椭圆的简单几何性质

2.2 椭圆

2.2.2椭圆的简单几何性质

第一课时 椭圆的简单几何性质

【学习目标】

1、理解椭圆的范围、对称性、顶点、长轴长及短轴长；

2、掌握椭圆的离心率及cba,,的几何意义。

【重难点】

重点：椭圆的简单几何性质

难点：求椭圆的离心率

【学习过程】

复习引入：

1、椭圆的定义

我们把平面内与两个定点21,FF的距离的和等于常数（大于||21FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点21,FF叫做椭圆的焦点，两焦点21,FF间的距离||21FF叫做椭圆的焦距。

2、椭圆的标准方程

焦点在x轴上：12222byax)0(ba 焦点在y轴上：12222aybx)0(ba

3、重要结论：222cba

知识点一：椭圆的简单几何性质

1、范围

由图形及椭圆的标准方程12222byax可知，122ax且122by，即

bybaxa

故椭圆12222byax位于直线ax和by所形成的矩形框里。

2、对称性

观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。

在椭圆12222byax中，用y代替y，方程不变，所以椭圆关于x轴对称；用x代替x，方程不变，所以椭圆关于y轴对称；用x代替x，用y代替y，方程不变，所以椭圆关于原点对称。

结论：椭圆关于x轴和y轴都对称，所以x轴、y轴叫做椭圆的对称轴；对称轴的交点原点，叫做椭圆的对称中心。 3、顶点

椭圆与对称轴的交点，叫做椭圆的顶点。显然12222byax有四个顶点，其中在x轴上有)0,(),0,(21aAaA，在y轴上有),0(),,0(21bBbB。

线段2121,BBAA分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别和a2和b2，ba,分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4、离心率

椭圆的焦距与长轴长的比ac称为椭圆的离心率，用e表示，即ace，且)1,0(e

燕大附中高二数学导学案 选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 主备人：杨华 时间：2012．11．5

好学而不勤问，非真好学者！ 聪明出于勤奋，天才在于积累。 1 2.2.2椭圆的简单几何性质（1）

学习目标：1、掌握椭圆的简单几何性质及椭圆方程中a，b以及c，e的几何意义。

2、学会数和形两种研究方法——数形结合

一、引入思考：你如何得到，圆122yx中变量x，y的取值范围分别是什么？

二、新课讲授

探究椭圆的简单几何性质：

1、范围

2、对称性

拓展研究：曲线2xy有对称性吗？曲线xy2呢？

3、顶点：

拓展探究：你能标出图中椭圆焦点的位置吗？依据是什么？

4、离心率：我们把椭圆的焦距与长轴长的比ac称为椭圆的离心率，用e表示，即ace。（10e）

例1：求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，请画出这个椭圆的草图。

小结：

作业：课本P48 练习2、3、4、5 P49 习题1、2、3、4、5 x O A2 A1

B1 B2 y

x O

)0(12222babyax y

x O

)0(12222babyax y x O

)0(12222babyax y

A2 A1 B2

B1

椭圆的简单几何性质

教学目标：

1. 理解椭圆的定义及其基本几何性质。

2. 学会运用椭圆的性质解决相关问题。

3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

教学内容：

1. 椭圆的定义

2. 椭圆的焦点

3. 椭圆的长轴和短轴

4. 椭圆的离心率

5. 椭圆的面积

教学准备：

1. 教学课件或黑板

2. 椭圆模型或图片

3. 直尺、圆规等绘图工具

教学过程：

一、导入（5分钟）

1. 引入椭圆的概念，展示椭圆模型或图片，让学生观察并描述椭圆的特点。

2. 引导学生思考：椭圆与其他几何图形（如圆、矩形等）有什么不同？

二、椭圆的定义（10分钟）

1. 给出椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。 2. 解释椭圆的焦点概念，说明焦点的作用。

3. 引导学生通过实际操作，绘制一个椭圆，并标记出焦点。

三、椭圆的焦点（10分钟）

1. 介绍椭圆的焦点与椭圆的离心率的关系。

2. 引导学生通过实际操作，观察焦点的位置与椭圆的形状之间的关系。

3. 解释椭圆的离心率的定义及其几何意义。

四、椭圆的长轴和短轴（10分钟）

1. 介绍椭圆的长轴和短轴的概念。

2. 引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴和短轴的长度。

3. 解释长轴和短轴与椭圆的形状之间的关系。

五、椭圆的面积（10分钟）

1. 介绍椭圆的面积的计算公式。

2. 引导学生通过实际操作，计算一个给定椭圆的面积。

3. 解释椭圆面积与长轴和短轴之间的关系。

教学评价：

1. 通过课堂讲解和实际操作，学生能够理解椭圆的定义及其基本几何性质。

2. 通过解决问题和完成作业，学生能够运用椭圆的性质解决相关问题。

3. 通过课堂讨论和提问，学生能够展示对椭圆的理解和应用能力。

六、椭圆的离心率（10分钟）

1. 回顾椭圆的离心率的定义和计算方法。

2. 引导学生通过实际操作，观察离心率与椭圆的形状之间的关系。

3. 解释离心率在几何中的应用，如椭圆的焦点和直线的交点等。 七、椭圆的参数方程（10分钟）

椭圆的简单几何性质

教学目标：

1. 理解椭圆的定义及其基本性质。

2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等几何参数的计算方法。

3. 能够运用椭圆的性质解决相关几何问题。

教学重点：

1. 椭圆的定义及其基本性质。

2. 椭圆几何参数的计算方法。

教学难点：

1. 椭圆性质的应用。

教学准备：

1. 教学课件或黑板。

2. 尺子、圆规等绘图工具。

教学过程：

一、导入

1. 引导学生回顾圆的性质，提出问题：“如果将圆的半径缩小，圆的形状会发生什么变化？”

2. 学生讨论并得出结论：圆的形状会变成椭圆。

二、新课讲解

1. 引入椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。

2. 讲解椭圆的基本性质： a) 椭圆的两个焦点对称，且位于椭圆的长轴上。

b) 椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是垂直于长轴的线段。

c) 椭圆的半长轴a和半短轴b是椭圆的几何参数，焦距2c与a、b之间的关系为c^2=a^2-b^2。

3. 演示如何用尺子和圆规绘制椭圆，并引导学生动手实践。

三、案例分析

1. 给出一个椭圆，让学生计算其长轴、短轴和焦距。

2. 学生分组讨论并解答，教师巡回指导。

四、课堂练习

1. 布置课堂练习题，让学生运用椭圆的性质解决问题。

2. 学生独立完成练习题，教师批改并给予反馈。

五、总结与拓展

1. 总结本节课所学的椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。

2. 提出拓展问题：“椭圆在实际应用中有什么意义？”，引导学生思考和探索。

教学反思：

本节课通过导入、新课讲解、案例分析、课堂练习和总结与拓展等环节，使学生掌握了椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。在教学过程中，注意引导学生主动参与、动手实践，提高学生的学习兴趣和积极性。通过课堂练习和拓展问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。但在教学过程中，也要注意对学生的个别辅导，确保每个学生都能跟上教学进度。

六、椭圆的离心率