《复变函数》第一章 复数与复变函数

复变函数教案

2012—2013学年度 第二学期

任课教师 郭 城

课程名称 复 变 函 数

采用教材 高教三版（钟玉泉编）

周课时数 4

数统 学院 数学教育 专业 2010 年级1班

引言

数学从产生、有发展到现在，已成为分支众多的学科了，复变函数是其中一个非常重要的分支。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论，简称函数论。

我们知道，在解实系数一元二次方程ax2+bx+x=O(a≠o1时，如果判别式b2-4

ac

为了使负数开平方有意义，也就是要使上述这类方程有解，我们需要再一次扩大数系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域。但最初，由于对复数的有关概念及性质了解不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，因而，长期以来，人们把复数看作不能接受的“虚数”。

直到十七世纪和十八世纪，随着微积分的发明与发展，情况才逐渐有了改变。另外的原因，是这个时期复数有了几何的解释，并把它与平面向量对应起来解决实际问题的缘故。复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔一欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西一黎曼条件”。关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉(Euler)作出的。他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上，用符号“i”作为虚数的单位，也是他首创的。此后，复数才被人们广泛承认和使用。

复变函数测验题

1 第一章 复数与复变函数

一、 选择题

1．当iiz11时，5075100zzz的值等于（ ）

（A）i （B）i （C）1 （D）1

2．设复数z满足3)2(zarc，65)2(zarc，那么z（ ）

（A）i31 （B）i3 （C）i2321 （D）i2123

3．复数)2(taniz的三角表示式是（ ）

（A）)]2sin()2[cos(seci （B）)]23sin()23[cos(seci

（C）)]23sin()23[cos(seci（D）)]2sin()2[cos(seci

4．若z为非零复数，则22zz与zz2的关系是（ ）

（A）zzzz222 （B）zzzz222

（C）zzzz222 （D）不能比较大小

５．设yx,为实数，yixzyixz11,1121且有1221zz，则动点),(yx的轨迹是（ ）

（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线

６．一个向量顺时针旋转3，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i31，则原向量对应的复数是（ ）

（A）2 （B）i31 （C）i3 （D）i3 复变函数测验题

2 ７．使得22zz成立的复数z是（ ）

（A）不存在的 （B）唯一的 （C）纯虚数 （D）实数

８．设z为复数，则方程izz2的解是（ ）

（A）i43 （B）i43 （C）i43 （D）i43

９．满足不等式2iziz的所有点z构成的集合是（ ）

（A）有界区域 （B）无界区域 （C）有界闭区域 （D）无界闭区域

引言

复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月．复数是16世纪人们在解代数方程时引入的．

1545年，意大利数学物理学家HCardan（卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程(10)xx的根，它求出形式的根为

515和515，积为25(15)40．

但由于这只是单纯从形式上推广而来引进，并且人民原先就已断言负数开平方是没有意义的．因而复数在历史上长期不能为人民所接受．“虚数”这一名词就恰好反映了这一点．

直到十八世纪，,DAlembert（达朗贝尔）：LEuler（欧拉）等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人民终于接受并理解了复数．

复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕..ALCauchy（柯西），KWeierstrass（魏尔斯特拉斯）和BRiemann（黎曼）三人的工作进行的．

到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用．

第一章

§1 复数

教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角； 掌握复数的代数运算复数的乘积与商﹑幂与根运算.

重点：德摩弗()DeMoiVre公式.

难点：德摩弗()DeMoiVre公式.

课时：2学时.

1． 复数域

形如zxiy或zzyi的数，称为复数，其中x和y均是实数，称为复数z的实部和虚部，记为Rexz，Imyz 1i，称为虚单位．

两个复数111zxiy，与222zxiy相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即12xx且12yy虚部为零的复数可看作实数，即0xix，特别地，000i，因此，全体实数是全体复数的一部分．

第一章 复数与复变函数

一、 判断题。

1. i4=-1.（ ）

2.两个复数之间可以比较大小。（ ）

3.任何复数都可以用三角表示。（ ）

4.区域D的内点一定是极限点。

5.若尔当曲线一定把复平面分为三部分。（ ）

6.复变函数一定是单值函数。（ ）

7.arg（1+2i）＞arg(1-2i).( )

8.设f(z)= 1z−1,则f(z)在点z=1处一定不连续。（ ）

9.复数列{zn}n=1∞的极限为z0,则z0一定是复数集合{zn|n=1,2,…}的聚点。（ ）

10.复球面上点与扩充复平面上点一定存在一一对应关系。（ ）

11.limZ→0Z|Z|不存在。（ ）

12.在z平面内，中心为i，半径为1的圆方程为|z-i|=1.（ ）

二、选择题。

1．当z=1+i1−i时，z100+z75+z50的值等于（ ）。

A.i B.-1 C.1 D.-1

2.设复数z满足arg(z+2)=π3,那么z=（ ）。

A.-1+√3i B .-√3+i C.-12+√32i D.-√32+12i

３.复数z=tanθ-i(π2＜θ<𝜋)的三角表示式是（ ）。

Ａ.secθ[cos（π２＋θ)＋ｉsin（π２＋θ）］ Ｂ. secθ[cos（３π２＋θ)＋ｉsin（３π２＋θ）］

Ｃ．－secθ[cos（３π２＋θ)＋ｉsin（３π２＋θ）］

Ｄ. -secθ[cos（π２＋θ)＋ｉsin（π２＋θ）］

４.若z为非零复数，则|z2−z̅2|与2zz̅的关系是（ ）。

A.|z2−z̅2|≥2zz̅

B.|z2−z̅2|=2zz̅

C.|z2−z̅2|≤2zz̅

D.不能比较大小。

5.设x,y为实数，z1=x+√11+iy, z2=x−√11+iy,且有|z1|+|z2|=12,则动点（x,y）的轨迹是（ ）。