2020年高考数学专题讲解：三角函数的图像与性质

第 1 页 共 17 页 2020年高考数学专题讲解：三角函数的图像与性质

（一）高考目标

考纲解读

1．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图像，了解三角函数的周期性．

2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性．

考向预测

1．三角函数的值域、最值、单调性、周期性等性质是高考考查的重点．

2．三角函数图像的对称性也是高考的一个热点．

3．主要以选择题、填空题的形式考查．

（二）课前自主预习

知识梳理

1．“五点法”作图原理

在确定正弦函数y=sinx在0,2上的图像形状时，起关键的五点是：

、 、 、 、 。

余弦函数呢？

2．三角函数的图像和性质

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3．周期函数及最小正周期

一般地对于函数f(x)，如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)．函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0且为常数)的周期T＝2πω，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期T＝πω.

（三）基础自测

1．(湖北文)函数f(x)＝3sinx2－π4，x∈R的最小正周期为( )

A.π2 B．π C．2π D．4π

[答案] D

[解析] 本题主要考查三角函数中的周期性．∵ω＝12，T＝2π|ω|＝4π.

2．(理)(陕西理)对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是( )

A．f(x)在(，)上是递增的 B．f(x)的图像关于原点对称

C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2

[答案] B

[解析] 本题考查三角函数的性质．f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，周期为π，最大值为1，故C、D错；

f(－x)＝sin(－2x)＝－2sinx，为奇函数，其图像关于原点对称，B正确；函数的递增区间为

kπ－π4，kπ＋π4，(k∈Z)排除A.

第 3 页 共 17 页 (文)(陕西文)函数f(x)＝2sinxcosx是( )

A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数

C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数

[答案] C

[解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性．

f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，最小正周期T＝2π2＝π，且f(x)是奇函数．

3．已知－π6≤x

A．m<－1 B．33 D．3

[答案] C

[解析] 由－π6≤x3.

4．已知函数y＝tanωx在－π2，π2内是减函数，则( )

A．0

[答案] B

[解析] 根据已知条件：ω<0，且|ω|≤1，因此－1≤ω<0

5．(湖洲中学月考)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图像如图所示，fπ2＝－23，则f(0)＝________.

[答案] 23

[解析] 由图可知，T2＝π3，∴T＝2π3，∴ω＝3，故f(x)＝Acos(3x＋φ)．

∵fπ2＝－23，∴Acos3π2＋φ＝－23，∴Asinφ＝－23.

又∵f7π12＝0，∴Acos7π4＋φ＝0，∴sinφ＝－cosφ，∴f(0)＝Acosφ＝－Asinφ＝23.

6．sin1，sin2，sin3的大小关系为________．

[答案] sin3

[解析] sin2＝sin(π－2)，sin3＝sin(π－3)．

因为0

即sin3

第 4 页 共 17 页 7．求y＝sin2x－cosx＋2的最值．

[分析] 解析式中只有sin2x，cosx，可以考虑转化为关于cosx的二次函数形式．

[解析]

y＝sin2x－cosx＋2＝1－cos2x－cosx＋2＝－cos2x－cosx＋3＝－cosx＋122＋134，

又∵－1≤cosx≤1，－1<－12<0，

∴1≤y≤134.

故函数的最大值与最小值分别为134与1.

（四）、典型例题

1.命题方向：三角函数的定义域

[例1] 求下列函数的定义域：

（1）y2223cos1lg(36)cosxxx

（2）12logtan2yxx

[分析] 先转化为三角不等式，再利用单位圆或三角函数图像求解．

[解析] (1)由题意得

 －2cos2x＋3cosx－1≥036－x2>0，

即 x－x－－6

解得 －π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπk∈－6

取k＝－1,0,1，可分别得到x∈－6，－5π3或x∈－π3，π3或x∈5π3，6.

即所求的定义域为－6，－5π3∪－π3，π3∪5π3，6.

(2)要使函数有意义，只要

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即0

[点评] (1)求三角函数定义域常借助两个工具，即单位圆中的三角函数和三角函数的图像，有时也利用数轴，对于含有正弦、余弦函数的复合函数的定义域，仍然是使解析式有意义即可．

(2)求三角函数定义域时，通常归结为解三角不等式或不等式组．

跟踪练习1

求下列各函数的定义域：

(1) y＝11－cosx； (2)y＝sinx＋1－tanx.

[解析] (1)函数y＝11－cosx有意义时，1－cosx≠0，即cosx≠1，所以x≠2kπ(k∈Z)，所以函数的定义域为{x|x≠2kπ，x∈R，k∈Z}．

(2) 要使函数有意义，必须 sinx≥0，1－tanx≥0.

由图知道，函数的定义域为2kπ，2kπ＋π4∪2kπ＋π2，2kπ＋π(k∈Z).

2.命题方向：求函数的值域和最值

[例2] 求下列函数值域：

(1)y＝2cos2x＋2cosx；

(2)y＝3cosx－3sinx；

(3)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx.

[分析] (1)令t＝cosx，得y＝2t2＋2t，t∈[－1,1]，再配方求值域．

(2)利用辅助角公式可化为y＝23cosx＋π6，再求值域．

(3)令t＝sinx＋cosx，平方可用t表示sinxcosx，即可转化为t的二次函数求解．

第 6 页 共 17 页 [解析] (1)y＝2cos2x＋2cosx＝2cosx＋122－12.

当且仅当cosx＝1时，得ymax＝4，

当且仅当cosx＝－12时，得ymin＝－12，

故函数值域为－12，4.

(2)y＝3cosx－3sinx＝2332cosx－12sinx＝23cosx＋π6.

∵cosx＋π6≤1，

∴该函数值域为[－23，23]．

(3)y＝sinxcosx＋sinx＋cosx

＝sinx＋cosx2－12＋2sinx＋π4

＝sin2x＋π4＋2sinx＋π4－12＝sinx＋π4＋222－1，

所以当sinx＋π4＝1时，

y取最大值1＋2－12＝12＋2.

当sinx＋π4＝－22时，y取最小值－1，

∴该函数值域为－1，12＋2.

[点评] 求三角函数的值域(或最值)的常见题型及解法为：

1．y＝asinx＋bcosx型可引用辅助角化为

y＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中tanφ＝ba)．

2．y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x型可通过降次整理化为y＝Asin2x＋Bcos2x.

3．y＝asin2x＋bcosx＋c型可换元转化为二次函数．

4．sinxcosx与sinx±cosx同时存在型可换元转化．

5．y＝asinx＋bcsinx＋d(或y＝acosx＋bccosx＋d)型，可用分离常数法或由 |sinx|≤1来解决．

6．y＝asinx＋bccosx＋d型，可用斜率公式来解决．

跟踪练习2

求y＝sin2x－sinxcosx＋2的值域．

[解析] y＝sin2x－sinxcosx＋2＝1－cos2x2－12sin2x＋2＝－12(sin2x＋cos2x)＋52＝－22sin2x＋π4＋52.

第 7 页 共 17 页 又∵－1≤sin2x＋π4≤1，∴5－22≤y≤5＋22.

3.命题方向：求三角函数的单调区间

[例3] 求函数y＝2sinπ3－2x的单调增区间．

[分析] 思路一：由y＝sinx的单调区间来求本题的单调区间．

思路二：将y＝2sinπ3－2x看作复合函数来求单调区间．

[解析] 方法一：∵y＝2sinπ3－2x＝－2sin2x－π3，

∴y＝2sinπ3－2x的单调增区间就是

方法二：y＝2sinπ3－2x可看作是由y＝2sinu与u＝π3－2x复合而成的．

∵u＝π3－2x是减函数，

∴y＝2sinu是减函数时，复合后的函数y＝2sinπ3－2x才是增函数．

∴2kπ＋π2≤u≤3π2＋2kπ，k∈Z.∴2kπ＋π2≤π3－2x≤3π2＋2kπ.

∴2kπ＋π6≤－2x≤7π6＋2kπ.∴－kπ－7π12≤x≤－π12－kπ，

即kπ－7π12≤x≤－π12＋kπ.∴y＝2sinπ3－2x的单调增区间是kπ－7π12，－π12＋kπ，k∈Z.

∴－kπ－7π12≤x≤－π12－kπ，即kπ－7π12≤x≤－π12＋kπ.

∴y＝2sinπ3－2x的单调增区间是kπ－7π12，－π12＋kπ，k∈Z.

[点评] 求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间时，一定要注意到函数中A与ω的符号，一般是将ω化为正或用复合函数单调性来求解，否则极易出现将单调区间求反的错误．

跟踪练习3：

已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x，x∈R.求：

(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合；