椭圆的简单几何性质

2.2 椭圆

2.2.2椭圆的简单几何性质

第一课时 椭圆的简单几何性质

【学习目标】

1、理解椭圆的范围、对称性、顶点、长轴长及短轴长；

2、掌握椭圆的离心率及cba,,的几何意义。

【重难点】

重点：椭圆的简单几何性质

难点：求椭圆的离心率

【学习过程】

复习引入：

1、椭圆的定义

我们把平面内与两个定点21,FF的距离的和等于常数（大于||21FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点21,FF叫做椭圆的焦点，两焦点21,FF间的距离||21FF叫做椭圆的焦距。

2、椭圆的标准方程

焦点在x轴上：12222byax)0(ba 焦点在y轴上：12222aybx)0(ba

3、重要结论：222cba

知识点一：椭圆的简单几何性质

1、范围

由图形及椭圆的标准方程12222byax可知，122ax且122by，即

bybaxa

故椭圆12222byax位于直线ax和by所形成的矩形框里。

2、对称性

观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。

在椭圆12222byax中，用y代替y，方程不变，所以椭圆关于x轴对称；用x代替x，方程不变，所以椭圆关于y轴对称；用x代替x，用y代替y，方程不变，所以椭圆关于原点对称。

结论：椭圆关于x轴和y轴都对称，所以x轴、y轴叫做椭圆的对称轴；对称轴的交点原点，叫做椭圆的对称中心。 3、顶点

椭圆与对称轴的交点，叫做椭圆的顶点。显然12222byax有四个顶点，其中在x轴上有)0,(),0,(21aAaA，在y轴上有),0(),,0(21bBbB。

线段2121,BBAA分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别和a2和b2，ba,分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4、离心率

椭圆的焦距与长轴长的比ac称为椭圆的离心率，用e表示，即ace，且)1,0(e

燕大附中高二数学导学案 选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 主备人：杨华 时间：2012．11．5

好学而不勤问，非真好学者！ 聪明出于勤奋，天才在于积累。 1 2.2.2椭圆的简单几何性质（1）

学习目标：1、掌握椭圆的简单几何性质及椭圆方程中a，b以及c，e的几何意义。

2、学会数和形两种研究方法——数形结合

一、引入思考：你如何得到，圆122yx中变量x，y的取值范围分别是什么？

二、新课讲授

探究椭圆的简单几何性质：

1、范围

2、对称性

拓展研究：曲线2xy有对称性吗？曲线xy2呢？

3、顶点：

拓展探究：你能标出图中椭圆焦点的位置吗？依据是什么？

4、离心率：我们把椭圆的焦距与长轴长的比ac称为椭圆的离心率，用e表示，即ace。（10e）

例1：求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，请画出这个椭圆的草图。

小结：

作业：课本P48 练习2、3、4、5 P49 习题1、2、3、4、5 x O A2 A1

B1 B2 y

x O

)0(12222babyax y

x O

)0(12222babyax y x O

)0(12222babyax y

A2 A1 B2

B1

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椭圆的简单几何性质

作者：唐毓国

来源：《新校园·中旬刊》2013年第08期

摘 要：本教案的设计遵循启发式的教学原则，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。

关键词：椭圆；几何性质；教学案例

一、教学目标

通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并能正确作出图形；培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力；培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识；通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。

二、教材分析及处理与学情分析及对策

本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，在教学中适当对教材中原有安排顺序做了一些变动，引导学生从观察课前布置的预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进地进行探究。对于学生来说，利用曲线方程研究曲线性质这是第一次接触，因此教学中教师要注意对学生的引导和及时的点拨。

重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。

难点：利用双曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。

德育点：在研究性质的过程中，引导学生大胆猜想，敢于发表个人见解，培养学生喜欢探究的情感和态度。通过对椭圆对称性的体验，使学生得到美的感受。

创新点：一是教学中不拘泥于教材，改变教材的安排，有利于学生进行探究。在范围这一性质的教学中，鼓励用多种方法推导，培养学生的创新思维。二是在反馈训练中，让学生自己编拟方程并研究其性质。三是留研究性作业，鼓励学生进一步探索。

空白点：一是研究性质过程中多处留白，鼓励学生大胆猜想并根据方程给予论证。二是反思性小结中设计表格留空白，调动学生积极参与。

椭圆的简单几何性质

教学目标：

1. 理解椭圆的定义及其基本性质。

2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等几何参数的计算方法。

3. 能够运用椭圆的性质解决相关几何问题。

教学重点：

1. 椭圆的定义及其基本性质。

2. 椭圆几何参数的计算方法。

教学难点：

1. 椭圆性质的应用。

教学准备：

1. 教学课件或黑板。

2. 尺子、圆规等绘图工具。

教学过程：

一、导入

1. 引导学生回顾圆的性质，提出问题：“如果将圆的半径缩小，圆的形状会发生什么变化？”

2. 学生讨论并得出结论：圆的形状会变成椭圆。

二、新课讲解

1. 引入椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。

2. 讲解椭圆的基本性质： a) 椭圆的两个焦点对称，且位于椭圆的长轴上。

b) 椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是垂直于长轴的线段。

c) 椭圆的半长轴a和半短轴b是椭圆的几何参数，焦距2c与a、b之间的关系为c^2=a^2-b^2。

3. 演示如何用尺子和圆规绘制椭圆，并引导学生动手实践。

三、案例分析

1. 给出一个椭圆，让学生计算其长轴、短轴和焦距。

2. 学生分组讨论并解答，教师巡回指导。

四、课堂练习

1. 布置课堂练习题，让学生运用椭圆的性质解决问题。

2. 学生独立完成练习题，教师批改并给予反馈。

五、总结与拓展

1. 总结本节课所学的椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。

2. 提出拓展问题：“椭圆在实际应用中有什么意义？”，引导学生思考和探索。

教学反思：

本节课通过导入、新课讲解、案例分析、课堂练习和总结与拓展等环节，使学生掌握了椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。在教学过程中，注意引导学生主动参与、动手实践，提高学生的学习兴趣和积极性。通过课堂练习和拓展问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。但在教学过程中，也要注意对学生的个别辅导，确保每个学生都能跟上教学进度。

六、椭圆的离心率