八年级数学下册 4.4《反证法》学案 浙教版

4.4 反证法【学习目标】1、理解反证法的含义与原理，掌握反证法的一般步骤；2、会用反证法证明简单的代数命题和几何命题；3、树立“正难则反”和“转换思维”的意识。

【学习过程】1、阅读书中故事——路边苦李王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?其思维过程的表述如下图：这种推理方法就是反证法。

在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条证的命题2、请你模仿推理：他运用了怎样的推理方法？在古希腊时，有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的一棵大树下躺下休息睡着了。

这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额，当他们醒过来后，彼此相看时都笑了。

一会儿其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到什么了？3、整体感知用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的。

这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定。

既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。

概括地说就是要利用“结论的反面不成立”的证明来证明结论成立。

４、请你写出下列结论的反面1、a⊥b；2、d是正数；3、a≥0；4、 a∥b。

答：______________________________________________________５、完成课内练习１、６、例、求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交。

已知：求证：证明：７、根据上述解答，归纳反证法证题的步骤。

方法总结：证明一个命题是真命题有哪些方法?８、当堂练习：书作业题9.甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军； B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军； D说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军。

路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动…
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被 过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？
求证： l１∥l３
p
l１ l２ l３
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交，设交点为p.
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有
且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+__∠__C_＞__1_8_0_°
这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾； 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏；
常用的互为否定的表述方式：
• 是——不是；存在——不存在 • 平行——不平行；垂直——不垂直 • 等于——不等于；都是——不都是 • 大于——不大于；小于——不小于 • 至少有一个——一个也没有 • 至少有三个——至多有两个 • 至少有n个——至多有(n-1)个
至多有一个—— 至少有两个 至少有一个 ——一个也没有
一、提出假设 二、推理论证 三、得出矛盾 四、结论成立

• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/2/62021/2/62021/2/62/6/2021 4:27:16 AM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/2/62021/2/62021/2/6Feb-216-Feb-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/2/62021/2/62021/2/6Saturday, February 06, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/2/62021/2/62021/2/62021/2/62/6/2021
路边苦李
王戎7岁时，与小 伙伴们外出游玩，看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子，只有 王戎站在原地不动. 有人问王戎为什么?
王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
4.6反证法
假设李子是甜的
例3 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于
或等于60°。
已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 △ABC中三个内角都大于60°
即 ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
∴ ∠A+∠B+∠C>180°
，
这与 三角形的内角和为180度 矛盾．
∴ 假设不成立
∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设a与b不止一个交点， 不妨假设有两个交点A和A’。
因为两点确定一条直线，即经过点 a
● A，
A和A'的直线有且只有一条，这与
●
A
已知两条直线矛盾,假设不成立。

P
l1
l2
因为已知___l_1_∥_l_2 __,
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
这与“_经__过_直__线__外_一__点_,_有_且__只__有_一__条_直_ _线_平__行_于__已_知__直__线_”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确.
B班做
5、用反证法证明：等腰三角形的底角 必定是锐角．
所以，李子是苦的
在证明一个命题时,先假设命题不成立， 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾，或者与定义、公理、定理等矛盾， 从而得出假设命题不成立是错误的， 即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
一、提出假设
假设待证命题不成立，或是命题的 反面成立。
二、推理论证 三、得出矛盾
以假设为条件，结合已知条件推理， 得出与已知条件或是正确命题相矛盾 的结论
分析：解题的关键是反证法的第一步否定结 论，需要分类讨论.
已知：在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B、∠C为锐角. 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那 么只有两种情况：
(1)两个底角都是直角； (2)两个底角都是钝角；
（1)由∠A=∠B=90° 则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°， 这与三角形内角和定理矛盾， ∴∠A=∠B=90°这个假设不成立.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被 过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？
这与事实矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的？

假设 “三个内角都小于60°”不成立
结论成立
所以原命题正确，即三角形至少有 一个内角不小于60°
在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的 假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公 理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所 求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
至多有一个 至少有两个
至少有n个 至多有（n-1)个
至多有n个 至少有（n+1)个
已知：四边形ABCD(如右图). 求证：四边形ABCD中至少有一个角 是钝角或直角.
证明: 假设_四_边__形_A__B_C_D_中__没__有___一___个___角___是__钝___角___或___直__,角
即__即__∠__A_<_9_0°___，____∠___B__<_9__0_°___,__∠__C__<__9__0_°___,__∠__D__<__9__0°
3、用反证法证明命题“在△ABC中,若∠C 是直角，那么∠B一定是锐角”时，应如何 假设？ __假__设__∠__B_是__直__角__或__钝__角_____________
常见的关键词的否定形式.
原词语
等于
是 存在 大于 小于
否定词 不等于
不是
不存在 不大于 不小于
原词语
否定词
有理数
无理数
至少有一个 一个也没有
a

c
定理:在同一平面内,如果两条直线
都和第 三条直线平行,那么这两条直 线也互相平行.
几何语言表示:
a
∵a∥b,b∥c,
b
c
∴b∥c
挑战自我
求证：A（m-1,m-3）不可能是第二 象限内的点。

5.鼓励学生利用网络资源或参考书籍，了解反证法在数学史上的发展，以及著名数学家在反证法方面的贡献。学生在了解这些背景知识的基础上，可以撰写一篇小论文或进行课堂分享。
1.作业应在规定的时间内完成，确保学生有足够的时间进行思考和消化；
2.作业应注重质量而非数量，要求学生在完成作业时，注重解题思路的清晰性和逻辑性；
5.设计丰富的例题和练习题，让学生在实际操作中感受反证法的运用。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，增强学生对数学学科的兴趣；
2.培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力；
3.培养学生的逆向思维，使学生懂得从不同角度审视问题，形成创新意识；
4.培养学生的合作精神，使学生学会与他人共同探讨、共同进步；
在此过程中，学生可以充分发表自己的观点，学会倾听他人意见，形成共识。我会在各组间巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入探讨反证法的应用。
（四）课堂练习，500字
课堂练习环节，我将设计不同难度的题目，让学生独立完成。这些题目包括基础题、提高题和拓展题，旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
在学生完成练习后，我会邀请部分学生分享他们的解题思路和答案。通过这种方式，学生可以相互学习，取长补短，共同提高。
（五）总结归纳，500字
在总结归纳环节，我会带领学生回顾本节课所学的反证法知识，概括反证法的定义、关键步骤和应用。同时，强调反证法在数学证明中的重要性，以及它在解决实际问题中的应用价值。
此外，我会鼓励学生课后进行反思，总结自己在学习反证法过程中的收获和不足。这样，学生可以更好地掌握反证法，为今后的数学学习打下坚实基础。
2.学会运用反证法进行简单命题的证明，并能解决实际问题；

树在道边则李子少
与已知条件 “树在道边而多子”产生矛 盾
假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确 的
例:小华睡觉前，地上是干的，早晨起来， 看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天 晚上下雨了。”
您能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是 干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以 说昨晚下雨是正确的。
命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等。
常用的互为否定的表述方式：
• 是——不是；存在——不存在 • 平行——不平行；垂直——不垂直 • 等于——不等于；都是——不都是 • 大于——不大于；小于——不小于 • 至少有一个——一个也没有 • 至少有三个——至多有两个 • 至少有n个——至多有(n-1)个
合作学习:
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条 直线平行,那么这两条直线也互相平行.
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
求证： l１∥l３
p
l１ l２ l３
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p.
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点， 有且只有一条直线平行于已知直线”矛
试一试
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
c a
1
求证：a∥b
b
证明：假设结论不成立，则a∥b 2
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)
这与已知的∠1≠∠2矛盾 ∴假设不成立
∴a∥b

《反证法》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，能运用反证法证明一些简单的命题。

2、过程与方法目标通过对反证法的学习，培养学生的逻辑思维能力和推理能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观目标让学生感受数学的严谨性和逻辑性，激发学生对数学的兴趣和探索精神，培养学生的创新意识和批判性思维。

二、教学重难点1、教学重点理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，能运用反证法证明简单命题。

2、教学难点如何正确地提出反设，以及如何通过推理得出矛盾。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过一个有趣的故事引入反证法。

故事：有一个人被指控偷了邻居的钱，他宣称自己没有偷。

法官问他：“如果不是你偷的，那钱怎么会在你的口袋里？”这个人无法回答。

提问学生：法官的这种推理方法有什么特点？2、讲解概念（1）给出反证法的定义：先假设命题的结论不成立，然后通过推理得出矛盾，从而证明原命题成立的方法叫做反证法。

（2）强调反证法的关键在于“反设”和“归谬”。

3、示例讲解（1）例 1：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”。

分析：假设三角形的三个内角都大于 60°，然后推出矛盾。

证明过程：假设三角形的三个内角都大于 60°，则三角形的内角和大于 180°，这与三角形内角和定理矛盾。

所以，原命题成立。

（2）例 2：证明“根号 2 是无理数”。

分析：假设根号 2 是有理数，设根号 2 ＝ m ／ n（m、n 为互质的正整数），然后推出矛盾。

证明过程：假设根号 2 是有理数，设根号 2 ＝ m ／ n（m、n 为互质的正整数），则 2 ＝ m²／ n²，即 m²＝ 2n²。

因为 2n²是偶数，所以m²是偶数，从而 m 是偶数。

设 m ＝ 2k（k 为正整数），则 4k²＝ 2n²，即 2k²＝ n²，所以 n 也是偶数，这与 m、n 互质矛盾。

第4章平行四边形4.6反证法【教学目标】知识与技能1、了解反证法的含义。

2、了解反证法的基本步骤。

3、会利用反证法证明简单命题。

4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”。

过程与方法情感、态度与价值观【教学重难点】重点：反证法的含义和步骤。

难点：用两种方法完成平行线的传递性的证明。

【导学过程】【情景导入】故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李。

王戎是怎样知道李子是苦的?他运用了怎样的推理方法?假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路的人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？所以，李子是苦的。

我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维。

反证法是数学中常用的一种方法．人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界。

那么什么叫反证法呢？（板书课题）【新知探究】探究一、在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的。

这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定。

浙教版数学八年级下册《4.6 反证法》教学设计一. 教材分析《4.6 反证法》是浙教版数学八年级下册的一个重要内容。

反证法是数学证明的一种方法，通过假设结论不成立，然后推理出矛盾，从而证明结论是正确的。

这一节内容主要包括反证法的概念、基本步骤和应用。

学生在学习这一节内容时，需要理解反证法的本质，掌握反证法的基本步骤，并能够运用反证法解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经掌握了数学证明的基本方法和逻辑推理的能力。

但是，对于反证法这一概念，学生可能比较陌生，难以理解其本质和应用。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题出发，逐步理解反证法的概念和基本步骤，并通过大量的练习，提高学生运用反证法解决问题的能力。

三. 教学目标1.了解反证法的概念和基本步骤。

2.能够运用反证法解决实际问题。

3.提高逻辑推理的能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.反证法的概念和基本步骤。

2.运用反证法解决实际问题。

五. 教学方法1.案例教学法：通过具体的案例，引导学生理解反证法的概念和基本步骤。

2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探索反证法的应用。

3.练习法：通过大量的练习，提高学生运用反证法解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的案例和问题，用于引导学生思考和探索。

2.准备PPT，用于展示反证法的概念和基本步骤。

3.准备练习题，用于巩固学生对反证法的理解和应用。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一个具体的问题，引导学生思考和探索反证法的概念和应用。

例如：假设有一座桥，桥的两侧各有一个人，他们同时开始走，多久能够相遇？2.呈现（10分钟）通过PPT展示反证法的概念和基本步骤，让学生理解反证法的本质。

反证法的概念：假设结论不成立，然后推理出矛盾，从而证明结论是正确的。

反证法的基本步骤：（1）假设结论不成立；（2）根据假设，推理出矛盾；（3）由于矛盾的存在，说明假设不成立，从而结论成立。

03
因此，假设不成立，三

05
角形ABC中AB是最短边。
假设AB不是最短边，则 AC和BC中必有一边更
短。
02
但假设角B和角C都大于 60度，这与假设矛盾。
04
代数问题中的反证法
01
02
03
04
假设一个一元二次方程ax^2 + bx + c = 0没有实数解。
根据判别式的性质，如果方程 没有实数解，则判别式Δ = b^2 - 4ac < 0。
反证法的起源和发展
反证法的思想可以追溯到古希腊 的哲学家，如亚里士多德等。
反证法在数学领域得到了广泛的 应用和发展，特别是在欧几里得
几何中，反证法被广泛应用。
随着数学的发展，反证法的应用 范围不断扩大，不仅限于数学领 域，还扩展到了物理学、工程学、
哲学等领域。
反证法的应用范围
01
在数学领域，反证法被 广泛应用于证明各种定 理、公式和不等式等。
合理性与可证性
假设必须是合理的，并且 能够通过逻辑推理进行证 明或反驳。
明确假设的否定
为了推导出矛盾，需要明 确假设的否定形式。
推导出矛盾
逻辑推理
根据提出的假设，进行逻 辑推理和演绎。
矛盾的产生
在推理过程中，寻找与已 知事实或公理相矛盾的结 论。
矛盾的必然性
确保推导出的矛盾是必然 的，而不是偶然的。
得出结论
否定假设
结论的可靠性
由于推导出了矛盾，因此可以否定最 初的假设。
确保得出的结论是可靠的，并且与已 知事实和公理一致。
肯定结论
根据否定假设，得出待证明命题的肯 定结论。
03 反证法的应用实例

45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
浙江省瑞安阁巷中学八年级 数学下册44反证法
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来