6.2正、余切函数的图像和性质

- 1 - 作业24：正弦、余弦、正切函数的图象和性质（1）

1．函数1tan24yx的定义域是

A．{|2,}2xxkkZ B．{|4,}2xxkkZ

C．{|,}28kxxkZ D．{|,}8xxkkZ

2．在[0,2]内，不等式1cos2x的解集是

A．0,3 B．50,3 C．5,33 D．,23

3．如图所示曲线对应的函数解析式可以是

A．|sin|yx B．sin||yx C．sin||yx D．|sin|yx

4．方程2cosxx的解的个数为

A.0 B.1 C.2 D.无穷多个

5．函数2[0in],,3sxyx的值域为_______；函数2cos,[0,]3yxx的值域为______．

6．利用函数cosyx的图象解不等式：31cos22x

7．已知函数cos2(,,0)6yabxabRb的最大值为3，最小值为1.

（1）求,ab的值；（2）当求5,46x时，函数()4sin3gxabx的值域.

8. 已知函数axxxfsinsin)(2.

（1）当0)(xf有实数解时，求实数a的取值范围；

（2）若417)(1xf对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。

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1

6.2 正切函数的图像与性质

正切函数图像

（余切函数的图像）

三角函数 正切函数tanyx 余弦函数cotyx

定义域 ,2xkkZ ,xkkZ

值域 yR yR

最值 无最值 无最值

奇偶性 奇函数 奇函数

周期性 T T

单调性 递增区间：2(,,)2kkxkZ；

没有递减区间； 递减区间：(,),xkkkZ；

没有递增区间；

轴对称 没有 没有

渐进性 渐近线：,2xkkZ 渐近线：,xkkZ

中心对称性 对称中心是(,0)k及(,0),2kkZ 222上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍

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2

例1．求函数tan(2)3yx的定义域、周期和单调区间。

例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

（1） 与 ；

（2） 与．

例3. 求函数4tanxy的定义域．

例4 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

（1）167tan与173tan；

（2）411tan与513tan．

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3

例5．若tanα＝32，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。

例6．化简：tan3tantan3tan2tan

【当堂训练】

一、选择题

1、下列不等式中，正确的是 ( )

6.2正切函数的图像与性质（2）（教案）

教学目的：1、熟练掌握正切函数的图像和性质

2、掌握正切函数的图像与性质的简单应用

教学重点：正切函数的图像和性质的应用

教学过程：

（一）、引入

一、双基回顾：

1、正切函数的图像与性质：

2、余切函数的图像与性质：

定义域 },2|{Zkkxx

值域 R

奇偶性 奇函数

周期性 

单调性 Zkkk)2,2(

上单调递增

对称点 )0,2(k

定义域 },|{Zkkxx

值域 R

奇偶性 奇函数

周期性 

单调性 Zkkk),(上递增

对称点 )0,2(k （二）、新课

一、典型例题

例1、求函数xytan11的定义域

解：由)(21tanZkkxx 得)(24Zkkxkx

所以定义域为},2,4|{Zkkxkxx

例2、求下列函数的最小正周期（1）2tan12tan22xxy；（2）2tan12tan22xxy

解：（1）xysin，定义域},2|{Zkkxx，所以周期2

（2）xytan，定义域},2,2|{Zkkxkxx，所以周期2

例3、已知函数)3tan(2)(nxxf的最小正周期T满足231T，其中Nn,

（1） 求n的值；（2）判断函数的奇偶性并说明理由；（3）求函数的单调区间

解： （1）3n，)33tan(2)(xxf

（2）定义域},1853|{Zkkxx不关于原点对称，为非奇非偶函数

（3）函数在Zkkk)1853,183(上单调递增

例4、设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射球门，对球门所张的角最大？（保留两位小数）

解：如图6-12，AB=7米，由球场宽65米，可知AC=29米，BC=36米。设足球运动员在边线上的点M处射球门，AMCAMB,，显然越大，越有利于射门。设点M与底线AC的距离为x米，则xx36)tan(,29tan。 3 291272936729367293612936tan)tan(1tan)tan(])tan[(tan2xxxxxxxx

Ｏ x y P(x,y)

A(1,0) 的终边 T 6.2正切函数的图像与性质（1）（教案）

教学目的：1、建立正切函数的概念

2、掌握正切函数的图像特征

3、掌握正切函数xytan的奇偶性、周期性、单调性和值域

教学重点：正切函数的图像和性质

教学过程：

（一）、引入

一、双基回顾：

1、三角函数线：正切线tanxyAT，AT是的

正切线。

2、tan有意义，应满足的条件为Zkk,2

（二）、新课

一、定义

对于任意一个实数x（Zkkx,2）都有唯一确定的值xtan与它对应，按照这个对应法则建立的函数，表示为xytan，叫做正切函数

二、正切函数的性质

1、正切函数的定义域为

},2|{Zkkxx, 用区间表示为 Zkkk)2,2(

2、正切函数的值域为 R

3、由)tan(xxtan可知，正切函数是奇函数

4、由)tan(xxtan可知，正切函数是 周期 函数，最小正周期为 

xy21tan的最小正周期是2 ； )43tan(xy的最小正周期是 3 一般地，)tan(xy（)0(的最小正周期为 ||

5、观察上图中的正切线，当角x在2,0内递增时，xytan递增，由正切函数奇偶性可知xytan在区间)2,2(上单调递增，又由正切函数是以为周期的周期函数，

所以正切函数xytan在 Zkkk)2,2( 内都是增函数

证明：在)2,0[内任取21xx、，其中21xx，有112212cossincossintantanxxxxxx

2112211212coscos)sin(coscossincoscossinxxxxxxxxxx，因为2021xx，所以2012xx，于是0)sin(,0cos,0cos1221xxxx，从而正切函数xytan在区间)2,0[内是增函数。