线线平行、线面平行、面面平行的判定方法(本人原创)

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法一、两条直线平行的判定方法（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。

如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。

②三角形、梯形中位线定理。

③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。

④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。

（3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。

（5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。

（6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

（7）用向量证明。

二、一条直线和一个平面平行的判定（1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）（2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。

（3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.（线面平行的性质）。

（4）向量法。

三、两个平面平行的判定（1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义）（2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。

（3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。

（5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判定方法一、两条直线垂直的判定（1）在同一个明面内证明两条直线垂直可按照平面几何的有关定理和方法判定。

在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法一、两条直线平行的判定方法（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。

如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。

②三角形、梯形中位线定理。

③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。

④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。

（3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。

（5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。

（6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

（7）用向量证明。

二、一条直线和一个平面平行的判定（1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）（2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。

（3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.（线面平行的性质）。

（4）向量法。

三、两个平面平行的判定（1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义）（2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。

（3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。

（5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判定方法一、 两条直线垂直的判定（1） 在同一个明面内证明两条直线垂直可按照平面几何的有关定理和方法判定。

线线平行,线面平行,面面平行的判定定理示例文章篇一：《线线平行、线面平行、面面平行的判定定理》在数学这个奇妙的世界里，有好多有趣的东西呢。

就像线线平行、线面平行、面面平行，它们的判定定理可真是很神奇的东西呀。

先来说说线线平行的判定定理吧。

要是两条直线都和第三条直线平行呢，那这两条直线就平行啦。

这就好比呀，在马路上有三条车道，车道A和车道C是平行的，车道B 也和车道C是平行的，那车道A和车道B肯定也是平行的呀。

你想啊，如果不是平行的话，那不就乱套了嘛。

还有哦，如果两条直线的方向向量是平行的，那这两条直线也是平行的。

这就像两个人走路，如果他们的方向是一模一样的，那他们走的路就是平行的呀。

我就想啊，这数学里的线线平行和我们生活中的好多事情还真像呢。

我和同桌小明讨论这个的时候，小明就说：“这就像咱俩的铅笔，如果都和讲台的边平行，那咱俩的铅笔肯定也是平行的呀。

”我听了觉得特别有道理呢。

再说说线面平行的判定定理吧。

如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那这条直线就和这个平面平行啦。

我觉得这就像是有一个小蚂蚁在桌子外面，它沿着一条线走，这条线和桌子里面的一条线是平行的，那这个小蚂蚁走的线就和桌子这个平面平行啦。

我们老师在讲这个的时候，举了个例子，说假如有一根筷子在碗的外面，筷子和碗里面画的一条线平行，那筷子就和碗这个平面平行啦。

我当时就想，哇，数学还能这么理解呀。

而且啊，如果一条直线的方向向量和平面的法向量垂直，那这条直线也和这个平面平行呢。

这就好像一个小箭头（直线的方向向量）和一个大板子（平面的法向量）的方向是垂直的，那这个箭头代表的直线就和这个平面平行啦。

我和后面的小红讨论这个的时候，小红还说：“这就像放风筝的线，如果风筝线的方向和地面的一个方向垂直，那风筝线就和地面平行啦。

”虽然不是特别准确，但是也能让我们更好地理解呢。

最后就是面面平行的判定定理啦。

要是一个平面内有两条相交直线都和另一个平面内的两条相交直线平行，那这两个平面就平行了。

lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键．．点：在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。

数学线线平行,线面平行,面面平行的证明方法嘿，咱今儿就来聊聊数学里那线线平行、线面平行还有面面平行的证明方法呀！你想啊，线线平行就像是两个好伙伴肩并肩一起走。

要证明它们平行，咱可以找同位角相等呀，内错角相等呀，或者同旁内角互补啥的，这就好比两个小伙伴步伐一致，那肯定是平行向前嘛！还有啊，如果一条直线平行于另一条直线，而另一条直线又平行于第三条直线，那这第一条和第三条不也就平行了嘛，这就跟传递似的，是不是挺有意思？再说说线面平行。

这就好像一条线在一个平面上愉快地“玩耍”，但又不跟平面里的其他线“纠缠”。

咱可以找平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那外面这条线不就和整个平面平行啦！这就好比你在一个大操场外面，看到里面有个小伙伴在沿着一条直线跑，那你不就知道你和他跑的方向是平行的嘛。

那面面平行呢？哎呀呀，这就像两个大“舞台”摆在那儿。

要证明它们平行，可以先找到一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行，那这两个平面不就平行了嘛！这就好像两个舞台上都有各自的表演，而且表演的路线都是平行的，那这两个舞台自然也就是平行的啦。

你说数学是不是很神奇呀？这些证明方法就像是解开一道道谜题的钥匙。

有时候可能会觉得有点难，但只要咱认真去琢磨，就像攻克一个难关一样，一旦成功了，那成就感可不是一般的大呀！比如说，给你一道题，让你证明两条直线平行。

你就得开动脑筋，想想用哪种方法合适。

是找同位角呢，还是内错角呢？这就跟打仗选武器似的，得选个趁手的呀！然后一步步去分析，去推理，等你成功证明出来的时候，哇，那心情，简直比吃了蜜还甜！数学里的这些证明方法，其实也是在锻炼我们的思维能力呀。

让我们学会有条理地去思考问题，去分析问题，去解决问题。

这对我们以后做其他事情也是很有帮助的呢！所以呀，别害怕这些证明方法，大胆地去尝试，去探索。

就像探险家一样，在数学的海洋里勇敢前行，去发现那些隐藏的宝藏！相信自己，你一定能行的！咱可不能被小小的证明方法给难住了，对吧？加油！。

lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。

线面平行
一、基础知识：
线线平行⇒线面平行；面面平行⇒线面平行。

二、方法：
三角形法、平行四边形法、平行截面法。

三、典例：
（一）三角形法：在直线和平面外找一个点，作（找）这个点和直线上两个点的连线，再作（找）出两条连线与平面的交点，证明两个交点连线与已知直线平行，即可证明线面平行。

例1、如图，在正四棱锥ABCD P -中，a AB PA ==,点E 在棱PC 上。

问点E 在何处时，EBD //PA 平面，
练：
1⑴求证：A 1C
正三棱柱Ｃ＝2
C
图5
（三）平行截面法：过直线作（找）一个平面与已知平面平行，即可证明线面平行。

2、已知正方体
，O 是底面ABCD 对角线的交点。

求证：⑴
1、如图,
2、四边形
3、如图，11C 的中点。

（Ⅰ）证明：MN ∥平面11ACC A ；（Ⅱ）求三棱锥MNC A 1-的体积。

E
C 1
A
B
C
M
N
A 1
B 1
4、如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2。

（I）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E-PAC的体积。

5
AD
6、如图，在DM
C P
A
B
D
E。

面面平行的判定定理面面平行，指的是两个平面平行。

如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。

本站今天为大家精心准备了面面平行的判定定理，希望对大家有所帮助!面面平行的判定定理定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。

定理2：两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行。

定理3：两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。

(判定定理1的逆定理)推论：两个平行平面的垂线平行或重合。

定理4：三个平行平面截两条直线，形成的对应线段成比例。

推论：经过三角形一边作一个平面(与三角形所在平面不重合)，与此平面平行的平面截三角形另外两边(或延长线)所得的线段对应成比例。

定理5：平行平面间的距离处处相等。

定理6：经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。

面面平行的判定定理一、线线平行1、同位角相等两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

也可以简单的说成：2、内错角相等两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

也可以简单的说成：3、同旁内角互补两直线平行。

二、线面平行1、利用定义：证明直线与平面无公共点;2、利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;3、利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。

三、面面平行1、如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

2、如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

3、如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。

线面、面面平行的判定与性质一、线线、线面、面面平行间的相互转化（1）平行公理:平行于同一直线的两直线平行（线线平行的传递性）（2）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（线线平行→线面平行）（3）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行（线面平行→面面平行）（4）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行（线面平行→线线平行）（5）面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平行→线面平行）（6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行→线线平行）三、证明线线平行的方法：（1）线线平行的传递性； （2）三角形中位线； （3）平行四边形对边平行； （4）三角形中对应边成比例； （5）线面平行的性质定理. 三、典型例题例：已知四棱锥ABCD P ,E 是PD 的中点.证明：ACE PB 面//E P DBAC变式1：已知四棱锥ABCD P -,E 是AD 的中点，F 是PB 的中点.证明：ACE PB 面//.变式2：已知四棱锥ABCD P -,BC EF //,EFHG 平面与ABCD 平面相交于HG ，PB HI //,证明:PBC IG 面//.四、巩固训练1.三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 边的中点.求证：1AC ∥平面1CDB .PD BACE FEPDBACF GHIBACA 1B 1C 1D2.【2014高考北京卷 节选】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.，求证：1//C F 平面ABE .3.【2013年辽宁卷 节选】如图,AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点， Q 为PA 的中点，C 是圆O 上的点，G 为AOC ∆的重心.求证：PBC QG 平面//4.【2013年陕西卷】如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，O A 1⊥底面ABCD ，211==B AA AB .（1）证明：B CD BD A 11//平面平面；（2）求三棱柱111D B A ABD -的体积．C 1B 1A 1F ECBA5.【2014高考陕西卷】四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱BC AD ,的平面分别交四面 体的棱CA DC BD AB ,,,于点H G F E ,,,.（1）求四面体ABCD 的体积；（2）证明：四边形EFGH 是矩形.２２１俯视图左视图　主视图ABCDEFGH6. 【珠海市2015届高三9月摸底考试】如图的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形. （1）若AC BC ⊥，证明：直线BC ⊥平面11ACC A ；（2）是否存在过1A C 的平面α，使得直线1//BC α平行，若存在请作出平面α并证明，若不存在请说明理由.1AA。

立体几何线面面面平行的证明线面、面面平行是立体几何中重要的概念，在几何证明中经常会遇到。

下面将分别介绍线面平行和面面平行的证明。

一、线面平行的证明：线面平行是指一条直线与其中一平面上的其他线段或射线都平行。

下面给出线面平行的证明。

设直线l与平面α相交于点A，我们要证明直线l与平面上任意一条线段或射线都平行。

设平面上有一条线段BC，先证明直线l与线段BC平行。

假设直线l与线段BC的其中一点D相交，连接线段AD和CD。

现在需要证明线段AD与线段BC平行。

根据平面几何的基本知识，在平面上，如果三个点在同一条直线上，那么该直线上的任意两点连线也位于平面上。

故点A、D、C三点在同一条直线上，那么线段AD也位于平面α上。

又因为直线l与线段BC和AD的交点分别为D和A，根据定理“若两条直线平行，则与这两条直线分别相交的两个平行线交点连线也平行”。

所以，直线l与线段AD平行。

同理，可以证明直线l与线段CD平行。

综上所述，直线l与线段BC平行。

接下来证明直线l与平面上的任意一条射线EF平行。

同样以与射线EF有相交点E的直线l为基准，连接射线BE和EF。

然后使用相同的证明方法，即证明射线BE与EF平行。

通过以上证明，我们可以得出结论：直线l与平面α上的任意一条线段或射线都平行。

即证明了线面平行。

二、面面平行的证明：面面平行是指两个平面平行，这在立体几何中也有重要应用。

下面给出面面平行的证明。

设平面α与平面β相交于一条直线l，我们要证明平面α与平面β上的任意一条线段或射线都平行。

以直线l为基准，设平面α上有一条线段AB，我们需要证明线段AB 与平面β平行。

作直线AB的平行线于平面β相交于点C。

现在需要证明直线BC与线段AB平行。

根据平面几何的基本知识，若两条直线平行，那么有一个点在一条直线上，则另一条直线上的点的连线也在同一平面上。

因此点C在平面β上，那么连接线段BC位于平面β上。

又因为平面α与平面β分别与直线AB和BC相交于A和C两点，根据定理“若两个平面分别与一条直线相交，那么它们的交线上的任意两点连线也在这两个平面的交线上”。

正在空间“线线仄止、线里仄止、里里仄止”的判决要领之阳早格格创做一、二条曲线仄止的判决要领（1）正在共一仄里内不大众面的二条曲线仄止（定义）（2）先证正在共一仄里内，再用仄里几许中的仄止线的判决理大概者相闭图形的本量举止说明.如①正在共一仄里内，二条曲线被第三条曲线所截，如果共位角大概内错角相等，大概共旁内角互补，则二曲线仄止.②三角形、梯形中位线定理.③仄止四边形、矩形、菱形、正圆形本量(对于边仄止).④正在共一个仄里内，共笔曲于一条曲线的二条曲线仄止（注意：此论断正在空间不符合）.（3）（线里仄止的本量）如果一条曲线战一个仄里仄止，则通过那条曲线的一个仄里取那个仄里相接，那么那条曲线战接线仄止.（4）如果二曲线皆仄止于第三条曲线，那么那二条曲线互相仄止（仄止的传播性）.（5）（里里仄止的本量）如果二个仄止仄里分别战第三个仄里相接，则它们的接线仄止.（6）（线里笔曲的本量之一）如果二条曲线笔曲于共一个仄里，那么那二条曲线仄止.（7）用背量说明.二、一条曲线战一个仄里仄止的判决（1）如果背来线战一仄里不大众面，那么那条曲线便战那个仄里仄止（定义）（2）仄里中的一条曲线，如果战那个仄里内的一条曲线仄止，那么那条曲线便战那个仄里仄止(线里仄止的判决定理).（3）如果二个仄里相互仄止，那么正在一个仄里内的所有一条曲线皆仄止于另一个仄里.（线里仄止的本量）.（4）背量法.三、二个仄里仄止的判决（1）如果二个仄里不大众面，那么那二个仄里互相仄止（定义）（2）如果一个仄里内的二条相接曲线分别战另一个仄里仄止，那么那二个仄里仄止.（3）如果一个仄里内的二条相接曲线分别仄止于另一个仄里内的二条相接曲线，那么那二个仄里仄止.（4）如果二个仄里分别仄止于第三个仄里，那么那二个仄里仄止.（5）如果二个仄里笔曲于共一条曲线，那么那二个仄里仄止.正在空间“线线笔曲、线里笔曲、里里笔曲”的判决要领一、二条曲线笔曲的判决（1）正在共一个明里内说明二条曲线笔曲可依照仄里几许的有闭定理战要领判决.①说明二条曲线产生的角等于90°②正圆形、矩形本量（四个角皆是曲角）；③正圆形、菱形对于角线互相笔曲；④勾股定理顺定理；⑤“曲角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的顺定理.⑥说明一个三角形二个内角战为90°，则另一个内角为90°.⑦说明一个三角形战一个曲角三角形齐等，利用齐等三角形对于应角相等说明曲角.⑧说明二个邻补角相等且战为180°，则每一个角为90°（此二个角有大众定面，有一条大众边，非大众边互为反背延少线）.⑨等腰三角形本量（三线合一）.⑩曲径所对于的圆周角是曲角.（2）如果一条曲线笔曲于一个仄里，那么它笔曲于那个仄里内的所有一条曲线.（3）如果仄里内的一条曲线战此仄里的一条斜线正在仄里内的射影笔曲，那么它也战那条斜线笔曲（三垂线定理）（4）如果仄里内的一条曲线战那个仄里的一条斜线笔曲，那么它也战那条斜线正在仄里内的射影笔曲（三垂线定理的顺定理）.（5）如果一条曲线笔曲于二条仄止线中的一条曲线，那么它也笔曲于另一条曲线（此定理正在仄里战空间皆符合）.（6）说明空间二条同里曲线相互笔曲，可说明那二条曲线所成的角为90°.（7）背量法.二、背来线战一个仄里笔曲的判决（1）如果一条曲线战一个仄里内的所有一条曲线皆笔曲，那么那条曲线便笔曲于那个仄里.（2）如果一条曲线战一个仄里内的二条相接曲线笔曲，那么那条曲线便战那个仄里笔曲.（3）如果二条仄止线中的一条笔曲于一个仄里，那么另一条也笔曲于那个仄里.（4）如果一条曲线笔曲于二个仄止仄里中的一个仄里，那么它也笔曲于另一个仄里.（5）如果二个仄里互相笔曲，那么正在一个仄里内笔曲于接线的曲线必笔曲于另一个仄里（里里笔曲的本量定理）.（6）如果二个相接仄里α战β皆笔曲于仄里γ，那么它们的接线也笔曲于仄里γ（不克不迭当定理引用）.（7）背量法.三、二仄里笔曲的判决（1）如果二相接仄里所成的二里角为曲二里角，那么那二个仄里互相笔曲（定义）.（2）如果一个仄里通过另一个仄里的垂线，那么那二个仄里互相笔曲（线里笔曲本量定理）.四、有闭曲线取仄里位子闭系中的几个本量定理（1）夹正在二个仄止仄里之间仄止线段的少相等.（2）二仄止仄里间的距离到处相等.（3）二曲线如果被三个仄止仄里所截，那么所截得下对于应线段成比率.（4）如果二个角的二边分别仄止且目标相共，那么那二个角相等.五、重心分解（1）线线、线里、里里仄止闭系的转移（2）线线、线里、里里笔曲闭系的转移。

lmβααba立体几何的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则这条直线与平面平行。

图形语言： 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α 作用:线线平行⇒线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

图形语言：符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m作用:线面平行⇒线线平行三、平面与平面平行的判定定理文字语言:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥作用:线线平行⇒ 面面平行四、平面与平面平行的性质定理:1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行. 图形语言：符号语言：////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭作用： 面面平行⇒线线平行2、如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

符号语言：//,//a a αβαβ⊂⇒nmAαaBA l βαaβα作用: 面面平行⇒线面平行五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 图形语言： 符号语言： ,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭作用：线线垂直⇒线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线. 图形语言： 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭作用：线面垂直⇒线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：文字语言:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直. 图形语言：符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭作用：线面垂直⇒面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面. 图形语言：符号语言：l AB AB AB l αβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭作用：面面垂直⇒线面垂直。

立体几何空间点、线、面的位置关系
1
平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

如果一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，那么这两个平面平行。

常用性质：垂直于同一直线的两个平面互相平行
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

常用性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

垂直于同一个平面的两条直线平行。

（垂直于同一条直线的两个平面平行。

）
常用性质：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直这个平面内的任何一条直线。

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

①中位线定理②平行四边形③平行线的传递性
⑥线面垂直性质定理：
④线面平行的质定理⑤面面平行性质定理
①菱形的对角线互相垂直②等腰三角形底边的中线垂直底边
③圆的直径所对的圆周角为直角④利用勾股定理⑤线面垂直性质定理
1。

线面平行证明面面平行的判定定理你想知道线面平行如何证明面面平行吗？好，那咱们就一起聊聊这个有点复杂，但其实也挺有趣的几何问题。

首先嘛，先别紧张，不用怕公式，咱们从生活中的例子开始讲。

你想想，两个街道平行，对吧？它们永远都不会交汇，永远保持着相同的距离。

如果咱们把这条街道想象成“线”，把马路面想象成“面”，那么这两个街道平行，就是在告诉咱们“线面平行”了。

那么接下来的问题就是：如果一条线和一个面平行，那这个面和另一个面平行，怎么证明呢？咱们首先来捋一捋基本的概念。

什么叫做“线面平行”？简单来说，就是说有一条直线和一个平面保持平行，也就是说，直线上的每个点都和平面上的每个点之间的距离是一样的，永远不相交。

就像我们说的那两个街道，虽然它们有不同的起点和终点，但始终并肩走，不会分开，更不会碰头。

你可以想象一个铁轨，铁轨就是线，铁轨的表面就是面，铁轨永远不弯曲，永远平行。

所以，线和面平行的含义就这么简单。

不过，咱们今天的重点可不是这个。

而是，如果有一条线和一个面平行，那怎么推断出两个面平行呢？这不就是题目问的关键问题嘛。

别急，这就开始了！先给你个提示：当你看到一个几何题目，尤其是像面平行这种问题时，脑袋里就要开始想“平行”的意思了。

平行可不只是说它们不相交，还要注意它们“相似”的性质：距离相等，方向相同。

哎呀，你可以把平行看成是“一对双胞胎”，它们长得一模一样，无论在哪个地方，都会保持相同的步伐。

所以，如果一条线与一个面平行，那它就是在告诉我们这个面与另一个面之间，必然会保持一致的规律。

你想啊，两个平行的面一定不会有差距，不会发生交叉。

就像一对朋友走在马路上，一旦走得稳了，彼此间的距离就不会发生改变。

如何证明呢？举个简单例子，假设你有两个平面A和B，且有一条直线L与面A平行。

如果这条线L穿过面B，那么就可以得出一个结论——面A和面B一定是平行的。

为什么呢？因为，假设面A和面B不平行，那它们之间必定会有交点。

在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法一、两条直线平行的判定方法（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。

如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。

②三角形、梯形中位线定理。

③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。

④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。

（3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。

（5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。

（6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

（7）用向量证明。

二、一条直线和一个平面平行的判定（1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）（2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。

（3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.（线面平行的性质）。

（4）向量法。

三、两个平面平行的判定（1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义）（2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。

（3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。

（5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判定方法一、 两条直线垂直的判定（1） 在同一个明面内证明两条直线垂直可按照平面几何的有关定理和方法判定。

一、知识要点线线平行⇒线面平行线面平行的判定定理：如果直线外一条直线平行于直线内一条直线，那么这条直线和平面平行。

注：当直线与平面平行时，这条直线平行于平面内的无数条直线，而不是所有的直线。

线面平行⇒线线平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

面面平行的判定：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

注：垂直于同一条直线的两个平面平行。

三个两两相交的平面，它们的三条交线交于一点或两两平行。

二、巩固练习1.已知l 是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥βD ．若l ∥α，α∥β，则l ∥β2．(文)已知m 、n 是两条直线，α、β是两个平面，给出下列命题：①若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；③若n 、m 为异面直线，n ⊂α，n ∥β，m ⊂β，m ∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个3.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF ②AB 与CM 成60°③EF 与MN 是异面直线④MN ∥CD 其中正确的是( )A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③4．(2011·北京海淀期中)已知平面α∩β＝l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是( ) A ．若m ∥β，则m ∥l B ．若m ∥l ，则m ∥βC ．若m ⊥β，则m ⊥lD ．若m ⊥l ，则m ⊥β线面、面面平行的判定与性质5．(2011·安徽省合肥市高三教学质量检测)设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题错误的是()A．若a⊥α，b∥α，则a⊥b B．若a⊥α，b∥a，b⊂β，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b D．若a∥α，a∥β，则α∥β6.对于平面α和共面的直线m、n，下列命题是真命题的是()A．若m，n与α所成的角相等，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊂α，n∥α，则m∥n7．(2011·河南省郑州市模拟)设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是()A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b 8．(2011·青岛模拟)设两个平面α、β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为() A．3B．2C．1D．09．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为________．8．(2012·北京东城区综合练习)在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；④若平面α内的三点A、B、C到平面β的距离相等，则α∥β.其中正确命题的序号为________．10．(2011·浙江五校联考)已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：①若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n⊂γ，则m⊥n；③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β；④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n.其中正确命题的序号是________．11．(2012·四川文，6)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行12．(2012·东营市期末)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；②若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β.其中真命题的序号是________13.(2011·广东省广州市质检)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条14．(文)如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确．．．的是()A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台15.(2011·苏州模拟)下列命题中，是假命题的是()A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥aC．α∥β，γ∥δ，α、β与γ、δ的交线分别为a、b和c、d，则a∥b∥c∥dD．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件16．(2012·南昌二模)若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________．①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面．17．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号)．18.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是（）A.都平行B.相交C.在两个平面内D.至少和其中一个平行19．(文)(2011·广东揭阳一模)如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)若CD＝2，DB＝42，求四棱锥F－ABCD的体积．．20.如图，在四面体ABCD中，平面EFGH分别平行于棱CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．（1）求证：四边形EFGH是矩形．(2)点E在什么位置时，四边形EFGH的面积最大？21.如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE．22.如图，设AB、CD分别是平面α两侧的异面直线AB//α,CD//α,直线AC、AD、BC、BD 分别交α于点E、F、H、G，求证：EG与FH互相平分23.ABCD-A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=411BA,求BE1与DF1所成角的余弦值24.如图，A、B、C、D 是异面直线AB、CD上的点，线段AB=4，CD=4，M为AC的中点，N为BD 的中点，MN=3，求异面直线AB与CD所成角的余弦值.。