一次函数,二次函数,反比例函数性质总结

二次函数性质一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b；则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k；即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最后得到一阶函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。

一次函数、二次函数、反比例函数性质总结1.一次函数一次函数)0(≠+=k b kx y ,当0=x 时,得到的y 的值也即b 叫做图象与坐标轴的纵截距,当0=y 时,得到的x 的值,叫做图象与坐标轴的横截距。

(1)当0=b 时,一次函数的解析式变为)0(≠=k kx y ,也称为正比例函数,此函数图象恒过原点)0,0(O ,且横,纵截距都为0。

且0>k 时,函数图象过一、三象限,0>k 时,图象过二、四象限。

② k (≠a )+∞（1）当0,0==c b 时,函数的解析式变为)0(2≠=a ax y ,则 ①0>a 时 ②0<a 时（2）b a ,决定二次函数的对称轴与开口方向②0,0,0=<>c b a 时③ 0,0,0=><c b a 时 ④ 0,0,0=<<c b a 时（3）c a ,决定开口方向与与y 轴的截距①0,0,0=>>b c a 时 ②a③0,0,0=>b c a 时 ④0,0,0=<<b c a 时y yOxx yOOyyOxxxxy y OOx xOOy（3）对于一般的二次函数,c b a ,,共同来决定其函数图像与性质,故通常采用配方的方法 )0(2≠++=a c bx ax y c aba b x a b x a c x a b x a +-++=++=))2()2(()(2222 c a b a b x a +-+=]4)2[(222=c a b a b x a +-+4)2(22 =ab ac a b x a 44)2(22-++ 我们称abx 2-=为二次函数的对称轴,坐标)44,2(2a b ac a b --为二次函数的顶点坐标,此时我们也称其解析式为二次函数的顶点式,并可设其解析式为)0()(2≠+-=a k h x a y 。

若知道二次函数与x 轴的两个交点坐标,可设其解析式为)0)()((21≠--=a x x x x a y 。

课题§3. 5 正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数教学目标1、掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质2、会用待定系数法确定函数的解析式教学重点掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质教学难点掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质教学方法讲练结合法教学过程（I）知识要点（见下表：）注：二次函数))((44)2(222n x m x a ab ac a b x a c bx ax y --=-++=++=（0≠a ） 对称轴abx 2-=，顶点)442(2a b ac a b --， 抛物线与x 轴交点坐标)0()0(，，，n m （II ）例题讲解例1、求满足下列条件的二次函数的解析式： （1）抛物线过点A （1，1），B （2，2），C （4，2-） （2）抛物线的顶点为P （1，5）且过点Q （3，3）（3）抛物线对称轴是2=x ，它在x 轴上截出的线段AB 长为22，且抛物线过点（1，7）。

解：（1）设)0(2≠++=a c bx ax y ，将A 、B 、C 三点坐标分别代入，可得方程组为⎪⎩⎪⎨⎧-==-=⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++=++24124162241c b a c b a c b a c b a 解得 242-+-=∴x x y （2）设二次函数为5)1(2--=x a y ，将Q 点坐标代入，即35)13(2=--a ，得2=a ，故3425)1(222--=--=x x x y（3）∵抛物线对称轴为2=x ；∴抛物线与x 轴的两个交点A 、B 应关于2-=x 对称； ∴由题设条件可得两个交点坐标分别为)0222()022(，、，+--B A∴可设函数解析式为：a x a x x a y 2)2()22)(22(2-+=-+++=，将（1，7）代入方程可得1=a∴所求二次函数为242++=x x y ，例2：二次函数的图像过点（0，8），)51(--，，（4，0） （1）求函数图像的顶点坐标、对称轴、最值及单调区间 （2）当x 取何值时，①y≥0，②y<0解：（1）依题意可设函数的解析式为：)0(2≠++=a c bx ax y将三点坐标分别代入，可得方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--=041658c b a c b a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=821c b a9)1(8222--=--=∴x x x y∴函数图像的顶点为（1，9-），对称轴为1=x又∵01>=a ， ∴函数有最小值，且9m in -=y ，无最大值 函数的增区间为[1，+∞），减区间为]1(，-∞（2）由2408202-≤≥≥--≥x x x x y 或，解得可得 由4208202<<-<--<x x x y ，解得可得例3：求函数]11[1)(2，，-∈+-=x x x x f 的最值及相应的x 值 解由43)21(122+-=+-=x x xy ，知函数的图像开口向上，对称轴为21=x∴依题设条件可得)(x f 在]211[，-上是减函数，在]121[，上是增函数。

一次函数(y=ｋx+b)1.当ｘ=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0, b)。

[1]2.当b=0时,一次函数变为正比例函数。

当然正比例函数为特殊的一次函数。

［1]3.对于正比例函数，y除以ｘ的商是一定数(x≠0)。

对于反比例函数,ｘ与ｙ的积是一定数。

４．在两个一次函数表达式中:•当两个一次函数表达式中的k相同,ｂ也相同时,则这两个一次函数的图像重合;•当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行;•当两个一次函数表达式中的k不相同,b也不相同时，则这两个一次函数的图像相交；•当两个一次函数表达式中的k不相同,b相同时，则这两个一次函数图像交于ｙ轴上的同一点（0，b）;•当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。

［１]5.直线ｙ=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示:k>0,b＞0经过第一、二、三象限k>0,b<0经过第一、三、四象限k>0，b＝0经过第一、三象限【k>0时,图象从左到右上升，y随ｘ的增大而增大】k＜0b>０经过第一、二、四象限ｋ<0,b＜0经过第二、三、四象限K＜０，ｂ＝0经过第二、四象限【ｋ＜0图象从左到右下降，ｙ随x的增大而减小】一. 定义型例１．已知函数是一次函数，求其解析式。

解:由一次函数定义知，，,故一次函数的解析式为y＝-6x＋3。

注意:利用定义求一次函数y=kｘ＋b解析式时,要保证k≠0。

如本例中应保证m-3≠0。

二. 点斜型例２. 已知一次函数y＝kx-3的图像过点（2，-1)，求这个函数的解析式。

解: 一次函数的图像过点(2, -１），，即k=1。

故这个一次函数的解析式为y=x-3。

变式问法:已知一次函数y＝kx-3,当ｘ=2时，y＝-１,求这个函数的解析式。

三. 两点型例３.已知某个一次函数的图像与x 轴、ｙ轴的交点坐标分别是（-2, 0)、（０, ４），则这个函数的解析式为_____。

反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。

2、性质：1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。

8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x 轴对称,并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m 向x 、y 分别做垂线，交于q 、w ，则矩形mwqo （o 为原点）的面积为|k|值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

比较不同类型函数的单调性在数学中，函数的单调性是一个重要的性质，它可以帮助我们了解函数在不同区间上的变化规律。

接下来，我们将比较不同类型函数的单调性，包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和反比例函数。

1.一次函数：一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k 和 b 为常数，且k≠0。

一次函数的单调性取决于k 的正负。

当k >0 时，函数在R 上为增函数；当k <0 时，函数在R 上为减函数。

2.二次函数：二次函数的一般形式为y = ax²+ bx + c（a≠0）。

二次函数的单调性取决于 a 的正负。

当 a >0 时，函数在R 上开口向上，对称轴为x = -b/2a，此时函数在对称轴两侧分别为增函数和减函数；当 a <0 时，函数在R 上开口向下，对称轴同样为x = -b/2a，此时函数在对称轴两侧分别为减函数和增函数。

3.指数函数：指数函数的一般形式为y = a^x（a >0，且a≠1）。

当a >1 时，函数在R 上为增函数；当0 < a <1 时，函数在R 上为减函数。

4. 对数函数：对数函数的一般形式为y = log_a(x）（a >0，且a≠1）。

当 a >1 时，函数在(0, +∞) 上为增函数；当0 < a <1 时，函数在(0, +∞) 上为减函数。

5.反比例函数：反比例函数的一般形式为y = k/x（k 为常数，且k≠0）。

反比例函数在第一象限和第三象限为增函数，在第二象限和第四象限为减函数。

综上所述，不同类型函数的单调性具有不同的特点。

了解这些性质有助于我们在实际问题中更好地分析和解决相关问题。

在后续的学习中，我们还将探讨更多类型的函数及其性质，以丰富我们的数学知识体系。

一次函数二次函数反比例函数必记知识点1. 一次函数的解析式.正比例函数解析式.反比例函数解析式.2.一次函数的图象是一条. 正比例函数图象是一条经过点的. 反比例函数的图象是.3.确定以上函数的解析式通常用.这种方法首先要设出他们的.对于确定一次函数的解析式需条件, 确定正比例或反比例函数的解析式需条件, 确定二次函数的解析式需条件.4.画一次函数的图象通常取与的交点,他们的坐标是. 画正比例函数的图象通常取。

5. 一次函数的增减性取决于解析式中的,当时,y随x的增大而增大, 当时,y随x的增大而减小. 反比例函数的增减性取决于解析式中的,当时,在每个象限内,y随x的增大而增大, 当时, 在每个象限内y随x的增大而减小.6. 二次函数的解析式共有3种，其一般式是. 其顶点式是，其中顶点坐标为，对称轴是直线。

其两根式是，其中与x轴交点坐标表示为。

7．二次函数y=ax2+bx+c的图象是.它的基本特征是:有,其坐标可表示为;有轴,其解析式为.有方向,由来决定. 二次函数的图象与y轴的交点坐标为( , ).与x轴的交点决定于一元二次方程的,当时,有个交点, 当时,有个交点, 当时,有个交点.所以画图时要体现以上特征.7.二次函数y=ax2+bx+c的值恒大于0的条件为.二次函数y=ax2+bx+c的值恒小于0的条件为.8. 反比例函数的图象关于对称,它与x,y轴永无交点,原因是.判断一点是否在反比例函数的图象上的方法. 9. 二次函数的最值是其顶点的. 当时,它有最值.在x= 时, 最值为. 当时,它有最值.在x= 时, 最值为.10.两个量成正比例关系,则它们的是一个.设y与x成正比例关系,则有关系式. 两个量反成比例关系,则它们的是一个.设y与x成反比例关系,则有关系式.11.设二次函数y=ax2+bx+c与x轴有交点A(x1 , ),B(x2, ),则x1, x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的.其中A,B两点关于轴是一对,且x1+ x2= . 两交点AB的距离可表示为.14.在下列坐标系内画出符合要求的一次函数的草图.k>0,b=0 k>0,b>0 k>0,b<0k<0,b=0 k<0,b>0 k<0,b<015.在下列坐标系内画出符合要求的反比例函数的草图.==三角形k>0 k<016.在下列坐标系内画出符合要求的二次函数的草图.y=ax2(a>0) y=ax2(a<0) y=x2与y=－x2 22222y=a(x－h)2(a<0,h>0) y=a(x－h)2(a<0,h<0) y=a(x－h)2+k (y>0)。

正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。

特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。

这时，y 叫做x 的正比例函数。

2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线一次函数（1） 一次函数的性质：y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）当k ＞0时，y 的值随x 的值增大而增大；当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小．⑷．直线y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k 在的关系．①直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限正比例函数4、正比例函数的性质一般地，正比例函数kx y =有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； （2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。

反比例函数(1)反比例函数 如果xky =(k 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的反比例函数． (2)反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线． (3)反比例函数的性质①当k ＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y 随x 的增大而减小． ②当k ＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y 随x 的增大而增大． ③反比例函数图象关于直线y ＝±x 对称，关于原点对称． (4)k 的两种求法①若点(x 0，y 0)在双曲线xky =上，则k ＝x 0y 0． ②k 的几何意义： 若双曲线x k y =上任一点A (x ，y )，AB ⊥x 轴于B ，则S △AOB ||||2121y x AB OB ⋅=⨯= .||21k =(5)正比例函数和反比例函数的交点问题 若正比例函数y ＝k 1x (k 1≠0)，反比例函数)0(22=/=k x ky ，则当k 1k 2＜0时，两函数图象无交点；当k 1k 2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为).,(),,(21122112k k k kk k k k --由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。

初中函数集锦文献编辑-周俞江一. 一次函数：形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.如32+=x y ，32+-=x y 等等都是一次函数。

也可以理解成未知数x 的最高次方为1的函数. 1.画出下列函数图形（列表画图）1.62+=x y2.64-=x y3.62+-=x y4.64--=x y从上面的图像可以看得出来，所有一次函数都是直线，由于两点确定一条直线，画图时只需要找两个点（0，y ）和点（x ，0）即可。

其中点（0，y ）中的y 实际上是b . 2.用“两点作图法”画出下列函数图形1.62+=x y2.64-=x y3.62+-=x y4.64--=x y总结，通过”列表画图”，“两点作图”可以看出一次函数性质如下： 增减性：当 k>0时，y 随x 的增大而增大（从左到右上坡）； 当k<0时，y 随x 的增大而减小（从左到右下坡）. 函数图形与y 轴交于负半轴还是正半轴就取决于b kx y +=中的b当b >0时，函数图像与y 轴正半轴相交； 当b <0时，函数图像与y 轴负半轴相交.3.用上面总结的方法（一次函数性质）画下列函数图形1.62+=x y2.62-=x y3.62+-=x y4.62--=x y正比例函数：在一次函数b kx y +=中，当b=0时，kx y =，称y 是x 的正比例函数. 所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.由于正比例函数是特殊的一次函数，所以 它也满足一次函数的性质：增减性：当 k>0时，y 随x 的增大而增大（从左到右上坡）； 当k<0时，y 随x 的增大而减小（从左到右下坡）. 由于在这里b=0，当0=x 时，0=y 时，所以正比例函数过原点。

1.画出下列正比例函数图形下列图形同样可以用列表画图法，麻烦；用两点作图法点（0，y ）和点（x ，0）可得图形。

1.x y 3= 2.x y 4= 3.x y 2-= 4.x y 4-=2.用函数性质作图：（按增减性作图）以后都用函数性质作图，（快速，简单） 1.x y 3= 2.x y 4=3.x y 2-=4.x y 4-=一次函数图象及性质总结： 正比例函数k>0k<0一次函数图形画法：所有的函数图形刚开始都是通过描点列表法来画的，但是很多函数画图时都有规律可寻. 所以画图就有了专门的套路.为了画得快速，画得简约，以后画图都按套路进行。