全概率公式与贝叶斯公式_图文.ppt

P A1 A2 A1 A2 P A1 A2 P A1 A2


P A1 P A2 | A1 P A1 P A2 | A1 2 1 3 2 2 5 4 5 4 5
Henan Polytechnic University §1.6
P A P ( Bi ) P ( A ｜Bi )
i 1
n
全概率公式
Henan Polytechnic University §1.6 全概率公式与贝叶斯公式 10
例：有甲、乙两个抽奖箱，甲箱中有3张无奖票2张有奖票，
乙箱中有4张无奖票1张有奖票，某人先从甲箱中抽出一张奖
票放进乙箱，再从乙箱中任意抽出一张，问最后抽到有奖票
判断到底得了那种疾病 若这 n 种疾病都会导致事件 A {体温异常升高 }发生， 且 A 已发生，则称 P( Bi | A) (i 1, 2, , n) 为后验概率。
① 后验概率可以通过 Bayes 公式进行计算
P Bi | A P ( Bi ) P ( A | Bi )
Bayes公式的重要
2
Henan Polytechnic University
§1.6
全概率公式与贝叶斯公式
16
问题：某人从三个箱子中任选一个箱子，再从中任取一个球， 观察知是红球，则该红球取自1号箱的概率是多少？
1
2
3
Henan Polyte6
全概率公式与贝叶斯公式
17
分析： 设 A={ 取得红球 }, Bi ={ 任取的一箱为 i 号箱 } i 1, 2, 3.
B2
A
B3
Henan Polytechnic University

B3
i 1
P(原因) P(结果 | 原因)
A
Bn
Bn1
2019/3/19
概率论与数理统计
14
设Ai ={第i 个人抽到入场券}, i 1, 2, 3, 4, 5
则Ai ={第i 个人未抽到入场券}, i 1, 2, 3, 4, 5 求P(Bi ) ?
2 P( A1 ) 5
P( A2 )=P(A1 )P(A2|A1 ) P( A1 )P( A2|A1 )
A1 A2
2019/3/19
概率论与数理统计
16
说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个
复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件 的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终 结果.
B2
B1
A
B3
Bn1
Bn
2019/3/19
概率论与数理统计
17
例1 次品检验问题 箱中装有甲乙丙三个灯泡厂生产的同种型号的
2
S
P( A1 ) 5
A1
A1
PP((AA22)) =P(A2S) =P(A2 A1 A2 A1 )
A2
有限可加性
=P(A2 A1 ) P( A2 A1 )
乘法定理
==PP((AA11))PP((AA22||AA11)) PP((AA11))PP((AA22||AA11))
最简单的全概率公式
2019/3/19
= 1 0.1 1 0.2 1 0.3
2
4
4
=0.175
“执因求果”
2019/3/19
概率论与数理统计
19
已知这个灯泡是次品,现在追究是哪个厂的责任大
甲厂生产 原因: B1 “执果索因” P(Bi | A)

由全概率公式得
α = P (B )
= P ( A0 ) P ( B A0 ) + P ( A1 ) P ( B A1 ) + P ( A2 ) P ( B A2 ) = 0.94
1.5.2 贝叶斯公式
(2) 由贝叶斯公式 P ( A0 ) P ( B A0 ) β = P ( A0 B ) = P ( B)
i =1 n
n
n
n
i =1
由假设及乘法公式得到
P ( B ) = ∑ P ( BAi ) = ∑ P ( Ai )P ( B Ai ).
i =1 i =1 n n
利用全概率公式求事件B的概率， 利用全概率公式求事件 的概率，关键是寻求完 的概率 备事件组A1，A2，…，An; 备事件组 ， 寻求完备事件组A 寻求完备事件组 1 ， A2 ， …， An 相当于找导致 ， 事件B发生的所有互不相容的事件 发生的所有互不相容的事件． 事件 发生的所有互不相容的事件．
(1.8)式称为贝叶斯公式． 式称为贝叶斯公式． 式称为贝叶斯公式
1.5.2 全概率公式知： 条件概率公式、乘法公式及全概率公式知
P ( BAi ) P ( Ai B ) = P( B)
= P ( B Ai ) P ( Ai )
n
,
j
∑ P( B A )P( A )
下面就介绍为解决这类问题而引出的公式： 下面就介绍为解决这类问题而引出的公式：
Bayes(贝叶斯 公式 贝叶斯)公式 贝叶斯
1.5 全概率公式和贝叶斯公式
1.5.2 贝叶斯公式
定理1.3 设试验 的样本空间为Ω ，B为E的事件， 设试验E的样本空间为 的事件， 定理 为 的事件 A1，A2，…，An为完备事件组，且P(B) > 0， ， 为完备事件组， ， P(Ai) > 0，i = 1，2，…，n，则 ， ， ， ， ，

计算。
容易
一球，问此球是红球的概率？ 在用途上有区别：互斥通常用于概率的加法运算,
P(ĀB)=P(Ā)P(B/Ā)=0.
=0.
解：设A ——从甲袋放入乙袋的是白球； 13)就称为贝叶斯公式。
求:这颗螺钉由I, II, III号机器生产的1概率各为多少?
A ——从甲袋放入乙袋的是红球； 各台机器生产的螺钉的次品率分别为3%, 2%和1%。
由上式不难看出: “全部”概率P(B)可分成许多“部分” 概率 P(AiB) 之和。
它的理论和实用意义在于:
在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易, 但 总可以适当地构造一组两两互斥的Ai ，使B 伴随着某个Ai的出现而出现，且每个 P(AiB) 容易计算。可用所有 P(AiB)之和计算P(B)。
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式。
P(B)=P(AB)+P(ĀB)=P(A)P(B/A)+P(Ā)P(B/Ā) =0.665+0.24=0.905
定义 :事件组A1，A2，…，An (n可为)，称为样 本空间Ω的一个划分，若满足：
n
(i) Ai ;
i1
(ii)AiAj ,(i j),i, j 1,2,...,n.
… A2 A1
某一事件B的发生有各种可能的原因Ai (i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则 B发生的概率是
P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)
每一原因都可能导致B发生，故 B发生的概率是各原因引起B发生概 率的总和，即全概率公式。
例6 ：12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3 个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球 都是新球的概率。
由Bayes公式:
P(A1
B)=P(A1B)

= 0.087.
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有 人 个具有阳性反应的人中大约只有87人 即平均 个具有阳性反应的人中大约只有 患有癌症. 患有癌症
课堂练习
社会调查把居民按收入分为高、 低三类, 社会调查把居民按收入分为高、中、低三类 调查结果是这三类居民分别占总户数的10%， 调查结果是这三类居民分别占总户数的 ， 60%，30%，而银行存款在一万元以上的户数 ， ， 在这三类居民中分别为100 %，60%， 在这三类居民中分别为100 %，60%，5%. 1. 求存款在一万元以上的户数在全体居民中 的比率. 2. 若已知某户的存款在一万元以上，求该户 若已知某户的存款在一万元以上， 属中等收入家庭的概率. 属中等收入家庭的概率
= P( A B0 ) P( B0 ) + P( A B1 ) P( B1 ) + P( A B2 ) P( B2 )
≈ 0.94
P( AB1 ) P( A B1 ) P ( B1 ) = P( B1 A) = P( A) P ( A)
≈ 0.0848
i =1 n
全概率公式
证明 B = BΩ = B I ( A U A U L A ) 1 2 n
= BA1 U BA2 U L U BAn .
由 Ai A j = ∅ ⇒ ( BAi )( BA j ) = ∅
⇒ P ( B ) = P ( BA1 ) + P ( BA2 ) + L + P ( BAn ) ⇒ P ( B ) = P ( A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P ( B | A2 ) + L + P ( An ) P ( B | An )
A2

P(A1)
0.26
13
例如2：试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个
答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答
案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该
考生会做这道题的概率为0.85.
(1)求该考生选出此题正确答案的概率；
(2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．
如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起
的概率，则用Bayes公式 即求 PAi B
P ( B1 | A)


0.397.
P ( A)
P ( A)
0.956
例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的干
扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收
为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为
0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的.
i 1
2. 贝叶斯公式：
设A1 ,A2 ,,An是一组两两互斥的事件,A1
A2

An ,且P ( Ai ) 0 ,
i 1,2,,n,则对任意的事件B ,P ( B) 0 ,有
P ( Ai B ) P ( Ai ) P ( B | Ai )
P ( Ai ) P ( B | Ai )
P(B)
0.475
1
=
19
课堂小结：
1. 全概率公式：
一般地,设A1 ,A2 , ,An是一组两两互斥的事件,A1
A2

An ,且
P ( Ai ) 0,i 1,2, ,n,则对任意的事件B ,有

|
A2 )
0.75 0.9
0.9
0.75 0.9 0.25 0.3
P(A1), P(A2)通常(tōngcháng)称为验前概率，P(A1|B), P(A2|B)称为验后概率。
第十一页，共十八页。
例5.某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占25%，乙厂占35%, 丙厂占40%，且各厂的次品率分别为5%，4%，2%。如果消费者已经买到一个
0.3623
i1
类似(lèi sì)可得 P(A2|B)=0.4058， P(A3|B)=0.2319．
第十二页，共十八页。
例6. 对目标进行(jìnxíng)三次独立射击，设三次命中率分别是0.4，0.5，
0.7．已知目标中一弹、二弹、三弹被击毁的概率分别是0.2，0.6 和0.8．
求（１）炮击三次击毁目标的概率； （２）已知目标被击毁，求目标中二弹的概率．
§１.5 全概率(gàilǜ)公式与贝叶斯公式
一、全概率(gàilǜ)公式引入 二、全概率公式推导
三、全概率公式应用
四、贝叶斯公式及其应用
第一页，共十八页。
全概率(gàilǜ)公式与贝叶斯公式
一、全概率公式(gōngshì)问题引入
引例(yǐn lì)1. 设甲袋有8个白球7个红球，乙袋有5个白球3个红球，现从 甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2 个红球的概率。
袋任取２个球放入乙袋，再从乙袋任取２球，求从乙袋取出２个白球的 概率．
②设Ａ、Ｂ、Ｃ三车间生产同一种(yī zhǒnɡ)产品，产量各占25％、35％、40％， 次品率分别为5％、4％、6％，现从中任取１件产品，已知取得的是次品，问
它是Ａ、Ｂ、Ｃ车间生产的概率分别是多少？

的所有的不同的原因． 根据全概率公式，有
29 P B1 P Ai P B1 Ai . 90 i 1
21

3


(2)问题归结为求 P B1 B2 . 由条件概率的 定义可得


PB B . (1.7) PB PB B PB B 下面我们先求 P B B . 由条件概率的本来
是 B 发生的所 有的不同的原 因
A1 A2
An
B
全概率公式 解决由因索 果问题
原因事件
结果事件
每个原因都可能导致B发生，故B发生的概率 是各原因引起B发生的概率的总和，“全概率公式” 之“全”取为此意.
4
自身努力 A1
原
学习环境良好 A2

学生成 绩好 B
因
教师教学水平高An
P ( B ) P ( Ai ) P B Ai .

2
1 2 1 3 1 2

6 5 4 6 2 5 2 6 5 2 1 6 3 . 8 7 6 8 7 6 8 7 6 8 7 6 4
9
小结例1.22和例1.23的结果：
3 P A1 P A2 P A3 . 4 ◆从件数一定的正品和次品组成一批产品
P ( B ) P ( Ai ) P B Ai .
i 1
n
A1
A2
A3 B A4 A5
A6 Ω A7
A8
2
证
n n B B B Ai Ai B i 1 i 1
分配律 A1B, A2 B,, An B 两 两 不 相 容 ，
同理可得，

则称 为 A1, A2 , An
样本空间 S 的一个划分。
BA1
A1
BA2
A2
…... BAn …... An
S
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第一章 概率论的基本概念
全 概 率 公 式：
§3条件概率
设随机事件 A1, A2 , , An 以及 B
满足：
1．A1, A2, , An 两两互不相容；


第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
例6 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级 射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、 三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标 的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今 随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射
中设目B标的概该率小组 ．在比赛中射中目 标
2． An S 或 B An ；
n 1
n 1
3．PAn 0 n 1, 2,
则有
PB




P
An
PB
An

n1
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全概率公式第的一章 概率论的基本概念 证明
§3条件概率
由条件：

B An
B = BA1 BA2 BAn
P( A) 0.0125
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第一章 概率论的基本概念
例10（续）
§3条件概率
元件制造厂 1
P( A| Bi )
P( Bi )
0.02 × 0.15
2
0.01 × 0.80
3
0.03 × 0.05
P(B1| A)

P( A| B1) P(B1) P( A)

解为若干个简单事件的概率计算问题,最后利用概率的可加性求出最终结
果.用树状图表示如下:
【变式训练2】 袋中有大小相同的a个黄球、b个白球.现不放回地摸球两
次,每次摸出1个球,问第2次摸到黄球的概率是多少?
解:设A表示第2次摸到黄球,B表示第1次摸到黄球,则

-1



P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=+ ·
被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,则该飞行物必定被击落,求
该飞行物被击落的概率.
解:设A表示该飞行物被击落,Bi表示该飞行物被i人击中,i=1,2,3,所以
P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,
P(A|B3)=1,且A=B1A+B2A+B3A.
设Hi表示该飞行物被第i人击中,i=1,2,3,
1
1
2
2
2×0.02
3
2×0.02+1×0.01=0.8.
3
3
【规范解答】
全概率公式的应用
【典例】 采购员要购买10个一包的电器元件.他的采购方法是:从一包中
随机抽查3个,若这3个元件都是正品,则他才买下这一包.假定含有4个次品
的包数占30%,而其余包中各含有1个次品.求采购员拒绝购买的概率.
审题策略 设出各相关事件,根据题意得到各相关事件的概率,把所求概率
B 表示该员工为女员工,
则
12+24
P(A)= 50
=
18
10+4
,P()=
25
50
=
7
,且
25
12
P(B|A)=12+24

P A2 A3 P A2 P A3 P A1 A3 P A1 P A3 P A1 A2 A3 P A1 P A2 P A3
则称事件A1 , A2 , A3相互独立。
利用数学归 纳法，可把 定理1推广 至有限多个 事件的情形
解 记
A { 顾客买下该箱玻璃杯 }
Bi { 箱中恰有 i 件残次品 }
（ i 0,1, 2 ）
显然, B0 , B1 , B2为的的一个完备事件组。由题意
P( B0 ) 0.8 P( B1 ) 0.1 P( B2 ) 0.1 P( A B0 ) 1 4 4 C19 4 C18 12 P( A B1 ) 4 P ( A B2 ) 4 5 C 20 C 20 19
0 P AB P A 0
可知P AB 0，这时(1)式自然成立。
定义1
设A, B是二事件，如果满足等式P AB P APB 则称事件A, B相互独立，简称A, B独立。
由前面的讨论可知，若P A 0
PB | A PB
若 P A 0或P( A) 1,
（1）由全概率公式
4 12 a P( A) P( A Bi ) P( Bi ) 0.8 1 0.1 ＋0.1 0.94 5 19 i 0
2
（2）
b P( B0 A)
P( A B0 ) P( B0 ) P( A) 0.8 0.85 0.94
二、贝叶斯公式
解 设B1 , B2 分别表示“利率下调”和“利率不变”
这两个事件, A表示“该支股票上涨”，B1 , B2 是导致A发生的原因，且
B1 B2
故由全概率公式

1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？
2. 检出阳性是否一定患有癌症?
1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？
如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率
P(C)=0.005
患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性
反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的
概率为
P(C｜A)= 0.1066
往往可以简化计算.
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式.
某一事件B的发生有各种可能的原因 (i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起， 则B发生的概率是
P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)
每一原因都可能导致B发生， 故B发生的概率是各原因引起B发生
概率的总和，即全概率公式.
由此可以形象地把全概率公式看
j 1
直观地将Ai 看成是导致随机事件B发生的 各种可能的原因，则P(Ai)可以理解为随机事 件 Ai 发 生 的 先 验 概 率 (a priori probability). 如 果 我 们 知 道 随 机 事 件 B 发 生 这个新信息，则它可以用于对事件Ai发生的概 率进行重新的估计.事件P(Ai|B)就是知道了新 信息“A发生”后对于概率的重新认识，称为 随 机 事 件 Ai 的 后 验 概 率 (a posteriori
P(B) P(B | A)P(A) P(B | A)P(A)
p 1 (1 p) 4 p 1
5
5
SUCCESS
THANK YOU
2023/10/20
得到:
P(A | B) P(AB) 5 p P(B) 4 p 1
例如，若 p 1 2
则 P(A | B) 5 6
这说明老师们依据试卷成绩来衡 量学生平时的学习状况还是有科学依据的.

加权平均
8
例2 袋中有a个白球b个黑球，不还原摸球两次，问第 二次摸出白球的概率为多少？ 解 分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，
由全概率公式,
P ( B ) P ( A )P ( B A ) P ( A )P ( B A )

a ab

a1 ab1

b ab
ห้องสมุดไป่ตู้

a ab1

0 . 0004 0 . 95
0 . 0038 .
5

0 . 0004 0 . 95 0 . 9996 0 . 1
因此，虽然检验法相当可靠，但被诊断为患肝癌的 人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患 肝癌的比例相当小。当然，医生在公布某人患肝癌 之前，是不会只做一次或一种检验，还会辅以其它 检验手段。
1
公式的理解：
全概率公式：P A
P B P A | B 由 因 索 果 .
i i i
n
B a ye s 公 式 ( 1 7 6 3 年 ） ： P B i | A
P Bi P A | Bi
P B P A | B
i i i
P ( A B )P (C A B ) P ( A B )P (C A B )

a a
ab ab1 ab2 b a1

a1

a2

b b
ab ab1 ab2 ab ab1 ab2 b1 a

a

a1
ab ab1 ab2 a . ab
P ( B A ) 0 . 90 ， 又 设 人 群 中 患 肝 癌 的 比 例 为

贝叶斯公式及其应用
【例 2】 一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此 种疾病的人群中，通过化验有 95%的人呈阳性反应，而健康的人通 过化验也会有 1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的 0.5%.若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？
[解] 设 A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种疾病”，则 P(A)＝
解题．(易错点)
解题，提升数学运算的素养.
情境 导学 探新 知
有三个罐子，1 号装有 2 红 1 黑球，2 号装有 3 红 1 黑球，3 号 装有 2 红 2 黑球．某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取 得红球的概率．
问题：如何求取得红球的概率？
1．全概率公式 (1)P(B)＝__P_(_A_)P__(B__|A_)_＋__P_(_－A__)P__(B__|－A__)____； (2)定理 1 若样本空间 Ω 中的事件 A1，A2，…，An 满足： ①任意两个事件均互斥，即 AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
从而 P(A)＝P(A|D1)P(D1)＋P(A|D2)P(D2)＋P(A|D3)P(D3)＝0.387 5×0.967 7＋0.262 5×0.8＋0.35×0.5≈0.76.
由贝叶斯公式得
P(D1|A)＝PA|DP1AP D1＝0.387
5×0.967 0.76
7≈0.493
4，
P(D2|A)＝PA|DP2APD2＝0.2602.756×0.8≈0.276 3，
(1)一般地，当 0＜P(A)＜1 且 P(B)＞0 时，有
P(A|B)＝PAPPBB |A PAPB|A

西南财经大学天府学院
0.8
0
0 .2
0 .1
1
0 .9
【例9】甲、乙两台机床，消费数量很多的同一种产品， 根据已有资料及阅历知道各机床产量占总产量的比例 及各机床产品的废品率，如今从这批产品中随机地抽 取一件，发现它是废品，判别它是由哪台机床消费的。
西南财经大学天府学院
例如，某地发生了一个案件，疑心对象有 甲、乙、丙三人.
在不了解案情细节(事件B)
偏小
之前，侦破人员根据过去 的前科，对他们作案的能够性 丙 乙 甲
有一个估计，设为
P(A1) P(A2) P(A3)
但在知道案情细 节后, 这个估计 就有了变化.
知道B 发生后
P(A1 | B) P(A2 | B) P(A3 | B)
比如原来以为作案能够性较小的某甲， 如今变成了重点嫌疑犯.
P(C｜A)= 0.1066
从0.005添加到0.1066,将近添加约21倍.
西南财经大学天府学院
2. 即使他检出阳性，尚可不用过早下结论他有癌 症，这种能够性只需10.66% (平均来说，1000个人 中大约只需107人确患癌症)，此时医生常要经过再 实验来确认.
实验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为 P(C｜A)=0.1066
1
2
3
最大?
这一类问题在实践中更为常见，它所求的是
条件概率，是知某结果发生条件下，求各缘由发 生能够性大小.
西南财经大学天府学院
二、贝叶斯公式
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球 4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中恣意摸出一球，发现 是红球,求该球是取自1号箱的概率 .

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（2）从定理的证明过程来看，B1, B2, Bn互不相容
是必须有的，而 n Bk 是可有可无的，可以改为 k 1 n Bk A 。 k 1 推论2 设 B1, B2, Bn是一列互不相容的事件，对任
一事件A，且有 n Bk A, P(Bk ) 0,(k 1,2, n) ，则有 k 1 P(A) n P(Bk )P(A / Bk ) 。 k 1
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