运用“配方法”进行题目变式

九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练专题06 一元二次方程-配方法典例解读【典例1】解方程：x2+4x﹣1=0．【点拨】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．【解析】解：∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．【总结】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【典例2】用配方法解方程：2x2﹣12x﹣2=0．【点拨】首先将二次项系数化为1，再将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解析】解：2x2﹣12x﹣2=0，系数化为1得：x2﹣6x﹣1=0，移项得：x2﹣6x=1，配方得：x2﹣6x+9=10，即（x﹣3）2=10，开方得：x﹣3=±10，则x 1=3+10，x 2=3﹣10．【总结】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．【典例3】若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．【总结】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.【典例4】用配方法证明21074x x -+-的值小于0． 【点拨】本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致． 【解析】22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫-+-=-+-=--- ⎪⎝⎭27494910410400400x x ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭274910420400x ⎡⎤⎛⎫=----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵ 2710020x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴ 271111002040x ⎛⎫---< ⎪⎝⎭， 即210740x x -+-<．故21074x x -+-的值恒小于0．【总结】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．【典例5】用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．【解析】解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣， ∵（x ﹣）2≥0， ∴﹣8（x ﹣）2≤0， ∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0， 即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．【总结】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．【典例6】若把代数式x 2+2bx+4化为（x ﹣m ）2+k 的形式，其中m ，k 为常数，则k ﹣m 的最大值是 ． 【答案】417； 【解析】解：x 2+2bx+4=x 2+2bx+b 2﹣b 2+4 =（x+b ）2﹣b 2+4； ∴m=﹣b ，k=﹣b 2+4， 则k ﹣m=﹣（b ﹣21）2+417． ∵﹣（b ﹣21）2≤0， ∴当b=21时，k ﹣m 的最大值是417． 故答案为：417．【总结】此题考查利用完全平方公式配方，注意代数式的恒等变形． 【典例7】已知223730216b a a b -+-+=，求4a b - 【点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式．【解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 31314422422a b -=-=-=-． 【总结】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．【教材知识必背】一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；教材知识链接④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【变式1】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2=0； (2)x 2+6x+8=0. 【答案】(1)方程变形为x 2-4x=2． 两边都加4，得x 2-4x+4=2+4．精准变式题利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6． 解这个方程，得x-2=或x-2=-． 于是，原方程的根为x=2+或x=2-．(2)将常数项移到方程右边x 2+6x=-8． 两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x 2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1， ∴ x=-2或x=-4． 【变式2】用配方法解方程 （1）（2）20x px q ++=【答案】（1）2235x x +=2253x x -=-25322x x -=- 2225535()()2424x x -+=-+251()416x -=5144x -=±123,12x x ==.（2）20x px q ++=222()()22p px px q ++=-+224()24p p qx -+=①当240p q -≥时，此方程有实数解，221244p p q p p qx x -+----==②当240p q -＜时，此方程无实数解.【变式3】求代数式 x 2+8x+17的最小值 【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1 ∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.【变式4】试用配方法证明：代数式223x x -+的值不小于238． 【答案】 22123232x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭22211123244x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21123416x ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112348x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2123248x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．∵ 21204x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴ 2123232488x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭．即代数式223x x -+的值不小于238． 【变式5】（1）的最小值是 ；（2）的最大值是 .【答案】（1）222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+-=+-=++--=+-⎢⎥⎣⎦；所以的最小值是152-（2）22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x -++=--+=--+-+=--+所以的最大值是9.1. 用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣3=0时，原方程可变形为（ ） A ．（x+2）2=1 B ．（x+2）2=7 C ．（x+2）2=13 D ．（x+2）2=19 【答案】B ．【解析】x 2+4x=3，x 2+4x+4=7，（x+2）2=7． 2．下列各式是完全平方式的是（ ）A ．277x x ++B ．244m m -- C ．211216n n ++ D ．222y x -+ 【答案】C ；【解析】211216n n ++214n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．3．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -= B ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．2890x x ++=化为2(4)25x += D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】C ；【解析】选项C ：2890x x ++=配方后应为2(4)7x +=．4．把一元二次方程x 2﹣6x+4=0化成（x+n ）2=m 的形式时，m+n 的值为（ ） A ．8 B ．6 C ．3 D ．2 【答案】D ；【解析】 x 2﹣6x=﹣4，∴ x 2﹣6x+9=﹣4+9，即得（x ﹣3）2=5，∴ n=﹣3，m=5， ∴ m+n=5﹣3=2．故选D ．5．不论x 、y 为何实数，代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 【答案】D ；【解析】2222247(1)(2)22x y x y x y ++-+=++-+≥．综合提升变式练6．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．3±D ．以上都不对 【答案】C ；【解析】 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 2=9,解得m=3±； 7．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 【答案】A ；【解析】a 2-4a+5= a 2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ； 8．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ）A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 【答案】C ；【解析】方程x 2+3=4x 化为x 2-4x=-3，x 2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1. 9．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2．-2．．【答案】B ；【解析】方程x 2+4x=10两边都加上22得x 2+4x+22=10+22，x=-210．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2. 【答案】（1）4；2； （2）9；3； （3）16；4. 【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.11．用配方法将方程x 2-6x+7=0化为（x+m ）2=n 的形式为 ． 【答案】（x ﹣3）2=2．【解析】移项，得x 2﹣6x=﹣7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x 2﹣6x+9=﹣7+9， （x ﹣3）2=2．12．若226x x m ++是一个完全平方式，则m 的值是________． 【答案】±3；【解析】2239m ==．∴ 3m =±.13．求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .【答案】-338；【解析】∵2x 2-7x+2=2（x 2-72x ）+2=2（x-74）2-338≥-338，∴最小值为-338，14．当x= 时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为 ． 【答案】-1,1【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣（x 2+2x ）=﹣（x 2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1，∴x=﹣1时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为1； 故答案为：﹣1，1．【解析】 -3x 2+5x+1=-3（x-56）2+3712≤3712，• ∴最大值为3712． 15. 用配方法解方程 （1） （2）221233x x += 【解析】 （1）x 2-4x-1=0 x 2-4x+22=1+22(x-2)2=5 x-2=5± x 1=2+5x 2=2-5(2)221233x x += 226x x +=2132x x += 222111()3()244x x ++=+ 2149()416x +=1744 x+=±13 2x=22x=-16. 用配方法解方程.（1）解方程：x2﹣2x=4．（2）解方程：x2﹣6x﹣4=0．【解析】解：（1）配方x2﹣2x+1=4+1∴（x﹣1）2=5∴x=1±∴x1=1+，x2=1﹣．解方程：x2﹣6x﹣4=0．（2）解：移项得x2﹣6x=4，配方得x2﹣6x+9=4+9，即（x﹣3）2=13，开方得x﹣3=±，∴x1=3+，x2=3﹣．17．当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．【解析】解：x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4．∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．18. 已知a2+b2﹣4a+6b+13=0，求a+b的值．【解析】解：∵a2+b2﹣4a+6b+13=0，∴a2﹣4a+4+b2+6b+9=0，∴（a ﹣2）2+（b+3）2=0，∴a ﹣2=0，b+3=0，∴a=2，b=﹣3，∴a+b=2﹣3=﹣1．19．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2226810500a b c a b c ++---+=．(1)求a ，b ，c 的值；(2)判断三角形的形状．【解析】（1）由2226810500a b c a b c ++---+=，得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=又2(3)0a -≥，2(4)0b -≥，2(5)0c -≥，∴ 30a -=，40b -=，50c -=，∴ 3a =，4b =，5c =．（2）∵ 222345+= 即222a b c +=，∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形．。

用配方法解一元二次方程
1.解方程：x2+4x﹣1=0．
【思路点拨】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．
【答案与解析】
解：∵x2+4x﹣1=0
∴x2+4x=1
∴x2+4x+4=1+4
∴（x+2）2=5
∴x=﹣2±
∴x 1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
【总结升华】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
举一反三：
【变式】用配方法解方程.
(1)x2-4x-2=0； (2)x2+6x+8=0. 【答案】(1)方程变形为x2-4x=2．
两边都加4，得x2-4x+4=2+4．
利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．
解这个方程，得x-2=或x-2=-．
于是，原方程的根为x=2+或x=2-．
(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．
两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得x2+6x+32=-8+32，
∴ (x+3)2=1．
用直接开平方法，得x+3=±1，
∴ x=-2或x=-4．。

初中数学10种解题方法之配方法初中数学10种解题方法之配方法同学们注意了，配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

下面小编为大家带来的就是初中数学10种解题方法之配方法。

通过配方解决数学问题的方法叫配方法。

其中，用的最多的是配成完全平方式。

配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

上面的内容是初中数学10种解题方法之配方法，小编相信朋友们看过以后都有所了解有所掌握了吧。

接下来还有更多的初中数学讯息尽在哦。

初中数学解题方法之常用的公式下面是对数学常用的公式的讲解，同学们认真学习哦。

对于常用的公式如数学中的乘法公式、三角函数公式，常用的数字，如11～25的平方，特殊角的三角函数值，化学中常用元素的化学性质、化合价以及化学反应方程式等等，都要熟记在心，需用时信手拈来，则对提高演算速度极为有利。

总之，学习是一个不断深化的认识过程，解题只是学习的一个重要环节。

你对学习的内容越熟悉，对基本解题思路和方法越熟悉，背熟的数字、公式越多，并能把局部与整体有机地结合为一体，形成了跳跃性思维，就可以大大加快解题速度。

初中数学解题方法之学会画图数学的解题中对于学会画图是有必要的，希望同学们很好的学会画图。

学会画图画图是一个翻译的过程。

读题时，若能根据题义，把对数学（或其他学科）语言的理解，画成分析图，就使题目变得形象、直观。

这样就把解题时的抽象思维，变成了形象思维，从而降低了解题难度。

有些题目，只要分析图一画出来，其中的关系就变得一目了然。

尤其是对于几何题，包括解析几何题，若不会画图，有时简直是无从下手。

所以，牢记各种题型的基本作图方法，牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件，对于提高解题速度非常重要。

画图时应注意尽量画得准确。

画图准确，有时能使你一眼就看出答案，再进一步去演算证实就可以了；反之，作图不准确，有时会将你引入歧途。

配方法例题嘿，咱今儿个就来讲讲配方法例题！配方法啊，就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！比如说有这么个式子 x²+6x+8，咱要怎么用配方法来搞定它呢？那就得想法子把它变成一个完全平方式。

先把 x²和 6x 挑出来，6x 不正好是 2 倍的 x 乘以 3 嘛，那咱就给它配上一个 3²，也就是 9，不过多出来的 9 得减掉，这样式子就变成了 x²+6x+9-9+8，整理一下就是(x+3)²-1。

咋样，是不是挺有意思的？再看这个例子，4x²-12x+7，还是用配方法，先把 4x²和-12x 拎出来，4x²可以看成是(2x)²，-12x 是 2 乘以 2x 乘以-3，那配上(-3)²也就是 9 啦，不过得乘以 4 呢，因为前面有个 4，那就是 36，多出来的 36 得减掉，式子就变成了 4x²-12x+9+7-36，进一步整理就是 4(x-3/2)²-22。

你想想，配方法就像是给式子做了个整形手术，把它变得规规矩矩的，好让我们一眼就能看穿它的秘密呀！就像我们走路，有时候遇到一条崎岖的小路，走起来很费劲，但要是给它铺上石板，修成平坦的大道，那走起来不就轻松多了嘛！配方法就是这样的石板呀，让我们在数学的道路上走得更顺畅。

还有啊，配方法可不只是在解方程的时候有用哦，在好多数学问题里都能派上大用场呢！它就像一个万能工具，啥时候需要就啥时候拿出来用。

你说，要是没有配方法，我们遇到那些复杂的式子该咋办呀？是不是会像无头苍蝇一样乱撞呢？所以说呀，配方法可真是我们数学学习中的好帮手呢！咱再来看个稍微有点难度的，x²+4xy+3y²。

哎呀，这可有点复杂了呢，但咱不怕呀！先把 x²和 4xy 挑出来，4xy 可以看成是 2x 乘以 2y，那配上(2y)²也就是 4y²，式子就变成了 x²+4xy+4y²-y²，整理一下就是(x+2y)²-y²。

一元二次方程配方法
一元二次方程配方法是解决一元二次方程的一种常见方法，通过配方法可以将一元二次方程变形为完全平方 trinomial，从而更容易求解。

下面我们来看一些例子，以便更好地理解一元二次方程配方法的应用。

例1：
将方程 x^2 + 6x + 9 = 0 进行配方法变形。

解：
首先，我们发现 x^2 + 6x + 9 是一个完全平方 trinomial，可以
写成 (x+3)^2。

所以，方程可以写成 (x+3)^2 = 0。

进一步化简可得 x+3 = 0，解得 x = -3。

例2：
将方程 x^2 - 4x + 4 = 0 进行配方法变形。

解：
同样地，我们可以发现 x^2 - 4x + 4 是一个完全平方 trinomial，可以写成 (x-2)^2。

所以，方程可以写成 (x-2)^2 = 0。

进一步化简可得 x-2 = 0，解得 x = 2。

通过以上两个例子，我们可以看到一元二次方程配方法的应用。

希望通过这些例子能够帮助大家更好地理解和掌握一元二次方程配方法。

配方法计算专题配方法可是数学里超有趣的一个小技能呢！那啥是配方法呢？简单来说，就是把一个式子或者一个等式，通过加上或者减去一些数，让它变成一个完全平方式。

就像变魔术一样哦！比如说对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)（\(a\neq0\)），我们就可以用配方法把它变成\(y=a(x + h)^{2}+k\)的形式。

具体咋做呢？1. 先提出二次项系数\(a\)。

就像\(ax^{2}+bx + c=a(x^{2}+\frac{b}{a}x)+c\)。

2. 然后在括号里加上和减去一次项系数一半的平方。

\(x^{2}+\frac{b}{a}x\)，一次项系数一半就是\(\frac{b}{2a}\)，那它的平方就是\((\frac{b}{2a})^{2}\)，式子就变成\(a(x^{2}+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^{2}-(\frac{b}{2a})^{2})+c\)。

3. 把前三项写成完全平方式\(a((x + \frac{b}{2a})^{2}-(\frac{b}{2a})^{2})+c\)，然后再化简一下就好啦。

再举个简单的例子吧，比如\(x^{2}+6x + 5 = 0\)。

1. 先看\(x^{2}+6x\)，一次项系数\(6\)，一半是\(3\)，它的平方是\(9\)。

2. 就在式子上加上和减去\(9\)，变成\(x^{2}+6x+9 - 9+5 = 0\)。

3. 前三项写成\((x + 3)^{2}\)，式子就成了\((x + 3)^{2}-4 = 0\)，这样就很容易求解\(x\)啦。

下面来做几道练习题吧，每题20分哦。

1. 用配方法解方程\(x^{2}-4x - 5 = 0\)。

•首先把\(x^{2}-4x\)拿出来，一次项系数\(-4\)，一半是\(-2\)，平方是\(4\)。

•式子变成\(x^{2}-4x+4 - 4 - 5 = 0\)。

高考专题：配方法一、含义配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。

这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。

二、涉及到的内容普通二次式子配方，三次式配方，因式分解配方，根式配方，参数配方，分离法配方。

三、主心思路根据已学到的公式，对所求式子进行变换、凑化、化繁为简，从而达到节省时间，优化解题步骤的目的。

四、具体内容详解①普通二次式子配方需要掌握以下公式，并识记形如782-522=(78+52)(78=52)形式，以及常见自然数的平方数：22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324192=361222=484252=625242=576322=1024完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2=(a-b)2+4ab( a-b)2=a2-2ab+b2=(a+b)2-4ab 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2【例】解方程：2x²+6x+6=4分析：原方程可整理为：x²+3x+3=2，通过配方可得(x+1.5)²=1.25通过开方即可求解。

解：2x²+6x+6=4<=>(x+1.5)²=1.25x+1.5=1.25的平方根【例】因式分解x²-4x-12解：x²-4x-12=x²-4x+4-4-12=（x-2）²-16=（x -6)(x+2）【例】因式分解x²-ax-x+a解：原式=x²-(a-1)x+a=(x-a)(x-1)注：该种形式的题目一般出现在讨论带参数的零点个数问题，解题时一般化成三项式子观察。

方法探微初中数学课堂中变式教学法的应用———以“一元二次方程”为例文|武金燕变式教学法指的是对数学问题进行合理转化的一种方法，在转化的过程中需分析数学知识之间的关联，在此过程中学生的数学思维可以得到有效锻炼，使学生明确数学概念，加强对知识的实际应用。

同时，变式教学法需要教师发挥学生的主体作用，引导学生在解答变式题的过程中对数学概念、相关知识进行深度理解，从而提高学生的自主建构能力，对学生有着深远的影响。

一、初中数学变式教学法应用的关键点和原则（一）初中数学变式教学法应用的关键点初中数学教师在进行变式教学时需要引导学生细致剖析问题，再建构变式题组，要求学生充分理解该部分知识。

在开展变式教学活动的过程中，对数学问题进行精细化拆分时，教师要让学生注意两点：一是从问题中提炼出必要条件，做好标注；二是梳理解题思路和处理目标，明确问题的答案。

教师应以数学概念、图形为着手点展开变式训练，根据原题适当调整条件和结论，让学生从多个角度出发理解知识，帮助学生构建具有变通性特征的数学思维模型，促使学生的综合解题能力得到提升。

（二）初中数学变式教学法的原则一是启迪思维原则。

在初中数学变式教学法中，教师应引导学生发散思维、转化思维，根据具体数学问题合理变式，使学生的思维一直处于活跃状态。

教师需要遵循启迪思维原则，通过问题激发学生从不同侧面对问题展开思考，以激发学生的思维活跃度。

二是暴露过程原则。

学生只有明确解答问题的思维流程才能真正解决数学问题，这也会让学生产生成就感，激发学生的自主学习动力。

故而，在具体实践中教师应遵循“暴露过程原则”，将思考问题时的数学思维暴露在学生面前，让学生了解具体的推理过程，掌握数学概念、定理的推导方法，再由教师根据数学题目进行变式，为学生提供新思路，发展学生的数学思维水平。

三是探索创新原则。

在变式过程中教师需要遵循探索创新原则，以新颖的方法和问题调动学生的积极性，在学生解答问题的过程中启发其思维和心智，强化学生的创新意识。

配方法及其应用(题目)配方法及其应用一、配方法配方法是恒等变形的重要手段，也是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。

它是对数学式子进行一种定向变形的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时需要使用配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

二、基本配方配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²。

将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab；a+ab+b=(a+b)-ab=(a-b)+3ab=(a+3b)/2+(b+3a)/2；a²+b²+c²+ab+bc+ca=[(a+b)²+(b+c)²+(c+a)²]。

三、应用实例1.求字母的值已知a，b满足a+2b-2ab-2b+1=0，求a+2b的值。

分析：可将含a,b的方程化为两个非负数和为0的形式，从而求出两个未知数的值。

解：a+2b-2ab-2b+1=0，整理得到(a-b)+(b-1)=0.因为(a-b)≥0，(b-1)≥0，所以a-b=0，b-1=0.解得a=1，b=1，因此a+2b=3.变式练：1.已知x²y²+x²+4xy+13=6x，求x和y的值。

解：将方程变形为(x²+4x+4)(y²+1)=25，整理得到(x+2)²(y²+1)=25.因为x，y为实数，所以(x+2)²和(y²+1)都是非负数，所以(x+2)²=1或25，(y²+1)=1或25.当(x+2)²=1时，解得x=-3或-1；当(x+2)²=25时，解得x=-7或3.将x的四个解代入原方程，可得y的四个解为-3，-1，1/2，3/2.因此，方程的解为(-3,-3)，(-1,-1)，(3/2,-1/2)，(1/2,3/2)。

初中数学变式题应用浅析【摘要】初中数学变式题是初中数学中的重要内容，通过学习变式题可以帮助学生建立数学思维和解决问题的能力。

本文对变式题进行了深入分析，包括变式题的定义与特点、其在初中数学中的重要性、解题技巧、应用举例以及练习方法等方面展开探讨。

通过对变式题的应用举例和解题技巧的介绍，读者可以更好地理解和掌握这一知识点。

本文提出了一些关于初中数学变式题的练习方法，帮助学生在日常学习中加深对变式题的理解和掌握。

通过对初中数学变式题的浅析，不仅可以提高学生的数学成绩，还可以培养他们的逻辑思维能力和问题解决能力。

初中数学变式题的学习是数学教育中不可或缺的一部分，希望读者通过本文的阅读能够对此有所启发。

【关键词】初中数学、变式题、定义、特点、重要性、解题技巧、应用举例、练习方法、浅析1. 引言1.1 初中数学变式题应用浅析变式题是初中数学中一个重要的题型，通过这类题目的训练可以帮助学生加深对数学知识的理解和掌握。

变式题主要考察学生对数学知识的灵活运用能力，需要学生根据规律和特点不断进行变换和推导，从而解决问题。

变式题在初中数学中具有重要的地位，它不仅可以锻炼学生的逻辑思维能力和数学推理能力，还可以培养学生的解决问题的能力。

通过解变式题，学生可以深入理解数学知识，并掌握数学规律，提高数学思维能力。

在解变式题时，学生需要掌握一些解题技巧，如合理利用公式、规律等进行推理和演算，同时需要灵活运用各种解题方法，如递推法、排除法等。

通过不断练习和实践，学生可以提高解题的效率和准确度。

变式题的应用举例有很多，比如常见的等比数列、等差数列、分数运算等。

通过这些应用举例，可以帮助学生更好地理解变式题的应用场景，加深对数学知识的理解。

变式题在初中数学中的重要性不言而喻，通过对变式题的学习和应用，可以帮助学生提高数学思维能力和解决问题的能力，为将来的学习打下坚实的基础。

希望同学们能够重视变式题的学习，不断提升自己的数学水平。

配方法解一元二次方程题目配方法求解一元二次方程一元二次方程的一般形式为 ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 为常数，且 a 不为 0。

配方法是一种求解一元二次方程的常用方法，其步骤如下：1. 将常数项移到方程的另一侧： ax² + bx = -c2. 将系数 b 的一半平方加上方程两侧： ax² + bx +(b/2)² = -c + (b/2)²3. 化简为完全平方三项式： (ax² + bx + (b/2)²) = -c + (b/2)²4. 提取平方根： ax² + bx + (b/2)² = ±√(-c + (b/2)²)5. 解出 x： x = (-b ± √(-c + (b/2)²)) / 2a值得注意的是，如果方程的判别式Δ = b² - 4ac < 0，那么该方程无实数根。

示例：求解方程：x² - 6x + 5 = 0步骤：1. 将常数项移到方程的另一侧：x² - 6x = -52. 将系数 b 的一半平方加上方程两侧：x² - 6x + (6/2)²= -5 + (6/2)²3. 化简为完全平方三项式：(x² - 6x + 9) = -5 + 94. 提取平方根：x - 3 = ±√(4)5. 解出 x：x = 3 ± 2因此，方程的解为 x = 5 或 x = 1。

其他注意事项：如果 a 为负数，那么在步骤 3 中添加 (b/2)²后，方程两侧的符号可能会发生变化。

如果Δ = 0，那么方程有两个相同实数根。

配方法对于求解平方差形式的方程也很有用，如 (x + a)² = b²。

在这种情况下，配方为：x = -a ± √(b² - a²)。

专题2.3 配方法解一元二次方程-重难点题型将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】【例1】（2021春•上城区校级期中）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0，配方后得到的方程是（）A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝1【变式1-1】（2020秋•隆回县期末）把x2﹣3x+1＝0的左边配方后，方程可化为（）A．(x−32)2=134B．(x+32)2=134C．(x−32)2=54D．(x+32)2=54【变式1-2】（2020秋•崂山区期末）解方程：x2﹣5x+1＝0（配方法）．【变式1-3】（2020秋•白银期末）解方程：x2+2＝2√2x．【题型2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】【例2】（2020秋•陇县期中）用配方法解方程2x2＝7x﹣3，方程可变形为（）A．（x−72）2=374B．（x−72）2=434C．（x−74）2=116D．(x−74)2=2516【变式2-1】（2020秋•巩义市期中）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．2m2+m﹣1＝0化为(m+14)2=916B．x2﹣6x+4＝0化为（x﹣3）2＝5C．2t2﹣3t﹣2＝0化为(t−32)2=2516D．3y2﹣4y+1＝0化为(y−23)2=19【变式2-2】（2020秋•开江县期末）解方程：3x2+1＝2√3x．【变式2-3】（2020春•朝阳区校级期中）已知y 1=13x 2+8x ﹣1，y 2＝6x +2，当x 取何值时y 1＝y 2．【题型3 利用一元二次方程的配方求字母的值】【例3】（2020秋•津南区期中）一元二次方程x 2﹣8x +c ＝0配方，得（x ﹣m ）2＝11，则c 和m 的值分别是（ ）A ．c ＝5，m ＝4B ．c ＝10，m ＝6C ．c ＝﹣5，m ＝﹣4D ．c ＝3，m ＝8【变式3-1】（2020•镇江校级期中）已知方程x 2﹣6x +q ＝0配方后是（x ﹣p ）2＝7，那么方程x 2+6x +q ＝0配方后是（ ）A ．（x ﹣p ）2＝5B ．（x +p ）2＝5C ．（x ﹣p ）2＝9D ．（x +p ）2＝7 【变式3-2】（2020秋•内江期末）如果x 2﹣8x +m ＝0可以通过配方写成（x ﹣n ）2＝6的形式，那么x 2+8x +m ＝0可以配方成（ ）A ．（x ﹣n +5）2＝1B ．（x +n ）2＝1C ．（x ﹣n +5）2＝11D ．（x +n ）2＝6 【变式3-3】（2020秋•邓州市期末）若一元二次方程x 2+bx +5＝0配方后为（x ﹣4）2＝k ，则k 的值为 ．【题型4 利用一元二次方程的配方法解新定义问题】【例4】（2020秋•建平县期末）设a 、b 是两个整数，若定义一种运算“△”，a △b ＝a 2+b 2+ab ，则方程（x +2）△x ＝1的实数根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝x 2＝﹣1D ．x 1＝1，x 2＝﹣2【变式4-1】（2021秋•北辰区校级月考）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a ☆b ＝a 2+b 2，a ★b =ab 2，则方程3☆x ＝x ★12的解为 ．【变式4-2】（2020秋•福州期中））将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成|a c bd |，定义|a c b d |=ad ﹣bc ，上述记号就叫做2阶行列式．若|x +11−x x −1x +1|=8x ，则x ＝ ．【变式4-3】（2020秋•市中区期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2＝﹣1，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a +bi （a ，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加法，减法，乘法运算与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程x 2＝﹣1，解得：x 1＝i ，x 2＝﹣i ．同样我们也可以化简√−4=√4×(−1)=√22×i 2=2i ；读完这段文字，请你解答以下问题：（1）填空：i3＝，i4＝，i6＝，i2020＝；（2）在复数范围内解方程：（x﹣1）2＝﹣1．（3）在复数范围内解方程：x2﹣4x+8＝0．【题型5 配方法的应用】【例5】（2021春•常熟市期中）我们知道“a2≥0”，其中a表示任何有理数，也可表示任意代数式．有时我们通过将某些代数式配成完全平方式进行恒等变形来解决符号判断、大小比较等问题，简称“配方法”．例如：x2+2x+2＝x2+2x+1+1＝（x+1）2+1．∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+1≥1．即：x2+2x+2≥1．试利用“配方法”解决以下问题：（1）填空：x2﹣2x+4＝（A）2+B，则代数式A＝，常数B＝；（2）已知a2+b2＝6a﹣4b﹣13，求a b的值；（3）已知代数式M＝4x﹣5，N＝2x2﹣1，试比较M，N的大小．【变式5-1】（2020秋•石狮市校级月考）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求c的取值范围；（2）已知P＝2x2+4y+13，Q＝x2﹣y2+6x﹣1，比较P，Q的大小．【变式5-2】（2021春•历城区期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．根据以上材料，解答下列问题：（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系，∵x2﹣2x+3＝（x﹣）2+；所以x2﹣2x+30（填“＞”、“＜”、“＝”）；（2）将多项式x2+6x﹣9变形为（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值；（3）求证：x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．【变式5-3】（2021春•南京月考）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣6m﹣7．（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+20有最小值，并求出这个最小值；（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值，并求出这个最小值．【题型6 一元二次方程的几何解法】【例6】（2020秋•内江期末）《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（）A．6B．3√5−3C．3√5−2D．3√5−3 2【变式6-1】（2020春•丰台区期末）公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的名著《代数学》中用图解一元二次方程．他把一元二次方程x2+2x﹣35＝0写成x2+2x＝35的形式，并将方程左边的x2+2x看作是由一个正方形（边长为x）和两个同样的矩形（一边长为x，另一边长为1）构成的矩尺形，它的面积为35，如图所示，于是只要在这个图形上添加一个小正方形，即可得到一个完整的大正方形，这个大正方形的面积可以表示为：x2+2x+＝35+，整理，得（x+1）2＝36．因为x表示边长，所以x＝．【变式6-2】（2020秋•东海县期中）某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．该社团以方程x 2+10x ﹣39＝0为例，分别进行了展示，请你完成该社团展示中的一些填空．因为x 2+10x ﹣39＝0，所以有x （x +10）＝39．展示1：阿尔•花拉子米构图法如图1，由方程结构，可以看成是一个长为（x +10），宽为x ，面积为39的矩形若剪去两个相邻的，长、宽都分别为5和x 的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，可以拼成如图2的大正方形．（1）图2中，补上的空白小正方形的边长为 ；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为（x + ）2＝39+ ；展示2：赵爽构图法如图3，用4个长都是（x +10），宽都是x 的相同矩形，拼成如图3所示的正方形．（2）图3中，大正方形面积可以表示为（ ）2（用含x 的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于4×39+ ，故可得原方程的一个正的根为 ．（3）请选择上述某一种拼图方法直观地表示方程x 2+2x ＝3的配方结果（请在相应位置画出图形，需在图中标注出相关线段的长度）．【变式6-3】（2020春•杭州期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段AB 于点D ，连接CD ．以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交线段AB 于点E ，连接CE ．（1）求∠DCE 的度数．（2）设BC ＝a ，AC ＝b ．①线段BE 的长是关于x 的方程x 2+2bx ﹣a 2＝0的一个根吗？说明理由．②若D 为AE 的中点，求a b 的值．。

【学生版】例析利用配方法解题题型配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，其作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、化简根式、解方程、解函数最值和解析式、证明等式和不等式问题等方面有广泛的应用。

所谓配方法：是把代数式通过“凑”、“配”等手段，善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法；配方法主要适用于含“二次项”的函数、方程、等式、不等式的讨论、求解与证明及二次曲线的讨论。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式222)b a (b ab 2a ±=+±；将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式；如：ab 2)b a (ab 2)b a (b a 2222+-=-+=+；222222)b 23()2b a (ab 3)b a (ab )b a (b ab a ++=+-=-+=++；])a c ()c b ()b a [(21ca bc ab c b a 222222+++++=+++++； 2)x cos x (sin x cos x sin 21x 2sin 1+=+=+；2)x1x (2)x 1x (x 1x 2222+-=-+=+。

一、运用配方法解方程对有一类方程的求解，可运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，则就需要配方。

例1、求方程05y 4x 2y x 22=+-++的解x ，y 。

【提示】 【解析】 【评注】例2、证明：无论m 取何值，关于x 的方程05m x 4x )10m 6m (22=-++-都是一个一元二次方程。

二、运用配方法解（证明）不等式根据完全平方的非负性，结合配方，可解决不等式的证明与建立不等量关系，解决不等式问题。

例3、设方程2x kx 20++=的两实根为p 、q ，若22p q ()()7qp+≤成立，求：实数k 的取值范围。

初中数学配方法习题及答案初中数学是中学数学的基础，是培养学生数学思维和解决问题能力的重要阶段。

配方法是初中数学中的一种解题方法，通过配方的转换和运用，可以简化问题，提高解题效率。

本文将介绍一些常见的初中数学配方法习题及答案，帮助学生更好地掌握这一解题技巧。

一、配方法的基本概念配方法是一种通过转换问题的形式，使其更易于解决的数学解题方法。

它主要应用于一元二次方程、三角函数等数学题型中。

通过合理的配方转换，可以将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。

二、一元二次方程的配方法1. 配方法求解一元二次方程的根对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，可以通过配方法求解其根。

首先，将方程两边移项，使其等于零。

然后，根据配方法的原理，将方程转化为一个完全平方的形式。

最后，通过求解完全平方形式的方程，得到一元二次方程的根。

例如，对于方程x^2 - 6x + 8 = 0，首先将其转化为(x - 3)^2 - 1 = 0的形式。

然后，通过求解(x - 3)^2 - 1 = 0，得到x = 2和x = 4两个根。

2. 配方法求解一元二次方程的参数在一些问题中，需要求解一元二次方程的参数。

通过配方法，可以将问题转化为一个已知的一元二次方程，从而求解参数的值。

例如，已知一元二次方程的根为x = 2和x = 3，求解方程的参数。

首先，根据配方法的原理，将方程转化为(x - 2)(x - 3) = 0的形式。

然后，根据(x - 2)(x - 3)= 0，得到方程的参数为a = 1，b = -5，c = 6。

三、三角函数的配方法1. 配方法求解三角函数的值对于一些特殊的三角函数值，可以通过配方法求解。

例如，已知sinx = 1/2，求解x的值。

通过配方法，可以将问题转化为一个已知的三角函数值的问题，从而求解x的值。

例如，已知sinx = 1/2，可以通过配方法将问题转化为sin^2x + cos^2x = 1的形式。

配方法计算题及答案首先，让我们来了解一下配方法的基本原理。

配方法，顾名思义，就是通过合理的配对，将一个复杂的表达式分解成两个简单的部分，从而便于进行进一步的计算和求解。

在代数方程的求解中，配方法通常用于解决一些二次方程或者高次方程。

通过合理的配对和分解，我们可以将原方程化简为一些简单的因式，从而更容易进行求解。

接下来，让我们通过一些具体的例题来演示配方法的应用。

假设我们需要解决如下的二次方程，x^2 + 5x + 6 = 0。

首先，我们可以使用配方法来进行求解。

我们可以将x^2 + 5x + 6分解为(x+2)(x+3)，然后再分别对(x+2)和(x+3)进行求解，得到x=-2和x=-3。

因此，原方程的解为x=-2和x=-3。

除了解决二次方程外，配方法还可以用于解决一些其他类型的代数方程。

例如，对于一些高次方程，我们可以通过合理的配对和分解，将原方程化简为一些简单的因式，从而更容易进行求解。

此外，配方法还可以用于解决一些不完全平方的问题，通过合理的配对和分解，我们可以将不完全平方化简为一些简单的因式，从而更容易进行求解。

在实际应用中，配方法经常用于解决一些实际问题。

例如，通过配方法可以求解一些与面积、体积、速度等相关的问题，通过合理的配对和分解，我们可以将原问题化简为一些简单的代数方程，从而更容易进行求解。

因此，配方法在数学中具有非常重要的应用价值。

综上所述，配方法是一种常见的数学计算方法，它主要用于解决一些复杂的代数方程。

通过合理的配对和分解，我们可以将原方程化简为一些简单的因式，从而更容易进行求解。

在实际应用中，配方法经常用于解决一些与面积、体积、速度等相关的问题。

因此，掌握配方法对于提高数学解题能力具有非常重要的意义。

希望本文能够帮助大家更好地理解配方法的原理和应用，提高数学解题能力。

高中数学解题基本方——配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。

它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。

Ⅰ、基础再现1. 在正项等比数列{an }中，a1♦a5+2a3♦a5+a3∙a7=25，则 a3＋a5＝_______。

2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。

A. 14<k<1 B. k<14或k>1 C. k∈R D. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。

A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。

A. （－∞, 54] B. [54,+∞) C. (－12,54] D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５２数学学习与研究㊀２０２２ ２０运用配方法巧做因式分解运用 配方法 巧做因式分解Һ张㊀衡㊀（甘肃省通渭县黑燕山学校，甘肃㊀定西㊀７４３３０６）㊀㊀ʌ摘要ɔ因式分解的应用是学生在初中学习数学过程中最需要掌握的基本知识．如果学生能够掌握因式分解的概念，那么该概念将在今后因式分解的实际应用中发挥重要作用．因此，笔者根据多年的初中数学教学经验，对学生掌握因式分解的重要性㊁因式分解的教学方法以及因式分解教学中面临的问题进行了有效的分析，希望能为一线教师进行因式分解教学提供有效的帮助，从而有效地提高学生的数学成绩．人教版初中数学教材对于因式分解的问题，仅介绍了 提公因式法 和 公式法 这两种方法，然而在具体做题的过程中，我们发现仅仅运用这两种方法去分解因式有很大的局限性，很多式子都无法用这两种方法去分解．在这种情况下， 配方法 是我们最好的选择．本文将详细阐述如何运用 配方法 分解因式．ʌ关键词ɔ配方法；因式分解；提公因式法；公式法因式分解是初中数学中学习代数恒等式变换时的一种重要学习方法，常用于解决因式计算的数学问题，其基本概念便是将多项式整理成最简单的整式乘积的形式．可以看出，如果学生能够有效地运用因式分解，不仅可以提高数学能力，还可以通过因式分解更好地理解其他数学理论知识．因此，教师在进行数学因式分解的教学过程中，必须重视教学方式和方法，对学生进行系统㊁专业的教学，确保学生能够熟练掌握因式分解的基本概念，并应用于数学问题的求解．一㊁因式分解在初中数学中的重要作用初中数学的缜密性㊁专业性都比较强，掌握数学知识对于刚步入初中的学生而言是一项非常大的挑战．但是，学生一旦掌握了数学思想，理解了数学概念之后可以快速提高数学能力．众所周知，因式分解在初中数学课程中占有非常重要的地位，其主要功能体现在以下几个方面：１．因式分解是数学计算的基础．２．充分掌握因式分解的概念知识，并将其合理应用到数学解题思维中，可以使一些问题的计算方法更加方便，结果更加合理．比如：１００２－９９２＝（１００＋９９）（１００－９９）＝１９９．可以看出，使用因式分解法解决这种复杂的题型，既快捷，又准确．３．在初中数学学习过程中，解方程是十分重要的课程内容．例如，在求解二次方程问题时，因式分解法中的交叉相乘法比公式法更方便．此外，求解高阶方程时的最佳方法是使用因式分解法．比如解方程：ｘ３－４８ｘ＋７＝０，ｘ３－４８ｘ＋７－７ｘ２＋７ｘ２＝ｘ２（ｘ＋７）－（７ｘ２＋４８ｘ－７）＝ｘ２（ｘ＋７）－（７ｘ－１）（ｘ＋７）＝（ｘ＋７）（ｘ２－７ｘ＋１）．那么，原方程便应当是ｘ＋７＝０或者是ｘ２－７ｘ＋１＝０．由此可以可看出，利用因式分解法进行解题，可以使解题思路更清晰．二㊁目前因式分解法在教学过程中所面临的问题因式分解法在初中的数学学习中，属于必考易错的知识．教材中有提取公因式法和公式法两种解题思路．为了让学生更容易理解这两种方法的概念，有些教师会将两种不同的概念合并为一种，在同一节课中讲解这两种方法，然后让学生进行有针对性的练习．但毕竟在课堂上的时间是有限的，对于很多内容，学生缺乏足够的练习时间，更设有时间深入思考．回顾时教师会发现学生做的一些综合练习，效果不是很好，这是因为很多学生只看到了表面的知识点，没有办法着手解决更复杂的问题．根据笔者的经验，产生这些问题的主要原因如下：１．时间不足，学生对概念的理解不够透彻．在一个课堂上学习这两个概念，容易使学生感到困惑，不能灵活运用解决问题的思路；２．教师对思想重视不够，仅用因式分解的方法讲解一般内容，没有给予学生足够的练习时间，忽视了学生灵活解决问题能力的培养；３．在讲授内容的过程中，忽视了学生对方法的理解，只是一味地传递教师自己的思想，导致学生对公式概念的理解不足．一旦出现稍微难一点的题型或者相似题型，学生便不知该如何下手．㊀㊀㊀解题技巧与方法１５３㊀数学学习与研究㊀２０２２ ２０三㊁初中数学运用 配方法 巧做因式分解案例分析人教版数学教材八年级上册 １４．３因式分解 一课中，主要讲述了运用 提公因式法 和 公式法 分解因式的具体方法和步骤．这两种方法浅显易懂，学生很容易理解和掌握．但笔者在多年的教学经验中发现，学生在做因式分解的题目时遇到的一些题型很难运用这两种方法去做，例如：式子（１）ｘ２＋８ｘ＋１５；（２）ｘ２－１０ｘ＋２４；（３）ｘ２＋ｘ－１２；（４）ｘ２－２ｘｙ－３５ｙ２；（５）９ｘ２－１６ｙ２＋１２ｘ＋２４ｙ－５．于是，很多教师想到了老教材中的 十字相乘法 ，运用 十字相乘法 确实能够解决这类问题，但是在现行课本中没有安排这节内容，不属于‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“规定的内容，学生掌握起来也难度较大．那么对于这一问题，笔者建议运用 配方法 ．所谓 配方法 ，就是通过 添项 或 拆项 配成ａ２ʃ２ａｂ＋ｂ２＝（ａʃｂ）２的形式，即完全平方形式，来解决问题的方法．这种方法既可以帮助学生解决一些因式分解的问题，又为学生九年级学习一元二次方程和二次函数打好基础．那么就以上面的几个式子为例，讲讲运用配方法分解因式的方法和步骤．（一）方法步骤１．添项配完全平方式分解因式解：（１）ｘ２＋８ｘ＋１５＝ｘ２＋２ˑ４ｘ＋４２－４２＋１５（添 ４２－４２ 配成ａ２＋２ａｂ＋ｂ２的形式）＝（ｘ＋４）２－１（写成完全平方形式）＝（ｘ＋４＋１）（ｘ＋４－１）（运用平方差公式分解因式）＝（ｘ＋５）（ｘ＋３）（分解完毕）（２）ｘ２－１０ｘ＋２４＝ｘ２－２ˑ５ｘ＋５２－５２＋２４（添 ５２－５２ 配成ａ２－２ａｂ＋ｂ２的形式）＝（ｘ－５）２－１（写成完全平方形式）＝（ｘ－５＋１）（ｘ－５－１）（运用平方差公式分解因式）＝（ｘ－４）（ｘ－６）（分解完毕）（３）ｘ２＋ｘ－１２＝ｘ２＋２ˑ１２ｘ＋１２()２－１２()２－１２(添 １２()２－１２()２配成ａ２＋２ａｂ＋ｂ２的形式)＝ｘ＋１２()２－４９４（写成完全平方形式）＝ｘ＋１２()２－７２()２（写成平方差形式）＝ｘ＋１２＋７２()ｘ＋１２－７２()（运用平方差公式分解因式）＝（ｘ＋４）（ｘ－３）（分解完毕）（４）ｘ２－２ｘｙ－３５ｙ２＝ｘ２－２ｘｙ－３５ｙ２＋３６ｙ２－３６ｙ２（添 ３６ｙ２－３６ｙ２ 以便配方）＝ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２－３６ｙ２（计算 －３５ｙ２＋３６ｙ２ 可配成ａ２－２ａｂ＋ｂ２的形式）＝（ｘ－ｙ）２－３６ｙ２（写成完全平方形式）＝（ｘ－ｙ）２－（６ｙ）２（写成平方差形式）＝［（ｘ－ｙ）＋６ｙ］［（ｘ－ｙ）－６ｙ］（运用平方差公式分解因式）＝（ｘ＋５ｙ）（ｘ－７ｙ）（分解完毕）２．拆项配完全平方式分解因式（５）９ｘ２－１６ｙ２＋１２ｘ＋２４ｙ－５＝９ｘ２－１６ｙ２＋１２ｘ＋２４ｙ－９＋４（将常数项 －５ 拆成 －９＋４ ）＝９ｘ２＋１２ｘ＋４－１６ｙ２＋２４ｙ－９（移项）＝（９ｘ２＋１２ｘ＋４）－（１６ｙ２－２４ｙ＋９）（将要配方的两大块添上括号）＝［（３ｘ）２＋２㊃３ｘ㊃２＋２２］－［（４ｙ）２－２㊃４ｙ㊃３＋３２］（配成ａ２ʃ２ａｂ＋ｂ２的形式）＝（３ｘ＋２）２－（４ｙ－３）２（写成完全平方形式）＝［（３ｘ＋２）＋（４ｙ－３）］［（３ｘ＋２）－（４ｙ－３）］（运用平方差公式分解因式）＝（３ｘ＋２＋４ｙ－３）（３ｘ＋２－４ｙ＋３）（取小括号后中括号变小括号）＝（３ｘ＋４ｙ－１）（３ｘ－４ｙ＋５）（分解完毕）（二）变式练习（１）ｘ２－４ｘ－５；（２）６ｘ２＋ｘ－２；（３）ｘ２－２ｘｙ－４８ｙ２；（４）４ｘ２－９ｙ２＋１２ｘ－６ｙ＋８．解㊀（１）ｘ２－４ｘ－５＝ｘ２－２ˑ２ｘ＋２２－２２－５＝（ｘ－２）２－９＝（ｘ－２＋３）（ｘ－２－３）＝（ｘ＋１）（ｘ－５）㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５４数学学习与研究㊀２０２２ ２０（２）６ｘ２＋ｘ－２＝６ｘ２＋１６ｘ－１３()＝６ｘ２＋２ˑ１１２ｘ＋１１２()２－１１２()２－１３[]＝６ｘ＋１１２()２－４９１４４[]＝６ｘ＋１１２()２－７１２()２[]＝６ｘ＋１１２＋７１２()ｘ＋１１２－７１２()＝６ｘ＋２３()ｘ－１２()＝３ｘ＋２３()ˑ２ｘ－１２()＝（３ｘ＋２）（２ｘ－１）（３）ｘ２－２ｘｙ－４８ｙ２＝ｘ２－２ｘｙ－４８ｙ２＋４９ｙ２－４９ｙ２＝ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２－４９ｙ２＝（ｘ－ｙ）２－（７ｙ）２＝［（ｘ－ｙ）＋７ｙ］［（ｘ－ｙ）－７ｙ］＝（ｘ＋６ｙ）（ｘ－８ｙ）（４）４ｘ２－９ｙ２＋１２ｘ－６ｙ＋８＝４ｘ２－９ｙ２＋１２ｘ－６ｙ＋９－１＝４ｘ２＋１２ｘ＋９－９ｙ２－６ｙ－１＝（４ｘ２＋１２ｘ＋９）－（９ｙ２＋６ｙ＋１）＝［（２ｘ）２＋２㊃２ｘ㊃３＋３２］－［（３ｙ）２＋２㊃３ｙ㊃１＋１］＝（２ｘ＋３）２－（３ｙ＋１）２＝［（２ｘ＋３）＋（３ｙ＋１）］［（２ｘ＋３）－（３ｙ＋１）］＝（２ｘ＋３＋３ｙ＋１）（２ｘ＋３－３ｙ－１）＝（２ｘ＋３ｙ＋４）（２ｘ－３ｙ＋２）四㊁教师在因式分解教学中的建议在传统的数学课堂上因缺少趣味性，很难让学生对数学知识产生浓厚的兴趣，也不利于学生的发展，长此以往学生会对数学的学习产生厌烦情绪．在新课程改革背景下，教师打破了传统教学模式，改变了枯燥的数学知识的讲解方式，使学生由被动地接受知识转变为主动地探索知识．兴趣对学习的重要性得到了一线教师们的认同．只有学生对所学的教学内容产生了兴趣，才会在教学内容的吸引下去进行深层次的探究，这样才能使教学的质量和效果不断提升．因此，教师在教学中要高度重视这一点，根据学生的数学实际水平设计一些学生比较感兴趣的问题，进而把学生的注意力吸引到课堂教学活动中，引导学生对数学内容进行深层次的思考，并提出相应的问题．通过教师的启发式的教学方法，学生学会动脑思考问题，对问题进行探究，去探讨解决问题的方法和技巧，从而找到学习数学的兴趣点，产生学习数学的热情．例如，在平方差公式的教学中，教师随便在黑板上出了几道数学口算题，让学生快速的口算：１８２－１６２，由于教师说要快速计算出结果，学生都表现出了强烈的参与热情，同时也在心里产生了疑问，这么大的数字很难通过口算去进行计算，教师为什么会出这样的问题呢？学生都面露难色．教师随即引导学生，在学习了因式分解的平方差公式后，可以很轻松地解答来这样的问题．学生于是对学习平方差公式产生了强烈的兴趣．然后教师给出了（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）的式子，让学生利用所学的多项式乘法的计算方法试着计算，很快就计算出了结果：（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２．那么按照等式的性质，反过来也是成立的．因此，１８２－１６２就可以用平方差公式来计算，这样学生就可以很轻松地通过口算计算出结果了．在教师的启发下，学生自主利用所学的数学知识，总结出了平方差公式，并在实际的应用中加以验证．教师把学生分成学习小组，让小组成员互相出题然后比赛看谁计算得快．这样课堂教学在热烈的学习氛围中获得了事半功倍的教学效果，同时教师通过启发引导，也培养了学生的创造性，激发了学生学习数学的主观能动性．五㊁结语当我们在做因式分解的练习时，遇到用所学的 提公因式法 和 公式法 无法分解的题目， 配方法 就是最适合的选择．以上就是配方法的教学步骤和搭配的变式练习，希望对同仁们的工作有所帮助．ʌ参考文献ɔ［１］常成．初中数学因式分解技巧研究［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（１）．［２］陈建新．指向数学核心素养的问题设计策略 以 一元二次方程的解法（第１课时） 为例［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１７（３２）．［３］王然恩．初中数学思想方法及其教学研究［Ｄ］．河北师范大学，２００５．［４］张涛．优化初中数学教学过程，提升初中数学教学效果［Ｊ］．考试与评价，２０１９（３）．［５］尹敬会．多媒体教学在初中数学教学中的应用策略研究［Ｊ］．中国校外教育，２０１８（３５）．。