复变函数第一章

第三章 复变函数的积分

（一）

1.解:)10(xxy为从点0到1+i的直线方程,于是

iCyixdixyxdzixyx1022)()()(

102102)1()()(dxxiiixxdixxx

31013)1(3ixi

2.解:(1)11,:xxzC,因此111Cdxxdzz

(2)iezC:,从变到0,因此

200deidedzziCi

(3)下半圆周方程为2,iez,则

202dieidedzziCi

3.证明:(1)11,0:yxC

因为1)(222iyiyxzf,而积分路径长为2)(ii

故 2)()(2222iiCdziyxdziyx.

(2) 0,1:22xyxC

而1)(4422yxiyxzf,右半圆周长为,

所以 iidziyx)(22.

4.解:(1)因为距离原点最近的奇点2z,在单位圆1z的外部,所以zcos1在1z上处处解析,由柯西积分定理得 0cosCzdz.

(2)1)1(122122zzz,因奇点iz1在单位圆1z的外部, 所以2212zz在1z上处处解析,由柯西积分定理得 0222Czzdz. (3) )3)(2(652zzezzezz,因奇点3,2z在单位圆1z的外部,

所以652zzez在1z上处处解析,由柯西积分定理得 0652Czzzdze.

(4)因为2coszz在1z上处处解析, 由柯西积分定理得

0cos2Cdzzz.

复变函数教案

2012—2013学年度 第二学期

任课教师 郭 城

课程名称 复 变 函 数

采用教材 高教三版（钟玉泉编）

周课时数 4

数统 学院 数学教育 专业 2010 年级1班

引言

数学从产生、有发展到现在，已成为分支众多的学科了，复变函数是其中一个非常重要的分支。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论，简称函数论。

我们知道，在解实系数一元二次方程ax2+bx+x=O(a≠o1时，如果判别式b2-4

ac

为了使负数开平方有意义，也就是要使上述这类方程有解，我们需要再一次扩大数系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域。但最初，由于对复数的有关概念及性质了解不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，因而，长期以来，人们把复数看作不能接受的“虚数”。

直到十七世纪和十八世纪，随着微积分的发明与发展，情况才逐渐有了改变。另外的原因，是这个时期复数有了几何的解释，并把它与平面向量对应起来解决实际问题的缘故。复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔一欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西一黎曼条件”。关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉(Euler)作出的。他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上，用符号“i”作为虚数的单位，也是他首创的。此后，复数才被人们广泛承认和使用。

第一章小结

一、 复数及运算

1. 复数及代数运算

2. 复数的几何表示

复数与复平面上的点、向量一一对应；几何角度看唯一确定复数的两个概念为：模、辐角；复数加减乘积运算后对应的复数在坐标面上可通过画图做出；几何运算：积(商)的模等于模的积(商)，幅角等于幅角和(差)；复数差的模表示两个点间的距离；复数的三角表示在计算复数的乘幂及方根时较方便

二、 复数集概念：邻域、内点、开集、区域、简单曲线、单联通与多联通区域

三、 复变函数

1. 对应于两个二元实变函数，因此对复变函数的研究有两种方法

(1). 参考一元实变函数的研究方法

例. 设函数()fz在0z连续，且0()0fz，证明必存在0z的一个邻域，使得在此邻域内()0fz

证明：设00lim()()zzfzfz，则对任意的0(),2fz存在0使得当0zz时

00()()(),2fzfzfz

因此 00()()(),2fzfzfz

所以 0()()0.2fzfz

(2). 转化为两个二元实变函数的研究，如复变函数的极限与连续性的讨论

四、几个特定的复数问题及求解的关键步骤

1. 证明复数模的不等式

关键步骤：

(1). 证明原不等式两端平方后的不等式

(2). 利用2zzz

2. 确定平面曲线的复数方程

关键步骤：转化为求,xy满足的方程

3. 确定复数方程对应图形

关键步骤：利用复数差模的几何意义；转化为关于,xy的方程；转化为关于,r的方程

4. 确定映射()wfz将z平面上的图形映到w平面上的图形

法1： 写出()wfz对应的两个二元实变函数；利用z平面上的图形对应的方程将二元实

变函数中的两个变量用同一个变量表示；

法2：由函数对应的两个二元实变函数出发，将,xy用,uv表示并代入原像方程

5. 讨论复变函数()wfz的极限及连续性

第一章复数和复平面

§1.1复数

1. 复数的概念

复数z = a + ib或空=。+仞，其中d和b为实数，i称为虚单位，即是满足r =-1.

Q与“分别称为复数z的实部和虚部，记作Q二Rez, /? = Im乙

■

2. 复数的向量表示和复平面

根据复数相等的定义，任何一个复数z = a + ibf都可以由一个有序实数对(a,b)惟一确

定；，有序实数对@0)与平面直角坐标系屮的点是一一对应的.由此，可以建立复数集与平而

直角坐标系中的点集之间的 对应.

我们说点z(a,b),与复数z = a + ib表示同一意义.

如果 z = a + ib ,则 z = a —ib.

复数z = a + ib还可以用rtl原点引向点z的向量丞來表示，这种表示方式建立了复数 集Q与平面向量所成的集合的一一对应(实数0与零向量对应).向量丞的 < 度称为复数z 的模，记为|z|或儿因此有

|z| =厂=J/ > 0 (1.1)

显然,|Rez| 5|z| 5|Rez| + |lmz|, |lmz| <|z| W|Rez| + |lmz|・

考虑复平面□的不为零的点z = x + iy .如图1.3所示，这个点有极坐标 (r,&):x = “os0,y =

A*sin&.显然厂=忖,&是正实轴与从原点0到z的射线的夹角，称为

复数z的幅角，记为& = Argz,英屮满足条件：一兀<05的值称为z = x + iy的主幅角,

记为 6 = 6/rgz ,显然有 Argz = argz + 2k7T, k = 0,±l,±2,±3,…

实部，虚部，模与幅角的关系：

兀=厂cos&, y = rsin3 tan^ = —.|z| =厂=Jx2 + 于

V arctan — ,x>0 x

y 龙+ arctan —v 0,y > 0 x

y

八 --ZT +arctan —,x< 0,y < 0

6 = argz = x