6.1_正弦函数和余弦函数的图像与性质

6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质

1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

-11yx-6-565-4-3-2-0432fx = sinx

-11yx-6-565-4-3-2-0432fx = cosx

2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是

(0,0) (2,1) (,0) (23,-1) (2,0)

余弦函数y=cosx， x[0,2]的图像中，五个关键点是

(0,1) (2,0) (,-1) (23,0)

(2,1)

3．定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作： y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R

4．值域

正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.

其中正弦函数y=sinx,x∈R

①当且仅当x＝2＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.

②当且仅当x＝－2＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.

而余弦函数y＝cosx，x∈R

①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1.

②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.

5．周期性

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）

3T往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.

6．奇偶性

y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数

正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称

7．单调性

正弦函数在每一个闭区间［－2＋2kπ，2＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2＋2kπ，23＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

例1 求下列函数的周期：

(1)y＝3cosx，x∈R；

(2)y＝sin2x，x∈R；

(3)y＝2sin(21x－6)，x∈R.

一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R及函数y＝Acos(ωx＋)，x∈R(其中A、ω、为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝2.

根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期，如对于上述例子：

(1)T＝2π，(2)T＝22＝π，(3)T＝2π÷21＝4π

例2不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0.

(1)sin(－18)－sin(－10)；

(2)cos(－523)－cos(－417)．

例3 求函数y＝2cos1cos3xx的值域.

例4.f(x)＝sinx图象的对称轴是 .

例5.(1)函数y＝sin(x＋4)在什么区间上是增函数?

(2)函数y＝3sin(3－2x)在什么区间是减函数?

【当堂训练】

1.函数y＝cos2（x－12）＋sin2（x＋12）－1是( )

A.奇函数而不是偶函数 B.偶函数而不是奇函数

C.奇函数且是偶函数 D.非奇非偶函数

2.函数y＝sin（2x＋25）图象的一条对称轴方程是( )

A.x＝－2 B.x＝－4 C.x＝8 D.x＝45

3.设条件甲为“y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数”，条件乙为“φ＝23”，则甲是乙的( )

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.函数y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 ．

5.函数y＝sin2xtanx的值域为 .

6.函数y＝x－sinx，x∈［0，π］的最大值为( )

A.0 B. 2－1 C.π D. 2243

7.求函数y＝2sin22x＋4sin2xcos2x＋3cos22x的最小正周期.

8.求函数f（x）＝sin6x＋cos6x的最小正周期，并求f（x）的最大值和最小值.

9.已知f（x）＝xxxxcossin1cossin1，问x在［0，π］上取什么值时，f（x）取到最大值和最小值.

10.给出下列命题：

①y＝sinx在第一象限是增函数； ②α是锐角，则y＝sin(α＋4)的值域是［－1，1］；

③y＝sin｜x｜的周期是2π； ④y＝sin2x－cos2x的最小值是－1；

其中正确的命题的序号是 .

11.求下列函数的单调递增区间：

①y＝cos(2x＋6)； ②y＝3sin(3－2)

12.求函数y＝－｜sin(x＋4)｜的单调区间.

13.函数y＝sin(2x＋25)的图象的一条对称轴方程是( )

A.x＝－2 B.x＝－4 C.x＝8 D.x＝45

【家庭作业】

1.在下列区间中函数y＝sin(x＋4)的单调增区间是( )

A.［2，π］ B.［0，4］ C.［－π，0］ D.［4，2］

2.若函数y＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－8对称，试求a的值.

.]4,3[sin2)( .3的取值范围上递增，求在是正数，函数已知例xxf

4.求下列函数的定义域、值域：

（1） ； （2） ； （3） ．

5.求下列函数的最大值，并求出最大值时 的集合：

（1） ， ； （2） ， ；

（3） （4） ．

6．要使下列各式有意义应满足什么条件？

（1） ； （2） ．

3 7.函数 ， 的简图是（ ）

8.函数 的最大值和最小值分别为（ ）

A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4

9.函数 的最小值是（ ）

A． B．－2 C． D．

10.如果 与 同时有意义，则 的取值范围应为（ ）

A． B． C． D． 或

11. 与 都是增函数的区间是（ ）

A． ， B．

，

C． ， D． ，

12.函数 的定义域________，值域________， 时 的集合为_________．

13.求证：

（1） 的周期为 ； （2） 的周期为 ；

（3） 的周期为 ．

参考答案：

例1解：(1)∵y＝cosx的周期是2π

∴只有x增到x＋2π时，函数值才重复出现.

∴y＝3cosx，x∈R的周期是2π.

(2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且函数y＝sinZ，Z∈R的周期是2π.

即Z＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)．

只有当x至少增加到x＋π，函数值才能重复出现.

∴y＝sin2x的周期是π.

(3)令Z＝21x－6，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且函数y＝2sinZ，Z∈R的周期是2π，由于Z＋2π＝(21x－6)＋2π＝21 (x＋4π)－6，所以只有自变量x至少要增加到x＋4π，函数值才能重复取得，即T＝4π是能使等式2sin［21 (x＋T)－6］＝2sin(21x－6)成立的最小正数.

从而y＝2sin(21x－6)，x∈R的周期是4π.

从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量x的系数有关.

例2解：(1)∵－2＜－10＜－18＜2．

且函数y＝sinx，x∈［－2，2］是增函数.

∴sin(－10)＜sin(－18)

即sin(－18)－sin(－10)＞0

(2)cos(－523)＝cos523＝cos53

cos(－417)＝cos417＝cos4

∵0＜4＜53＜π

且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数

∴cos53＜cos4

即cos53－cos4＜0

∴cos(－523)－cos(－417)＜0

例3解：由已知：cosx＝yy312｜yy312｜＝｜cosx｜≤1(yy312)2≤13y2＋2y－8≤0

∴－2≤y≤34