椭圆的简单几何性质1有答案

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个性化辅导讲义

学校： 年 级： 课时数：2

学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：

授课课题 椭圆的简单几何性质

授课时间及时段 2019年 月 日 星期六 时段： 16:00 — 18：00

教学目标 1.掌握椭圆的简单几何性质，能用椭圆的简单几何性质求椭圆方程.(重点)

2.掌握椭圆离心率的求法及a，b，c的几何意义.(难点)

3.理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念.(易混点)

教学内容与过程

椭圆的简单几何性质

1.椭圆的简单几何性质

焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形

标准

方程 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0) y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)

范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)

轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a

焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)

焦距 |F1F2|＝2c

对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)

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离心率 e＝ca

2.离心率性质

离心率e的范围是(0,1).e越接近于1，椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆.

[基础·初探]

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.( )

(2)椭圆x212＋y24＝1与y212＋x24＝1有相同的离心率.( )

(3)椭圆的离心率e越接近于0，椭圆越接近于圆.( )

【答案】 (1)× (2)√ (3)√

[小组合作型]

椭圆的简单几何性质

(1)椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )

A.(±13,0) B.(0，±10)

C.(0，±13) D.(0，±69)

(2)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为( )

A.54 B.32

C.22 D.12

【自主解答】 (1)由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±69).

(2)设长轴长为2a，短轴长为2b，由题意可知a＝2b，则c＝a2－b2＝3b2＝3b，所以离心率为e＝ca＝3b2b＝32.

【答案】 (1)D (2)B

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已知椭圆的方程讨论其几何性质时，应先将方程化为标准形式，不确定焦点位置的要分类讨论，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等，同时，要注意其中某些概念的区别，如长轴长是2a，短轴长是2b.

[再练一题]

1.(1)椭圆6x2＋y2＝6的长轴的顶点坐标是( )

A.(－1,0)，(1,0)

B.(－6,0)，(6,0)

C.(－6，0)，(6，0)

D.(0，－6)，(0, 6)

【解析】 椭圆的标准方程为x2＋y26＝1，焦点在y轴上，其长轴的端点坐标为(0，±6).

【答案】 D

(2)已知椭圆x29＋y2m＝1的一个顶点为(0,5)，试求椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，离心率及其余的顶点.

【解】 ∵(0,5)是椭圆x29＋y2m＝1的顶点，

∴m＝25.

∴椭圆方程为x29＋y225＝1，∴a2＝25，b2＝9.∴c2＝a2－b2＝16.

∴长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，焦点为(0，－4)，(0,4)，离心率为e＝ca＝45，

其余顶点为(－3,0)，(3,0)，(0，－5).

利用椭圆几何性质求其标准方程

写出满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)焦点在x轴上，a＝4，e＝12；

(2)焦点在y轴上，c＝6，e＝23；

(3)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3；

(4)离心率为32，经过点(2,0).

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【精彩点拨】 本题考查椭圆方程的求法.根据题中所给条件，结合椭圆的几何性质定位(即确定焦点位置)、定量(即确定长轴和短轴的长)，若没有指明焦点位置，要分焦点在x轴上、y轴上进行讨论.

【自主解答】 (1)由a＝4，e＝ca＝12知，c＝2，b2＝16－4＝12.

又焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为x216＋y212＝1.

(2)由c＝6，e＝23知，a＝9，b2＝81－36＝45.

又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为y281＋x245＝1.

(3)由题意知，a＝5，c＝3，b2＝25－9＝16，焦点所在坐标轴可为x轴，也可为y轴，故椭圆的标准方程为x225＋y216＝1或x216＋y225＝1.

(4)由e＝ca＝32，

设a＝2k，c＝3k，k>0，则b＝k.

又椭圆经过点(2,0)，当它为短轴顶点时，则b＝2，a＝4，椭圆的标准方程为x24＋y216＝1.

当点(2,0)为长轴顶点时，a＝2k＝2，即k＝1.

所以椭圆标准方程为x24＋y2＝1.

利用椭圆的性质求椭圆的标准方程应注意：

1讨论：若题目中没有明确焦点的位置，要根据题中条件适当分类，设出对应方程；

2减参：设椭圆方程时，根据题中所给条件建立关于a，b的关系式，尽量减少待确定的参数的个数.

[再练一题]

2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴长是10，离心率是45；

(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.

【解】 (1)设椭圆的方程为

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x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0).

由已知得2a＝10，a＝5.

又∵e＝ca＝45，∴c＝4.

∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.

∴椭圆方程为x225＋y29＝1或y225＋x29＝1.

(2)依题意可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0).

如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，

故所求椭圆的方程为x218＋y29＝1.

[探究共研型]

椭圆的离心率

探究1 椭圆的离心率是怎样定义的？如何用a，b表示离心率？

【提示】 (1)把椭圆的焦距与长轴长的比e＝ca称为椭圆的离心率.

(2)由e＝ca得e2＝c2a2＝a2－b2a2，

∴e＝1－ba2.

∴e＝1－b2a2.

探究2 下列两个椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？

4x2＋9y2＝36与x225＋y220＝1.

【提示】 将椭圆方程4x2＋9y2＝36化为标准方程x29＋y24＝1，则a2＝9，b2＝4，所以a＝3，c＝a2－b2＝5，故离心率e＝53；椭圆x225＋y220＝1中，a2＝25，b2＝20，则a＝5，c＝a2－b2＝

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5，故离心率e＝55.

由于前一个椭圆的离心率较大，因此前一个椭圆更扁，后一个椭圆更圆.

如图2-1-2所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率；

图2-1-2

【精彩点拨】 根据题意，找出关于a、b、c的方程或不等式，结合a2＝b2＋c2求解.

【自主解答】 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c.

则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为c，23b，

则△MF1F2为直角三角形.

在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，

即4c2＋49b2＝|MF1|2.

而|MF1|＋|MF2|＝4c2＋49b2＋23b＝2a，

整理得3c2＝3a2－2ab.

又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.

所以b2a2＝49.

∴e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－b2a2＝59，

∴e＝53.

求椭圆离心率或其范围的常用方法

1.定义法：若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2，b2，求出a，c的值，利用公式e＝ca直接求解.

2.转化法：若椭圆的方程未知，则根据条件建立a，b，c满足的关系式，化为关于a，c的

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齐次方程，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程，即可求得e的值.

[再练一题]

3.如图2-1-3所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率.

图2-1-3

【解】 设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，

如题图所示，则有F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，直线PF1的方程为x＝－c，

代入方程x2a2＋y2b2＝1，得y＝±b2a，∴P－c，b2a.

又PF2∥AB，∴△PF1F2∽△AOB.

∴|PF1||F1F2|＝|AO||OB|，

∴b22ac＝ba，∴b＝2c.

∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴c2a2＝15.

∴e2＝15，即e＝55，所以椭圆的离心率为55.

1.椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( )

A.32 B.34

C.22 D.23

【解析】 椭圆方程可化为x2＋y214＝1，

∴a2＝1，b2＝14，∴c2＝34，