厦门市2012-2013学年(上)高二质量检测

厦门市2012-2013学年（上）高二质量检测

数学（理科）试题参考答案

A卷（共100分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1-5：BAADB 6-10：CDBCD

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

11．212nn 12．(3,) 13．:pxA，(2,3)A 14． 13

三、解答题：本大题共3小题，共34分．

15．（本题满分10分）

解：（Ⅰ）1,2A在抛物线C上， 222p，2p。 ┄┄┄┄┄┄┄┄3分

抛物线C的方程为24yx┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分

（Ⅱ）直线l的方程为240xy

联立22404xyyx消去y，得2540xx┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

解法一：解得，121,4xx (4,4)B ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

又焦点为(1,0)F，

222(41)(4)7FAFB。┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分

解法二：设1122(,),(,)AxyBxy，则125xx， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分

又 抛物线C准线方程为1x

1212(1)(1)27FAFBxxxx。

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分

16．（本题满分12分）

解：（Ⅰ）SA面ABCD，090BAD，

建立空间直角坐标系xyzA┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分

1BC，2ABSA，3AD，

)0,3,0(),10,2(),0,0,2(),2,0,0(DCBS

则)1,21,1(E，)1,25,1(),2,0,2(DESB ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分

01)2()25(012DESB

DESB ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

（Ⅱ）设面SDC的法向量为),,(000zyxm ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分

)0,2,2(),2,1,2(CDSC x z

y A

B C D E S

00mCDmSC 即02202200000yxzyx

取10x得面SDC的一个法向量为)23,1,1(m┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分

又面ACD的一个法向量为)2,0,0(AS

17173173,cosmASmASmAS ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分

二面角ACDS的余弦值为17173 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）22224cosbacbcB22224cosacbbcB

由余弦定理有2222cosacbacB，

∴22cos4cosacBbcB， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分

ABC是锐角三角形，cos0B，

∴2cosabB

∴sin2sincosABB，得sinsin2AB ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分

∴2AB或2AB，

∵bc，即BC，∴2AB舍去，

2AB（没有讨论扣1分） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

（Ⅱ）若1b，2cossinsinabaBAB ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分

（解法一）ABC是锐角三角形，如图，

cBDDA，2cos2cosBDaBB，cosDAbA

∴222coscos4cos1cBAB┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

∴周长24cos2coslBB ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分

ABC是锐角三角形

∴302cABB 22AB

∴64B23cos22B ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分

∴2233l ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分

∴ABC的周长的取值范围为(22,33)。 A B C

D

（解法二）由余弦定理得2222coscababC24cos14coscos(2)BBBB化简。

B卷（共50分）

四、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

18. 030 19. 12 20. 22(2)4(0)xyx 21. 3

五、解答题：本大题共3小题，共34分，

22．（本题满分10分）

解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为)0(12222babxay

依题意得1bc， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分

22ac ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分

椭圆的标准方程为1222xy┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分

（Ⅱ）设直线/l方程为bxy，),(),,(2211yxByxA

1222xybxy消去y得022322bbxx┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分

248)2(124222bbb，令302b得 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

32,3222121bxxbxx

324)32(2122212bbxxkAB

924822b ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分

C到直线/l的距离222bd ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

ABdABC23为等边三角形，

222b23924822b，

两边同时平方2111220bb整理得， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分

122011bb或。

所求直线/l的方程为xy和12211yx.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分

23．（本题满分12分）

解：由题意知72]42)1(12[50)(nnnnnf

724022nn ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分

（Ⅰ）由()0fn，即2240720nn解得218n。

由*Nn知，从第三年开始盈利. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分

（Ⅱ）方案①：年平均纯利润16)36(240)(nnnnf当且仅当n=6时等号成立.

故方案①共获利6×16+48=144（万元），此时n=6┄┄┄┄┄8分

方案②：.128)10(2)(2nnf当n=10，.128)(maxnf

故方案②共获利128+16=144（万元）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分

比较两种方案，获利都是144万元，但由于第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案更合算. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分

24．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）)(2,121Nnaanannn则有

数列{}na是“M类数列”，它对应的常数qp、分别为21、。 ┄┄┄┄2分

)(332,3211Nnbbbnnnnn则有

数列{}nb是“M类数列”，它对应的常数qp、分别为03、.┄┄┄┄┄┄4分

（Ⅱ）①)(23*1Nntaannn，

22332aat，

44532aat，

……

20122012201332aat

)()()(20132012543212013aaaaaaaS

2012422323232ttt

)42(22014t ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

②若数列{}na是“M类数列”，则存在实常数qp、，使得

qpaann1对任意Nn都成立，且)(12Nnqpaann也成立

qaapaannnn2)(121 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分

qtptnn223231对任意Nn恒成立

0,0)2(qpt ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分

当1,2,20,21taaaqpnnnn时，，满足条件

当1,)1(2,0,011paaaqtnnnn时，满足条件

综上，当且仅当1t或0t时，数列{}na是“M类数列”，对应实常数qp、 分别为20,或10,。 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分