _ ca = 0,判断这个三角 形的形状并说明理由• 解:△ ABC 是等边三角形•理由如下：T a 2 • b 2 • e 2「ab -be -ca 二 02a 2 2b 2 2c 2「2ab 「2bc -2ca =0二 a 2 _2ab b 2 ］亠〔b 2 -2bc c 2 ］亠 ic 2 -2ca a 2 =02 2 2(a —b ) +(b —c ) +(c —a ) =0□22」 2T a -b > 0, b-c > 0, c-a > 0a -b — 0, b -c — 0, c - a — 0 •- a =b =c•/ a 、b 、c 是厶ABC 的三边• △ ABC 是等边三角形•习题 4.已知 3(a 2 +b 2 +c 2 )=(a +b +c ｝，求证：a =b =c •五、配方法用于解一元二次方程2用配方法解一元二次方程 ax ■ bx ■ c =0 a=0共分六步：一移、二化、三配、四开、 五转、六解. (1) 一移把常数项移到方程的右边，注意变号;ax 2 bx = -c(2)二化在方程的左右两边同时除以二次项系数a ,化二次项系数为1;(3) 三配 即配方，把方程的左边配成完全平方的形式，需要在方程的左右两边同时加上一、22采-.2 2bi b —4acX2 -V 2a 丿 4a(4)四开 直接开平方b b 2 -4ac x2a2a(5) 五转 把第(4)步得到的结果转化为两个一元一次方程b Jb 2—4ac 亠 b p b 2—4ac x或x2a 2a 2a2a(6 )解 解这两个一元一次方程，得到一元二次方程的两个解说明：由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式 元二次方程ax 2 bx c =0 a = 0有实数根的条件是厶=b 2 -4ac > 0,求根公式为—b ±P b 2 —4acx = 2a21 x 2x = 221 x 2x 112 x 1 2丿 2 x,2••• x 1=—或 x 12(注意：当厶二b 2「4ac > 0时方程有实数根)X i-b rb 2 -4ac2a,X 2例5.用配方法解方程9:2x 4x 1 =0 .次项系数一半的平方习题5.用配方法解下列方程六、配方法用于证明代数式的值例6.已知代数式x 2 -5x 7,用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数上.2、52 225 25 ( 5 \ 3 证明：x _5x 7 =x _5x7 = x _ 44 V 2)45 2 3 2••• x -一 +- >0 即 x —5x +7 >0 I 2丿 4 '•不论x 取何值，这个代数式的值总是正数. 例7.求证:代数式x 2 y 2 -10x 8y 42的值总是正数证明：x 2 +y 2 -10x +8y +42 =(x 2 -10x +25 片(y 2 +8y +16 )+1 =(x —5 )2 +(y + 4 )2 +1T (x -5 丫 > 0,(y +4 j > 0• x - 5 ］亠 iy 4 2 1 0,即 x 2 y 2 -10x 8y 42 0•不论x,y 取何值，代数式x 2 y 2 -10x 8y 42的值总是正数.习题6.用配方法证明：不论x 取任何实数，代数式x 2 -4x 9的值总是正数2(1) 4x 2 _12x_1 =0;(2) 3x 2 2x _3 =0 .习题7.求证:不论x, y 取何值代数式x 2 _xy • y 2 _2x y 5的值总是非负数25 仁 2 2-2x y 2x - 2xy 2y _ 4x 2y 5 .七、配方法用于比较大小例 8.若代数式 M =10a 2，b 2_7a 8, N =a 2 b 2 5a ，1,则 M - N 的值（A ） 一定是负数 （B ） 一定是正数 （C ）一定不是负数（D ） 一定不是正数思路：作差比较大小法：作差M - N ,然后用配方法说明差的符号 ，从而也可以说明 大小关系•解: T M =10a 2 b 2 -7a 8,N ^a 2 b 2 5a 1••• M -N =10a 2 b 2 -7a 8—a 2 -b 2 -5a -1= 9a 2 -12a 7= 9a 2 -12a 4 3 2=3a - 2 33a - 2 i 》0• 3a -2 23 0,即 M -N 0,M N• M -N 的值一定是正数，选择【B 1 .习题8.用配方法说明代数式 2x 2 -4x-1的值总大于x 2 -2x-4的值.提示：x 2 -xy y 2M ,N 的••• a = -1 ：：： 02 81•••函数y =_x 9x 有最大值，最大值为y max .4例10.分别在下列范围内求函数y =x 2 -2x-3的最大值与最小值(1)0 :：: x :: 2 ； (2) 2< x < 3.解:y =x 2 -2x -3 二 x 2 -2x 1 一4 = x -1 2 -4 (1 )••• 0 ：：x ：：：2••当X 二1时，函数y = X - 2x - 3有最小值，最小值为y min = _4，无最大值(2) T y = x -1 2 -4•••当x > 1时,y 随x 的增大而增大•/ 2< x < 3•••当x =2时,y 有最小值，最小值为y min =[2 -1 2 - 4 - -3; 当x =3时,y 有最大值，最大值为y max = 3-1 2 -4=0.1 3习题9.函数y =—x 2 — — X 的最小值为2 2习题10.函数y = -2x? —3x 的最大值为 ___________ .八、配方法用于求函数的最值 对于二次函数 y =ax 2 bx c a =0，通过配方法可将其化为顶点式 然后结合a 的符号得到函数的最大值或最小值 •在顶点式中，h -,k 2a y = ax_hj + k , 4ac 一 b 2 4a(1 )当a 0,且x —时,函数有最小值 2a (2)当a < 0 ,且x —时,函数有最大值 2a ，最小值为，最大值为 4ac —b 2『min4a 4ac —b 2 ymax4a2 例9.求函数y = _x 9x 的最大值. 解: 2 =—x 9x = _*2 _9x 卫日「x2_9x 81 卫 4 4丿J 4丿4 J。
