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贝叶斯估计PPT课件

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第五章贝叶斯决策PPT资料44页

第五章贝叶斯决策PPT资料44页
个样本，参数 的先验分布为共轭先验分
布 N(0, 2)，其中 2 已知，损失函数为
L(,x)10,,
求参数 的贝叶斯估计
例5.6 在新的止痛剂的市场占有率 的估计问题中
已给出损失函数 L(,x) 2( ,) 0, 1
药厂厂长对市场占有率 无任何先验信息。在市场
调查中，在n个购买止痛剂的顾客中有x个人买了新
我们约定，若已知
(1)有一个可观察的随机变量X，其密度函数 p(x )依赖于未知
参数 ，且 。
(2)在参数空间 上有一个先验分布
(3)有一个行动集 {a}。
在对 做点估计时，一般取；在对 做区间估计
时，行动a就是一个区间，的一切可能的区间构成行动 集 ；在对 作假设检验时，只有两个行动：接受和拒
一.平方损失函数下的贝叶斯估计
定理5.1 在平方损失函数L (,x) ( )下2 ，的贝叶 斯估计为后验均值，即 BxE(x)
定理5.2在加权平方损失函数 L ( ,x ) ( )2下，
的贝叶斯估计为
Bx
Ex Ex
定理5.3 在参数向量 (1,2,,k) 的场合下，对
多元二次损失函数 L(,)()Q()Q ,为正定矩
的止痛剂，试在后验风险准则下对 作出贝叶斯估
计。
例5.7 设样本x只能来自密度函数 p0 (x)或 p1(x)
中的一个，为了研究该样本到底来自哪个分布，
我们来考虑如下简单假设的检验问题：
H 0:x来 p 0(自 x)， H 1:x来 p 1(自 x)
损失函数用矩阵表示如下：
L
0 1
1 0
5.3 常用损失函数下的贝叶斯估计
个样本，其中 已知。
试在平方损失函数下寻求 1 的贝叶斯估计。

Bayes(贝叶斯)估计

Bayes(贝叶斯)估计

•
参数作为随机变量
• 条件分布： p(x1,x2,..xn | )
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几个学派（3）
• 信念学派：
• 带头人：Fisher
• 观点：概率是频率
•
主观不是概率，而是信念度
•
参数不是随机变量，仅是普通变量
• 似然函数： L( | x1,x2,..xn)
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批评1：置信区间
后验风险：
• Bayesian风险与后验风险
(L(,)p(x|) ()d)dx
• 后验分析最小＝>Bayesian风险最小
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两种常用损失函数：
• 平方损失：
L(,)()2
– 最小Bayesian风险估计：后验期望
• 点损失：
L(a,
)
0,|
a
|
1,|
a
|
– 最大后验密度估计
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• 3、联合分布密度－>条件分布密度
• p(x1,x2,..xn | )， 是随机变量
• 4、确定的先验分布() • 5、利用Bayesian公式求后验分布密度 • 6、使用后验分布做推断（参数估计、假设检验）
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例1：两点分布b(1,p)的
• 1. 联合分布：p(x|)nxx(1)nx
• 使得 h ( |r ) p (x |)* ( )与先验分布同类型
• 若p(x|)服从正态分布，选正态分布 • 若p(x|)服从两点分布，选Beta分布 • 若p(x|)服从指数分布，选逆Gamma分布
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Bayes统计推断问题
• 参数估计：
– 点估计 – 区间估计

《贝叶斯估计》PPT课件

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前面的分析总结如下：人们根据先验信息对参数θ
已有一个认识，这个认识就是先验分布π (θ )。通
过试验，获得样本。从而对θ 的先验分布进行调整，
调整的方法就是使用上面的贝叶斯公式，调整的结
果就是后验分布 ( x1,。, xn后) 验分布是三种信息 的综合。获得后验分布使人们对θ 的认识又前进一
1)
,
x

0,1, n
( x)
(n 2)
x (1 )nx ,0 1
(x 1)(n x 1)
即
X ~ Be(x 1, n x 1)
9
贝叶斯统计学首先要想方设法先去寻求θ的先验分布。 先验分布的确定大致可分以下几步： 第一步，选一个适应面较广的分布族作先验分布族， 使它在数学处理上方便一些，这里我们选用β分布族
步，可看出，获得样本的的效果是把我们对θ的认识
由π(θ)调整到 应建立在后验分布
( 。x1,所,以xn)对θ的统计推断就 ( 的x1,基础, xn上) 。
7
例1 设事件A(产品为废品)的概率为 ，即P(A) 。 为了估计 而作n次独立观察，其中事件A出现次数
为X，则有X服从二项分布 b(n, )
第三章 贝叶斯估计
§3.1贝叶斯推断方法 一 、统计推断中可用的三种信息
美籍波兰统计学家耐(E.L.Lehmann1894~1981) 高度概括了在统计推断中可用的三种信息：
1．总体信息，即总体分布或所属分布族给我们 的信息。譬如“总体是指数分布”或“总体是正 态分布”在统计推断中都发挥重要作用，只要有 总体信息，就要想方设法在统计推断中使用。
假设Ⅱ 当给定θ后，从总体p(x|θ)中随机抽取一个样 本X1，…，Xn，该样本中含有θ的有关信息。这种信 息就是样本信息。

贝叶斯统计及其推断(PowerPoint 123页)

贝叶斯统计及其推断(PowerPoint 123页)

1.先验矩法
历史数据得的估计值1，..., k
计算
1 +...+k
k
, S2
1 k 1
k
(i
i 1
)2
令E =
Var
(
)2 (
1)
S2
解得 , 的一个估计 ，
先验分布的确定
2.利用先验分位数
若历史经验得 ( )的下P1和上P2分位数L和U
则有
L 0
( ) 1(1 ) 1d ( )T ( )
解：m(x) p(x, )d p(x | ) ( )d , ( | x) p(x, ) / p(x, )d p(x | ) ( ) / m(x).
求解的例子
设x b(n, ), ~ U (0,1).求m(x), ( | x)
解：m(x)
1 0
Cnx
x
(1
)nx
1d
Cnx
函数为P(x)=c.h(x)
则称h(x)为P(x)的核
由于 ch(x)dx 1(或 ch(x) 1) x
c
1
从而P(x) h( x)
h(x)dx
h(x)dx
即P( x)由核唯一确定，
除了相差一个常数倍外，核也由P(x)唯一确定
计算的简化---边缘密度的核
例3.1.设x ~ N (1, 4)
可信区间——选择标准
由上例知的1 可信区间a, b不唯一
选择区间长度最短的。假如，某人年龄的两个
1 可信区间为30，40和38，41，则38，41更好，
精度更高，信息更精确
可信区间——选择标准
a, b为1 可信区间，则
b
a ( | x)d 1

贝叶斯统计ppt课件

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29
二 参数的Bayes点估计
（3）后验中位数估计
若 Me是后验分布h(θ| x )的中位数， 则 Me称为θ的后验中位数估计。即若
u0.5 h( x)d 0.5
则后验分布中位数估计
Me u0.5
30
二 参数的Bayes点估计
以上三种估计统称θ的Bayes估计，记为
或简记B 为 。它们 皆是样本观察值
18
历史迭代图
不收敛 收敛
19
(2)观察自相关性图 （m）
自相关性图用于描述（m）序列在不同迭代
延迟下的相关性，延迟i的自相关性是指相 距i步的两迭代之间的相关性。具有较差的 性质的链随着迭代延迟的增加会表现出较 慢的自相关衰弱。
20
21
22
23
Bayes Bayes统计推断
Bayes统计推断概述 参数的Bayes点估计 Bayes区间估计 Bayes假设检验
选择检验统计量，确定抽样分布，等等。
41
四 Bayes假设检验
Bayes假设检验不同型：
简单假设 简单假设
复杂假设 复杂假设 假单假设 复杂假设
42
四 Bayes假设检验
Bayes因子
设两个假设Θ0，Θ1的先验概率分布为π0与π1，
即：
0 P( 0 ),1 P( 1)
则 0 1 称为先验概率比。
3
（一）预备知识
4
5
（二）基本思想
6
（三）常用MCMC算法 Gibbs抽样（吉布斯采样算法）
7
8
立即更新的Gibbs抽样
每次迭带的时候 的一些元素已经被跟新了，如果在更
新其他的元素时不使用这些更新后的元素会造成一定程度 的浪费。事实上， Gibbs抽样 可通过在每一步都利用近似 得到的其他元素的值来获得更好的效果。这种方法改进了 练的混合，换句话说，链能更加迅速，更加详尽的搜索目 标分布的支撑空间。

6.4贝叶斯估计

6.4贝叶斯估计

由此即可利用贝叶斯公式求出 的后验分布。具体 如下：先写出X和 的联合分布
然后求X的h 边(x ,际) 分 n 布x x(1 )n x , x 0 ,1 , ,n , 0 1
n 1
x 0
x(1 )n xd n x (x 1 ) ( n ( n 2 )x 1 )
某些场合，贝叶斯估计要比极大似然估计更合理 一点。比如: “抽检3个全是合格品”与“抽检10 个全是合格品”，后者的质量比前者更信得过。 这种差别在不合格品率的极大似然估计中反映不 出来（两者都为0），而用贝叶斯估计两者分别是 0.2 和 0.083。 由此可以看到，在这些极端情况下，贝叶斯估计 比极大似然估计更符合人们的理念。
• 选择一个模型 f ( x ; )（在此处记为 f ( x | ) ） 来反映在给定参数 情况下我们对x的信念。
• 当得到数据 X1, X2,…Xn 后，我们更新我们的信
念并且计算后验分布 f(|X1,...,Xn) 。
• 从后验分布中得到点估计和区间估计。
整理ppt
6.4.2 贝叶斯公式的密度函数形式
应用贝叶斯公式即可得到后验分布
(|x ) h m (x ( ,x )) (2 /A )1 /2 e x p 2 1 /A ( B /A )2
这说明在样本给定后， 的后验分布为
N(B/A,1/A)，即 |x~Nnxn 0 0 2 2 22,n0212 整理ppt
后验均值即为其贝叶斯估计：
整理ppt
例6.4.3 设x1, x2 , …, xn是来自正态分布
N(,02)的一个样本，其中02已知， 未 知，假设 的先验分布亦为正态分布 N( , 2)，其中先验均值和先验方差 2均 已知，试求 的贝叶斯估计。

贝叶斯统计ppt课件

3
（一）预备知识
4
5
（二）基本思想
6
（三）常用MCMC算法 Gibbs抽样（吉布斯采样算法）
7
8
立即更新的Gibbs抽样
每次迭带的时候 的一些元素已经被跟新了，如果在更
新其他的元素时不使用这些更新后的元素会造成一定程度 的浪费。事实上， Gibbs抽样 可通过在每一步都利用近似 得到的其他元素的值来获得更好的效果。这种方法改进了 练的混合，换句话说，链能更加迅速，更加详尽的搜索目 标分布的支撑空间。
x=(x1,x2,…,xn)T 的函数，即
(x) (x1,x2, , xn )
在一般场合下，这三种估计是不同的，
当后验分布h(θ| x )对称时，这三种估计 是相等的。
31
三 Bayes区间估计
经典区间估计
参数θ是未知常数（非随机变量），其置信 度为1-α的区间估计[θL ,θU]满足
P(L U ) 1
理解为进行了大量重复试验，随机区间 [θL ,θU ]包含常数θ的概率为1-α （θL ,Θu样本x的 函数，是随机变量）。
32
三 Bayes区间估计
经典统计学中，对给定的样本容量n，若进 行多次反复的抽样，得到了众多个不同的 区间，其中每个区间，要么包含θ的真值， 要么不包含θ的真值。
=
0 0
建议分布为N( 0 ，I)，再由它生成一个随机向量作为 0
1，然后看接受概率a,设先验 ( )为均匀分布，设 p(x,x' )=p（x'，x），则a min(1, ( ' ))
( )
15
三、MCMC方法的收敛性诊断
要多久链才可以不依赖于其初始值以及需 要多久该链能完全挖掘目标分布函数支撑 的信息。

十大经典算法朴素贝叶斯讲解PPT



在人工智能领域，贝叶斯方法是一种非常具有 代表性的不确定性知识表示和推理方法。
贝叶斯定理：

P(A)是A的先验概率或边缘概率。之所以称为“先验”是因为它不考 虑任何B方面的因素。 P(A|B)是已知B发生后A的条件概率，也由于得自B的取值而被称 作A的后验概率。 P(B|A)是已知A发生后B的条件概率，也由于得自A的取值而被称 作B的后验概率。 P(B)是B的先验概率或边缘概率，也作标准化常量（normalized constant）.
购买电脑实例：

购买电脑实例：
P(X | buys_computer = “no”) P(buys_computer = “no”) = 0.019×0.357 = 0.007

因此，对于样本X，朴素贝叶斯分类预测 buys_computer =”yes” 特别要注意的是：朴素贝叶斯的核心在于它假设向量 的所有分量之间是独立的。
扩展：


该算法就是将特征相关的属性分成一组，然后假设不 同组中的属性是相互独立的，同一组中的属性是相互 关联的。 （3）还有一种具有树结构的TAN（tree augmented naï ve Bayes）分类器，它放松了朴素贝叶斯中的独 立性假设条件，允许每个属性结点最多可以依赖一个 非类结点。TAN具有较好的综合性能。算是一种受限 制的贝叶斯网络算法。
Thank you!
贝叶斯算法处理流程：
第二阶段——分类器训练阶段： 主要工作是计算每个类别在训练样本中出现 频率以及每个特征属性划分对每个类别的条件 概率估计。输入是特征属性和训练样本，输出 是分类器。 第三阶段——应用阶段：

Hale Waihona Puke 这个阶段的任务是使用分类器对待分类项进行分类 ，其输入是分类器和待分类项，输出是待分类项与类 别的映射关系。

《贝叶斯决策理论》PPT课件

常表示为
p (x )~ N (, )
多元正态分布的性质
等密度点的轨迹是超椭球面
R 1
R 2
R 22 (12 22) p(x2)dx
R 1
P ( 1)(11 22) (21 11) p(x 1)dx (12 22) p(x2)dx
R 2
R 1
一旦R 1 和 R 2 确定，风险 R 就是先验概率 P (1 ) 的线性函数，可表
示为
RabP(1)
a22(1222) p(x2)dx
R 11P(1x)12P(2 x)p(x)dx
R1
21P(1x)22P(2 x)p(x)dx
R2
R11P(1)p(x1)12P(2)p(x2)dx
R 1
21P(1)p(x1)22P(2)p(x2)dx
R2
P (2 ) 1 P (1 ) p ( x 1 ) d x p ( x 1 ) d x 1
2.3 正态分布时的统计决策
贝叶斯分类器的结构可由条件概率密度 和先验概率来决定
最受青睐的密度函数——正态分布，也称 高斯分布
合理性：中心极限定理表明，在相当一般的 条件下，当独立随机变量的个数增加时，其 和的分布趋于正态分布
简易性
2.3.1 正态分布的定义及性质
单变量正态分布由两个参数完全确定，即 均值和方差
模式识别的目的就是要确定某一个给定 的模式样本属于哪一类
可以通过对被识别对象的多次观察和测
量，构成特征向量，并将其作为某一个
判决规则的输入，按此规则来对样本进 行分类
作为统计判别问题的模式分类
在获取模式的观测值时，有些事物具有 确定的因果关系，即在一定的条件下， 它必然会发生或必然不发生
例如识别一块模板是不是直角三角形，只要 凭“三条直线边闭合连线和一个直角”这个 特征，测量它是否有三条直线边的闭合连线 并有一个直角，就完全可以确定它是不是直 角三角形

全概率公式和贝叶斯公式(PPT课件)


则称 为 A1, A2 , An
样本空间 S 的一个划分。
BA1
A1
BA2
A2
…... BAn …... An
S
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第一章 概率论的基本概念
全 概 率 公 式：
§3条件概率
设随机事件 A1, A2 , , An 以及 B
满足：
1．A1, A2, , An 两两互不相容；


第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
例6 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级 射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、 三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标 的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今 随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射
中设目B标的概该率小组 ．在比赛中射中目 标
2． An S 或 B An ；
n 1
n 1
3．PAn 0 n 1, 2,
则有
PB




P
An
PB
An

n1
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全概率公式第的一章 概率论的基本概念 证明
§3条件概率
由条件：

B An
B = BA1 BA2 BAn
P( A) 0.0125
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第一章 概率论的基本概念
例10（续）
§3条件概率
元件制造厂 1
P( A| Bi )
P( Bi )
0.02 × 0.15
2
0.01 × 0.80
3
0.03 × 0.05
P(B1| A)

P( A| B1) P(B1) P( A)
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贝 叶 斯 统 计(Bayesian Statistics)
（Bayes，Thomas）(1702─1761)
贝叶斯是英国数学家.1702年生于伦敦；1761年4月17日 卒于坦布里奇韦尔斯.
贝叶斯是一位自学成才的数学家.曾助理宗教事务，后来 长期担任坦布里奇韦尔斯地方教堂的牧师.1742年，贝叶斯被 选为英国皇家学会会员.
如今在概率、数理统计学中以贝叶斯姓氏命名的有贝叶 斯公式、贝叶斯风险、贝叶斯决策函数、贝叶斯决策规则、贝 叶斯估计量、贝叶斯方法、贝叶斯统计等等.
贝叶斯方法(Bayesian approach )
• 贝叶斯方法是基于贝叶斯定理而发展起来用于系 统地阐述和解决统计问题的方法(Samuel Kotz和 吴喜之,2000)。
P(
i) n
i
,i
1,2,...,n
若这个分布的概率部 绝分 大在 0附近,那么,该产品为 "信得过产"品 ,
可见假定以后每天取 都几 抽件产品与历史的 资不 料合格率分布一 ,
使用单位就可以确"认 免为 检产品 ".
基于上述三种信息（总体信息、样本信息和先验信息）进行的 统计推断被称为贝叶斯统计学。它与经典统计学的主要差别在于 是否利用先验信息。贝叶斯统计学派把任意一个未知参数都看成 随机变量，应用一个概率分布去描述它的未知状况，该分布称为 先验分布。
信息处理
样 本 信 息
先 验 信 息 贝 叶 斯 定 理
后 验 信 息
统 计 推 断
从概率论的Bayes公式谈起
设自然状态有k种， 1，2，…， k， P（i）表示自然状态i发生的先验概率分布， P（x︱i）表示在状态i条件，事件为x的概 率。 P（i ︱x ）为i发生的后验概率。
全概率公式：P（x）为x在各种状态下可能出现
某学生第一次看到他的数学老师,即有反应:老师 30岁到40之间,极可能35岁左右(左右可理解为正负 3岁,极可能可理解为90%的可能).
P(32≤X≤38)=0.90
三种信息
例2:"免检产品 "的确定
工厂每天都抽取几品 件,以产估计不合格率 ,根据历史资,料
对过去的不合格率一 构个 造分布 (先验分布 )
总体信息 样本信息
而贝叶斯学派认为是三种信息:
总体信息 样本信息 先验信息
总体信息
即总体分布或总体所属分布族给我们的 信息。譬如，“总体是正态分布”就给我 们带来很多信息：他的密度函数是一条钟 形曲线；他的一切一阶距都存在；有关正 态变量（服从正态分布随机变量）的一些 事件的概率可以计算；由正态分布可以导 出分布，分布和分布等重要分布，还有许 多成熟的点估计、区间估计和假设检验方 法可供我们选用。总体信息是很重要的信 息，为了获得此信息，往往耗资巨大。
先验信息
即在抽样之前有关统计问题的一些信息，一般说 来，先验信息主要来源于经验和历史资料。
例1：有一英国妇女，对奶茶能辨别出先倒进茶 还是先倒进奶，做十次试验她都正确说出。 若H0 :每次成功P概 0率 .5,那么十次猜中的概 P10(10)0.5100.00097,这 66是几乎不可能发 小概率事 ,可件 见应拒 H0,绝 P0.5.是经验在起 . 作
的概率综合值。
K
全概率公 P(x式 ) ： P(x|i)P(i) i1
Bay公 es式 (后验概率 )： P 公 (i |式 x)
P(x|i)P(i)
K
P(x|i)P(i)
i1
注:把事件i，x看为随机变量,上公式则为Bayes后验分布
§1.2贝叶斯公式的密度函数形式
1、 依 赖 于 参 数 的 密 度 函 数 在 经典 统 计 中 记 为
样本信息
多愈 好。人们希望对样本的加工和处理对总体 的某些特征作出较为精确的统计推断。没 有样本就没有统计学可言。这是大家都理 解的事实。
样本信息
基于上述两种信息进行的统计推断称为经典统计学， 它的基本观点是把数据（样本）看成是具有一定概率 分布的总体，所研究的对象是这个总体而不局限于数 据本身。这方面最早的工作是高斯 (Gauss,C.F.1777~1855）和勒让德 （Legendre,A.M.1752~1833）的误差分析，正态分 布和最小二乘法。从十九世纪末到二十世纪上半叶， 经皮尔逊（Pearson,K.1857~1936）、费歇 （Fisher,R.A.1890~1962）奈曼（Neyman.J.）等 人的杰出工作创立了经典统计学。随着经典统计学的 持续发展与广泛的应用，它本身的缺陷也逐渐暴露出 来了。
这个样本是具体的，人们能看得到的，此样本 x 发生的概
§1.2贝叶斯公式的密度函数形式
3. 从贝叶斯观点看，样本 x (x1, xn ) 的产生要分两步
进行。首先设想从先验分布 ( ) 产生一个样本 ' ，这一步 是“老天爷”做的，人们是看不到的，故用“设想”二字。
第二步是从总体分布 p(x | ' ) 产生一个样本 x (x1, xn ) ，
• 贝叶斯推断的基本方法是将关于未知参数的先 验信息与样本信息综合，再根据贝叶斯定理，得 出后验信息，然后根据后验信息去推断未知参数 (茆诗松和王静龙等,1998年)。 “贝叶斯提出了一种归纳推理的理论(贝叶斯定 理)，以后被一些统计学者发展为一种系统的统计 推断方法，称为贝叶斯方法.”──摘自《中国大百 科全书》（数学卷）
第一章先验分布与后验分布
统计学有两个主要学派:频率学派与贝叶斯学派. 它们之间有异同,贝叶斯统计是在与经典统计的争 论中发展起来,主要的争论有: 1.未知参数可否作为随机变量? 2.事件的概率是否一定的频率解释? 3.概率是否可用经验来确定? ……….
§1.1 先介绍三种信息的概念
经典统计学派规定统计推断使用两种信息:
p(x; ) ，它表示在参数空间 {} 中不同的 对应不 同的分布。可在贝叶斯统计中记为 p(x |) ，它表示 在随机变量 给定某个值时，总体指标 X 的条件分 布。
2、 根据参数 的先验信息确定先验分布 () (prior
distribution)。这是贝叶斯学派在最近几十年里重点 研究的问题。已获得一大批富有成效的方法。