相似三角形的性质(第1课时 相似三角形对应线段的性质)

ACA'B'C'BABCDEFADBCEQMABCNPD相似三角形的性质及判定的应用

一、概念

1.相似三角形的定义：

对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

2.相似比

相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。

△ABC∽△A/B/C/,如果BC=3,B/C/=1.5,那么△A/B/C/与 △ABC的相似比为_____1:2____.

二、三角形的识别、性质和应用

1、识别

①如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．

②如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

③如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．

2、性质：两个三角形相似，则：

①它们的对应边成比例，对应角相等；

②它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；

③它们的周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方．

三．举例

例1

：如右图,

已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有_____对三角形相似.

例2 已知：cbbacbba:.45,32求的值.

分析：已知等比条件时常有以下几种求值方法： (1)设比值为k;

(2)比例的基本性质；

(3)方程的思想，用其中一个字母表示其他字母.

例3:已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC, ∠A=900,对角线BD⊥CD

求证:(1) △ABD∽△DCB;

(2)BD2=AD·BC

例4：如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边长BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

AABBABCABCABACABACAAABCABCABACBCABACBCABCABC

K12教育资料（小初高学习）

K12教育资料（小初高学习） 1 3.4.2 相似三角形的性质

第1课时 相似三角形对应重要线段的性质

知|识|目|标

1．通过自学、阅读，归纳总结出“相似三角形对应高的比等于相似比”，并能应用其解决相关问题．

2．在类比的基础上，探究“相似三角形对应的角平分线、对应边上的中线的比等于相似比”，并能应用其解决问题．

目标一 能对相似三角形对应高的比等于相似比进行应用

例1 教材补充例题如图3－4－13，AD⊥BC，BE⊥AC，A′D′⊥B′C′，B′E′⊥A′C′，△ABC∽△A′B′C′.求证：ADA′D′＝BEB′E′.

图3－4－13

【归纳总结】 相似三角形对应边上的高

(1)相似三角形对应边上的高的比都相等(等于它们的相似比)．

(2)已知相似三角形的相似比，根据性质可以求对应边上的高之比(或求高)；反过来，已知两个相似三角形的对应边上的高之比，可以求出这两个三角形的相似比．

目标二 能对相似三角形对应的角平分线、对应边上的中线的比等于相似比进行应用

例2 教材例10针对训练如图3－4－14，△ABC∽△DEF，AG，DH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6 cm，EF＝4 cm，AG＝4 cm，求DH的长． K12教育资料（小初高学习）

K12教育资料（小初高学习） 2

图3－4－14

【归纳总结】 对应的角平分线、对应边上的中线

相似三角形对应的角平分线、对应边上的中线之比等于相似比．

(1)运用相似三角形这一性质，我们可以把对应的角平分线之比、对应边上的中线之比转化为相似三角形的对应边之比(相似比)，以便我们计算三角形的中线或角平分线的长度．

(2)我们据此可以推广：相似三角形的对应线段(比如：对应的中位线)之比都等于它们的相似比．

知识点一 相似三角形对应高的比等于相似比

如图3－4－15，∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，∴∠C＝∠C′.

相似三角形的性质与判定专题讲义

一、知识梳理

（一）、相似三角形的性质：

1、相似三角形的对应角 ，对应边 。

2、相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于 。

3、相似三角形对应周长的比等于 。

4、相似三角形对应面积的比等于 。

注意：在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角；若果不能确定，则应当进行分类讨论。

（二）、相似三角形的判定：

1、判定两个三角形相似的条件：

（1）平行截割： _____

（2）两角对应相等：

（3）两边夹：

（4）三边比：_____________________________________

2、判定两个三角形相似的一般步骤：

（1）先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角

（2）若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。

（3）若找不到相等的角，就分析三边是否

3、等积式的证明思路

遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替；平行线转比例，两端各自拉关系。

二、基础练习

1．（2013•重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）

A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16

2．两相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为32cm2，那么小三角形的面积为（ ）

A．10cm2 B．14cm2 C．16cm2 D．18cm2

27.2相似三角形

27.2.1 相似三角形的判定

第1课时 相似三角形的判定（1)

【知识与技能】

1.了解相似三角形的概念及其表示方法；

2.掌握平行线分线段成比例定理及平行于三角形一边的直线的性质

定理；

3.掌握相似三角形判定的预备定理.

【过程与方法】

经历从探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力.

【情感态度】

体验从一般到特殊及由特殊到一般的认知规律，发展辩证思维能力.

【教学重点】

平行线分线段成比例定理及判定三角形相似的预备定理.

【教学难点】

探索平行线分线段成比例定理的过程.

一、情境导入，初步认识

问题1 相似多边形的性质是否也适用于相似三角形呢？

问题2 如果△ABC与△A1B1C1相似，能类似于两个三角形全等，给

出一种相似表示方法吗？△ABC与△A1B1C1的相似比为k，那么△A1B1C1与△ABC的相似比也是k吗？

问题3 如何判定两个三角形相似呢？

【教学说明】通过上述三个问题的设置，既帮助学生认识了相似三角形的一些基本知识，又为引出平行线分线段成比例定理作些铺塾，教师可釆用自问自答形式讲述这部分内容.

二、思考探究，获取新知

问题1 如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2相交的平行线l3，l4，l5分别度量AB，BC，DE，EF长度，则EFDEBCAB与相等吗？呢？与DFDEACAB呢？与DFEFCABC

【教学说明】教师可让学生在自己准备的 白纸上画出类似图形，测出所截各条线段的长度（尽可能准确些），然后求出相应比值的近似值，便于作出说明.教师巡视，发现问题及时引导.对出现比值相差较大情形，帮助他们分析，找出原因，尽量让学生们获得对应线段的比值近似相等这一结果，形成感性认知.最后，教师可综合大多数同学的认知，给予总结，得出结论.

平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.

【教学说明】这一结论不要求学生证明，只需形成感性认识.为了便于记忆，上述定理的结论可使用下面形象化的语言，如：