复变函数论第一章复数与复变函数

引言

复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月．复数是16世纪人们在解代数方程时引入的．

1545年，意大利数学物理学家HCardan（卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程(10)xx的根，它求出形式的根为

515和515，积为25(15)40．

但由于这只是单纯从形式上推广而来引进，并且人民原先就已断言负数开平方是没有意义的．因而复数在历史上长期不能为人民所接受．“虚数”这一名词就恰好反映了这一点．

直到十八世纪，,DAlembert（达朗贝尔）：LEuler（欧拉）等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人民终于接受并理解了复数．

复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕..ALCauchy（柯西），KWeierstrass（魏尔斯特拉斯）和BRiemann（黎曼）三人的工作进行的．

到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用．

第一章

§1 复数

教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角； 掌握复数的代数运算复数的乘积与商﹑幂与根运算.

重点：德摩弗()DeMoiVre公式.

难点：德摩弗()DeMoiVre公式.

课时：2学时.

1． 复数域

形如zxiy或zzyi的数，称为复数，其中x和y均是实数，称为复数z的实部和虚部，记为Rexz，Imyz 1i，称为虚单位．

两个复数111zxiy，与222zxiy相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即12xx且12yy虚部为零的复数可看作实数，即0xix，特别地，000i，因此，全体实数是全体复数的一部分．

实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数xiy和xiy称为互为共轭复数，记为

()xiyxiy 或 xiyxiy

设复数111zxiy，222zxiy，则复数四则运算规定：

121212()()zzxxiyy

1212121221()()zzxxyyixyxy

1121221122222222222(0)zxxyyxyxyizzxyxy

容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律．

全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的．

２．复平面

从上述复数的定义中可以看出，一个复数zxiy实际上是由一对有序实数(,)xy唯一确定．因此，如果我们把平面上的点(,)xy与复数zxiy对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系．

由于x轴上的点和y轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称x轴为实轴，称y轴为虚轴，这样表示复数z的平面称为复平面或z平面．

引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集”．

3．复数的模与幅角

由图1.1中可以知道，复数zxiy与从原点到点z所引的向量oz也构成一一对应关系（复数O对应零向量）．从而，我们能够借助于点z的极坐标r和来确定点zxiy，向量oz的长度称为复数z的模，记为图1.1

220rzxy

显然，对于任意复数zxiy均有xz，yz，zxy (1.1) 另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式

1212zzzz

(1.2)

（三角形两边之和第三边，图1.2）

图1.2

1212zzzz (1.3)

（三角形两边之差第三边，图1.3）

图1.3

(1.2)与(1.3)两式中等号成立的几何意义是：复数1z，2z分别与12zz及12zz所表示的三个向量共线且同向．

向量oz与实轴正向间的夹角满足yxtan称为复数z的幅角()Argument，记为Argz 由于任一非零复数z均有无穷多个幅角，若以Argz表示其中的一个特定值，并称满足条件 Argz (1.4)

的一个值为Argz的主角或z的主幅角，则有

arg2Argzzk (1.5)

(0,1,2,)k

注意：当0z时，其模为零，幅角无意义．

从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数z，即有

(cossin)zri (1.6) 同时我们引进著名的欧拉()Euler公式：

cossiniei (1.7)

则(1.6)可化为izre (1.8)

(1.6)与(1.8)式分别称为非零复数z的三角形式和指数形式，由(1.8)式几指数性质即可推得复数的乘除有

12121122()121212()111222iiiiiizzrerrrezrerezrr (1.9)

因此 1212zzzz，1122zzzz 2(0)z (1.10)

12121122()ArgzzArgzArgzzArgArgzArgzz (1.11)

公式(1.10)与(1.11)说明：两个复数1z，2z的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）．

特别当21z时可得 12()12izzre

此即说明单位复数21z乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度．

另外，也可把公式(1.11)中的Argz换成argz（某个特定值），若argz为主值时，则公式两端允许相差2的整数倍，即有

12121122()2()2ArgzzargzargzkzArgargzargzkz (1.12)

公式(1.9)可推广到有限个复数的情况，特别地，当12nzzz时，有

()(cossin)ninninnzrereri

当1r时，就得到熟知的德摩弗()DeMoiVre公式：

(cossin)cossinninin (1.13)

例1.1求cos3及sin3用cos与sin表示的式子 解：3cos3sin3(cossin)ii（）=

3223cos3cossin3cossinsinii

323cos3cos3cossin4cos3cos

233sin33cossinsin3sin4sin

4.曲线的复数方程

例1.2连接1z及2z两点的线段的参数方程为121()(01)zztzzt

过1z及2z两点的直线（图 ）的参数方程为121()()zztzzt

例1.3 z平面上以原点为心，k为半径的圆周的方程为zR

z平面上以0z为心，R为半径的圆周的方程为0zzR

例1.4 z平面上实轴的方程为Im0z，虚轴的方程为Re0z.

作业:第42页 2,3,4

§2 复平面上的点集

教学目的与要求：平面点集的几个基本概念;掌握区域的概念;了解约当定理.

重点：区域的概念,约当定理.

难点：区域的概念.

课时：2学时.

1. 几个基本概念

定义1.1 满足不等式0zz的所有点z组成的平面点集（以下简称点集）称为点0z的邻域，记为0Nz（）．

显然，0Nz（）即表示以0z为心，以为半径的圆的内部

定义1.2 设E为平面上的一个点集，若平面上一点0z的任意邻域内巨有E的无穷多个点，则称0z为E的内点．

定义1.3 若E的每个聚点都属于E，则称E为闭集．

若E的所有点均为内点，则称E为开集

定义1.4 若0M，zE，均有zM 则称E为有界集，否则称E为无界集．

2. 区域与约当()Jordan曲线

定义1.5 若非空点集D满足下列两个条件：

(1) D为开集．

(2) D中任意两点均可用全在D中的折线连接起来，则称D为区域.

定义1.6 若0z为区域D的聚点且0z不是D的内点，则称0z为D的界点，D的所有界点组成的点集称为D的边界，记为D，若0r，使得0()rNzD，则称0z为D的外点

定义1.7 区域D加上它的边界C称为闭区域，记为DDC有关区域的几个例子

例1.5 z平面上以点0z为心，R为半径的圆周内部（即圆形区域）：0zzR

例1.6 z平面上以点0z为心，R为半径的圆周及其内部（即圆形闭区域）0zzR

例1.5与例1.6所表示的区域都以圆周0zzR为边界，且均为有界区域

例1.7 上半平面 Im0z

下半平面 Im0z

它们都以实轴Im0z为边界，且均为无界区域．

左半平面 Re0z

右半平面 Re0z

它们都以虚轴Re0z为边界，且均为无界区域．

例1.8 图1.4所示的带形区域表为12Imyzy.

oy2y1图1.4xy

其边界为1yy与2yy，亦为无界区域．

例1.9 图 所示的圆环区域表为rzR其边界为zr与zR，为有界区域． 定义1.8 设()xt及()yt是两个关于实数t在闭区间[,]上的连续实数，则由方程()()()zztxtiyt ()t (1.13)

所确定的点集C称为z平面上的一条连续曲线，(1.13)称为C的参数方程，()z及()z分别称为C的起点和终点，对任意满足1t及2t的1t与2t，若12tt时有12()()ztzt，则点1()zt称为C的重点；无重点的连续曲线，称为简单曲线（约当曲线）；()()zz的简单曲线称为简单闭曲线．若在t上时，()xt及()yt存在节不全为零，则称C为光滑（闭）曲线．

定义1.9 由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线．

定义1.1（约当定理） 任一简单闭曲线C将z平面唯一地分为C、()IC、()EC三个点集（图 1.5 ），它们具有如下性质： 图1.5

(1)彼此不交．

(2)()IC与()EC一个为有界区域（称为C的内部），另一个为无界区域（称为C的外部）

(3)若简单折线P的一个端点属于()IC，另一个端点属于()EC，则P与C必有交点．

对于简单闭曲线的方向，通常我们是这样来规定的：当观察这沿C绕行一周时，C的内部（或挖）始终在C的左方，即“逆时针”（或“顺时针”）方向，称为C的正方向（或负方向）．