1 24.5相似三角形的性质（1）
课型：新授课 教时/累计教时：1/4
一、教学内容分析
本节课是相似三角形性质的第一课时，引导学生探索相似三角形的对应角、对应边及对应角平分线、中线、高分别具有的数量关系特征.
二、教学目标
1、掌握“相似三角形性质定理1”；
2、经历相似三角形性质定理1的探索过程，体会类比思想，培养学生推理能力．
三、教学重点及难点
相似三角形的性质定理1及其应用.
相似三角形的性质定理1的发现与证明.
四、教学用具准备
课件、多媒体投影
五、教学过程设计
（一）温故知新
1、复习相似三角形的定义及相似三角形的判定定理。
2、思考：相似三角形可看作是一个三角形放大（或缩小）所得到的，那么三角形中重要的三线＂高、中线、角平分线＂是否会随三角形的放大（或缩小）而一起放大（或缩小）．即如果相似三角形的相似比为k，那么相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和k之间有何关系呢？
3、猜想：相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
4、证明猜想：如何利用已学的知识来证明猜想的结论？
师生共同完成“相似三角形的对应角平分线的比等于相似比”，其他的由学生独立完成．
相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.
引导学生用图形语言和数学符号语言表示出相似三角形性质定理1
ABC∽111CBA，AD、11DA分别是ABC、111CBA的角平分线
11111111CBBCCAACBAABDAAD或
同理可得相似三角形对应高、对应中线的相关数学符号语言的表示.
（二）简单应用 2 例题1 ：已知111CBAABC和中
且的高是和的高是和,,1111111CBAEBDAABCBEAD
1CC，
1111BAABDAAD.
求证：1111EBBEDAAD.
五阳矿中学九年级数学（导）学案
编写人：郑威斌 参与人：李成顺 李金娥 审核人：高丽飞 2011年9月
课题 相似三角形的性质（一） 班级 姓名 组别
学习目标:
1、探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题；
2、发展学生合情推理和有条理的表达能力。
学习重难点：1、相似三角形的性质。
2、有条理的表达与推理。
一、课前预习与导学
1、一个三角形变成和它相似的三角形，若边长扩大为原来的4倍，则面积扩大为原来的 ______ 倍。
2、一个三角形的三边之比为2︰3︰4，和它相似的另一个三角形的最大边为16，则它的最小边的长是_____ ，周长是_____。
3、若△ABC与△A′B′C，且∠A=450，∠B=300，则∠C/=____。
4、两个相似多边形的面积之比为1︰4，周长之差为6，则两个相似多边形的周长分别是______。
5、如图，在□ABCD中，AE︰AB=1︰2。
(1)求⊿AEF与⊿CDF的周长的比；
(2)若S⊿AEF=8cm2,求S⊿CDF。
二、新课
(一)、情境创设：
情境1：在比例尺为1︰500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长及面积。
问题1. 在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？ 1︰500表示什么含义？
问题2. 要解决这个问题，需要什么知识？
问题3. 在没有了解这些知识前，你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？
问题4. 如何说明你的猜想是否正确呢？
FEDCBA
(二)、探索活动：
（课本P101）章头图图（3）和图（4）中的相似多边形。
1、 问题1. 你能通过操作、观察、归纳、思考发现这两个相似多边形的周长比与它们的相似比的关系吗？
问题2. 方格纸中的相似多边形的周长比与相似比是相等的，那么其它的相似形呢？比如相似三角形呢？
3.3.1 相似三角形的性质
2011年10月25日第一节 桃源县木塘垸中学 饶小平
教学目标：
1、探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题；
2、发展学生合情推理，和有条理的表达能力
教学重点：相似三角形的性质
教学难点：有条理的表达与推理
教学过程：
一、创设情境
情境1：在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长及面积。
问题1. 在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？ 1：500表示什么含义？
问题2. 要解决这个问题，需要什么知识？
问题3. 在没有了解这些知识前，你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？
问题4. 如何说明你的猜想是否正确呢？
情境2：（课本P101）章头图图（3）和图（4）中的相似多边形。
问题1. 你能通过操作、观察、归纳、思考发现这两个相似多边形的周长比与它们的相似比的关系吗？
问题2. 方格纸中的相似多边形的周长比与相似比是相等的，那么其它的相似形呢？比如相似三角形呢？
情境3：若△ABC∽△A′B′′C，那么△ABC与△A′B′C′的周长比等于相似比吗？
问题1. 为了解决这个问题，不妨设这个相似比为k，只要考虑什么就可以了？
问题2. 相似比为k，那么哪些线段的比也等于k？
问题3. 这两个三角形的周长又分别与哪些线段有关？
问题4. 如何得出这两个三角形的周长比与相似比k的关系？
得出：相似三角形的周长比等于相似比
问题5. 你能运用类似的方法说明“相似多边形的周长等于相似比吗？”
得出：相似多边形的周长等于相似比
情境4：若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′的面积比与相似比又有什么关系呢？
问题1. 有了前面探究的经验，你能想到一个合理的方法来研究这个问题吗？
问题2. 若AD与A′D′是这两个三角形的高，你知道AD与A′D′的比与相似比k的关系吗？能说明理由吗？
相似三角形的判定与性质综合运用经典题型
考点一：相似三角形的判定与性质：
例1、如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同一直线上，且∠APB=120°.
求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵ CD2 =AC·BD.
例2、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x函数关系式及自变量x值范围，并求出当x为何值时AE取得最小值？
（3）在AC上是否存在点E，使得△ADE为等腰三角形？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由？
例3、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B：1）求证：△ADF∽△DEC； 2）若AB=4，33AD,AE=3，求AF的长。
考点二：射影定理：
例4、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的长。
例5、如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF=14 AD，EG⊥CF于点G，
（1）求证：△AEF∽△BCE； （2）试说明：EG2=CG·FG.
例6、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合,再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE．
（１）求证：四边形AFCE是菱形；（２）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（３）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
考点三：相似之共线线段的比例问题：
例7、已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.
