论述有限与无限的区别与联系

论述有限与无限的区别与联系

有限与无限：物质世界固有的矛盾之一。反映物质运动在时间和空间上辩证性质的一对哲学范畴。物质是不灭的、无限的，并且处在永恒的绝对运动之中，物质及其运动的永恒性、无限性，也就是物质的存在形式即时间持续和空间广延的无限性。物质的时空无限由具体的物质客体的有限时空所构成，并通过具体物质客体在有限时空上的运动和变化表现出来。有限和无限的范畴，反映了物质世界中客观存在的矛盾和辩证联系。

有限集和无限集的辨证关系 数学中的有限和无限是对现实世界的有限和无限的反映。整个物质世界的发展变化就是有限和无限的统一无限性首先就是指物质世界的无限性，宇宙的无限性。运动是物质的固有属性，时间和空间是物质的存在方式，物质世界的无限性就表现为时间的无限持续和空间的无限广延。数学中的无限性就是这种物质世界无限性的反映。有限则是说一切事物都存在具体的时间和空间之中，因此总是一段时间，有规模的、有界限的。即一切事物都是具体的事物。数学中的有限就反映了这种有限性。有限和无限是对立的统一，它们既是对立的，有区别的，又是相互联系的。并在一定条件下相互转化的。

数学中的无限和有限也反映了有限与无限相互转化这一点。例如，整数集是一个无限集合，人们无法得到一个完成了的整数集。但每个整数又都是有限的。我们可以得到任意的整数。任意给出一个数学的对象，我们立即就能判定它是否属于整数集，这样看问题，整数集又是一个完成了的集合，是一个有限的概念。因此整数集本身就是一个无限和有限的对立统一体。有限和无限是对立的、有区别的，有限集合和无限集合的性质有质的不同。例如一个有限集和它的任何一个真子集都无法建立一一对立关系，而无限集则可以与它的一个真子集建立一一对应关系。比如，自然数集和它的一个真子集偶自然数集就可以建立一一对应关系。再如，一个有限的良序数集，自然数集的一个有限数集必然有最大数和最小数。但是无限的良序数集则没有这种性质，实数集就没有最大数也没有最小数。有限和无限又是密切相联系着的，没有有限也就没有无限，没有无限也就没有有限。无限性是不能完全被证明或者说被完全实现的。这并不是因为无限性不存在，而只是因为如果无限性一旦得到完成，得到实现，那它就不再成为无限，而变成有限。但是如果所有的无限都变成有限，无限就不存在了，因此有限也就不存在了。由于有限是存在的,所以无限是不能完全实现的。事实上，有限的总和构成无限，无限是通过有限而存在的。这种情况在数学中也得到反映，比如整数集是由一个个具体的整数组成的，而这个集合的无限性就是通过无数个有限的整数总和表现出来的。有限和无限在一定条件下能够相互转化。比如，物质是无限可分的，这个分的过程就是一个有限和无限互相转化的过程。

有限与于无限的区别与联系：区别在于：第一：无限集合中“部分可以等于整体”第二：“有限”情况成立的许多命题，对于“无限”情况不再成立。联系在于：无限与有限有着本质的区别，也有许多联系。正因为两者有本质的区别，在有限与无限间建立联系的方法，往往十分重要。数学史上的三次危机都与无限有关：希帕索斯的无理数悖论、贝克莱的无穷小悖沦、罗素的集合论悖论，分别是对无限不循环量、无穷小量、无穷大量本身的矛盾的认识而引起的。公元前五世纪希腊人毕达哥拉斯(Py—thagoras)学派的门徒希帕索斯，发现了等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约，从而导致了第一次数学危机。当时毕氏学派的“万物皆数”观不仅深信数的和谐与数是万物的本源，而且宇宙问的一切现象都能归结为整数或整数比已成为他们的信条。事实上，希帕索斯发现的就是无理数2，而无理数是无限不循环小数。当时人们只有有理数的概念，普遍确信一切量都可以用有理数来表示。这样希帕索斯的这一发现，就成为荒谬和违反常识的事，不仅严重触犯了毕氏学派的信条，同时冲击了当时希腊人的普遍见解，不能不使人们感到惊奇不安。相传，毕氏学派就因这一发现而把希帕索斯投入海中 。但是希帕索斯的伟大发现却是淹不死的，它以顽强的生命力被广为流传，迫使人们去认识和理解自然数及其比(有理数)不能包括切几何量，也迫使毕氏学派承认这一悖论并提出单子概念去解决它。单子概念是一种如此之小的度量单位，以致本身不可度量却又要保持为一种单位。这或许是企图通过无限来解决问题的最早努力。但是，毕氏学派的努力却又引起了芝诺的关注，他认为：一个单子或者是0或者不是0，如果是0，则无穷多个单子相加也产生不了长度；如果不是0，则无穷多个单子组成的有限长线段应该是无限长的，不论何说都矛盾。所以，连同著名的芝诺悖论在内也都列为数学第一次危机的组成部分。第一次数学危机促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，导致了公理几何学与逻辑学的诞生。数学史上把l8世纪微积分诞生以来在数学界出现的混乱局面，称为第二次数学危机。英国牛顿基于运动学观点提出了“流数术”，而德国莱布尼兹则从几何学角度出发，提出“一种求极大、极小和切线的新方法，以及这种新方法的奇妙类型的计算” 。两者都有些含糊不清。如牛顿的“刹那”或无穷小量，有时是0，有时不是0，而是有限小量。莱布尼兹的dx也不能自圆其说。dx表示两个相邻的X间的差是什么意思?极限是什么?无穷小是什么?都十分含糊。马克思称这个时期的微积分为神秘的微分学。由于神秘的微分学在数学的根本性问题上说不清楚，当时鼎鼎大名的唯心论哲学家贝克莱(1685—1753，爱尔兰大主教)提出了《分析学家：或一篇致不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、教义的主旨有更清晰的陈述，或更明显的推理》这篇标题很长的书。他嘲笑说无穷小量是“已经死去了的量的鬼魂幽灵”，怎么能说既是0又不是0呢?贝克莱之激烈攻击微积分，主要是出于他极端恐惧当时自然科学的发展所造成的对宗教信仰的日益增长的威胁，但也正由于当时的微积分理论没有一个牢固的基础，致使来自各方面的非难和攻击似乎言之有理。历史上，曾称贝克莱如上之论述为贝克莱悖论 ，而且迫使数学家不能不认真对待这一悖论，借以解除数学的第二次危机。柯西详细而又系统地发展极限论，戴德金(Dedekind)在实数理论的基础上证明极限论的基本定理，还有康托与维尔斯特拉斯都加入了为微积分理论寻找牢固基础的工作，发展了极限理论。 普遍认为，由于严格的微积分理论的建立，上述数学史上的两次危机已经解决。但在事实上，建立严格的分析理论是以实数理论为基础的，而要建立严格的实数理论，又必须以集合论为基础；而集合论的诞生与发展，却又偏偏出现了一系列的悖论，如著名的罗素悖论、康托悖论等，由此而构成了更大的危机。在今天，人们恰当地把集合论悖论的出现及其所引起的争论局面，称之为第三次数学危机。

这样人们就不得不重新审视“无限”这个包含着矛盾的概念。人们早就发现，对待无限或无限过程可以有两种截然不同的、在概念上互相排斥的理解方式，是把“无限”看成为永远在延伸着的(即不断在创造着的完成不了的)进程。

20世纪上半叶，在数学基础中，论战得最多、影响最大的有三大学派，即逻辑主义、直觉主义和形式公理主义三大学派。在这里我们只谈一谈这三大学派的无限思想，即他们的无穷观。 逻辑主义派的主要代表人物是罗素。逻辑主义派的主要宗旨是把数学划归为逻辑，也就是说：第一，数学的概念可以从逻辑的概念出发，经由明显的定义而得出；第二，数学的定理可以从逻辑的命题出发，经由逻辑的演绎推理而得出。因此，全部数学都可以从基本的逻辑概念和逻辑规则推导出来，这样一来，数学也就成了逻辑的分支。就无限观而言，逻辑主义派是实无限论者，即确认实无限性研究对象在数学领域中的合理性。普遍认为罗素及其追随者明显地承认无限性对象的存在性。但由于罗素为排除集合论的悖论而发展他的分支类型论，从而在罗素系统中的实无限性对象就在不同的类和级中表现为一定的层次结构，这是符合反映论的见解的 直觉主义派的主要代表人物是荷兰数学家布罗瓦(Brouwer)。直觉主义派的根本出发点是关于数学概念和方法的“可信性”考虑。因此，认识论上的可信性就唯一地决定了直觉主义的前提。直觉主义派的著名口号是：“存在必须被构造”，亦即数学中的概念和方法都必须是构造性的。直觉主义认为“逻辑不是发现真理的绝对可靠的工具” ，并认为在真正的数学证明中，不能使用“排中律”，因为排中律和其他经典逻辑规律是从有穷集抽象出来的，因此不能无限制地使用到无穷集上去，同样，也不能在数学中使用反证法。就无限观而言，根据直觉主义的基本观点，势必导致对实无限概念的排斥。因为从生成的观点来看，任何一个无穷集合或实无限对象都是不可构造的。若以简单的自然数集为例讨论的话，按照能行性的要求必然否定自然数全体这个概念，因为任何有穷多个步骤都不能把所有的自然数构造出来，更谈不上汇成整体。由此可见，在无穷观的问题上，直觉主义派是十分彻底地采纳了潜无限论者的观点。 形式公理主义学派的创始人是希尔伯特。形式公理主义学派认为，数学是研究推理或形式推理的，就是从一定的形式前提(公理)出发，按照演绎推理的规则，把一定的语句作为数学定理推导出来。因此，他们认为数学实际上就是一个形式系统，即一个符号形式的系统，数学是一种纯粹的符号游戏，对这种符号游戏的唯一要求是从形式前提(形式公理)出发推导不出矛盾。就“无穷观”问题而言，形式公理主义派的观点认为古典数学中那些包含着“绝对无穷”(实无限)概念的命题确实是“超越人们直观性证据之外”的东西。但是，他们并不同意直觉主义者由于这样的理由而放弃古典数学，包括康托集合论。既然肯定了实无限概念，也就承认了超穷集合的概念。例如，他们承认全体自然数做成一个完成了的无穷集合。因此，无论就有限论域或无限论域而言，他们都主张经典逻辑里的“排中律”是普遍有效的。希尔伯特甚至说过：“数学家使用的排中律就像天文学家手中的望远镜那样重要，是万万不能丢弃的。”

从历史上亚里士多德(Aristotle)第一次明确地只承认潜无限而反对实无限，到1960年美国数理逻辑学家鲁滨逊(A．Robinson)在他创立的非标准分析中确立了无穷小量和无穷大量的合法地位，随着人们对“无限”的认识，数学也在一步步深化。可以相信，随着人们对“无限”的进一步认识，不仅数学而且其他学科也会得到进一步的发展。也许，人们对“无限”的认识也是一个无限的过程