正切函数的图像和性质

- 1 - 作业24：正弦、余弦、正切函数的图象和性质（1）

1．函数1tan24yx的定义域是

A．{|2,}2xxkkZ B．{|4,}2xxkkZ

C．{|,}28kxxkZ D．{|,}8xxkkZ

2．在[0,2]内，不等式1cos2x的解集是

A．0,3 B．50,3 C．5,33 D．,23

3．如图所示曲线对应的函数解析式可以是

A．|sin|yx B．sin||yx C．sin||yx D．|sin|yx

4．方程2cosxx的解的个数为

A.0 B.1 C.2 D.无穷多个

5．函数2[0in],,3sxyx的值域为_______；函数2cos,[0,]3yxx的值域为______．

6．利用函数cosyx的图象解不等式：31cos22x

7．已知函数cos2(,,0)6yabxabRb的最大值为3，最小值为1.

（1）求,ab的值；（2）当求5,46x时，函数()4sin3gxabx的值域.

8. 已知函数axxxfsinsin)(2.

（1）当0)(xf有实数解时，求实数a的取值范围；

（2）若417)(1xf对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。

正切函数和余切函数第1页共3页 正切函数和余切函数的图像和性质

知识点：

1.正切函数和余切函数的概念；

2.正切函数与余切函数的图像和性质；

3.正切函数与余切函数性质的应用；

教学过程：

1.正切函数和余切函数的概念：

（1）正切函数---形如tanyx的函数称为正切函数；

余切函数--形如cotyx的函数称为余切函数；

2.函数的图像和性质：

（1）正切函数的图像：

见正切函数图像课件。

（2）正切函数图像：

（3）与切函数的图像：

23223222正切函数和余切函数第2页共3页 归纳填表格：

三角函数 正切函数tanyx 余弦函数cotyx

定义域 ,2xkkZ ,xkkZ

值域 yR yR

最值 无最值 无最值

奇偶性 奇函数 奇函数

周期性 T T

单调性 递增区间：2(,,)2kkxkZ；

没有递减区间； 递减区间：(,),xkkkZ；

没有递增区间；

轴对称 没有 没有

渐进性 渐近线：,2xkkZ 渐近线：,xkkZ

中心对称性 对称中心是(,0)k及(,0),2kkZ

例1.求下列函数的周期：

（1）tan(3)3yx；

（2）221tgxytgx；

（3）cottanyxx；

（4）22tan21tan2xyx；

（5）sin1tantan2xyxx

例2.求下列函数的单调区间：

（1）tan(2)24yx；

（2）tan()123xy；

（3）123logcot3yx

例3.求下列函数的定义域： 正切函数和余切函数第3页共3页 （1）tan4yx；

（2）12logtanyx；

（3）3cotsincos3yxxx；

例4.（1）求函数22lg[3(31)tantan]9yxxx的定义域；

1.4.3正切函数的性质和图像

【学习目标】：

1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；

2.从正切函数的定义出发得到正切函数的性质；

3.用正切函数图象解决函数有关的性质.

【学习过程】：

一、复习引入

tan



二、合作探究正切函数xytan的性质

1.定义域： .

请同学们类比正弦函数性质的探究过程，完成周期性和奇偶性的探究

2.周期性

由诱导公式 可知，正切函数是周期函数，周期为 .

3.奇偶性

由诱导公式 可知，正切函数是 .

4.单调性

由正切线的变化规律可以得出，正切函数在2,2内是 . 又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间 内都

是 .

5.值域

ATx时，正切线且无限接近大于①当22

ATx时，正切线且无限接近小于②当22

③思考:xtan在2,2有没有最大值和最小值? 答:

正切函数的值域为 .

的终边yxP,OMxy三、正切函数的图像

1.回顾利用正弦线绘制正弦函数图像的方法步骤

2.类比正弦函数，绘制正切函数的图像

3.三点两线法作正切函数的图像时，“三点两线”指的是点 以及线 .作图如下：

四、观察图像、归纳性质

1.4.3正切函数的性质和图象

学习目标：

1、能借助单位圆中的正切线画出 的图象；

2、掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性；

3、能利用正切函数的图象与性质解决问题；

4、体会类比、换元思想，数形结合等数学思想。

一、复习

函数 y=sinx y=cosx

图形

定义域

值域

最值

单调性

奇偶性

周期

对称性

二、探究（一）

问题1、回顾上节课我们研究正弦函数、余弦函数采用了什么方法，能用同样的方法来研究正切函数的性质吗？

2522320xy21

-2522320xy1

-xytan

o问题2、如何用正弦线化正弦函数的图象？

问题3、怎样画正切函数的图像？什么叫做正切曲线的渐近线？

三、探究（二）

问题1、你能由图像得正切函数的定义域、值域吗？还能给出其他解释吗？

问题2、你能由图像得正切函数的奇偶性、单调性、周期性吗？

问题3、正切函数是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？对称中心坐标怎么表示？

问题4、正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？正切函数会不会在某一区间内是减函数？

函数

图像

定义域

值域

奇偶性

单调性

周期性

对称性

渐近线

四、应用举例

例1、（），下列判断不正确的是关于正弦函数xytan

A、是奇函数

B、在整个定义域上是增函数

C、在定义域内无最大值和最小值

D、平行于x轴的的直线被正切曲线各支所截线段相等

)513tan()411tan(2173tan167tan12与、与、小。、比较下列各组数的大例

例3、求函数y=tan3x的周期

五、课堂练习

），、（），、（），、（），、（的一个对称中心是（）、函数04-060409)3tan(1DCBAxy

)517tan(______)413tan(2143tan______138tan12　、　、、比较大小