高中数学 第二章 参数方程 2.2 直线和圆锥曲线的参数方程 练习 北师大版-4
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学必求其心得，业必贵于专精
1 2.2 直线和圆锥曲线的参数方程
2。2。2 圆的参数方程
2。2.3 椭圆的参数方程
2。2。4 双曲线的参数方程
课后篇巩固探究
A组
1。曲线{𝑥=5cos𝜃,𝑦=3sin𝜃(θ为参数）的左焦点的坐标是( )
A.(-4，0） B。（0,-4)
C.(—2，0） D.（0，2）
解析：由{𝑥=5cos𝜃,𝑦=3sin𝜃（θ为参数）,
得𝑥225+𝑦29=1，
故左焦点的坐标为（-4,0）。
答案：A
2。圆锥曲线{𝑥=4cos𝜃,𝑦=3tan𝜃(θ为参数)的焦点坐标是( ）
A.（—5,0) B。(5,0）
C.（±5，0) D.(0,±5)
解析:由{𝑥=4cos𝜃,𝑦=3tan𝜃(θ为参数),
得𝑥216−𝑦29=1，
故它的焦点坐标为（±5,0）.
答案:C
3.过点M(2，1)作曲线C:{𝑥=4cos𝜃,𝑦=4sin𝜃(θ为参数）的弦，使点M为弦的中点，则此弦所在直线方程为( ）
A。y—1=-12(x-2) B.y—1=—2（x—2)
C.y-2=-12（x-1） D。y—2=—2（x-1)
解析：∵把曲线C的参数方程化为普通方程为x2+y2=16,表示圆心在原点，半径为4的圆，
∴过点M的弦与线段OM垂直,又kOM=12，
∴弦所在直线的斜率为-2，
∴直线方程为y-1=-2(x—2）.
答案：B 学必求其心得，业必贵于专精
2 4。已知P（x,y）是曲线{𝑥=2+cos𝛼,𝑦=sin𝛼（α为参数）上任意一点，则(x—5）2+（y+4）2的最大值为（ ）
A.36
B。6 C.26 D。25
解析：由参数方程可知,(x—2）2+y2=1,圆心O（2，0），另一定点M（5,—4)，
∴｜OM｜=√(5-2)2+(-4-0)2=5。
∴(x—5）2+（y+4)2的最大值为(5+1）2=62=36。
答案:A
5。导学号73144031对任意实数,直线y=x+b与椭圆{𝑥=2cos𝜃,𝑦=4sin𝜃（θ为参数,且0≤θ≤2π)恒有公共点,则b的取值范围是 .
解析:将(2cos θ，4sin θ)代入y=x+b得
4sin θ=2cos θ+b.
∵恒有公共点，
∴以上方程有解.
令f(θ）=4sin θ—2cos θ=2√5sin(θ—φ).
∴-2√5≤f（θ）≤2√5。
∴—2√5≤b≤2√5.
答案：［—2√5，2√5］
6.在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x—y+4=0,曲线C的参数方程为{𝑥=√3cos𝛼,𝑦=sin𝛼(α为参数）。
（1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为(4,π2)，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.
解（1）把极坐标系下的点P(4,π2)化为直角坐标，得P(0，4)。
因为点P的直角坐标（0,4)满足直线l的方程x-y+4=0，所以点P在直线l上.
(2)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为(√3cos α,sin α)，
从而点Q到直线l的距离
d=|√3cos𝛼-sin𝛼+4|√2
=2cos(𝛼+π6)+4√2
=√2cos(𝛼+π6)+2√2。
由此得,当cos(𝛼+π6)=-1时,d取得最小值，且最小值为√2。
7。求椭圆𝑥29+𝑦24=1的参数方程. 学必求其心得，业必贵于专精
3 (1）设x=3cos φ,φ为参数;
（2)设y=2t,t为参数。
解(1)把x=3cos
φ代入椭圆方程，得9cos2𝜑9+𝑦24=1,
所以y2=4（1-cos2φ)=4sin2φ，即y=±2sin φ.
由φ的任意性,可取y=2sin φ。
故𝑥29+𝑦24=1的参数方程为{𝑥=3cos𝜑,𝑦=2sin𝜑（φ为参数)。
(2）把y=2t代入椭圆方程,得𝑥29+4𝑡24=1.
即x2=9（1—t2），∴x=±3√1-𝑡2。
故参数方程为{𝑥=3√1-𝑡2,𝑦=2𝑡（t为参数)或{𝑥=-3√1-𝑡2,𝑦=2𝑡(t为参数)。
8。已知点P（x,y)是圆x2+y2=2y上的动点，
(1)求2x+y的取值范围；
（2)若x+y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围.
解(1）设圆的参数方程为{𝑥=cos𝜃,𝑦=1+sin𝜃(θ为参数）,
则2x+y=2cos θ+sin θ+1=√5sin(θ+φ)+1,
故-√5+1≤2x+y≤√5+1。
（2）∵x+y+a=cos θ+sin θ+1+a≥0.
∴a≥—（cos θ+sin θ）-1=-√2sin(𝜃+π4)-1,
∴a≥√2-1。
9.导学号73144032已知点A，B是椭圆𝑥29+𝑦24=1与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P，使四边形OAPB的面积最大.
解椭圆的参数方程为{𝑥=3cos𝜃,𝑦=2sin𝜃（θ为参数）。
设点P的坐标为（3cos θ，2sin θ）,其中0≤θ〈π2，
∵SOAPB=S△APB+S△AOB,其中S△AOB为定值,
∴只需S△APB最大即可。
又∵AB为定长,故只需点P到AB的距离最大即可.
AB的方程为2x+3y—6=0，点P到AB的距离为
d=|6cos𝜃+6sin𝜃-6|√13=6√13|√2sin(𝜃+π4)-1|。
∴当θ=π4时，d取最大值，从而SOAPB取最大值,这时点P的坐标为(3√22,√2)。
B组 学必求其心得，业必贵于专精
4 1。若直线y=ax+b经过第二、三、四象限,则圆{𝑥=𝑎+𝑟cos𝜃,𝑦=𝑏+𝑟sin𝜃（θ为参数)的圆心在（ ）
A.第一象限
B。第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：因为直线y=ax+b经过第二、三、四象限，所以a<0,b<0,所以圆心(a,b）在第三象限.
答案:A
2.已知椭圆{𝑥=𝑎cos𝜃,𝑦=𝑏sin𝜃(θ为参数)，若θ∈[0,2π）,则椭圆上的点(-a,0）对应的θ=(
）
A.π B.π2 C.2π D。3π2
解析:由{-𝑎=𝑎cos𝜃,0=𝑏sin𝜃,得{cos𝜃=-1,sin𝜃=0,所以θ=π。
答案:A
3。如图,若以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2-x=0的参数方程为 。
解析：由三角函数定义知𝑦𝑥=tan θ(x≠0），y=xtan θ，由x2+y2-x=0,得x2+x2tan2θ—x=0,x=11+tan2𝜃=cos2θ，则y=xtan θ=cos2θtan θ=sin θcos θ,又θ=π2时,x=0，y=0也适合题意,故参数方程为{𝑥=cos2𝜃,𝑦=sin𝜃cos𝜃（θ为参数）。
答案:{𝑥=cos2𝜃,𝑦=sin𝜃cos𝜃(θ为参数）
4。若点P(x,y)在椭圆4x2+y2=4上，则x+y的最大值为 ,最小值为 。
解析:∵点P在椭圆x2+𝑦24=1上,
∴可以设点P的坐标为（cos θ,2sin θ），
即x=cos θ,y=2sin θ，
∴x+y=cos θ+2sin θ=√5sin(θ+φ)，其中tan φ=12。
∵sin (θ+φ）∈［—1，1］,
∴x+y的最大值为√5,最小值为-√5。
答案:√5 -√5
5。导学号73144033已知曲线C的参数方程为{𝑥=√2cos𝑡,𝑦=√2sin𝑡（t为参数）,C在点(1，1)处的切线为l,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为 。
解析：∵曲线C的参数方程为{𝑥=√2cos𝑡,𝑦=√2sin𝑡（t为参数）, 学必求其心得，业必贵于专精
5 ∴其普通方程为x2+y2=2。
又点(1,1)在曲线C上,∴切线l的斜率k=-1.
故l的方程为x+y—2=0，化为极坐标方程为ρcos
θ+ρsin
θ=2,即ρsin(𝜃+π4)=√2.
答案:ρsin(𝜃+π4)=√2
6。设方程{𝑥=𝑡+2cos𝜃,𝑦=2𝑡+tan𝜃,
(1）当t=1时,θ为参数，此时方程表示什么曲线?
(2)当θ=π4时,t为参数,此时方程表示什么曲线？
解(1)当t=1时,θ为参数，原方程化为
{𝑥=1+2cos𝜃,𝑦=2+tan𝜃,消去参数θ，
得(𝑥-12)2—(y—2)2=1,即(𝑥-1)24—(y—2）2=1,这是一个焦点在x轴的双曲线.
（2）当θ=π4时，t为参数,原方程化为{𝑥=2√2+𝑡,𝑦=1+2𝑡,
消去参数t，得y=2x+1-4√2,这是一条直线.
7.已知直线l：x—y+9=0和椭圆C:{𝑥=2√3cos𝜃,𝑦=√3sin𝜃（θ为参数）。
（1)求椭圆C的左右焦点F1，F2的坐标；
（2）求以F1，F2为焦点,且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的椭圆的方程.
解（1）由椭圆的参数方程消去参数θ,得椭圆的标准方程为𝑥212+𝑦23=1，
得a2=12,b2=3，c2=a2-b2=9，则c=3.
故F1(-3，0），F2(3,0）.
(2）∵2a=｜MF1｜+｜MF2|,
∴只需在直线l：x—y+9=0上找到点M，使得|MF1｜+|MF2｜最小即可.
点F1(—3,0)关于直线l的对称点是F’1（-9，6），
∴点M为F2F'1与直线l的交点，则
|MF1|+|MF2｜=|MF'1｜+｜MF2|=|F’1F2|
=√(-9-3)2+(6-0)2=6√5,
∴a=3√5。
又∵c=3，b2=a2-c2=36,
∴所求椭圆的方程为𝑥245+𝑦236=1。
8.导学号73144034已知曲线C的方程为{𝑥=12(e𝑡+e-𝑡)cos𝜃,𝑦=12(e𝑡-e-𝑡)sin𝜃,
