复变函数论第2章

1 复变函数期末复习提要

第2章：解析函数

⒈理解解析函数的定义，性质及其充分必要条件；

⒉了解函数在一点解析与函数在一点可导的区别；

⒊熟练掌握利用柯西——黎曼条件判别解析函数的方法；

⒋熟练掌握“已知解析函数的实部（或虚部），求该解析函数”的方法。

函数在一点可导的定义是

设函数)(zfw定义在区域D内，DzzDz)(,00，若

zzfzzfz)()(lim0

存在，则称此极限为函数)(zf在点0z的导数，记为)(0zf，即

zzfzzfzfz)()(lim)(0000 （2.1）

此时，称函数)(zf在点0z可导，否则，称函数)(zf在点0z不可导。

函数在一点解析的定义是

设函数)(zfw定义在区域D内，0z为D内某一点，若存在一个邻域),(0pzN，使得函数)(zf在该邻域内处处可导，则称函数)(zf在点0z解析。此时称点0z为函数)(zf的解析点。若函数)(zf在点0z不解析，则称0z为函数)(zf的奇点。

函数在一点解析，则在该点可导，反之则未必。

例1 试证：函数)Re()(zzf在复平面上处处不可导。

分析：导数是一个特定类型的极限，要证明复变函数在某点的极限不存在，只需要找两条特殊的路径，使自变量沿这两条路径趋于该点时，函数值趋于不同的值。

证 对任意点z，因

zzzzzzfzzf)Re()Re()()(

令yxzi，于是有

yxxzzfzzfi)()(

由于上式当zz沿平行于虚轴的方向趋于点z时（即0,0yx），其极限为0；当zz沿平行于实轴的方向趋于点z时（即0,0xy），其极限为1，所以

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。 1欢迎下载 复变函数论总结

摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。

关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换

1 引言

《复变函数论主要内容》

第一章 复变函数 complex function

第二章 复变函数的积分 complex function integral

第三章 幂级数展开 power series expansion

第四章 留数定理 residual theorem

第五章 傅立叶变换 Fourier integral transformation

第一章 复变函数

§1.1 复数及复数的运算

§1.2 复变函数

§1.3导数

§1.4解析函数

§1.1 复数及复数的运算

1． 复数的概念

的数被称为复数，其中。

； ；ｉ为虚数单位，其意义为

当且仅当时，二者相等

复数与平面向量一一对应

虚轴 ｙ

ｚ平面

. （ｘ，ｙ）

ｒ

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模

幅角 (ｋ)

注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义

2． 复数的表示

代数表示

三角表示

指数表示

一个复数ｚ的共轭复数

注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差

3． 无限远点

在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义

4． 复数的运算

复数的加法法则：

复数与的和定义是

两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。复数的加法满足交换律和结合律，且

第二章 复变函数的积分

在微积分学中，微分法与积分法是研究函数性质的重要方法。同样，在复变函数中，积分法也跟微分法一样是研究复变函数性质十分重要的方法和解决实际问题的有力工具。

§2.1 复变函数积分的概念

一、复变函数的积分

设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线。若选定C的两个可能方向中的一个作为正方向，那么就把C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。设曲线C的两个端点为A与B，如果从A到B的方向作为C的正方向，那么从B到A的方向就是C的负方向，并把它记作C。在今后的讨论中，常把两个端点中的一个作为起点，另一个作为终点。除特殊声明外，正方向总是指从起点到终点的方向。关于简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时，临近P点的曲线内部始终位于P点的左方。与之相反的方向就是曲线的负方向。若光滑或逐段光滑的曲线C的参数方程为

)()()(tiytxtzz，)(t （2.1）

t为实参数，则规定t增加的方向为正方向，即由)(za到)(zb的方向为正方向。

定义2.1 设函数)(zfw定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为：

BzzzzzAnn,...,,,1210

在每个小弧段上任取一点k（图3.1），作和 nkkknzfS1)(

其中1kkkzzz，记ks的长度，}Δ{max1knksδ。当n无限增加，且δ趋于零时，如果不论对C的分法及k的取法如何，当nS有唯一极限，那么称这个极限值为函数)(zf沿曲线C的积分，记作

nkkkδCzζfdzzf10Δ)(lim)( （2.2）

图2.1

C称为积分路径，Cdzzf)(表示沿C的正方向的积分，Cdzzf)(表示沿C的负方向的积分。如果C为有向闭曲线，且正向为逆时针方向，那么沿此闭曲线的积分可记作Cdzzf)(。

复变函数论第四版答案钟玉泉

第二章 解析函数

（一）

1.证明:0,使0001/),(tttt,有)()(01tztz,即C在)(0tz的对应去心邻域内无重点,即能够联结割线)()(10tztz,是否就存在数列01ttn,使)()(01tztzn,于是有

0)()(lim)(0101001tttztztznnttn

此与假设矛盾.

01001),(ttttt

因为 )()(arg)()(arg010101tztztttztz

所以 ])()(limarg[)()(arglim)()(arglim0101010101010101tttztztttztztztztttttt

因此,割线确实有其极限位置,即曲线C在点)(0tz的切线存在,其倾角为)(arg0tz.

2.证明:因)(),(zgzf在0z点解析,则)(),(00zgzf均存在.

所以 )()()()()()(lim)()()()(lim)()(lim00000000000zgzfzzzgzgzzzfzfzgzgzfzfzgzfzzzzzz

3.证明:3322,0,0,,0,00xyxyuxyxyxy

3322,0,0,,0,00xyxyvxyxyxy 于是00,00,00,0limlim1xxxuxuxuxx,从而在原点fz满足CR条件,但在原点，'0,00,0xxuivuivffzzz

333311ixyizxyz

当z沿0yx时,有'212ffzizx