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卡特兰数三个通项公式的推导前提条件：有两种操作，一种操作的次数不能超过另外一个，或者是不能有交集这些操作的合法方案数，通常是卡特兰数情景：1）n个0和n个1构成的字串，所有的前缀子串1的个数不超过0的个数，求这样的字串个数向上的操作不超过向右的操作2）包含n组括号的合法式子：与情景1的练习：左括号对于0，右括号对应13）一个栈的进栈序列为1,2,3,…,m,有多少个不同的出栈序列 ?4）n个节点可以构造多少个不同的二叉树。
5）在圆上选择2n个点，将这些点成对连接起来所得到的n条弦不相交的方法数6）通过连结顶点而将n+2边的凸多边形分成n个三角形的方案数形式：1 12 5 14 42 132 429 1430……推导：一式：曲线救国。
1.求总路径数2.求非法3.相减得到合法step1总路径就是2n次操作里选n次向右的方案数 C 2 n nC_{2n}^{n} C2nnstep2对于y = x + 1，所有的非法路径都必然与其有一个交点。
从第一个交点开始路径对于y = x + 1对称路径会对称到终点为（n-1，n+1）的点。
所以非法路径数就是 C 2 n n −1 C_{2n}^{n-1} C2nn−1step3二者相减：到达点 ( n , n ) 的合法路径数就是 H n = C2 n n − C 2 n n − 1 到达点(n,n)的合法路径数就是H_n=C_{2n}^{n} - C_{2n}^{n-1} 到达点(n,n)的合法路径数就是Hn=C2nn−C2nn−1二式：1.明确需要配凑的式子： 1 n + 1 2 n ! n ! n ! ，即 C 2 n n \frac{1}{n+1}\frac{2n!}{n!n!}，即C_{2n}^{n} n+11n!n!2n!，即C2nn2.一式写成阶乘形式3.提公因式提这个公因式 2 n ! n ! ( n − 1 ) ! ，得到 2 n ! n ! ( n −1 ) ! ∗ ( 1 n − 1 n + 1 ) 提这个公因式\frac{2n!}{n!(n-1)!}，得到\frac{2n!}{n!(n-1)!}*(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) 提这个公因式n!(n−1)!2n!，得到n!(n−1)!2n!∗(n1−n+11)4.通分括号内的式子，再把提取出的公因式与之相乘。
【转】卡特兰数四个公式（简单）
公式⼀
递归公式
h(0)=h(1)=1
h(n)=h(0)∗h(n−1)+h(1)∗h(n−2)+...+h(n−1)∗h(0)(n>=2)
如果我们⽤这个公式显然我们要使⽤递归算法，那么数据⼀⼤就在时空上很⿇烦
公式⼆
递推公式
h(n)=h(n−1)∗(4∗n−2)/(n+1)
这个公式应⽤递推，看上起⼗分和善
但对⼤数据呢？
我们注意到⼤数据的时候h(n)会很⼤，这时候题⽬⼀般会让你对某素数取模（当然你可以打⾼精度（划掉））
但你在取模过程中难保⼀个h(n)%mod=0
那么根据公式下⾯所有的数都会等于0，于是你就愉快的WA了
公式三
组合数公式1
h(n)=C(2n,n)/(n+1)(n=0,1,2,...)
卡特兰数可以与组合数联系起来，得到上⾯的公式
⽽组合数就是⼀个杨辉三⾓，可以递推得到（这个不属于这道题的讨论范围我假装你们都会（逃））
但我们发现对于⼤数据你要取模，⽽对于除法你是没办法⽤膜的性质的（当然你可以应⽤逆元（划掉）），所以造成了⿇烦
公式四
组合数公式2
h(n)=c(2n,n)−c(2n,n−1)(n=0,1,2,...)
与组合数公式1不同这个是两个组合数的减法
减法是可以⽤膜的性质的，于是你可以愉快的AC了。
滞后算子解卡特兰数1.引言1.1 概述概述：滞后算子和卡特兰数作为数学中的重要概念，在组合学、代数学、计算机科学、物理学等领域都有广泛的应用。
滞后算子是一种基本的线性代数运算符，它将数列中的每一项向后移动一位，并在首位添加一个给定的值。
而卡特兰数则是一系列极其重要且有趣的数列，描述了许多组合问题的解决方案的总数。
本文旨在探讨滞后算子是如何解卡特兰数的，并讨论其在组合问题中的应用。
我们将首先介绍滞后算子的概念和特点，包括其定义、运算规则以及具体的应用案例。
随后，我们将对卡特兰数的定义和性质进行详细阐述，包括其递推公式、递归关系和常见的数学性质。
在正文部分，我们将会详细介绍滞后算子解卡特兰数的方法和应用。
通过引入滞后算子，我们可以将卡特兰数的计算问题转化为代数问题，从而简化计算过程。
我们将会讨论不同的解决方法，并比较它们的优缺点。
此外，我们还将探讨滞后算子解卡特兰数在实际应用中的一些具体案例，例如计算树的种类、括号匹配问题等。
最后，我们将对滞后算子解卡特兰数的方法和结果进行分析和讨论。
通过比较不同的解决方案，我们可以评估其在不同情境下的适用性和效果。
同时，我们也将对滞后算子解卡特兰数的局限性进行探讨，并提出可能的改进方向。
通过本文的研究，我们希望能够深入理解滞后算子解卡特兰数的原理和应用，并且为相关领域的学术研究和实际应用提供一定的参考和借鉴。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应包括文章的主要分节和各分节的主题或内容简介，以便读者在阅读前能够大致了解全文的结构和内容安排。
根据给出的文章目录，可以编写如下文章结构部分的内容：2. 正文2.1 滞后算子的概念和特点2.2 卡特兰数的定义和性质在本文的正文部分，我们将首先介绍滞后算子的概念和特点。
通过对滞后算子的详细解释，读者可以全面了解滞后算子的定义及其在问题求解中的作用。
接着，我们将介绍卡特兰数的定义和性质。
卡特兰数作为组合数学中的一个重要概念，具有许多重要的性质和应用，在各种问题中都有广泛的应用。
卡特兰数非常经典，很多现实的问题都是卡特兰数，如合法的入栈出栈序列有多少种就是卡特兰数，为什么呢？我们可以把0看成入栈操作，1看成出栈操作，即0的累计个数不小于1的排列有多少种。
还有很多其他的问题都是卡特兰数，如二叉树的个数，有序树的个数，多边形分成三角形的个数等。
卡特兰数的通项是c(2n, n)/(n+1)。
注意组合数学中的运算：A(m, n) = m! / (m-n)!, C(m, n) = A(m, n) / n! = m! / ((m-n)!*n!),因此卡特兰数的通项：C(2n, n)/(n+1) = (2n!) / ((2n - n)! * n!) / (n + 1) = (2n!) / (n! * n!) / (n + 1)卡特兰数的问题应用：1.圆周上有标号为1，2，3，4，……，2n的共计2n个点，这2n个点配对可连成n条弦，且这些弦两两不相交的方式数为卡特兰数C n2.游乐园门票1元一张，每人限购一张。
现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友每人只有1元的钞票一张，另5个小朋友每人只有2元的钞票一张，售票员没有准备零钱。
问：有多少种排队方法，使售票员总能找的开零钱？3.甲乙两人比赛乒乓球，最后结果为20∶20，问比赛过程中甲始终领先乙的计分情形的种数。
即甲在得到1分到19分的过程中始终领先乙，其种数是卡特兰数4.饭后，姐姐洗碗，妹妹把姐姐洗过的碗一个一个放进碗橱摞成一摞。
一共有n个不同的碗，洗前也是摞成一摞的，也许因为小妹贪玩而使碗拿进碗橱不及时，姐姐则把洗过的碗摞在旁边，问：小妹摞起的碗有多少种可能的方式？答：得数是第n个卡特兰数C n。
一个汽车队在狭窄的路面上行驶，不得超车，但可以进入一个死胡同去加油，然后再插队行驶，共有n辆汽车，问共有多少种不同的方式使得车队开出城去？1.括号化问题。
一个合法的表达式由()包围，()可以嵌套和连接，如(())()也是合法表达式；现在有6 对()，它们可以组成的合法表达式的个数为2.矩阵连乘：P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)3.出栈次序问题。
卡特兰数算法实现解释说明以及概述引言部分是文章的开篇，应该对卡特兰数算法进行简要的介绍和概述。
以下是引言部分内容：1. 引言1.1 概述卡特兰数算法是组合数学中一种重要的计算方法，用来计算大量具有递归关系的问题。
它由比利时数学家欧·乌亚伊斯于19世纪中叶首次提出，并以比利时数学家欧仁·查尔斯·卡特兰的名字命名而得名。
卡特兰数算法被广泛应用于多个领域，如计算机科学、信息技术、电子工程等。
它在组合优化、动态规划、几何图形等问题求解中发挥着重要的作用。
本文将详细介绍和解释卡特兰数算法的实现原理及其应用案例分析，并通过对比不同实现方法及其优劣，总结出适用于不同场景和问题求解的最佳实践。
1.2 文章结构本文共包括五个章节，每个章节都涵盖了不同方面的内容：- 第一章：引言。
本章介绍了本文的背景与目标，并简要概括了卡特兰数算法及其应用。
- 第二章：卡特兰数算法概述。
本章对卡特兰数算法进行定义和历史背景的介绍，并探讨了其在不同领域中的应用。
- 第三章：卡特兰数算法实现步骤。
本章详细解释了卡特兰数算法的具体实现步骤，包括递推公式推导、动态规划实现以及递归实现及优化方法。
- 第四章：卡特兰数算法应用案例分析。
本章通过具体案例分析了卡特兰数算法在括号匹配问题、栈操作序列计数问题和凸多边形三角剖分方案计算中的应用。
- 第五章：结论与总结。
本章总结了卡特兰数算法的优缺点，并展望了其未来的发展前景。
1.3 目的本文旨在深入研究和探索卡特兰数算法，全面解释其实现原理及其应用领域，并提供具体案例进行分析，以期读者能够更好地理解该算法并将其运用于问题求解过程中。
此外，本文也将为读者提供一些可行的优化方法和未来可能的发展趋势，为相关领域的研究人员和工程师提供参考和借鉴。
2. 卡特兰数算法概述2.1 定义和历史背景卡特兰数算法是一种用于计算排列组合数量的数学算法。
它以比利时数学家欧仁·查理·卡特兰（Eugène Charles Catalan）的名字命名，他首次研究并发现了这个数列。
9卡特兰数（蓝桥杯）卡特兰数⼜称卡塔兰数，英⽂名Catalan number，是组合数学中⼀个常出现在各种计数问题中出现的数列。
以⽐利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰(1814–1894)的名字来命名，其前⼏项为: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...常规分析⾸先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。
（我们假定，最后出栈的元素为k，显然，k取不同值时的情况是相互独⽴的，也就是求出每种k最后出栈的情况数后可⽤加法原则，由于k最后出栈，因此，在k⼊栈之前，⽐k⼩的值均出栈，此处情况有f(k-1)种，⽽之后⽐k⼤的值⼊栈，且都在k之前出栈，因此有f(n-k)种⽅式，由于⽐k⼩和⽐k⼤的值⼊栈出栈情况是相互独⽴的，此处可⽤乘法原则，f(n-k)*f(k-1)种，求和便是Catalan递归式。
ps.author.陶百百）⾸次出空之前第⼀个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中⼀个是1~k-1，序列个数为k-1，另外⼀个是k+1~n，序列个数是n-k。
此时，我们若把k视为确定⼀个序数，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数，即选择k这个序数的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。
⽽k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：f（n）=f （0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。
递归求解卡特兰数卡特兰数，又称卡塔兰数，是组合数学中一类重要的数列，其通项公式为C(n)=C(n-1)*2*(2n-1)/(n+1)，其中n为正整数。
卡特兰数在组合数学、离散数学等领域被广泛应用，如二叉树的数量、括号匹配的方案数、山峰序列等问题。
本文将介绍一种递归求解卡特兰数的方法，以求解C(5)为例进行说明。
递归求解卡特兰数的基本思路是将问题拆分成若干个子问题，然后通过递归的方式进行求解。
具体来说，对于求解C(n)，我们可以考虑先将其拆分成C(n-1)和C(n-2)两个子问题，然后通过递归求解这两个子问题，最终将它们的结果结合在一起得到C(n)的值。
下面是求解C(5)的具体步骤：Step1：求解C(4)根据卡特兰数的通项公式，C(4)=C(3)*2*7/5=14。
因此，我们需要先求解C(3)。
Step2：求解C(3)同理，C(3)=C(2)*2*5/4=5。
因此，我们需要先求解C(2)。
Step3：求解C(2)根据卡特兰数的通项公式，C(2)=C(1)*2*3/2=2。
因此，我们需要先求解C(1)。
Step4：求解C(1)C(1)=1，是卡特兰数的起始值。
Step5：结合子问题的结果求解C(2)根据递归的思路，我们已经求得C(1)的值，因此可以使用C(2)=C(1)*2*3/2=2的计算公式求解C(2)的值。
Step6：结合子问题的结果求解C(3)同理，我们已经求得C(2)的值，因此可以使用C(3)=C(2)*2*5/4=5的计算公式求解C(3)的值。
Step7：结合子问题的结果求解C(4)同理，我们已经求得C(3)的值，因此可以使用C(4)=C(3)*2*7/5=14的计算公式求解C(4)的值。
Step8：结合子问题的结果求解C(5)同理，我们已经求得C(4)的值，因此可以使用C(5)=C(4)*2*9/6=42的计算公式求解C(5)的值。
通过上述步骤，我们成功地使用递归的方法求解了C(5)的值，即C(5)=42。
卡特兰数什么是Catalan数说到Catalan数，就不得不提及Catalan序列，Catalan序列是一个整数序列，其通项公式是我们从中取出的就叫做第n个Catalan数，前几个Catalan数是：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, …咋看之下没什么特别的，但是Catalan数却是许多计数问题的最终形式。
Catalan数的一些性质Catalan数的基本公式就是上个部分所列出的那样，但是却有一些变形和具体的性质：1、这是根据原来的式子推导出来的，大概过程是这样的：2、这个递推式很容易可以从原来的式子中获得3、4、5、这个是Catalan数的增长趋势。
Catalan数在组合计算中的应用在《组合数学》（机械工业出版社）一书中，介绍Catalan数是由其一个应用推导出的公式，其具体的描述如下：n个+1和n个-1构成2n项，其部分和满足的序列个数等于第n个Catalan数。
其证明也不难，我们假设不满足条件的序列个数为，那么就有。
剩下的工作就是求了，我们假设有一个最小的k令。
由于这里k是最小的，所以必有，并且k是一个奇数。
此时我们将前k项中的+1变为-1，将-1变为+1,那么就得到一个有(n+1)个+1和(n-1)个-1的序列了，这样的序列个数就是我们要求的，数值大小为。
那么我们就得到了，就是我们前面的公式。
在具体的组合数问题中，很多都可以转换为Catalan数进行最后的计算，如下：1、如上文所说，对于任意的k，前k个元素中-1的个数小等于+1的个数的序列计数，我们可以不停地变换形式，比如将-1看成右括号，+1看成左括号，就变成了合法括号表达式的个数。
比如2个左括号和2个右括号组成的合法表达式有种，是()()和(())。
2、既然如上一点都把括号加上去了，那么顺便就再次转换，n+1个数连乘，乘法顺序有种，比如我们三个数连乘a*b*c，那么等于在式子上加括号，有2种乘法顺序，分别是(ab)c和a(bc)。
卡特兰数通项公式证明卡特兰数（Catalan number）是组合数学中一个常出现且有趣的数列。
要证明卡特兰数的通项公式，咱们得先搞清楚啥是卡特兰数。
比如说，咱们想象有一个小操场，从左下角走到右上角，只能向右或者向上走。
但是要求向上走的步数始终不少于向右走的步数。
这种情况下，可能的走法数量就可以用卡特兰数来表示。
那卡特兰数的通项公式是啥呢？它是：$C_n = \frac{1}{n + 1} {2n \choose n}$ 。
接下来咱们就来证明这个通项公式。
咱们先来看一个巧妙的方法——构建对应关系。
假设咱们有 2n 个位置，要放 n 个向右的箭头和 n 个向上的箭头。
但是得保证任何前缀中向上的箭头数量不少于向右的箭头数量。
咱们先把这 2n 个位置从 1 到 2n 编号。
然后，咱们考虑不符合条件的情况。
也就是存在某个位置 k，使得前 k 个位置中向右的箭头比向上的箭头多 1 个。
咱们把第 k 个位置的箭头和第 2n - k + 1 个位置的箭头对换。
神奇的是，这样对换之后，不符合条件的情况就变成了恰好有 n + 1 个向右的箭头和 n - 1 个向上的箭头的排列。
而这样的排列数量是${2n \choose n + 1}$ 。
因为总的排列数量是${2n \choose n}$ ，所以符合条件的排列数量（也就是卡特兰数）就是：\[\begin{align*}C_n&={2n \choose n} - {2n \choose n + 1}\\&={2n \choose n} - \frac{n}{n + 1} {2n \choose n}\\&=\frac{1}{n + 1} {2n \choose n}\end{align*}\]这样咱们就证明了卡特兰数的通项公式。
还记得我之前说的那个小操场的例子不？就说我有一次在公园里散步，看到小朋友们在地上画格子玩类似的游戏。
他们用小石子代替箭头，玩得不亦乐乎。
卡特兰数知识讲解在本⽂中，我们⽤(nm)⽽⾮C mn来表⽰从n个互不相同的数中选出m个（也即组合数）的⽅案数。
卡特兰数是组合数学中的⼀个常⽤数列，在数数题中数见不鲜（注意它与卡特兰常数，也即卡常数的区别），我们⽤C n来表⽰卡特兰数的第n项。
其下标从 0 开始，前⼏项依次为 1,1,2,5,14,42,132,...（这有助于我们通过找寻规律来解决良⼼出题⼈精⼼出的⾼质量好题）。
要研究⼀个数列，⾸先就得知道它的意义。
但卡特兰数的意义⾮常⼴泛，所以这⾥只举出两个最典型的例⼦来阐述它的意义。
第⼀个例⼦是折线问题：在平⾯直⾓坐标系中，你在 (0,0) ，⽬的地在 (n,n) ，每次你可以选择向右⾛⼀步或向上⾛⼀步，但你不能穿过直线y=x（但可以⾛到直线上⾯）。
你有着充分多的闲暇时间，于是便想把所有不同的⾛法都试⼀遍（两种⾛法不同当且仅当存在⼀个点在其中⼀种⾛法中被⾛到过⽽在另⼀种⾛法中未被⾛到），那么问题来了，不同的⾛法⼀共有⼏种呢？事实上这个问题的解可以作为卡特兰数的⼀个定义，我们可以定义C n为折线问题中从 (0,0) ⾛到 (n,n) 的⽅案数。
对于⼀个数列，我们⼀定很想得到它的递推式与通项式。
我们先研究⼀下它的递推式。
考虑枚举它在到达 (n,n) 前⾛到的最后⼀个y=x上的点，设其为 (i,i)(0≤i≤n−1) 。
那么，到达这个点前可以按照规则随便⾛，⽅案数为C i，到达这个点后不能碰到直线y=x，相当于第⼀步向右，最后⼀步向上，从 (i+1,i) ⾛到 (n,n−1) ，中间不能穿过y=x−1 ，这也是⼀个⼩规模的问题，⽅案数为C n−i−1。
于是我们可以写出递推式：C n=∑n−1i=0C i C n−i−1,C0=0 。
这个递推式的时间复杂度是O(n2) ，追求极致效率的出题⼈⼀定不会满意。
我们能不能找到⼀个更快的⽅法？我们可以试着求⼀下卡特兰数的通项公式，⼀步到位，算出⽅案数。
我们发现不穿过y=x这条限制很难处理，我们考虑对其进⾏容斥，那么C n就是所有路径条数（这是(2nn)）减去穿过y=x的路径条数。
