正切函数和余切函数的图像和性质

正切函数和余切函数的图像和性质

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正切函数和余切函数的图像和性质

知识点：

1.正切函数和余切函数的概念；

2.正切函数与余切函数的图像和性质；

3.正切函数与余切函数性质的应用；

教学过程：

1.正切函数和余切函数的概念：

（1）正切函数---形如tanyx的函数称为正切函数；

余切函数--形如cotyx的函数称为余切函数；

2.函数的图像和性质：

（1）正切函数的图像：

见正切函数图像课件。

（2）正切函数图像：

（3）与切函数的图像：

归纳填表格：

三角函数 正切函数tanyx 余弦函数cotyx

定义域

值域

最值 无最值 无最值

奇偶性 奇函数 奇函数

周期性

单调性 递增区间：2(,,)2kkxkZ；

没有递减区间； 递减区间：(,),xkkkZ；

没有递增区间；

轴对称 没有 没有

渐进性 渐近线：,2xkkZ 渐近线：,xkkZ

中心对称性 对称中心是(,0)k及(,0),2kkZ

例1.求下列函数的周期：

（1）tan(3)3yx；

（2）221tgxytgx；

（3）cottanyxx；

（4）22tan21tan2xyx；

（5）sin1tantan2xyxx

例2.求下列函数的单调区间：

（1）tan(2)24yx；

（2）tan()123xy；

（3）123logcot3yx

例3.求下列函数的定义域：

（1）tan4yx；

（2）12logtanyx；

（3）3cotsincos3yxxx；

例4.（1）求函数22lg[3(31)tantan]9yxxx的定义域；

常见三角函数图像及其性质

三角函数介绍

正弦函数

主词条：正弦函数

格式：sin（θ）

作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数

函数图像：波形曲线

值域：1,1-

余弦函数

主词条：余弦函数

格式：cos（θ）

作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数 函数图像：波形曲线

值域：1,1-

正切函数

主词条：正切函数

格式：tan（θ）

作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。

函数图像：上图平面直角坐标系反映

值域：，-

余切函数

主词条：余切函数

格式：cot（θ）

作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数 函数图像：上图平面直角坐标系反映

值域：，-

正割函数

主词条：正割函数

格式：sec（θ）

作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数

函数图像：上图平面直角坐标系反映

值域：，，11--

余割函数

主词条：余割函数

格式：csc（θ）

作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数 函数图像：右图平面直角坐标系反映

值域：，，11--

- 1 - 作业24：正弦、余弦、正切函数的图象和性质（1）

1．函数1tan24yx的定义域是

A．{|2,}2xxkkZ B．{|4,}2xxkkZ

C．{|,}28kxxkZ D．{|,}8xxkkZ

2．在[0,2]内，不等式1cos2x的解集是

A．0,3 B．50,3 C．5,33 D．,23

3．如图所示曲线对应的函数解析式可以是

A．|sin|yx B．sin||yx C．sin||yx D．|sin|yx

4．方程2cosxx的解的个数为

A.0 B.1 C.2 D.无穷多个

5．函数2[0in],,3sxyx的值域为_______；函数2cos,[0,]3yxx的值域为______．

6．利用函数cosyx的图象解不等式：31cos22x

7．已知函数cos2(,,0)6yabxabRb的最大值为3，最小值为1.

（1）求,ab的值；（2）当求5,46x时，函数()4sin3gxabx的值域.

8. 已知函数axxxfsinsin)(2.

（1）当0)(xf有实数解时，求实数a的取值范围；

（2）若417)(1xf对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。

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1

6.2 正切函数的图像与性质

正切函数图像

（余切函数的图像）

三角函数 正切函数tanyx 余弦函数cotyx

定义域 ,2xkkZ ,xkkZ

值域 yR yR

最值 无最值 无最值

奇偶性 奇函数 奇函数

周期性 T T

单调性 递增区间：2(,,)2kkxkZ；

没有递减区间； 递减区间：(,),xkkkZ；

没有递增区间；

轴对称 没有 没有

渐进性 渐近线：,2xkkZ 渐近线：,xkkZ

中心对称性 对称中心是(,0)k及(,0),2kkZ 222上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍

由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务

2

例1．求函数tan(2)3yx的定义域、周期和单调区间。

例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

（1） 与 ；

（2） 与．

例3. 求函数4tanxy的定义域．

例4 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

（1）167tan与173tan；

（2）411tan与513tan．

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3

例5．若tanα＝32，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。

例6．化简：tan3tantan3tan2tan

【当堂训练】

一、选择题

1、下列不等式中，正确的是 ( )