高等数学李伟版课后习题答案第二章

习题2—1（A）

1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：

（1）函数的导数是函数的平均变化率在自变量的增量趋于零时的极限；

（2）求分段函数(),,()(),xxafxxxa在分界点xa处的导数时，一般利用左、右导数的定义分别求该点处的左、右导数．如果二者存在且相等，则在这一点处的导数就存在，且等于左、右导数，否则函数在这点不可导；

（3） )(xfy在0x点可导的充分必要条件是)(xfy在0x点的左、右导数都存在；

（4）函数)(xfy在0x点连续是它在0x点可导的充分必要条件.

答：（1）正确．根据导数的定义．

（2）正确．一般情况下是这样，但是若已知)(xf连续时，也可以用)()(00xfxf（即导函数的左极限），)()(00xfxf（即导函数的右极限）求左右导数．

（3）不正确．应是左、右导数都存在且相等．

（4）不正确．)(xf在0x点连续仅是)(xf在0x可导的必要条件，而不是充分条件，如xyxy、3都在0x点连续，但是它们在0x点都不可导．

2．设函数2xxy，用导数定义求它在1x点处的导数.

解：1lim10lim)1(121xxxxyxx．

3．设函数yx，用定义求它在10x点处的导数．

解：2111lim11lim)1(11xxxyxx．

4．用定义求函数xyln在任意一点x(0x)处的导数．

解：xxxxxxxyxxxxxx1eln])1ln[(limln)ln(lim1100．

5． 对函数xxxf2)(2，分别求出满足下列条件的点0x：

（1）0)(0xf； （2）2)(0xf． 解：22)22(lim)2()](2)[(lim)(0220xhxhxxhxhxxfhh，

（1）由0)(0xf，有0220x，得10x；

（2）由2)(0xf，有2220x，得00x．

6．已知某物体的运动规律为221gts，求时刻t时物体的运动速度)(tv，及加速度)(ta．

解：速度为gthgthgthtgtstvhh)2(lim2/2/)(lim)()(0220，

加速度为gghgthtgtvtahh00lim)(lim)()(．

7．求曲线xyln在点)01(，处的切线方程与法线方程．

解：切线斜率11)1(1xxyk，

切线方程为：)1(10xy，即01yx；

法线方程为：)1(110xy，即01yx．

8．若函数)(xf可导，求下列极限：

（1）xxfxxfx)()(lim000； （2）xxfx)(lim0（其中0)0(f）；

（3）hhxfhxfh)()(lim000； （4）xxffx)sin1()1(lim0．

解：（1）xxfxxfxxfxxfxx)()(lim)()(lim000000)(0xf．

（2）0)0()(lim)(lim00xfxfxxfxx)0(f．

（3）hhxfhxfh)()(lim000

)()()()(lim)()(lim00000000xfxfhxfhxfhxfhxfhh)(20xf．

（4）1)1(sinsin)1()sin1(lim)sin1()1(lim00fxxxfxfxxffxx)1(f．

9．讨论下列函数在指定点的连续性和可导性： （1）3xy，在0x点；

（2），，，，0001arctan)(2xxxxxf 在0x点；

（3）2,1,(),1,xxfxxx 在1x点．

解：（1）3xy是初等函数，且在0x的邻域内有定义，因此3xy在0x点连续，

因为320301lim00limxxxxx（极限不存在），所以3xy在0x点不可导．

（2）因为21arctanlim00)/1arctan(lim2020xxxxxx，

所以，，，，0001arctan)(2xxxxxf在0x点可导，且2)0(f，从而也连续．

（3）因为1)1(1lim)1(1lim)1(211fxfxfxx，，，有)1()(lim1fxfx，

所以，2,1,(),1,xxfxxx 在1x点连续，

又2)1(lim11lim)1(111lim)1(1211xxxfxxfxxx，，由)1()1(ff，

所以，2,1,(),1,xxfxxx 在1x点不可导．

10．设函数，，，，1e1e)(xxxxfx 求(1)f．

解：因为e1eelim)1(e11elime1eelim)1(1111xxfxxfxxxxx，，所以)1(fe．

11．设函数，，，，0120cos)(xxxxxf 求()fx．

解：当0x时，xxxfsin)(cos)(，

当0x时，22lim)12(1)(2lim)12()(00hhhxhxxxf， 当0x时，由20112lim)0(001coslim)0(00_xxfxxfxx，，

于是函数在0x点不可导，所以.020sin)(xxxxf，，，

习题2—1（B）

1．有一非均匀细杆AB长为20 cm，M为AB上一点，又知AM的质量与从A点到点M 的距离平方成正比，当AM为2 cm时质量为8 g，求：

(1) AM为2 cm时，这段杆的平均线密度；

（2）全杆的平均线密度；

（3）求点M处的密度．

解：设xAM cm，则AM杆的质量为2)(kxxm g，由2AM时,8m，得2k，所以，22)(xxm，xhxhxhxxmhh4)24(lim2)(2lim)(0220 g/cm．

（1）AM为2 cm时，这段杆的平均线密度为282)2(m4 g/cm．

（2）全杆的平均线密度为2080020)20(m40 g/cm．

（3）点M处的密度为)(xmx4 g/cm．

2．求ba，的值，使函数00e)(xbaxxxfx，，， 在0x点可导．

解：首先函数)(xf要在0x点连续．

而1elim)0(0xxf，bbaxfx)(lim)0(0，bf)0(，

由)0()0()0(fff，得1b，此时1)0(f．

又11elim)0(0xfxx，axaxfx11lim)0(0，由)0()0(ff得1a．

所以，当11ba，时，函数00e)(xbaxxxfx，，， 在0x点可导．

3．讨论函数xytan在0x点的可导性． 解：1tanlim0tanlim)0(00xxxxfxx，1tanlim0tanlim)0(00xxxxfxx

因为)0()0(ff，所以函数xytan在0x点不可导．

4．若函数)(xf可导，且)(xf为偶（奇）函数，证明()fx为奇（偶）函数．

证明：（1）若)(xf是偶函数，有)()(xfxf，

因为)()()(lim)()(lim)(00xfhxfhxfhxfhxfxfhh，

所以)(xf是奇函数．

（2）若)(xf是奇函数，有)()(xfxf，

因为)()()(lim)()(lim)(00xfhxfhxfhxfhxfxfhh，

所以)(xf是偶函数．

5．设非零函数)(xf在区间)(，内有定义，在0x点可导，)0()0(aaf，且对任何实数yx，，恒有)()()(yfxfyxf.证明)()(xafxf．

证明：由)()()(yfxfyxf，令0yx，有)0()0(2ff，而0)(xf，得1)0(f．

因为hxfhfxfhxfhxfhh)()()(lim)()(lim00

)()0()()0()(lim)(1)(lim)(00xaffxfhfhfxfhhfxfhh，

所以函数)(xf可导，且)()(xafxf．

6．求曲线xxy1上的水平切线方程．

解：hxxhxhxhxyhxyxyhh)/1()]/(1[lim)()(lim)(00

211])(11[limxhxxh，

由0)(xy，得x，

当1x时，2y，此时水平切线是)1(02xy，即2y；

当1x时，2y，此时水平切线是)1(02xy，即2y． 7．在抛物线21xy上求与直线0yx平行的切线方程．

解：对21xy，导函数为：

xhxhxhxhxyhxyxyhhh2)2(lim)1(])(1[lim)()(lim)(02200，

设切点为)1(2tt，，则切线斜率为ttyk2)(，而直线斜率为11k，

根据已知，有1kk，即12t，得2/1t，切点为)4/32/1(，，

切线方程为：)21(143xy，即0544yx．

8．已知曲线2axy与曲线xyln相切，求公切线方程．

解：设切点为),(00yx，则两曲线在切点处的斜率分别为012axk，02/1xk.

由两曲线在0xx时相切，有./12ln00,020xaxxax得21ln0x，即e0x，

此时，e21a，210y，公切线斜率为e1k，

公切线方程为)e(e121xy，化简得021e1xy.

习题2—2（A）

1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：

（1）在自变量的增量比较小时，函数的微分可以近似刻画函数的增量，但是二者是不会相等的；

（2）函数)(xfy在一点x处的微分xxfxf)()(d仅与函数在这点处的导数有关；

（3）函数在一点可微与在这点可导是等价的，在一点可微的函数在这点必然连续，但反过来不成立，即在一点连续的函数在这点未必可微．

答：（1）前者正确，根据微分的定义yxoyyd)(d；

后者不正确，如对线性函数baxy，恒有)(dxayy．