有限与无限的哲学

浅析有限无限

【摘 要】有限、无限既有质的区别又有密切的联系。有限中存在无限；无限是由有限构成的，要通过有限来表现；有限和一定存在，无限和不一定存在；有限个无穷小量之和仍是无穷小量，无限个无穷小量之和可以是确定的数、可以是无穷小、或者不存在。无限在数学中占有十分重要的地位。

【关键词】有限；无限；联系；区别

有限叫人感觉具体，无限使人充满想象，让人对数学多一份理性的思考。0.=1对不对？很多人认为是近似等式，但它确实成立，却有很多人不服，这是一个涉及无限的问题。初等数学更多地在“有限”的领域、更多地以“有限”为手段和工具进行讨论。高等数学则更多地在“无限”的领域、更多地以“无限”为手段和工具展开讨论。极限、导数、定积分、级数等都属于“无限”的范畴，所以学习高等数学就特别需要了解无限和有限的区别和联系。

2.芝诺悖论：阿基里斯追不上乌龟

芝诺是希腊爱利亚学派的一个代表人物，可以说是第一个提出悖论的人。芝诺从哲学的角度提出了四个悖论，以下从数学的角度看看其中的一个悖论。

阿基里斯是希腊传说中跑得最快的神。一天他正在散步，忽然发现在他前面100米远的地方有一只大乌龟正在慢慢地向前爬行。 乌龟说：“阿基里斯！ 谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯回答说：“胡说！我的速度比你快何止百倍！就算刚好是你的10倍，我也马上就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的，我们来试一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前爬了10米。当你再向前跑过10米时，我又爬到前面去了。每次你追到我刚刚呆过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：“哎呀！我明明知道能追上你，可你说的好像也有道理，这是怎么回事呢？ ”这个有趣的悖论，是公元前5世纪古希腊哲学家芝诺提出来的。之所以如此，是因为忽视了一个十分重要的因素：由于那些线段越来越短，阿基里斯跑完那些线段所用的时间也越来越短，下一次只相当于上一次的。

２０１４年１１期　科技一向导　◇科技论坛◇　浅析有限无限　陈映明　（丽江师范高等专科学校云南丽江６７４１　Ｏ０）　【摘要】有限、无限既有质的区别又有密切的联系。有限中存在无限；无限是由有限构成的，要通过有限来表现；有限和一定存在，无限和　不一定存在；有限个无穷小量之和仍是无穷小量，无限个无穷小量之和可以是确定的数、可以是无穷小、或者不存在。无限在数学中占有十分重　要的地位。　【关键词】有限；无限；联系；区别　有限叫人感觉具体．无限使人充满想象．让人对数学多一份理性　的思考。０．９＝１对不对？很多人认为是近似等式，但它确实成立．却有很　多人不服，这是一个涉及无限的问题。初等数学更多地在“有限”的领　域、更多地以“有限”为手段和工具进行讨论。高等数学则更多地在“无　限”的领域、更多地以“无限”为手段和工具展开讨论。极限、导数、定积　分、级数等都属于“无限”的范畴。所以学习高等数学就特别需要了解　无限和有限的区别和联系　１．有限与无限的辩证思想　数学中讨论的许多问题是有限的．但往往又与无限紧密联系着。　１．１无限是由有限构成的．要通过有限来表现　每个自然数是有限的．全体自然数是无限的．它是通过无数个具　体的有限数组成：直线是无限的．而要通过构成直线的部分——线段　（其长度是有限的）来认识；数学归纳法表达的是无限的推理过程，而　它的证明步骤只有两步．通过有限步完成一个涉及无限多个对象的证　明。　１．２有限中存在无限　有理数是有限数．而它的级数表达式既体现了无穷小．又体现了　无穷多Ｉ女口ｏ．　斋＋　＋．一＋奇＋　是有限数，它本身是无限不循环小数，而它却是有理数列的极限，例如：　Ｖ　∈　％＝争（　一　＋　ａｎｉ），ａ０＞ｏ如果取ａ０　１，则数列ｆ％）的每一项　都是有理数，但ｌｉｒａ　ａｎ＝、／　。　１．３有限和一定存在，无限和呢？　有限个数相加其和一定存在，但无数个数相加其和不一定存在。　１＋２＋－＿．＋ｎ＝旦　（有限和，不论ｎ有多么大）；而１＋２十１．＋ｎ＋．．．：∑ｎ　只是一个（无限）和的形式，其和不存在。　１．４有限个无穷小量之和与无限个无穷小量之和　（１）有限个无穷小量之和仍是无穷小量　ｌｉｍ（＿ｌ一＋２＋…＋一ｌＯＯ０００００００）：ｏ。　（２）无限个无穷小量之和还是无穷小量吗？　１ｉｍ　±　：：　ｎ‘　＝ｌ　一ｉｍ　２ｎ＝ｌ　ｉｍ　２ｎｌ＋ｎ　＝争　（　＋１）＝　１　’　另外．　（　＋　＋．－．＋　）ｌｉｍ＝（１＋　２＋－．．　）　ｎ　凡　：ｌｉｍ　±　一　＋∞　ｎ　：ｌｉ　“—　２ｎ　＝１ｉｍ（　±　±：：：±　）　ｎ　ｎ　：ｌｉｍ　ｈＡｌ＋ｎ）一　２　＝０（ｋ１＞３时）。　＝。。。　以上实例说明无限个无穷小量之和可以是确定的数．可以是无穷　小．或者不存在。有限个无穷小量之和仍是无穷小量．但无限个无穷小　量之和还是无穷小量吗？这充分体现了量变引起质变的哲理。　人们习惯于有限下的思维．一旦遇到无限就要格外小心　而高等　数学是经常与无限打交道的　２．芝诺悖论：阿基里斯追不上乌龟　芝诺是希腊爱利亚学派的一个代表人物．可以说是第一个提出悖　论的人。芝诺从哲学的角度提出了四个悖论，以下从数学的角度看看　其中的一个悖论。　阿基里斯是希腊传说中跑得最快的神　一天他正在散步．忽然发　现在他前面１００米远的地方有一只大乌龟正在慢慢地向前爬行。乌　龟说：“阿基里斯！谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯回答　说：“胡说！我的速度比你快何止百倍！就算刚好是你的１０倍，我也马上　就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的．我们来试一试吧！当你跑到我现　在这个地方．我已经向前爬了１０米。当你再向前跑过１Ｏ米时，我又爬　到前面去了　每次你追到我刚刚呆过的地方．我都又向前爬了一段距　离。你只能离我越来越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：“哎呀！我　明明知道能追上你．可你说的好像也有道理．这是怎么回事呢？”这个　有趣的悖论．是公元前５世纪古希腊哲学家芝诺提出来的。在２０００多　年的时间里．它使数学家和哲学家伤透了脑筋。先看一看下面的图：　Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｄ　Ｅ　’……　阿基里斯在Ａ点时，乌龟在Ｂ点；他追到Ｂ，它爬到Ｃ；他追到ｃ，　它爬到Ｄ；……阿基里斯离乌龟越来越近，也就是ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，……这　些线段越来越短，每个都只有前一个的击，每一个线段的长度都不会　是０．亦即当阿基里斯按上面的过程去追乌龟时．在任何有限次之内　他都追不上乌龟　阿基里斯真的追不上乌龟了吗？当然不是。之所以　如此．是因为忽视了一个十分重要的因素：由于那些线段越来越短，阿　基里斯跑完那些线段所用的时间也越来越短．下一次只相当于上一次　１　１０。　此悖论的　结在于无限段长度的和可能是有限的．无限段时间的　和也可能是有限的　实际上．假设阿基里斯一分钟跑１００米（这样的速度不是在跑，只　是　ｌ￣Ｙｚ），他只需要１＋击＋寺十．．・　１　＝等分钟就可以追上乌　１０　龟了　作者简介：陈映明（１９６６一），男，汉族，云南永胜人，毕业于云南师范大学数学系，理学学士。　２７０　值　数　理　无　一ｍ一　一ｍ　９一ｍ　∑一　◇科技论坛◇　科技一向导　２０１４年１１期　芝诺悖论中含有深刻的哲理．具有时代的意义．否则不可能流传　至今。　３．希尔伯特旅馆——“有无限个房间”的旅馆　现实世界的旅馆不论有多大都只有有限个房间．客满以后就无法　再安排客人人住了。“有无限个房间”的旅馆——这样的旅馆称为希尔　伯特旅馆——则不然．客满以后再来客人仍然可以安排人住．由此也　可以看出无限与有限的本质区别　３．１这样的旅馆客满后又来了１位客人．老板能否安排　老板可以先让原来房间里的客人都出来．然后让１号房间的客人　搬到２号房间去住．让２号房间的客人搬到３号房间去住．让３号房　间的客人搬到４号房间去住……这样原来的客人都有房间住了．而　１号房间却空出来了，可以让新来的客人人住　３．２这样的旅馆客满后又来了一个旅游团．旅游团中有无穷个客　人．老板能否安排　老板可以先让原来房间里的客人都出来．然后让１号房间的客人　搬到２号房间去住．让２号房间的客人搬到４号房间去住．让３号房　间的客人搬到６号房间去住，……．这样原来的客人都有房间住了．只　占了偶数号房间，所有的奇数号房间却空出来了．有无数个奇数号房　间正好可以让新来的无穷个客人人住　３－３这样的旅馆客满后又来了一万个旅游团．每个团中都有无穷　个客人．老板能否安排　老板可以先让原来房间里的客人都出来．然后让１号房间的客人　搬到１０００１号房间去住．让２号房间的客人搬到２０００２号房间去住．　让３号房间的客人搬到３０００３号房间去住．……．这样原来的客人都　有房间住了．空出了一万个又一万个的空房间．正好可以让新来的一　万个旅游团中的每一个客人入住　３．４这样的旅馆客满后又来了无穷个旅游团．每个团中都有无穷　个客人．老板能否安排　答案是肯定的。只不过上面的方法用不上了，需要寻找新的方法。　原因是从有限到了无限．由此也可以看出无限与有限的本质区别　４．数学发展历程中的三次危机　从哲学上来看．矛盾无处不在．即便以确定无疑著称的数学也不　例外。在数学发展史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化到涉及　整个数学的基础时．就会产生数学危机。每一次危机又引发了数学上　思想的解放．大大推动了数学科学的发展　４．１三次数学危机　（１）古希腊毕达哥拉斯学派发现了、／　．从根本上冲击了毕达哥　拉斯学派“万物皆数（有理数）”学说。无理数的发现，引起了第一次数　学危机。　（２）十七、十八世纪关于微积分的激烈的争论．无穷小量引起的逻　辑上的矛盾被称为第二次数学危机　（３）－十世纪初．罗素发现了一个悖论．它除了涉及集合概念本身　外不涉及别的概念。罗素悖论通俗化为理发师悖论：某村的一个理发　师宣称．他给且只给自己不给自己刮胡子的人刮胡子　当时的数学家　们理所当然的想把集合论作为整个数学的基础．罗素悖论表明集合论　中居然有逻辑上的矛盾　罗素悖论引起的集合论的矛盾被称为第三次　数学危机　４．２三次数学危机都与无限有关．也与人们对无限的认识有关　４．２．１危机的实质　第一次危机的要害是只认识有理数不认识无理数．而无理数是无　限不循环小数．它可以看作是无限个有理数组成的数列的极限　第二次危机的要害是极限理论的逻辑基础不完善．缺少严密　的极限概念和极限理论．而极限正是“有限过渡到无限”的重要手　段。　第三次危机的要害是“是其本身成员的所有集合的集合”这样界　定集合的说法有毛病，犯了自我指谓、恶性循环的错误。而且“所有集　合的集合”的说法涉及无限多个集合．有些矛盾可能掩盖在其中难以　发觉，特别是无限集合之间也能比较大小让人难以接受。　４．２．２危机的作用　每一次危机的引发都是由于数学的基础部分受到质疑．而每一次　危机又引发了数学上思想的解放．大大推动了数学的发展　第一次危机扩张了数系．第二次危机建立了严格的实数理论和极　限理论．第三次危机形成了集合论的ｚＦ一系统　５．无限与有限的区别与联系　５．１无限与有限的区别　（１）在无限集中，“部分可以等于整体”，这里的“等于”指的是“一　一对应”，比如自然数集与整数集一一对应。欧几里得第五公里：“部分　小于整体”只对有限成立．对无限并不正确　（２）“有限”成立．“无限”不再成立　１）实数加法的结合律　＋６Ｊ＋ｃ＝叶ｆ６＋ｃＪ在有限成立，考虑１＋（一１）＋ｌ＋（一１）＋…，有：　［１＋（一１）］＋［１＇＋（一１）］＋…＝０，１＋［（一１）＋１】＋［（一１）＋１】＋…＝１，居然得到两　种不同的结果　２）级数“求和”　∑ｑ总是一个确定的数，而∑（一１）　就没有和。　ｉ＝　ｉ＝１　５．２无限与有限的联系　５．２．１数学归纳法　数学归纳法证明的是对所有自然数都成立的命题．而自然数有无　限个．数学归纳法表达的是无限的推理过程，而它的证明步骤只有两　步（有限）．通过有限步完成一个涉及无限多个对象的证明　５．２．２极限　极限是无限的过程．最终得到的往往是一个有限的数。数学家通　过有限的方法描写极限的无限过程，如数列极限的ｅ—Ｎ定义：　ｌｉｒａ　＝ａＣｔ，Ｖ占＞　Ｎ∈口，Ｖ　＞　有１　一０　Ｉ＜ｓ。　５．２＿３无穷级数　通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如∑　＝Ｊ。　ｎ　１　１０　５．２．４递推公式　等比数列的递推公式…‘　＝ｏ　ｇ　～，ｎ＝２，３，．．　ａ和ｇ已知，表达式有　限．却表述了无数个数　本文初浅分析了有限无限的区别、联系．以及有限无限在初等数　学和高等数学中的体现　只有很好的认识了有限无限．才能在学习中　驾驭其作用。　【参考文献】　［１］顾沛著．数学文化．高等教育出版社．　（上接第１５４页）时也是一种精神．一座出众的建筑就有代表一个国家　一个民族，甚至一种文明的神奇作用。例如提到澳大利亚．人们禁不住　想到悉尼歌剧院：提到埃及，我们首先想到的一定是金字塔和狮身人　面像至于伊斯兰的圆顶、中国的飞檐、美国的摩天高楼更是深深地融　进了民族性格之中，成为各自文化的一部分。随着人们生活水平的日　益提高，城市居民再也不满足于火柴盒式单一的建筑模式．各种个性　化、艺术化的地标性建筑，优美、舒适的小区层出不穷．建筑师这个职　业也逐步热了起来　综上所述．建筑学作为一种艺术形式．随着时代的发展和变化其　自身的内涵也在不断的发生变化．这种情况下要想实现对建筑设计的　不断完善．就不能够只着眼于传统的建筑结构和功能设计．还应该重　视对其艺术性的分析和研究。　２７１

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于有限中创造无限

作者：秦岭

来源：《作文通讯·高中版》2019年第08期

题目

围棋棋子是有限的，共有三百六十一枚；古今中外，从无两盘棋是一模一样的。这就是有限的棋子创造出无限的变化。对此你有怎样的认识？请写一篇文章，谈谈你的思考。

要求：自拟题目；不少于800字。

题目解析

题目中的材料由三部分组成：第一部分是客观现象的陈述———有限的棋子、不同的棋局；第二部分通过关键词提示了写作方向———有限中创造无限的变化；第三部分要求表明自己的看法———对上述说法认同还是不认同；有没有另外的补充？

整体把握题目材料后不难发现，这是个带有比喻义的题目，可以由物及人，由棋局联想到人生，思考人类社会或人生旅程中的有限与无限，以拓展文意、加深立意。

首先，构思的过程中要界定清楚题干中两个关键词“有限”与“无限”的内涵。如：

确定了内涵后，在此基础上发掘两者之间的关系，比如在有限的时间里创造无限的可能，在有限的空间里获得无限的快乐，在有限的生命里实现无限的人生价值……

其次，剖析原因，深入挖掘。如“：为什么有限能创造无限的变化？”思考时可以从棋子这一客觀角度展开，三百六十一枚棋子数量不少，正是因为棋子数量多才排列组合出了无数不同的走法，从而使棋局有了无限变化的可能。由此类比人生，同样，人生因为多了些经历，才更加丰富多彩，也才会拥有无限变化的可能，有限的生命才可能绽放出无限的精彩。当然，也可以从棋手这一主观角度进行思考，因为下棋的人能不固守原有的棋谱，所以能下出新的棋局。同样，如果一个人能以“苍蝇战大象”式的勇气突破陈规，或坚守本心，不随波逐流，或拥有创新的思想，就有可能冲破种种人生限制，创造出无限的人生可能，实现人生价值。我们还可以龙源期刊网

再进一步挖掘，反思“为什么有的有限创造不出无限”，通过关注现实，去发掘问题背后的社会原因、个人原因，使文章更具有现实意义。

能力有限 努力无限

—— 我的成长经历

礼元中心校 湖村小学 梁改燕

时光如白驹过隙，转瞬即逝。自2006年9月被上级分配到礼元中心校最南端的湖村小学任教，屈指一算快有四个年头了，一路上坎坎坷坷，艰难重重，又不失繁花灿烂，通过这几年的磨练，自己已经由一个不懂事的小姑娘成长为一名成熟稳重，充满爱心的人民教师。

回首走过的峥嵘岁月，一路上有领导的重视与鼓励，有老教师的呵护与批评，有同事之间的互助与合作，也不乏自己的努力和勤奋，正是这些如雨露阳光般的关怀，才使我成为了一名合格的教育工作者，看看身后留下的深深浅浅的脚印，无限的感慨涌上心头！

一、用心去呵护，用爱来奉献，幸福很简单。

白云奉献给蓝天，阳光奉献给海滩，我拿什么奉献给你，我的孩子！

我不是天空，却有26颗星星；我不是宇宙，却有26轮太阳；我不是明星，却有26颗童心……我抚育，我呵护！用生命，用青春，用爱心！谁让我是老师呢？

刚刚参加工作时，面对淘气、面对任性、面对无知，我迷惘过，暴躁过，失望时，退却过。当我看到身边的几位老教师，有的已年过半百，有的也已过不惑之年，他们都曾为礼元的教育事业立下汗马功劳，却仍默默无闻的工作着；当我看到怀有身孕的老师仍尽心工作的时候，我感动，我省悟，谁让我们都是老师呢？ 张青兰老师劝慰我：“一日为师，终身为母。”我懂了，合格的老师首先要做一个合格的人。刘石忠校长叮嘱我：“应以校为家，以学生为乐。”我懂了，教师塑造人的灵魂，播种希望，培育阳光。郭振江老师开导我：“给学生爱的雨露吧，你将拥有爱的海洋！”我懂了，源自心灵的爱是最真挚的爱。身边的每一个人，都给了我启迪。是他们在我成长的路上铺上一块砖。在我失意的时候，他们给了我鼓励；在我得意的时候，他们提醒我虚心；在我脆弱的时候，他们教我坚强；在我懈怠的时候，他们告诉我认真。在这些优秀老师的影响下，我读懂了自己，找到了幸福。原来，幸福就是这样简单。